高中数学 第1课时 棱柱、棱锥和棱台学案 苏教版必修2
高中数学第1章1.1.1棱柱棱锥和棱台课件苏教必修2.ppt
知新益能
1．图形平移 将一个图形上_所__有__的__点__按某一_确__定__的方向移 动相同的距离就是平移. 2．棱柱 (1)有关概念： ①一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移 形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的 两个面叫做棱柱的底面；两底面之间的距离叫 做棱柱的高；多边形的边平移所形成的面叫做 棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧 棱.
变式训练2 观察下图，分别判断(1)中的三棱 镜，(2)中的螺杆头部模型有多少对互相平行 的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对.
解：(1)中有1对互相平行的平面，只有这1对 可以作为棱柱的底面．(2)中有4对互相平行的 平面，只有1对可以作为棱柱的底面．
考点三 棱柱、棱锥、棱台的画法
根据棱柱、棱锥、棱台的定义可以画出棱柱、 棱锥、棱台．作图时要按作图规则和作图要 求，不能随意徒手作图．
【名师点评】 (1)判断一个几何体是何种几 何体，一定要紧扣柱、锥、台的结构特征， 注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意. (2)本题容易错认为几何体②也是棱柱，其原 因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构 特征，避免出现此类错误的方法是将教材中 的各种几何体的结构特征放在一起对比，并 且和图形对应起来记忆，要做到看到文字叙 述就想到图，看到图形就想到文字叙述．
例2 根据下列关于空间几何体的描述，说出 几何体的名称： (1)由6个平行四边形围成的几何体； (2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6 个面都是有一个公共顶点的三角形； (3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面 是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这 些梯形的腰延长后能相交于一点． 【思路点拨】 审题→想象→对比定义→解答.
方法感悟
棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成 的空间图形，棱台则可以看成是用一个平行于 棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形．要注意 的是，棱台的各条侧棱延长后交于一点，即棱 台可以还原成棱锥．在学习时要注意棱柱、棱 锥、棱台这三类多面体之间的联系．
高中数学必修二 8 1 基本几何图形(第1课时)棱柱、棱锥、棱台 练习(含答案)
8.1 基本几何图形第1课时 棱柱、棱锥、棱台一、选择题1．下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】将其折叠起来，变成正方体后的图形中，相邻的平面中三条线段是平行线，排除A ，C ；相邻平面只有两个是空白面，排除D ；故选B2．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥【答案】D【解析】正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为 r ，正六棱锥的高为h ，正六棱锥的侧棱长为 l ，由正六棱锥的高h 、底面的半径r 、侧棱长l 构成直角三角形得，222h r l += ，故侧棱长 l 和底面正六边形的边长r 不可能相等.故选D.3．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D【解析】由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．故选D.4．用一个平面去截一个四棱锥，截面形状不可能的是()A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形【答案】D【解析】根据一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，而四棱锥最多只有5个面，则截面形状不可能的是六边形，故选D.5．（多选题）给出下列命题，其中假命题是（）A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；C.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；D.棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.【答案】ABD【解析】对于A，棱柱的侧面不一定全等，故错误；对于B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误；对于C，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；对于D，棱台的侧面不一定是等腰三角形，故错误；故选ABD .6．（多选题）正方体的截面可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．菱形D．正六边形【答案】CD【解析】 如图所示截面为三角形ABC ，OA =a ，OB =b ，OC =c ，∴222222222,,AC a c AB a b BC b c =+=+=+， ∴222202AB AC BC cos CAB AB AC +-∠==>⋅ ∴∠CAB 为锐角，同理∠ACB 与∠ABC 也为锐角，即△ABC 为锐角三角形，∴正方体的截面若是三角形，则一定是锐角三角形，不可能是钝角三角形和直角三角形，A 、B 错误；若是四边形，则可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C 正确；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，如图为正六边形，故若是六边形，则可以是正六边形，D 正确.故选：CD .二、填空题7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________cm.【答案】12【解析】该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.8.如图，M 是棱长为2 cm 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，沿正方体表面从点A 到点M 的最短路程是________cm.【答案】 13【解析】由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.9.下列说法中正确的为________（填序号）.（1）棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形：（2）各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；（3）正棱锥的侧面是等边三角形；（4）有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的几何体是棱台.【答案】（1）【解析】（1）正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形；（2）不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体；（3）不正确，正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形；（4）不正确，用反例去检验，如图，显然错误图.故答案为：（1）10.一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．【答案】569【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．三、解答题11．如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．【答案】见解析【解析】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)12.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？【答案】（1）三棱锥（2）见解析【解析】(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S△PEF＝12a2，S△DPF＝S△DPE＝12×2a×a＝a2，S△DEF＝3 2a2.。
必修二第一讲 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
第一章空间几何体第一讲棱柱、棱锥、棱台的结构特征一;学习目标1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(重点)2．理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系．(难点)3．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构和有关计算．(易混点)二:核心素养通过对空间几何体概念的学习，培养直观想象、逻辑推理的数学核心素养．重点题型讲解题型一:棱柱的结构特征【例1】(1)下列命题中，正确的是( )A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形小试身手1．下列关于棱柱的说法错误．．的是( )A．所有棱柱的两个底面都平行B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余每相邻面的公共边互相平行C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D．棱柱至少有五个面题型二:棱锥、棱台的结构特征【例2】(1)下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？小试身手2．如图所示，观察以下四个几何体，其中判断正确的是 ( )A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④不是棱柱题型三[探究问题]【例3】 (1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)( )(2)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？课堂总结提能力1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状． 2．四棱柱及特殊四棱柱四棱柱――→底面是平行四边形平行六面体――→侧棱与底面垂直直平行六面体――→底面为矩形长方体――→底面为正方形正四棱柱――→侧棱与底面边长相等正方体 3．棱柱、棱台、棱锥关系图4．正棱锥与正棱台(1)底面是正多边形，且顶点在底面的射影是正多边形中心的棱锥，叫正棱锥． (2)正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．1．下面多面体中，是棱柱的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点3．下列命题中正确的是()A．三棱柱的侧面为三角形B．棱台的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形C．棱台的底面是两个相似的正方形D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形4．下列说法错误的是()A．多面体至少有四个面B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形5．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是() A．是棱柱B．是棱锥C．是棱台D．一定不是棱柱、棱锥6．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( ) A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥7在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝3，点E为AB上的动点，则D1E＋CE的最小值为()A．2 2 B．10C．5＋1 D．2＋2。
01棱柱、棱锥和棱台(学案)
第1课时棱柱、棱锥和棱台教学目标:（1）感知并认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征，初步形成空间观念；（2）了解棱柱、棱锥和棱台的概念，能画出棱柱、棱锥和棱台的示意图；（3）能用运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的辨证关系．教学重点、难点:（1）棱柱、棱锥和棱台的结构特征和有关概念．（2）棱柱、棱锥和棱台的结构特征．教学过程:一．问题情境1．把一支粉笔贴在黑板上，沿垂直于粉笔的方向平移，留下怎样的痕迹？如何把一张矩形纸片放在课桌上，向上平移，形成怎样的图形？2．请仔细观察这些几何体，说说他们的共同特点．这些特点可以归纳为：_________________________________________________。
二、建构数学1．棱柱及其相关概念（1）棱柱定义：________________（2）棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、体对角线和面对角线（3）棱柱的分类及其表示方法______________（4）棱柱的特点______________________2.棱锥及其相关概念观察右边的图形，它们前后发生了什么变化？（1）棱锥定义________________（2）棱锥的底面、侧面、棱、侧棱、顶点（3）棱锥分类及其表示方法__________（4）棱锥的特点：___________________________3.棱台及其相关概念如右图，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到怎样的两个几何体？（1）棱台定义________________（2）棱台的上底面、下底面、侧面、棱、侧棱、顶点（3）棱台的分类：棱台的表示方法___________________________________4.多面体的概念(1)多面体定义：_______________(2)多面体的表示:____________________________________________________________三、数学运用例1．画一个四棱柱和三棱台。
棱柱、棱锥、棱台—高中数学湘教版(2019)必修二
A,B,D正确,故选ABD.
探究二
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例2下列四个说法正确的有(
)
①棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面;②各个面都是三角形的几何
体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱
台;
A.0个 B.1个 C.3个 D.4个
③顶点:棱和棱的交点叫作多面体的顶点
一个多面体最少有4个顶点
旋转轴:形成
旋转体所绕
的定直线称
为旋转轴
微思考
观察下列图片,这些都是我们日常熟知的一些物体:
(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形?
(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形?
(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形?
探究四
正棱锥(台)中的几何计算
例4若定义正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高为斜高,求解以下问题:已
知正三棱锥V-ABC,底面边长为8,侧棱长为2 6 ,计算它的高和斜高.
分析根据正三棱锥的性质,找出底面正三角形的中心及底面边的中点,构造
直角三角形.利用勾股定理求解.
解 如图所示,设O是底面中心,连接VO,AO,并延长AO交BC于点D,连接VD,
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于
E,则PE为斜高.
(1)斜高、侧棱构成直角三角形,如图中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形,如图中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形,如图中Rt△POC.
2.正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上、
学案3：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
8.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台【知识导学】知识点一空间几何体的定义、分类及相关概念1．空间几何体的定义2．空间几何体的分类及相关概念知识点二棱柱的结构特征1．棱柱的定义、图形及相关概念2．棱柱的分类及特殊棱柱(1)按，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)直棱柱：．(3)斜棱柱：．(4)正棱柱：．(5)平行六面体：．知识点三棱锥的结构特征1．棱锥的定义、图形及相关概念2.棱锥的分类及特殊的棱锥(1)按，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……(2)正棱锥：．知识点四棱台的结构特征1．棱台的定义、图形及相关概念2．棱台的分类(1)依据：．(2)举例：(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……【新知拓展】1．几类特殊的四棱柱四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正四棱柱、正方体等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下．2．棱柱、棱锥、棱台之间的关系棱柱、棱锥、棱台之间有着内在的联系：将棱台的上底面慢慢扩大到与下底面相同时，转化为棱柱；将棱台的上底面慢慢缩小为一点时，转化为棱锥．如图所示．【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．()(2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．()(3)棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点．()2．做一做(1)有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错(2)面数最少的多面体的面的个数是________．(3)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个．(4)四棱台有________个顶点，________个面，________条边．【题型探究】题型一对棱柱、棱锥、棱台概念的理解例1下列命题中，真命题有________．①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；⑤多面体至少有4个面．【规律方法】关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法(1)根据几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型通过演示进行准确判断．(2)解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【跟踪训练1】下列关于棱锥、棱柱、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥；④棱柱的侧棱与底面一定垂直．其中正确说法的序号是________．题型二对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断例2如图长方体ABCD－A1B1C1D1，(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？[条件探究]若本例(2)中将平面BCEF改为平面ABC1D1，则分成的两部分各是什么体？【规律方法】棱柱判断的方法判断棱柱，依据棱柱的定义，先确定两个平行的面——底面，再判断其余面——侧面是否为四边形及侧棱是否平行．【跟踪训练2】判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台？题型三空间几何体的展开图问题例3如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【规律方法】空间几何体的展开图(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．【跟踪训练3】根据如下图所给的平面图形，画出立体图．【随堂达标】1．下列说法中，正确的是()A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形2．下列三种叙述，正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是()4．①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．以上说法正确的序号有________．5．已知M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到M的最短路程是多少？【参考答案】【知识导学】知识点二棱柱的结构特征2．(1)底面多边形的边数(2)侧棱垂直于底面的棱柱(3)侧棱不垂直于底面的棱柱(4)底面是正多边形的直棱柱(5)底面是平行四边形的四棱柱知识点三棱锥的结构特征2. (1)底面多边形的边数(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥知识点四棱台的结构特征2．(1)由几棱锥截得(2)三棱台【基础自测】1．答案(1)×(2)×(3)√2．答案(1)B(2)4(3)4(4)8612【题型探究】题型一对棱柱、棱锥、棱台概念的理解例1[解析]棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①正确．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②正确．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错误，④正确．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.[答案]①②④⑤【跟踪训练1】答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥；④错误，棱柱的侧棱与底面不一定垂直.题型二对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断例2[解](1)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABF A1－DCED1.[条件探究]解截后的两部分分别为棱柱ADD1－BCC1和棱柱AA1D1－BB1C1.【跟踪训练2】解根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，在图甲中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台.题型三空间几何体的展开图问题例3[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．【跟踪训练3】解将各平面图折起来的空间图形如下图所示．【随堂达标】1．答案D解析A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C 选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点．故选D.2．答案A解析本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.3．答案C解析本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.4．答案①③解析由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错误．5．解若以BC或DC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离为13 cm，若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为1 cm，4 cm.故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从A到M的最短路程是13 cm.。
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积学案,高一下学期数学必修第二册
高一年级下学期数学导学案8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、自主学习【学】知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。
1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．2.会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．难点：与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．一．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体__ __的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的__ _的面积的和.1.棱柱的表面积棱柱的表面积：S表＝．其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝；长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝；棱长为a的正方体的表面积：S表＝ .2.棱锥的表面积棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S＝ .侧3.棱台的表面积棱台的表面积：S表＝．多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．二．棱柱、棱锥、棱台的体积1．棱柱的体积(1)棱柱的高是指之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝.2．棱锥的体积(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，与 (垂线与底面的交点)之间的距离．(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝ .3．棱台的体积(1)棱台的高是指之间的距离．(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝．【小试牛刀】1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．()(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．()(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．()(4)在三棱锥PABC中，V PABC＝V APBC＝V BP AC＝V CP AB．()3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为()A．6,22B．3,22C．6,11D．3,11探究一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 例1 四面体P -ABC 的各棱长均为a ，求它的表面积。
学案5：8.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台
8.1第1课时棱柱、棱锥、棱台[素养目标·定方向]素养目标学法指导1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特性.(直观想象)2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.(直观想象)1．通过观察和感知实物模型，从整体上认识棱柱、棱锥、棱台的结构特性.2．与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，逐步学会用类比思想分析问题和解决问题.[必备知识·探新知]知识点1空间几何体1．概念：如果只考虑物体的_______和________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的_____叫做空间几何体.2．多面体与旋转体(1)多面体：由若干个_____围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的_____；相邻两个面的________叫做多面体的棱；棱与棱的_____叫做多面体的顶点.(2)旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定_____旋转所形成的_____叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.[归纳总结]对多面体概念的理解，注意以下几个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其它曲面围成，也不是由空间多边形围成.(2)本章所说的多边形，一般包括它内部的平面部分，故多面体是一个“封闭”的几何体.(3)围成一个多面体至少要有四个面.(4)规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱.(5)一个多面体是由几个面围成，那么这个多面体称为几面体.知识点2几种常见的多面体1．棱柱定义一般地，有两个面互相________，其余各面都是_________，并且每__________两个四边形的公共边都互相__________，由这些面所围成的__________叫做棱柱有关概念棱柱中，两个互相________的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的__________叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的__________叫做棱柱的顶点图形表示法用表示底面各顶点的__________表示棱柱，如上图中的棱柱可记为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′分类按底面多边形的________分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……[归纳总结]棱柱的简单性质：(1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形.(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示.棱柱概念的推广：(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形.(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体.(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体.2．棱锥定义一般地，有一个面是_______，其余各面都是________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥有关概念多边形面叫做棱锥的底面或底；有_______的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的_________叫做棱锥的顶点；相邻侧面的________叫做棱锥的侧棱图形表示法用表示顶点和底面各顶点的______表示，如上图中的棱锥可记为棱锥______分类按底面多边形的_______分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫_______[归纳总结]棱锥的性质：(1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形.(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形，如图②所示.3．棱台定义用一个________棱锥底面的平面去截棱锥，__________之间的部分叫做棱台有关概念原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的________和_________；其余各面叫做棱台的__________；相邻侧面的__________叫做棱台的侧棱；底面与________的公共顶点叫做棱台的顶点图形表示法用表示底面各顶点的_________表示棱台，如上图中的棱台可记为棱台(1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形.(2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.(3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示.[关键能力·攻重难]题型探究题型一棱柱的结构特征典例1下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.其中正确说法的序号是_______.[归纳提升]棱柱结构特征问题的解题策略(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：①两个底面互相平行；②其余各面是平行四边形；③相邻两个平行四边形的公共边互相平行且相等.求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征.(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.【对点练习1】下列说法正确的是()A．棱柱的侧面都是矩形B．棱柱的侧棱都相等C．棱柱的棱都平行D．棱柱的侧棱总与底面垂直题型二棱锥、棱台的结构特征典例2(1)下列说法正确的有______个.①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.②正棱锥的侧面是等边三角形.③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.(2)下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确说法的序号是_______.[归纳提升](1)棱柱、棱台、棱锥关系图(2)关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：①举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.②直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【对点练习2】下列说法正确的有()①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.A．0个B．1个C．2个D．3个题型三空间想象能力与几何体的侧面展开典例3如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[归纳提升]多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.【对点练习3】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，如图1，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，如图2．则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下参考答案[必备知识·探新知]知识点1空间几何体1．形状大小空间图形2．(1)平面多边形面公共边公共点(2)直线封闭几何体知识点2几种常见的多面体1．平行四边形相邻平行多面体平行公共边公共顶点字母边数2．多边形有一个公共顶点公共顶点公共顶点公共边字母S－ABCD 边数四面体3．平行于底面与截面下底面上底面侧面公共边侧面ABCD－A′B′C′D′ 边数[关键能力·攻重难]题型探究题型一棱柱的结构特征典例1【答案】(3)(4)【解析】(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4).【对点练习1】【答案】B【解析】由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确.题型二棱锥、棱台的结构特征典例2【答案】(1) 0 (2)①②③【解析】(1)①错误.棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的.如图所示的几何体不是棱锥，理由是△ADE 和△BCF无公共顶点.②错误.正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形.③错误.由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD，满足底面△BCD为等边三角形，三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等.(2)①正确，棱台的侧面都是梯形.②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.④错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.【对点练习2】【答案】A【解析】由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错.如图，可知③④错误.题型三空间想象能力与几何体的侧面展开典例3解：①五棱柱；②五棱锥；③三棱台.如图所示.【对点练习3】【答案】B【解析】将所给图形还原为正方体，如图3所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让左面向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北.。
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总 课 题 空间几何体
总课时 第1课时 分 课 题 棱柱、棱锥和棱台
分课时
第1课时
教学目标
认识棱柱、棱锥和棱台及其简单组合体的结构特征；了解棱柱、棱锥和棱台的有关概念．
重点难点 棱柱、棱锥、棱台的概念理解及图形识别、画图．
引入新课
1．仔细观察下面的几何体，他们有什么共同特点？
(1) (2) (3) （4） 2．棱柱的定义：一般地_________________________________________的几何体叫棱柱； ___________________________叫底面；__________________________
叫棱柱的侧面． 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 棱柱的特点：_____________________________________________________________； 棱柱的表示：_____________________________________________________________． 3．下面几何体有什么共同特点？
4．棱锥的定义：_____________________________________________________________； 棱锥的特点：
_____________________________________________________________； 棱锥的表示图（2）记为三棱锥ABC S ．
5．棱台的定义：_____________________________________________________________； 棱台的特点：上下两底面平行，侧面是梯形．
6．多面体的概念：___________________________________________________________． 例题剖析
例1 画一个四棱柱和一个三棱台．
（1） （2）
S
A
B
C
例2 如图，用过BC 的一个平面（此平面不过D A ''）截去长方体的一个角，剩下的几何
体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称．
巩固练习
1．如图，四棱柱的六个面都是平行四边形，这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？
2．画一个三棱锥和一个四棱台．
3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体？
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的有关概念；多面体图形的识别.
A A ' D D '
B B '
C ' C
课后训练
班级：高一（ ）班 姓名：____________
一 基础题
1．三棱台中侧棱和侧面数分别为（ ） A ．53 ， B ．33 ， C ．56 ， D ．36 ，
2．下面几何体中，不是棱柱的是（ ）
A B C D
3．棱柱的侧面是______________________________________形， 棱锥的侧面是______________________________________形， 棱台的侧面是______________________________________形．
4．正方体是___________________________棱柱，是__________________________面体．
5．从长方体一个顶点上出发的三条棱上各取一个点，过这三个点作长方体的的截面， 那么截去的几何体是______________________________．
6．如图，多面体的名称是_______________________；
该多面体的各面中，三角形有_______________个， 四边形有_________________________________个．
二 提高题
7．观察下面三个图形，分别判断（1）中的三棱镜，（2）中的方砖，（3）中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面？其中能作为棱柱底面的分别有几对？
（1） （2）
8．根据下列对几何体结构的描述，说出几何体的名称，并试画出其立体图． （1）由1个梯形沿某一方向平移形成；
（2）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他面都是全等矩形； （3）由4个面围成，且每个面都是三角形．
C A ' B A B ' C ' A A ' B
C D B ' C '
D 'A A 'B C D
E
F B 'C 'D 'F 'E ' （3）。