2014-2015学年新北师大版九年级数学下学期同步课件3.3垂径定理
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北师大版九年级下册第三章垂径定理课件
O.
求证：EC＝DF
A EC
DF
例：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
C
E
A
G B
O
F
D
船能过拱桥吗
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
挑战自我 做一做
4.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD 于E， ∠ CEB=45°，DE=6㎝，CE=2 ㎝，求弦AB的长。
A
F
D
OEC
B
5、已知⊙O的半径为5，弦AB=8，
点P为弦AB上的一动点， 则OP的
取值范围是
。
6、已知⊙O的半径为6，OP=4，过
点P作⊙O的弦中，最长为
，
最短为
。
7、已知⊙O的半径为5，弦 AB∥CD， AB=6，CD=8，则 AB和CD之间的距离为 。
劣弧中点的距离为
。
3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、HG=6
A
H
G
D
EF=10,
N
AH=4， B E M ·
F
C
0
求BE的长.
解：过O作OM⊥BC于M，交AD于N， ∵矩形ABCD ， ∴AD∥BC， ∴ OM⊥ AD ∴ EM=1/2EF=5，HN=1/2HG=3 ∴AN=AH+HN=4+3=7， ∴ BM=7 ∴BE= BM- EM =7-5=2
。
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .
北师大版数学九年级下册3.3垂径定理教学课件
则OD=0C-DC=R-2.
O
的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，
解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m， ∵AM ＝ BM，CD为⊙O的直径，
（1）两条弦在圆心的同侧 ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∵OE⊥CD，∴CF＝ CD ＝ ×600 ＝ 300（m）， 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
例如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即
C
CD 图中 CD，点O是 则AE＝BE，CE＝DE。
所在圆的圆心）.其中
CD m E OE CD ＝600 ， 为 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
（3）AM ＝ BM；
CD ＝ ， ＝ ,
上一点，且 ⊥ ，垂足
E FD
F EF m 为 ， ＝90 .求这段弯路的半径. AE－CE＝BE－DE。
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2
N
图中 ，点O是 所在圆的圆心）.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴∠AON－∠CON ＝ ∠BON － ∠DON ∴ ∠AOD ＝ ∠BOD
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况。
（1）两条弦在圆心的同侧
（2）两条弦在圆心的两侧
1.两条弦在圆心的同侧
M
（3）AM ＝ BM； 证明：连接OA、OB、OC、OD，
∠BOD ＝ 180°－ ∠BOC，
作直径MN⊥AB，则MN⊥CD， ∵∠AOD ＝ 180°－ ∠AOC，
O
的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，
解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m， ∵AM ＝ BM，CD为⊙O的直径，
（1）两条弦在圆心的同侧 ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∵OE⊥CD，∴CF＝ CD ＝ ×600 ＝ 300（m）， 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
例如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即
C
CD 图中 CD，点O是 则AE＝BE，CE＝DE。
所在圆的圆心）.其中
CD m E OE CD ＝600 ， 为 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
（3）AM ＝ BM；
CD ＝ ， ＝ ,
上一点，且 ⊥ ，垂足
E FD
F EF m 为 ， ＝90 .求这段弯路的半径. AE－CE＝BE－DE。
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2
N
图中 ，点O是 所在圆的圆心）.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴∠AON－∠CON ＝ ∠BON － ∠DON ∴ ∠AOD ＝ ∠BOD
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况。
（1）两条弦在圆心的同侧
（2）两条弦在圆心的两侧
1.两条弦在圆心的同侧
M
（3）AM ＝ BM； 证明：连接OA、OB、OC、OD，
∠BOD ＝ 180°－ ∠BOC，
作直径MN⊥AB，则MN⊥CD， ∵∠AOD ＝ 180°－ ∠AOC，
数学【北师大版】九年级下册：3.3-垂径定理ppt教学课件
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
Байду номын сангаас翼 课件
学练优九年级数学下（BS） 教学课件
第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
Байду номын сангаас翼 课件
学练优九年级数学下（BS） 教学课件
第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
北师大版九年级下册数学：3 垂径定理
2
2
E 根据勾股定理,得 OC2 CF2 OF2 ,即
F ●O
R2 3002 R 1002.
D
解这个方程得R=500
答：这段弯路的半径为500m
练习1
如图，已知在⊙O中，弦AB A 的长为8厘米，圆心O到AB的 距离为3厘米，求⊙O的半径。
E。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的
弧相等吗？为什么?
E
还有其他情况吗？
C
A
N ●O
B
└
M
C└
D
F
A
B
●O
C
D
D
这节课有何收获？！
课外作业： 基础题：P76知识技能第2题 拓展题: P77数学理解第4题
C
你能发现图中有哪些 等量关系?与同伴说说
你的想法和理由.
A
┗●
M
●O
B 由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②④CA⌒DC=⊥B⌒ACB, , ⑤A⌒D=B⌒D.
D
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ∴CD⊥AB，AD⌒＝BD⌒，AC⌒＝BC⌒
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∴
︵ AB=
︵ BC
D
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
∴ ∠︵AOD︵=∠BOD
∴ AD= BD︵ ︵
∴AM=BM, AB= BC,
︵︵ AD= BD
北师大版九年级数学下册第三章垂径定理课件
相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是AB
的中点,CD就是拱高.由题设得
1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5.
2
1
1
AD AB 7.2 3.6
2
2
OD=OC-DC=R-2.4
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
2
2
2
OA AD OD ,
即R 3.6 ( R 2.4) .
两条弧. （ 错 ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧. （ 对 ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ 错 ）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
（ 对 ）
（5）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且
经过圆心.（ 对 ）
判断：
（6）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分
在Rt△AOE中，根据勾股
定理有OA＝5厘米
∴⊙O的半径为5厘米。
A
E
∟
O
B
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条
弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE
是正方形．
证明：OE AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
∴四边形ADOE为矩形，
a
2
h
d
⑴d + h = r
a 2
⑵ r d ( )
2
2
O
2
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截
面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
200mm.
O
A
┌E
的中点,CD就是拱高.由题设得
1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5.
2
1
1
AD AB 7.2 3.6
2
2
OD=OC-DC=R-2.4
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
2
2
2
OA AD OD ,
即R 3.6 ( R 2.4) .
两条弧. （ 错 ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
对的另一条弧. （ 对 ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ 错 ）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
（ 对 ）
（5）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且
经过圆心.（ 对 ）
判断：
（6）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分
在Rt△AOE中，根据勾股
定理有OA＝5厘米
∴⊙O的半径为5厘米。
A
E
∟
O
B
如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条
弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE
是正方形．
证明：OE AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
∴四边形ADOE为矩形，
a
2
h
d
⑴d + h = r
a 2
⑵ r d ( )
2
2
O
2
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截
面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.
200mm.
O
A
┌E
北师大版数学九年级下册课件 垂径定理 (共15张PPT)
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中:
⌒=BC ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC ,
⑤
⌒ ⌒ AD=BD.
C
A
M└
●
B O
只要具备其中两个条件,就 可推出其余三个结论.
D
C
垂径定理及逆定理
条件
①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤
A
M└
●
B O
结论
命题
③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
●
O
用旋转的方法即可解决这个 问题.
引入新知
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什 么? （2）你能发现图中有哪些等量关系?说一 说你的理由.
C
A
M└
●
B O
小明发现图中有: 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
例题解析
课内练习
• 1、判断： ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对 的两条弧. （ ） ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧. （ ） ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （ ） ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
北师大版九年级数学下册第三章《垂径定理》优质课课件
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3厘米，AE＝BE。
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在Rt AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
讲解
Hale Waihona Puke M如果圆的两条弦互相平 C 行，那么这两条弦所夹 A 的弧相等吗？
D B
.O
已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
N
证∴明MN：⊥作C直D径。M则NA⊥MA⌒＝BB。M∵⌒，ACBM∥＝C⌒DDM，（⌒垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦）
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
1、如图4，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是 直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等 腰三角形。
连接OA,OB则, OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
C
∵OA=OB，OM=OM， A M└
B
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
●O
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. D ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重合当,圆⌒ A沿C着和B⌒直C径重合CD, 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B ∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
垂径定理
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
A M└
B
●O
∴AM=BM,
北师大版九年级数学下3.3垂径定理课件(共14张PPT)
1.判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × )
圆上任意两点间的部分叫圆叫做直径.
2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？是中心对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相 等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相 等吗？如果弦相等呢？
1.垂直于弦的直径与这条弦及这条弦所对的两条
.O
E
B
D
叠
合 法
3.结论提炼：
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧。
推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径
∴AM=BM，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C.
4.弧如(右即图图所中示⌒C，D ，一点条O公是路C⌒的D 的转圆弯处心是) ，一其段圆中 CD=600m，E为C⌒D上一点，且OE⊥CD，垂足 为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3 垂径定理
学习目标: 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其 逆定理，并能合理利用垂径定理及其逆 定理解决实际问题. 学习重点：利用圆的轴对称性研究垂径 定理及其逆定理. 学习难点：垂径定理及其逆定理的证明， 以及应用时如何添加辅助线.
1.什么是弦？什么是弧？什么是直径？
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
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第三章 圆
3.3 垂径定理
类比引入
• 等腰三角形是轴对称图形吗？ • 如果将一等腰三角形沿底边上的 高对折，可以发现什么结论？ • 如果以这个等腰三角形的顶角顶 点为圆心，腰长为半径画圆，得 到的图形是否是轴对称图形呢？
猜想探索
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
O
D
知识应用
例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图 ⌒所在圆的圆心），其中CD=600m，E 中⌒ CD,点0是CD 为⌒ CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求 这段弯路的半径。 C E
F O D
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。 ∵OE⊥CD C 1 1 E CF CD 600 300 2 2 F 根据勾股定理，得 D O OC²=CF² +OF² 即 R²=300²+(R-90)². 解这个方程，得R=545. 所以，这段弯路的半径为545m.
C A
●
B由
O
M
●
① CD是直径 ② AM=BM
可推得
③CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
平分弦（不是直径）的直径
D
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
想一想
• 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成 立？ B
C A
O
D
想一想
判断下列图形，能否使用垂径定理？ B B O C A × O
D
C
E √
D C
O A ×
D
注意：定理中的两个条件缺一不可——
直径（半径），垂直于弦
垂径定理的逆定理
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB的直径CD，交AB于点M. （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
随堂练习
1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥 的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离） 为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精 确到0.1米）。
随堂练习
2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条 弦所夹的弧相等吗？为什么？
O A C O B A C B D A O B
C
D
D
有三种情况：1、圆心在平行弦外； 2、圆心在其中一条弦上；
3、圆心在平行弦内。
若⊙O中弦AB∥CD。 ⌒ ⌒ 那么AC＝BD吗？为什 么？
解：AC＝BD，理由是：
M A C D B
.O
N 作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 ⌒DM（垂直于弦的直径 ⌒ ⌒ ⌒ 则AM＝BM，CM＝ 平分弦所对的弧） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∵AM－CM ＝ BM －DM ⌒ ⌒ ∴AC＝BD
∵⊙O关于直径CD对称,
D
∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AC =BC, AD =BD.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的两条弧。
C
A
M└
●
B
几何语言 CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD=BD.
C A
M└
●
B O
条件 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
D
结论 ③AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒⌒ ⑤AD=BD.
连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM.
A
C
M└
●
B
O
∴点A和点B关于CD对称.
归纳小结
A
M A A C
. O
B
. E
O C DΒιβλιοθήκη . OND B
B
1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其 逆定理. 2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦 的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等 辅助线，为应用垂径定理创造条件.
3.3 垂径定理
类比引入
• 等腰三角形是轴对称图形吗？ • 如果将一等腰三角形沿底边上的 高对折，可以发现什么结论？ • 如果以这个等腰三角形的顶角顶 点为圆心，腰长为半径画圆，得 到的图形是否是轴对称图形呢？
猜想探索
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
O
D
知识应用
例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图 ⌒所在圆的圆心），其中CD=600m，E 中⌒ CD,点0是CD 为⌒ CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求 这段弯路的半径。 C E
F O D
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。 ∵OE⊥CD C 1 1 E CF CD 600 300 2 2 F 根据勾股定理，得 D O OC²=CF² +OF² 即 R²=300²+(R-90)². 解这个方程，得R=545. 所以，这段弯路的半径为545m.
C A
●
B由
O
M
●
① CD是直径 ② AM=BM
可推得
③CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
平分弦（不是直径）的直径
D
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
想一想
• 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且 平分弦所对的两条弧. 如果该定理少了“不是直径”，是否也能成 立？ B
C A
O
D
想一想
判断下列图形，能否使用垂径定理？ B B O C A × O
D
C
E √
D C
O A ×
D
注意：定理中的两个条件缺一不可——
直径（半径），垂直于弦
垂径定理的逆定理
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB的直径CD，交AB于点M. （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
随堂练习
1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥 的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离） 为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精 确到0.1米）。
随堂练习
2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条 弦所夹的弧相等吗？为什么？
O A C O B A C B D A O B
C
D
D
有三种情况：1、圆心在平行弦外； 2、圆心在其中一条弦上；
3、圆心在平行弦内。
若⊙O中弦AB∥CD。 ⌒ ⌒ 那么AC＝BD吗？为什 么？
解：AC＝BD，理由是：
M A C D B
.O
N 作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 ⌒DM（垂直于弦的直径 ⌒ ⌒ ⌒ 则AM＝BM，CM＝ 平分弦所对的弧） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∵AM－CM ＝ BM －DM ⌒ ⌒ ∴AC＝BD
∵⊙O关于直径CD对称,
D
∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC和BC重合, AD和BD重合. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AC =BC, AD =BD.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所 对的两条弧。
C
A
M└
●
B
几何语言 CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD=BD.
C A
M└
●
B O
条件 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
D
结论 ③AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒⌒ ⑤AD=BD.
连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM.
A
C
M└
●
B
O
∴点A和点B关于CD对称.
归纳小结
A
M A A C
. O
B
. E
O C DΒιβλιοθήκη . OND B
B
1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其 逆定理. 2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦 的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等 辅助线，为应用垂径定理创造条件.