甘肃省2017届高三下学期一诊考试数学(理)试题
2017届甘肃省高台县第一中学高三质量检测数学试题 及答案
高台县第一中学2017届高三质量检测数学试题一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、若集合{}{}1|lg(2),|2,x A x R y x B y R y x A -=∈=-=∈=∈，则()R C A B = ( )A .R B.(][),02,-∞+∞ C.[)2,+∞ D.(],0-∞2、已知复数2320131i i i i z i++++=+ ，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A .第一像限B .第二像限C .第三像限D .第四像限3、理：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD内的概率为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 16文：四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且 2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且3.476 5.648y x =-+；③y与x正相关且 5.4378.493y x=+；④y与x正相关且4.326 4.578y x=--.其中一定不正确．．．的结论的序号是 ( )A．①②B．②③C．③④D．①④4、已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为１的正方形，则这个几何体的体积不可能是（）A.12 B.4π C.1 D.3π5、阅读如下程序框图，如果输出i =4，那么空白的判断框中应填人的条件是 ( )A. S<10?B. S<12?C. S<14?D. S<16?6、如图设抛物线21y x=-+的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，则点P落在∆AOB内的概率是 ( )A. 56 B. 45C. 34D. 237、设实数x、y满足26260,0x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max231,22z x y x y=+-++的取值范围是( )A．[2,5] B．[2,9] C．[5,9] D．[1,9]-8、若△ABC的三个内角A,B,C度数成等差数列,且(错误！未找到引用源。
甘肃省河西五市部分普通高中2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科)
2017 年甘肃省河西五市部分一般高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .1．已知会合 A={x||x| ＜ 2} ， B={ ﹣ 1， 0， 1， 2， 3} ，则 A ∩B= （）A．{0， 1} B．{0， 1，2} C． { ﹣1， 0， 1} D．{ ﹣1，0，1， 2} 2．已知向量=（，），=（，），则∠ ABC= （）A．30°B．45°C． 60° D ．120 °3．已知，，，则实数 a，b，c 的大小关系是（）A ． a＞ c＞ b B ． b＞ a＞ c C． a＞ b＞c D ．c＞ b＞ a4．设 i 为虚数单位，则（x+i ）6的睁开式中含x4的项为（）A ．﹣ 15x4B ． 15x4 C．﹣ 20ix 4 D ．20ix 45．已知随机变量 Z～ N（ 1， 1），其正态散布密度曲线以下图，若向正方形OABC 中随机扔掷 10000 个点，则落入暗影部分的点的个数的预计值为（）2附：若 Z～ N （μ，σ），则P（μ﹣σ＜ Z≤ μ+σ）=0.6826 ；P（μ﹣ 2σ＜ Z≤μ+2σ）；P（μ﹣3σ＜ Z≤ μ+3σ）．A ． 6038B ． 6587C． 7028 D ．75396．函数，则f（x）的最大值是（）A ． 0B ． 2 C． 1 D ．37．要丈量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶的仰角是45°，在D 点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m ，则电视塔的高度是（）A ． 30mB ． 40m C．m D ．m8．设 p：实数 x， y 知足（ x﹣ 1）2 +（ y﹣ 1）2≤2， q：实数 x， y 知足，则p是q的（）A ．必需不充足条件B ．充足不用要条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件9．设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线2（ p＞ 0）上随意一点， M 是线段 PF y =2px上的点，且 |PM|=2|MF| ，则直线 OM 的斜率的最大值为（）A ．B ．C． D ．110．已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积是（）A ．B ．C． D ．3 2 3 2 11．已知定义在 R 上的偶函数 f（ x）在 [0，+∞）上递减，若不等式 f（ x ﹣x +a）+f（﹣ x +x ﹣a）≥ 2f（ 1）对 x∈ [0，1] 恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣， 1] C．[1，3] D ．（﹣∞ 1]12．已知函数 f（ x）=sin（ωx+φ）（ω＞0， |φ|≤）， x= ﹣为 f（ x）的零点， x= 为y=f （ x）图象的对称轴，且 f （ x）在（，）上单一，则ω的最大值为（）A．11 B ． 9 C． 7 D ．5一．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13．如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是．14．已知双曲线E：﹣=1（ a＞ 0， b＞ 0），若矩形ABCD 的四个极点在E 上， AB ，CD 的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC| ，则 E 的离心率是．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是．16．定义“规范 01 数列”{a n} 以下： {a n} 共有 2m 项，此中m 项为 0， m 项为 1，且对随意 k≤2m，a ，a a中12k 0 的个数许多于 1 的个数．若m=4，则不一样的“规范01 数列”共有个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（ 12 分）记 U={1 ， 2，，100}n* ）和U 的子集T ，若T= ?，定义，对数列 {a } （ n∈NS T=0 ；若 T={t 1，t2，，t k} ，定义 S T= ++ + ．比如：T={1 ，3，66} 时，S T=a1+a3+a66．现设{a n} （ n∈ N *）是公比为 3 的等比数列，且当T={2 ， 4} 时， S T=30 ．（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）对随意正整数k（ 1≤ k≤ 100），若 T ? {1 ， 2，，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设 C? U， D? U ，S C≥ S D，求证： S C+S C∩D≥ 2S D．18．（ 12 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，AD ∥ BC ，∠ ADC= ∠ PAB=90°，BC=CD= AD ．E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°．（Ⅰ ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明原因；（Ⅱ ）若二面角P﹣CD ﹣ A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值．19．（ 12 分）如图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化办理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合（Ⅱ ）成立 y 对于 t 的回归方程（系数精准到理量．y 与 t 的关系，请用有关系数加以说明；0.01 ），展望 2017 年我国生活垃圾无害化处参照数据：y i=9.32 ，t i y i=40.17 ，，≈ ．参照公式：有关系数r=回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘预计公式分别为：=，=﹣．20．（ 12 分）已知椭圆上两个不一样的点A ， B 对于直线y=mx+对称．（1）务实数 m 的取值范围；（2）求△ AOB 面积的最大值（ O 为坐标原点）．21．（ 12 分）已知f（ x） =e ﹣，此中 e 为自然对数的底数．（1）设g（ x） =（ x+1） f ′（ x）（此中 f ′（ x）为f（ x）的导函数），判断g（ x）在（﹣1，+∞）上的单一性；（2）若 F（ x） =ln （ x+1）﹣ af（ x）+4 无零点，试确立正数 a 的取值范围．[ 选修4-4：坐标系与参数方程]22．（ 10 分）在直角坐标系xoy 中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ ）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ ）已知直线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t≠ 0），l 与C1交与点A ， l 与C2交与点 B ，且 |AB|= ，求α的值．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]23．已知函数 f （ x） =|2x﹣ 1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式 f（ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，务实数 a 的取值范围；（Ⅱ）设 m＞ 0， n＞ 0 且 m+n=1 ，求证：．2017 年甘肃省河西五市部分一般高中高考数学一模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．已知会合A={x||x| ＜2}，B={ ﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0， 1} B．{0， 1，2} C． { ﹣1， 0， 1} D．{ ﹣1，0，1， 2} 【考点】交集及其运算．【剖析】先求出会合 A 和 B ，由此利用交集的定义能求出 A ∩ B．【解答】解：∵会合A={x||x| ＜ 2}={x| ﹣ 2＜x＜ 2} ，B={ ﹣1， 0， 1， 2， 3} ，∴A ∩B={ ﹣ 1，0，1}．应选： C．【评论】此题考察交集的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意交集定义的合理运用．2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC= （）A．30°B．45°C． 60° D ．120 °【考点】数目积表示两个向量的夹角．【剖析】依据向量的坐标即可求出，及的值，从而依据向量夹角余弦公式即可求出【解答】解：cos∠ ABC 的值，依据∠，ABC 的范围即可得出∠；ABC 的值．∴；又 0°≤∠ ABC ≤ 180°；∴∠ ABC=30° ．应选 A．【评论】考察向量数目积的坐标运算，依据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．3．已知，，，则实数 a，b，c 的大小关系是（）A ． a＞ c＞ b B ． b＞ a＞ c C． a＞ b＞c D ．c＞ b＞ a【考点】对数值大小的比较．【剖析】化简= ，= = ，= =，从而得出．【解答】解：∵=，==，= =，而 0＜＜2，∴a＞ b＞ c．应选： C．【评论】此题考察了函数的单一性、指数函数与对数函数的单一性、微积分基本定理，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设 i 为虚数单位，则（x+i ）6的睁开式中含x4的项为（）A ．﹣ 15x4B ． 15x4 C．﹣ 20ix 4 D ．20ix 4【考点】二项式系数的性质．【剖析】利用二项睁开式的通项公式即可获得答案．【解答】解：（x+i ）6的睁开式中含x4的项为x4?i2=﹣15x4，应选： A．【评论】此题考察二项式定理，深刻理解二项睁开式的通项公式是快速作答的重点，属于中档题．5．已知随机变量 Z～ N（ 1， 1），其正态散布密度曲线以下图，若向正方形OABC 中随机扔掷 10000 个点，则落入暗影部分的点的个数的预计值为（）2附：若 Z～ N （μ，σ），则 P（μ﹣σ＜ Z≤ μ+σ）；P（μ﹣ 2σ＜ Z≤μ+2σ）；P（μ﹣3σ＜ Z≤ μ+3σ）．A ． 6038B ． 6587C． 7028 D ．7539 【考点】正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义．【剖析】求出P（ 0＜ X ≤1） =1﹣× 0.6826=1﹣，即可得出结论．【解答】解：由题意P（ 0＜X ≤ 1） =1﹣× 0.6826=1﹣，则落入暗影部分点的个数的预计值为10000× 0.6587=6587 ．应选： B．【评论】此题考察正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义，考察正态散布中两个量μ σ和的应用，考察曲线的对称性，属于基础题．6．函数，则f（x）的最大值是（）A．0B．2C．1D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【剖析】议论当x＞ 0 时，运用一次函数的单一性，可得f（x）的范围；当x≤ 0 时，求出 f （x）的导数，单一区间和极大值，也为最大值，即可获得所求最大值．【解答】解：当x＞0 时， f（ x）=1﹣ 2x 递减，可得 f（ x）＜ 1；当 x≤ 0 时， f （x） =x 3﹣ 3x，导数 f ′（x） =3x 2﹣ 3=3（ x﹣ 1）（ x+1 ），当﹣ 1＜ x＜0 时， f ′（ x）＜ 0， f（ x）递减；当 x＜﹣ 1 时， f ′（ x）＞ 0，f （ x）递加．可得 x= ﹣ 1 处 f（ x）获得极大值，且为最大值﹣1+3=2．则 f （x）的最大值为2．应选： B．【评论】此题考察分段函数的运用：求最值，注意考虑各段的最值，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考察分类议论的思想方法，以及判断比较能力，属于中档题．7．要丈量电视塔AB 的高度，在 C 点测得塔顶的仰角是45°，在 D 点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m ，则电视塔的高度是（）A ． 30mB ． 40m C．m D ．m【考点】解三角形的实质应用．【剖析】设出AB=x ，从而依据题意将BD、DC 用x 来表示，而后在△DBC 中利用余弦定理成立方程求得x，即可获得电视塔的高度．【解答】解：由题题意，设AB=x ，则 BD= x， BC=x在△ DBC 中，∠ BCD=120°， CD=40 ，∴依据余弦定理，得BD 2 =BC 2+CD 2﹣2BC?CD?cos∠ DCB即：（2 2 2﹣2× 40?x?cos120°x） =（ 40）+x整理得 x2﹣ 20x﹣ 800=0，解之得x=40 或 x=﹣ 20（舍）即所求电视塔的高度为40 米．应选 B．【评论】此题给出实质应用问题，求电视塔的高度．侧重考察认识三角形的实质应用的知识，考察了运用数学知识、成立数学模型解决实质问题的能力．8．设 p：实数 x， y 知足（ x﹣ 1）2 +（ y﹣ 1）2≤2， q：实数 x， y 知足，则p是q的（）A ．必需不充足条件B ．充足不用要条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件【考点】简单线性规划的应用；必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】画出p， q 表示的平面地区，从而依据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（ x﹣ 1）2+（ y﹣ 1）2≤ 2 表示以（ 1，1）为圆心，以为半径的圆内地区（包括界限）；知足的可行域如图有暗影部分所示，故 p 是 q 的必需不充足条件，应选： A【评论】此题考察的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．9．设O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线y2=2px （ p＞ 0）上随意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF| ，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．B ．C． D ．1【考点】抛物线的简单性质．【剖析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，联合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），明显当 y0＜0， k OM＜ 0；当 y0＞ 0， k OM＞0．要求 k OM的最大值，设y0＞ 0，则= + =+=+（﹣）=+=（+，），可得 k OM ==≤=，当且仅当y02 =2p2，获得等号．应选： C．【评论】此题考察抛物线的方程及运用，考察直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考察运算能力，属于中档题．10．已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】依据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积．【解答】解：做出几何体的直观图以下图：此中底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， AE ， DF 为底面的垂线，且 AE=2 ， DF=1 ，∴V=V E﹣ABC +V C﹣ADFE =+=．应选 D．【评论】此题考察了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题．11．已知定义在R上的偶函数f（ x）在 [0，+∞）上递减，若不等式 f（ x3﹣x2+a）+f（﹣ x3+x 2 ﹣a）≥ 2f（ 1）对x∈ [0，1] 恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A ． [ ，1] B．[﹣， 1] C．[1，3] D ．（﹣∞1]【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单一性的综合．【剖析】依据函数奇偶性和单一性的关系将不等式进行转变，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R 上的偶函数f（ x）在 [0， +∞）上递减，∴不等式 f （ x3﹣ x2+a）+f （﹣ x3+x 2﹣ a）≥ 2f（ 1）等价为 2f（ x3﹣ x2+a）≥ 2f（ 1）即 f （x3﹣ x2+a）≥ f（ 1）对 x∈ [0， 1]恒成立，3 2即﹣ 1≤ x ﹣ x +a≤1 对 x∈ [0， 1]恒成立，即﹣ 1﹣ a≤x3﹣x2≤ 1﹣ a 对 x∈ [0， 1]恒成立，设 g（ x）=x 3﹣x2，则 g′（ x） =3x2﹣2x=x （ 3x﹣ 2），则 g（ x）在 [0，）上递减，在（，1]上递加，∵g（ 0） =g（ 1） =0，g（） =﹣，∴g（ x）∈ [﹣，0]，即即，得﹣≤ a≤ 1，应选： B．【评论】此题主要考察不等式恒成立问题，依据函数奇偶性和单一性的性质将不等式进行转化，利用参数分别法联合导数法，结构函数求函数的最值是解决此题的重点．12．已知函数 f（ x）=sin（ωx+φ）（ω＞0， |φ|≤）， x= ﹣为 f（ x）的零点， x= 为y=f （ x）图象的对称轴，且 f （ x）在（，）上单一，则ω的最大值为（）A．11 B ． 9 C． 7 D ．5【考点】正弦函数的对称性．【剖析】依据已知可得ω为正奇数，且ω≤ 12，联合 x=﹣为 f（x）的零点， x= 为 y=f（x）图象的对称轴，求出知足条件的分析式，并联合 f （x）在（，）上单一，可得ω的最大值．【解答】解：∵ x= ﹣为 f（ x）的零点， x= 为 y=f （ x）图象的对称轴，∴，即，（ n∈ N）即ω=2n+1，（ n∈ N）即ω为正奇数，∵f （x）在（，）上单一，则﹣= ≤，即 T= ≥，解得：ω≤ 12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈ Z，∵|φ|≤，φ=，∴ ﹣此时 f（ x）在（，）不但一，不知足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ， k∈ Z ，∵|φ|≤，∴φ=，此时 f（ x）在（，）单一，知足题意；故ω的最大值为9，应选： B【评论】此题考察的知识点是正弦型函数的图象和性质，此题转变困难，难度较大．一．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .13．如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是9．【考点】程序框图．【剖析】依据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运转过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9 时，不知足a＞ b，故 a=5， b=7 ，当 a=5， b=7 时，不知足 a＞ b，故 a=9， b=5当 a=9， b=5 时，知足 a＞ b，故输出的 a 值为 9，故答案为： 9【评论】此题考察的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采纳模拟程序法进行解答．14．已知双曲线E：﹣=1（ a＞ 0， b＞ 0），若矩形ABCD 的四个极点在E 上， AB ，CD 的中点为 E 的两个焦点，且2|AB|=3|BC| ，则 E 的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】可令 x=c ，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A ，B ，C，D 的坐标，由 2|AB|=3|BC| ，可得 a，b， c 的方程，运用离心率公式计算即可获得所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=± b=±，由题意可设 A （﹣ c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由 2|AB|=3|BC| ，可得2?=3?2c，即为 2b2=3ac，由 b2=c2﹣a2，e= ，可得 2e2﹣ 3e﹣ 2=0，解得 e=2（负的舍去）．故答案为： 2．【评论】此题考察双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的重点，考察运算能力，属于中档题．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是144cm．【考点】棱台的结构特色．【剖析】设圆台的侧面睁开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x ，由三角形相像求出x=96 cm ．推导出△ BOB′为正三角形，由此能示出矩形铁皮长边的最小值．【解答】解：如图，设圆台的侧面睁开图的圆心角∠AOA′=α， OA=x ，由三角形相像可得，解得 x=96 cm ．则=，解得α=60°，所以△ BOB′为正三角形，则 BB′=OB=96+48=144 cm ．由下列图可知，矩形铁皮长边的最小值为144 cm．故答案为： 144cm．是中档题，解题时要要仔细审题，注意圆【评论】此题考察矩形铁皮长边的最小值的求法，台的性质的合理运用．16．定义“规范 01 数列”{a n} 以下： {a n} 共有 2m 项，此中m 项为 0， m 项为 1，且对随意 k ≤2m， a ， a a中 0 的个数许多于 1 的个数．若 m=4，则不一样的“规范 01 数列”共有141 2 k个．【考点】摆列、组合的实质应用．【剖析】由新定义可得，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为1，当 m=4 时，数列中有四个 0 和四个1，而后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，若 m=4 ，说明数列有 8 项，知足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1， 0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0， 0， 1， 1， 1， 0，1；0， 0， 1，0， 0， 1，1， 1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0， 1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0， 1， 1， 0， 0， 1，1；0， 1， 0，0， 0， 1，1， 1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0， 1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1， 0， 1， 0， 1， 0，1．共 14 个．故答案为14【评论】此题是新定义题，考察数列的应用，重点是对题意的理解，列举时做到不重不漏，是压轴题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（ 12 分）（ 2016?江苏）记U={1 ，2，，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若 T= ?，定义 S T=0 ；若 T={t 1， t2，，t k} ，定义S T=++ +．比如：T={1，3，66} 时，S T=a1 +a3+a66．现设 {a n}（ n∈ N*）是公比为 3 的等比数列，且当 T={2 ，4} 时，S T=30 ．（1）求数列 {a n} 的通项公式；（2）对随意正整数k（ 1≤ k≤ 100），若 T ? {1 ， 2，，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设 C? U， D? U ，S C≥ S D，求证： S C+S C∩D≥ 2S D．【考点】数列的应用；会合的包括关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【剖析】（1）依据题意，由S T的定义，剖析可得S T =a2+a4=a2+9a2=30 ，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）依据题意，由 S T的定义，剖析可得2 k ﹣1，由等比数列的前S T≤ a1+a2+ a k=1+3+3 + +3n 项和公式计算可得证明；（3）设 A= ?C（ C∩D ）， B= ?D（C∩D ），则 A ∩ B= ?，从而剖析能够将原命题转变为证明S C≥ 2S B，分 2 种状况进行议论：①、若B= ?，②、若 B≠ ?，能够证明获得 S A≥ 2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当 T={2 ， 4} 时， S T=a2+a4=a2+9a2=30 ，所以 a2=3，从而 a1 = =1，故 a n=3n﹣1，（2） S T≤ a1+a2+ a k=1+3+3 2 + +3 k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设 A= ?C（ C∩ D）， B= ?D（C∩ D），则 A ∩B= ?，剖析可得 S C=S A +S C∩D， S D=S B+S C∩D，则 S C+S C∩D﹣ 2S D =S A﹣ 2S B，所以原命题的等价于证明 S C≥2S B，由条件 S C≥ S D，可得 S A≥ S B，①、若 B=?，则 S B =0，故 S A≥2S B，②、若 B≠ ?，由 S A≥ S B可得 A ≠?，设 A 中最大元素为l， B 中最大元素为m，若 m≥ l+1 ，则其与S A＜ a i+1≤a m≤ S B相矛盾，因为 A ∩B= ?，所以 l≠ m，则 l≥ m+1，2 m﹣1≤=，即S A≥ 2S B，S B≤ a1+a2+ a m=1+3+3 + +3 =综上所述， S A≥2S B，故 S C+S C∩D≥ 2S D．【评论】此题考察数列的应用，波及新定义的内容，解题的重点是正确理解题目中对于新定义的描绘．18．（ 12 分）（ 2017?甘肃一模）如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中，AD ∥ BC，∠ ADC= ∠ PAB=90°，BC=CD= AD ． E 为棱 AD 的中点，异面直线PA 与 CD 所成的角为90°．（Ⅰ）在平面 PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面 PBE ，并说明原因；（Ⅱ）若二面角P﹣CD ﹣ A 的大小为45°，求直线PA 与平面 PCE 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判断．【剖析】（ I）延伸 AB 交直线 CD 于点 M ，由点 E 为 AD 的中点，可得AE=ED=AD ，由BC=CD= AD ，可得 ED=BC ，已知 ED∥ BC ．可得四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD．利用线面平行的判断定理证明得直线CM ∥平面 PBE 即可．（I I ）以下图，由∠ ADC= ∠ PAB=90°，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°AB ∩ CD=M ，可得 AP⊥平面 ABCD ．由 CD⊥PD，PA⊥ AD ．所以∠ PDA 是二面角 P﹣ CD﹣ A 的平面角，大小为 45°．PA=AD ．不如设 AD=2 ，则 BC=CD=AD=1 ．可得 P（ 0， 0，2）， E（ 0， 1，0）， C（﹣ 1， 2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（ I ）延伸 AB 交直线 CD 于点 M ，∵点 E 为 AD 的中点，∴ AE=ED=AD ，∵BC=CD=AD ，∴ ED=BC ，∵AD ∥ BC ，即 ED ∥ BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥ CD．∵AB ∩ CD=M ，∴ M ∈ CD ，∴ CM ∥ BE，∵BE ? 平面 PBE，∴ CM ∥平面 PBE，∵M∈AB，AB ? 平面 PAB，∴M ∈平面 PAB ，故在平面PAB 内能够找到一点 M （M=AB ∩ CD），使得直线CM ∥平面PBE．（I I ）以下图，∵∠ ADC= ∠ PAB=90°，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°，AB ∩ CD=M ，∴AP ⊥平面ABCD ．∴CD ⊥ PD，PA⊥ AD ．所以∠ PDA 是二面角 P﹣ CD ﹣A 的平面角，大小为45°．∴PA=AD ．不如设 AD=2 ，则 BC=CD= AD=1 ．∴ P（ 0， 0， 2）， E（ 0，1， 0）， C（﹣ 1， 2， 0），∴ =（﹣ 1， 1， 0），=（0， 1，﹣ 2），=（ 0， 0， 2），设平面 PCE 的法向量为 = （ x， y，z），则，可得：．令 y=2 ，则 x=2 ， z=1，∴ =（ 2，2， 1）．设直线 PA 与平面 PCE 所成角为θ，则 sin θ====．【评论】此题考察了空间地点关系、空间角计算公式、法向量的性质，考察了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（ 12 分）（ 2017?甘肃一模）如图是我国2008 年至 2014 年生活垃圾无害化办理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系，请用有关系数加以说明；（Ⅱ ）成立 y 对于 t 的回归方程（系数精准到0.01 ），展望 2017 年我国生活垃圾无害化处理量．参照数据：y i=9.32 ，t i y i=40.17 ，，≈ ．参照公式：有关系数r=回归方程= + t 中斜率和截距的最小二乘预计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【剖析】（Ⅰ）由折线图看出，y 与 t 之间存在较强的正有关关系，将已知数据代入有关系数方程，可得答案；（Ⅱ）依据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017 年对应的t 值为 10，代入可展望 2017 年我国生活垃圾无害化办理量．【解答】解：（Ⅰ）由折线图看出， y 与 t 之间存在较强的正有关关系，∵y i=9.32 ，t i y i=40.17 ，，∴r ≈≈ ，∵＞，故 y 与 t 之间存在较强的正有关关系；（Ⅱ ）由≈ 1.331 及（Ⅰ）得 = ≈，=1.331 ﹣×．所以， y 对于 t 的回归方程为：=0.92+0.10t ．将 2017 年对应的t=10 代入回归方程得：=0.92+0.10 ×所以展望2017 年我国生活垃圾无害化办理量将约 1.92 亿吨．【评论】此题考察的知识点是线性回归方程，考察线性有关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要仔细．20．（12 分）（ 2015?浙江）已知椭圆上两个不一样的点A ，B 对于直线y=mx+对称．（1）务实数 m 的取值范围；（2）求△ AOB 面积的最大值（ O 为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【剖析】（ 1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣ my+n ，代入椭圆方程可得（2 2 m +2 ） y﹣2mny+n 2﹣ 2=0 ，设 A （x ，y ）， B（ x ， y ）．可得△＞ 0，设线段 AB 的中点 P（ x ，1 12 2 0y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线 y=mx+ ，可得，代入△＞ 0，即可解出．（2）直线 AB 与 x 轴交点横坐标为n，可得 S△OAB = ，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x= ﹣ my+n ，代入椭圆方程，可得（ m2+2） y2﹣ 2mny+n2﹣2=0 ，设 A （ x1， y1）， B（ x2， y2）．由题意，△ =4m 2n2﹣ 4（ m2+2）（ n2﹣ 2） =8（ m2﹣n2+2 ）＞0，设线段AB 的中点 P（x0， y0），则． x0 =﹣m×+n= ，因为点P 在直线 y=mx+ 上，∴= + ，∴，代入△＞ 0，可得 3m4 +4m2﹣ 4＞0，解得 m2 ，∴或 m ．（2）直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n，∴S△OAB = = |n|? = ，由均值不等式可得：n2（m2﹣ n2 +2）= ，∴S△AOB = ，当且仅当n2=m2﹣ n2+2 ，即2n2=m 2+2，又∵，解得m= ，当且仅当 m= 时， S△AOB获得最大值为．【评论】此题考察了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆订交问题转变为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直均分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考察了推理能力与计算能力，属于难题．21．（ 12 分）（ 2017?甘肃一模）已知f（ x） =e ﹣，此中 e 为自然对数的底数．（1）设g x）=（x+1 f ′ x）（此中f ′ x）为f x）的导函数），判断g x）在（﹣1 （）（（（（，+∞）上的单一性；（2）若 F（ x） =ln （ x+1）﹣ af（ x）+4 无零点，试确立正数 a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单一性；函数零点的判断定理．【剖析】（ 1）对函数 f （x）求导后知g（x），对 g（ x）求导后获得单一性．（2）利用导函数求得F（ x）的单一性及最值，而后对a分状况议论，利用F（ x）无零点分别求得 a 的取值范围，再取并集即可．【解答】解：（1）∵ f （x） =e﹣，∴f ′（ x）=﹣，∴g（ x） =（x+1）（﹣），∴g′（x） =[ （ x+3）﹣1]，当 x＞﹣ 1 时， g′（ x）＞ 0，∴g（ x）在（﹣ 1，+∞）上单一递加．（2）由 F（ x） =ln （ x+1）﹣ af（ x）+4 知， F′（x） =（﹣g（x）），1，+∞）由（ 1）知， g（ x）在（﹣ 1，+∞）上单一递加，且g（﹣ 1） =0 可知当x∈（﹣时， g（ x）∈（ 0，+∞），则 F′（ x） =（﹣g（x））有独一零点，设此零点为x=t ，易知 x∈（﹣ 1，t ）时， F′（ x）＞ 0， F（ x）单一递加；x∈（ t， +∞）时， F′（ t）＜ 0． F（ x）单一递减．知 F（ x）max=F（ t） =ln （ t+1 ）﹣ af（ t） +4 ，此中a= ，令 G（ x） =ln （ x+1 ）﹣+4，则 G′（ x） = ，易知f（ x）＞ 0 在（﹣1， +∞）上恒成立，∴G′（ x）＞ 0， G（ x）在（﹣1， +∞）上单一递加，且G（0） =0，①当0＜ a＜4 时， g（t） = ＞=g （ 0），由 g（ x）在（﹣1，+∞）上单一递加，知t＞ 0，则F（ x）max=F（ t） =G （ t）＞ G（0） =0，由 F（ x）在（﹣ 1， t）上单一递加，﹣1＜ e﹣4﹣ 1＜0＜ t， f （x）＞ 0，g（ t）＞ 0 在（﹣ 1，+∞）上均恒成立，则 F（ e﹣4﹣ 1） =﹣af（e﹣4﹣ 1）＜0，∴F（ t） F（ e﹣4﹣ 1）＜ 0∴F（ x）在（﹣ 1， t）上有零点，与条件不符；②当 a=4 时， g（ t） = = =g（ 0），由 g（x）的单一性可知t=0 ，则 F（ x）max=F（ t） =G （ t） =G （0） =0，此时 F（ x）有一个零点，与条件不符；③当 a＞ 4 时， g（ t） =＜=g（ 0），由 g（ x）的单一性知t＜0，则 F（ x）max=F（ t） =G （ t）＜ G（ 0） =0 ，此时 F（ x）没有零点．综上所述，当 F（ x）=ln（ x+1 ）﹣ af（ x）+4 无零点时，正数 a 的取值范围是a∈（ 4，+∞）．【评论】此题考察函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]22．（ 10 分）（ 2017?甘肃一模）在直角坐标系xoy 中，曲线 C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ ）将曲线 C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ ）已知直线 l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数， t≠ 0），l 与 C1交与点A ， l 与 C2交与点B ，且 |AB|= ，求α的值．【考点】参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．【剖析】（1）将曲线 C1的方程化为一般方程，而后转变求解C1的极坐标方程．（2）曲线 l 的参数方程为（＜α＜π， t 为参数， t≠ 0），化为 y=xtan α．由题意可得： |OA|=ρ，即可得出．1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=【解答】解：（1）曲线 C1的参数方程为（β为参数）．可得（ x﹣2 2， x= ρ cos，θy= ρ sin，θ1）+y =1∴C1的极坐标方程为2ρ﹣ 2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）曲线 l 的参数方程为（＜α＜π， t 为参数， t≠ 0），化为 y=xtan α．由题意可得： |OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|= ，∴|OA| ﹣ |OB|=﹣ 2cosα=，即 cosα=﹣．又＜α＜π，∴α=．【评论】此题考察了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为一般方程、两点之间的距离、圆的性质，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．[ 选修 4-5：不等式选讲]23．（ 2017?甘肃一模）已知函数f（ x） =|2x﹣ 1|+|2x+1|．（Ⅰ ）若不等式f（ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，务实数 a 的取值范围；（Ⅱ ）设 m＞ 0， n＞ 0 且 m+n=1 ，求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【剖析】（Ⅰ ）求出f（ x）的最小值，不等式f（ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，可得a2﹣2a﹣ 1 ≤2，即可务实数 a 的取值范围；（Ⅱ ）要证：成立，只要证+ ≤ 2 ，利用剖析法的证明步骤，联合基本不等式证明即可．【解答】（Ⅰ）解： f（x） =|2x﹣ 1|+|2x+1≥ |（ 2x﹣1）﹣（ 2x+1） |=2，∵不等式 f （ x）≥ a2﹣ 2a﹣ 1 恒成立，∴a2﹣2a﹣ 1≤ 2，∴a2﹣2a﹣ 3≤ 0，∴﹣ 1≤ a≤3；（Ⅱ ）要证：成立，只要证+ ≤ 2 ，两边平方，整理即证（2m+1 ）（ 2n+1）≤ 4，即证 mn≤，又 m+n=1 ，∴mn≤=．故原不等式成立．【评论】此题考察剖析法证明不等式的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的性质，考查逻辑推理能力以及计算能力．。
2017年甘肃省张掖市肃南一中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
（1）求证：平面 ABD⊥平面 BCD； （2）求二面角 F﹣DG﹣C 的余弦值．
20． （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，F1、F2 分别为椭圆 C：
＝1（a
＞b＞0）的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 是椭圆 C 上的一点，满足 ，且△EF1F2 的周长为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 M 是线段 OF2 上的一点，过点 F2 且与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点，若△MPQ 是以 M 为顶点的等腰三角形，求点 M 到直线 l 距离 的取值范围． 21． （12 分）设函数 f（x）＝aex（x+1） （其中 e＝2.71828…） ，g（x）＝x2+bx+2， 已知它们在 x＝0 处有相同的切线． （Ⅰ）求函数 f（x） ，g（x）的解析式； （Ⅱ）求函数 f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值； （Ⅲ）若对∀x≥﹣2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数 k 的取值范围．
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．
请考生在第（22） 、 （23） （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分， 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑， 把答案填在 答题卡上．[选修 4-3 坐标系与参数方程] ，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ
18． （12 分）2015 年 9 月 3 日，抗战胜利 70 周年纪念活动在北京隆重举行，受 到全国人民的瞩目．纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚 会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这 三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如表所示：
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11． （5 分）如图，半圆的直径 AB＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于 A、B 的任 意一点，若 P 为半径 OC 上的动点，则 的最小值为（ ）
2017年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)含答案解析
2017年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}，则A∪B（）A．{1} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{1，2}D．{0，1，2，3}2．已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．192石C．1367石 D．1164石4．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）A．m⊥l，m⊂αB．m⊥l，m∥αC．m∥l，m∩α≠∅ D．m⊥l，m⊥α5．在等差数列{a n}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，S n是数列{a n}的前n项和，则S2017=（）A．6051 B．4034 C．2017 D．10096．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2π B．8+2π C．4+πD．8+π7．若圆x2+y2+4x﹣2y﹣a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=（）A．±2 B．﹣2 C．±4 D．48．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.99．已知实数x，y满足且ax﹣y+1﹣a=0，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，]C．（﹣1，]D．[﹣，]10．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，1）C．（，1）D．（，0）11．设抛物线K：x2=2py（p＞0），焦点为F，P是K上一点，K在点P处的切线为l，d为F到l的距离，则（）A．=p B．=p C．=2p D．=12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）+﹣f（x）﹣f（y）=0，若一族平行线x=x i（i=1，2，…，n）分别与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），成等比数列，其中i=1，2，…，（x2，y2），…，（x n，y n），且x i，2f（1），x n﹣i+1n，则=（）A．2n B．1 C．D．二、填空题（每小题5分）13．已知向量=（1，﹣1），•=0，|﹣|=2，则||=．14．已知（a+）6（a＞0）展开式中的常数项是5，则a=．15．已知函数f（x）=若方程f（x）﹣a=0有唯一解，则实数a 的取值范围是．16．设数列{a n}满足：a1=1，a n=e2a n（n∈N*），﹣=n，其中符号Π表示+1连乘，如i=1×2×3×4×5，则f（n）的最小值为．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的两根．（1）求角A的大小；（2）已知a=，设B=θ，△ABC的面积为y，求y=f（θ）的最大值．18．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单词充电后能行驶的最大里程，R∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程； （2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）．19．如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1． （1）若M 为PA 中点，求证：AC ∥平面MDE ； （2）若平面PAD 与PBC 所成的锐二面角的大小为，求线段PD 的长度．20．已知椭圆E ：x 2+3y 2=m 2（m ＞0）的左顶点是A ，左焦点为F ，上顶点为B ．（1）当△AFB 的面积为时，求m 的值；（2）若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点（不同于A ），以线段MN 为直径的圆过A 点，试探究直线l 是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．21．已知函数f （x ）=（x 2﹣x ﹣1）e x ．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．2017年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．已知集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}，则A∪B（）A．{1} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{1，2}D．{0，1，2，3}【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}={﹣1，0，1，2，}，∴A∪B={﹣1，01，1，2，3}．故选：B．2．已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：=1+i，∴z+2=i﹣1，化为：z=﹣3+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（﹣3，1）．故选：A．3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．192石C．1367石 D．1164石【考点】简单随机抽样．【分析】根据224粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1536×=192石，故选：B．4．已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）A．m⊥l，m⊂αB．m⊥l，m∥αC．m∥l，m∩α≠∅ D．m⊥l，m⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：设过l和l在平面α内的射影的平面为β，则当m⊥β时，有m⊥l，m∥α或m⊂α，故A，B正确．若m∥l，则m与平面α所成的夹角与l与平面α所成的夹角相等，即m与平面α斜交，故C正确．若m⊥α，设l与m所成的角为θ，则0＜θ＜．即m与l不可能垂直，故D 错误．故选：D．5．在等差数列{a n}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，S n是数列{a n}的前n项和，则S2017=（）A．6051 B．4034 C．2017 D．1009【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a1+a2017的值，由等差数列的前n项和公式求出S2017的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，因为a1+a2=1，a2016+a2017=3，所以a1+a2017=a2+a2016=2，所以S2017==2017，故选C．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2π B．8+2π C．4+πD．8+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．【解答】解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．∴该几何体的体积V==8+．故选：D．7．若圆x2+y2+4x﹣2y﹣a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=（）A．±2 B．﹣2 C．±4 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心和半径，根据弦长公式进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5+a2，r2=5+a2，则圆心（﹣2，1）到直线x+y+5=0的距离为=2，由12+（2）2=5+a2，得a=±2，故选：A．8．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出S=+的值，结合选项，只有当S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．9．已知实数x，y满足且ax﹣y+1﹣a=0，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，]C．（﹣1，]D．[﹣，]【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，推出a的表达式，利用不等式的几何意义，求解范围即可．【解答】解：实数x，y满足的可行域如图：可知x≤﹣1，由ax﹣y+1﹣a=0，可得：a=，它的几何意义是可行域内的点与D（1，1）连线的斜率，由图形可知连线的斜率的最大值为K BD==．最小值大于与直线x+y=0平行时的斜率．可得a∈（﹣1，]．故选：C．10．已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，1）C．（，1）D．（，0）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．【解答】解：∵f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，∴将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，可得：g（x）=sin[2（x﹣）+]+1=sin2x+1，∴令2x=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，∴当k=﹣1时，可得函数的图象的对称中心为（﹣，1），故选：A．11．设抛物线K：x2=2py（p＞0），焦点为F，P是K上一点，K在点P处的切线为l，d为F到l的距离，则（）A．=p B．=p C．=2p D．=【考点】抛物线的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则K在点P处的切线方程为l：y﹣y0=（x﹣x0），再根据点到直线的距离公式，化简计算即可得到．【解答】解：设P（x0，y0），则K在点P处的切线方程为l：y﹣y0=（x﹣x0），则x02=2py0，得l：x0x﹣py﹣py0=0，又F（0，），所以d====•⇒=，故选：D12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）+﹣f（x）﹣f（y）=0，若一族平行线x=x i（i=1，2，…，n）分别与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），且x i，2f（1），x n成等比数列，其中i=1，2，…，﹣i+1n，则=（）A ．2nB ．1C ．D ．【考点】抽象函数及其应用．【分析】利用x i ，2f （1），x n ﹣i +1成等比数列，得x i x n ﹣i +1=1，f （x i ）+f （x n ﹣i +1）=f （x i x n ﹣i +1）+=1，求出2=1+1+…+1=n ，即可得出结论．【解答】解：由题意，f （1）=， ∵x i ，2f （1），x n ﹣i +1成等比数列， ∴x i x n ﹣i +1=1，∴f （x i ）+f （x n ﹣i +1）=f （x i x n ﹣i +1）+=1，∴2=1+1+…+1=n ，∴=故选：C ．二、填空题（每小题5分）13．已知向量=（1，﹣1），•=0，|﹣|=2，则||= ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：∵向量=（1，﹣1）=， •=0，∴|﹣|2=||2﹣2+||2=4，∴||2=2，∴||=，故答案为：14．已知（a+）6（a ＞0）展开式中的常数项是5，则a=．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出展开式的常数项的表达式，列方程求出a的值．【解答】解：（a+）6（a＞0）展开式中，通项公式为：T r=••=a6﹣r•••，+1令3﹣=0，解得r=2；∴展开式的常数项是a4••=5，解得a=±；又a＞0，∴a=．故答案为：．15．已知函数f（x）=若方程f（x）﹣a=0有唯一解，则实数a 的取值范围是（1，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题知f（x）为分段函数，当x大于0时，由f（x）=f（x﹣1）可知当x大于1时，f（x）=0，小于1大于0时函数为减函数；当x小于等于0时函数为减函数，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，当a＞1时，函数y=f（x）的图象与函数y=a的图象有唯一个交点，即方程f（x）﹣a=0有唯一解，．故答案为（1，+∞）．16．设数列{a n}满足：a1=1，a n=e2a n（n∈N*），﹣=n，其中符号Π表示+1连乘，如i=1×2×3×4×5，则f（n）的最小值为﹣．【考点】数列递推式．（n∈N*），可得a n=e﹣2（n﹣1）.﹣=n，化为：f（n）【分析】a1=1，a n=e2a n+1==．考查函数f（x）=的单调性，利用导数研究其单调性即可得出．（n∈N*），∴a n=e﹣2（n﹣1）．【解答】解：∵a1=1，a n=e2a n+1﹣=n，化为：f（n）==．考查函数f（x）=，f′（x）=（4x2﹣12x+3）•，令f′（x）=0，解得x1=，x2=，∴0＜x1＜1，2＜x1＜3．当x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；当x＞x2时，f′（x）＞0．即f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，∴h（x）min=h（x2），即f（n）min=min{f（2），f（3）}，f（2）=＞f（3）=﹣．∴f（n）min=f（3）=﹣．故答案为：﹣．三、解答题17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的两根．（1）求角A的大小；（2）已知a=，设B=θ，△ABC的面积为y，求y=f（θ）的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知化简可得：b2+c2=a2+bc，利用余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由已知及正弦定理可得b=2sinθ，c=2sin（﹣θ），利用，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用化简可求y=sin（2θ﹣）+，由0＜θ＜，可得范围﹣＜2θ﹣＜，利用正弦函数的图象可求最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，由题意可得：bc=﹣a2+b2+c2，可得：b2+c2=a2+bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=．…6分（2）由a=，A=及正弦定理可得：，∴b=2sinB=2sinθ，c=2sinC=2sin（﹣B）=2sin（﹣θ），∴y=bcsinA=sinθsin（﹣θ）=sinθ（cosθ+sinθ）=sin2θ﹣cos2θ+=sin（2θ﹣）+，由于0＜θ＜，可得：﹣＜2θ﹣＜，∴当2θ﹣=，即θ=时，y max=．…12分18．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R （单词充电后能行驶的最大里程，R ∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程； （2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E （ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由表格分别求出第一组、第二组、第三组、第四组的频率，由此利用频率分布直方图能估计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程．（2）由题意知ξ的可能取值为2，3.6，4.4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表格知第一组的频率为0.1，第二组的频率为，第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.15，∴频率分布直方图估计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程为：125×0.1+175×0.35+225×0.4+275×0.15=205（公里）．（2）由题意知ξ的可能取值为2，3.6，4.4，P（ξ=2）=0.1，P（ξ=3.6）=0.75，P（ξ=4.4）=0.15，∴ξ的分布列为：Eξ=2×0.1+3.6×0.75+4.4×0.15=3.56．19．如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1．（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（2）若平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，求线段PD的长度．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）设PC交DE于点N，连结MN，MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDE．（2）设PD=a，（a＞0），推导出PD⊥平面ABCD，以D为原点，DA，DC，DP 所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段PD的长度．【解答】证明：（1）设PC交DE于点N，连结MN，在△PAC中，∵M，N分别是PA，PC的中点，∴MN∥AC，又AC⊄平面MDE，MN⊂平面MDE，∴AC∥平面MDE．解：（2）设PD=a，（a＞0），∵四边形PDCE是矩形，四边形ABCD是梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD，又∵∠BAD=∠ADC=90°，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（1，1，0），C（0，2，0），，平面PAD的法向量=（0，1，0），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=a，得=（a，a，2），∵平面PAD与PBC所成的锐二面角的大小为，∴cos===，解得a=．∴线段PD的长度为．20．已知椭圆E：x2+3y2=m2（m＞0）的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B．（1）当△AFB的面积为时，求m的值；（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于A），以线段MN为直径的圆过A 点，试探究直线l是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）将椭圆方程转化成标准方程，则三角形AFB的面积S=b×（b﹣c），代入即可求得m的值；（2）设直线AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得M和N的方程，当l的斜率不存在时，显然可得k=1，求得圆心为P（﹣，0），当l的斜率存在时，由利用两点的斜率公式求得k PM=k PN，直线l是否过定点．【解答】解：（1）由椭圆方程：，则a=m，b=，c=，由三角形AFB的面积S，S=b×（b﹣c）=，则（m﹣）﹣，解得：m=，∴m的值为；（2）由线段MN过直径的圆过A点，则MA⊥NA，设直线AM的斜率为k（k＞0），则直线AN的斜率为﹣，AM为y=k（x+m），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3k2+1）x2+6k2mx+（3k2﹣1）m2=0，则x1（﹣m）=，则x1=，故y1=k（x1+m）=，则M（，），直线AN的方程为y=﹣（x+m），同理可得：N（，﹣），当l的斜率不存在时，显然可得k=1，此时M（﹣，），N（﹣，﹣），则圆心为P（﹣，0），由直线l总穿过x轴，证明当l的斜率存在时，也过点P（﹣，0），当l的斜率存在时，k PM===k PN（k＞0，k≠1），综上可知：l过定点（﹣，0）．21．已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题可化为e x﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=e x﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=（x2+x﹣2）e x=（x﹣1）（x+2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）方程a（+1）+ex=e x可化为e x﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=e x﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，易知g（0）=1，g（1）=0，g′（x）=e x﹣2ax+a﹣e，设g′（x）=h（x），则h′（x）=e x﹣2a，①a＜0时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（0）=1+a﹣e＜0，h（1）=﹣a＞0，即h（x）在区间（0，1）只有1个零点x1，故g（x）在（0，x1）递减，在（x1，1）递增，而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x1）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x1）内存在唯一零点；②当0≤a≤时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）无零点；③当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），∴h（x）在区间（0，ln（2a））上递减，在（ln（2a），1）递增，h（x）在区间（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣＜0，故＜a＜时，∀x∈（0，1），都有g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）内无零点；④a≥时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，1）递减，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞，则h（x）在区间（0，1）只有1个零点x2，故g（x）在（0，x2）递增，在（x2，1）递减，而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）无零点，若＜a时，则h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）内无零点，综上，a＜0时，方程a（+1）+ex=e x在（0，1）内有解．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）通过方程组求出P、Q坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），普通方程为（x﹣1）2+y2=1，（y＜0），极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈（﹣，0），曲线C2的参数方程为（t为参数），普通方程2x+y﹣6=0；（2）θ=﹣，，即P（，﹣）；θ=﹣代入曲线C的极坐标方程，可得ρ′=6，即Q（6，﹣），2∴|PQ|=6﹣=5．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值时x 的取值范围．（2）当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣（x﹣1）|=3，故函数f （x）=|x+2|+|x﹣1|的最小值为3，此时，﹣2≤x≤1．（2）函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|=，而函数y=﹣ax+1表示过点（0，1），斜率为﹣a的一条直线，如图所示：当直线y=﹣ax+1过点A（1，3）时，3=﹣a+1，∴a=﹣2，当直线y=﹣ax+1过点B（﹣2，3）时，3=2a+1，∴a=1，故当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，数形结合可得要求的a的范围为（﹣2，1）．2017年4月3日。
甘肃省2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．74．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列一定为真的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．48．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+39．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6B．35 C．4D．4011．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a______．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为______．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=______．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若P为椭圆上一动点，直线PM、PN的斜率记为k PM、k PN，且不为零，当直线l垂直于x轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集的定义求出N在全集中的补集∁U N，再求（∁U N）∩M即可．【解答】解：∵全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，∴∁U N={x|x＜2}则（∁U N）∩M={x|0≤x＜2}．故选：A．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质和对数运算法则求解．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，∴log3a l+log3a2+…+log3a8==4log39=8．故选：C．4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列一定为真的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】全称；特称．【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假；则其否定形式为真，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假；∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，将目标函数变形为y=﹣x+z，根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，由可行域可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线截距最大，即z最大，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线截距最小，即z最小．解方程组得x=4，y=5．∴z的最大值m=4+5=9．解方程组得x=1，y=2．∴z的最小值n=1+2=3．∴m﹣n=6．故选：B．6．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，根据向量的几何意义和几何知识求出夹角．【解答】解：设，，以，为邻边作平行四边形OACB，则=．∵||=||，∴四边形OACB是菱形．设OA=AC=1，则OC=．∴cos∠AOC==．∴∠AOC=30°．故选：D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出最长的棱，判断出该四面体各面中最大的面，由三角形的面积公式求出即可．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，最长棱为PC=PB=BC=2，其他棱长都小于2，∴△PBC是该四面体各面中最大的面，∴△PBC的面积S==2，故选：C．8．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+3【考点】程序框图．【分析】由程序设计意图可知，②处应求通项，有a=a﹣3，又由此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个正项即可，从而可求①处可填写：a＞0．【解答】解：由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，故②处应该填写a=a ﹣3，又因为此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最大值只需累加至最后一个正项即可，故①处可填写：a＞0．故选：A．9．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先判断出△ABC为以B为直角的直角三角形，进而求出△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程，代入点到直线距离公式，可得答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），∴=（3，1），=（3，﹣9），∴•=0，故⊥，故△ABC为以B为直角的直角三角形，故AC为△ABC的外接圆的直径，∵k AC==﹣，故△ABC的外接圆在点A处的切线l的斜率为，故△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程为y=（x+1），即3x﹣4y+3=0，故点B到直线l的距离d==1，故选：B．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6B．35 C．4D．40【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共线的坐标表示，由=5，确定A，B的坐标，即可求得||．【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，∵=5，∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n，∴a=±20，∴||==35．故选：B．11．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．【解答】解：设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，则B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．∵AD=1，∴a2+b2=1．=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2acosθ+2bsinθ=4+sin（θ+φ）=4+2sin （θ+φ）．∴的最大值是4+2=6．故选：C．12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过所给关系式，构造新的函数g（x）=，对g（x）求导，得到关系．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵xf′（x）＜2f（x），∴∀x∈（0，+∞），∴g′（x）＜0恒成立∴g（x）是在（0，+∞）单调递减，∴g（1）＞g（2），即4f（1）＞f（2）故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a=±2．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，写出常数项，由此列方程求出a的值．【解答】解：（a﹣）5展开式的通项为T r+1=C5r•（a）5﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•C5r•a5﹣r•x，令=0，可得r=3，又r=3时，T4=（﹣1）3•C53•a2=﹣10a2，由题意得﹣10a2=﹣40，解得a=±2．故答案为：±2．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据余弦定理计算BC，可发现BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．故外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处，根据球的面积计算半径，得出棱柱的高．【解答】解：在△ABC中，BC==．∴BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．∴AB为△ABC所在球的截面的直径．取AB，A1B1的中点D，D1，则棱柱外接球的球心为DD1的中点O，设外接球的半径为r，则4πr2=12π，∴r=．即OB=，∴OD=．∴棱柱的高DD1=2OD=2．∴棱柱的体积V=S△ABC•DD1==．故答案为．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=﹣3．【考点】数列递推式．【分析】根据累加法和对数的运算性质即可求出数列的通项公式，代值计算即可．【解答】解：∵a n+1=a n+log2（1﹣）=log2（），∴a n+1﹣a n=log2（）∴a2﹣a1=log2，a3﹣a2=log2，…a n﹣a n=log2﹣1∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n）=log2（×…×）=log2（）=﹣log2n﹣1∴a n﹣2=﹣log2n，∴a n=2﹣log2n，∴a32=2﹣log232=﹣3，故答案为：﹣3．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2ln2﹣2] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a＜2x﹣4e x有解，转化为g（x）=2x﹣4e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a≥0，即a≤2x﹣4e x有解，令g（x）=2x﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x=0，x=﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞﹣ln2∴当x=﹣ln2时，g（x）max=﹣2ln2﹣2，∴a≤﹣2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，﹣2ln2﹣2]．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（I）由向量平行列出方程解出cosA；（II）根据余弦定理和面积公式解出tanC，使用正弦定理求出c，代入面积公式解出面积．【解答】解：（I）∵∥．∴cos2﹣cos2（B+C）=0，即（1+cosA）﹣cos2A=0，解得cosA=1（舍）或cosA=﹣．∴A=．（II）∵=，∴a2+b2﹣c2=4S=2absinC．又∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴tanC=．∴C=．由正弦定理得，∴c==2．sinB=sin（A+C）=sin=．∴S△ABC===3．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，能求出表中t，p及图中a的值．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，得：，解得t=60，∴n==0.4，a==0.8．∵0.15+0.3+n+p+0.05=1，∴p=0.1．（Ⅱ）由直方图，得不少于9.9环的成绩的次数为60×0.15=9，成绩不少于10.4环的次数为3，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，XE（X）==1．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，∵PF=FC，∴FM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴FM⊥平面ABC，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵GM∥BC，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A 为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P （0，0，2），H （，，0），C （0，2，0），B （，﹣1，0），F （0，1，1），则平面PAC 的法向量为=（1，0，0）， 设平面PBC 的法向量为=（x ，y ，z ），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos ＜，＞==，即二面角A ﹣CP ﹣B 的余弦值是．20．已知椭圆C ：=l （a ＞b ＞0），F 1、F 2为左右焦点，下顶点为B 1，过F 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，当直线l 的倾斜角为时，F 1B ⊥l ．（I ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若P 为椭圆上一动点，直线PM 、PN 的斜率记为k PM 、k PN ，且不为零，当直线l 垂直于x 轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得F 1（﹣c ，0），B 1（0，﹣b ），由题意知，从而b=，由此能求出椭圆C 的离心率．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），（x 0≠±c ），M （c ，），N （c ，﹣），则=，由此能求出存在最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，∴F1（﹣c，0），B1（0，﹣b），∵过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l，∴由题知F1B1⊥l，∴，∴，∴b=，∴e====．（Ⅱ）设P（x0，y0），（x0≠±c），M（c，），N（c，﹣），则=﹣=，又P∈C，∴=1，得，∴=====，∴||=||=，又∵﹣a≤x0≤a，且x0≠±c，∴﹣1≤，且，∴||=≥=．∴存在最小值．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，结合a＞0，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，即可证明．【解答】（I）解：当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，即x+1﹣a≥0在[0，+∞）内恒成立，∴a≤x+1在[0，+∞）内恒成立，又x+1的最小值为1，∴a≤1，∵a＞0，∴0＜a≤1；（Ⅱ）证明：要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，注意到2016=2015+1，所以ln﹣=ln（1+）﹣=ln（1+）﹣．构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，由（I）知，x≥0，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）内是增函数，∴f（）=ln﹣＞f（0）=0，∴ln＞，∴．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）连接OD，证明△OBC≌△ODC，可得∠ODC=∠OBC=90°，即可证明CD为圆O的切线；（Ⅱ）Rt△OBC中，BE⊥OC，OB2=OE•OC，即可求OC的长．【解答】（I）证明：连接OD．∵AB为圆D的直径，∴AD⊥DB，∵AD∥OC，∴BD⊥OC，∴E为BD的中点，∴CB=CD，∴△OBC≌△ODC，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD为圆O的切线；（Ⅱ）解：由题意，OB=OA=4，OE=AD=2，Rt△OBC中，BE⊥OC，∴OB2=OE•OC，∴OC==8．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得：+1=0，利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出．【解答】解（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开可得：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得： +1=0，∴ρ1ρ2=1．∴|OA||OB|=|ρ1ρ2|=1．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=3，不等式即|x﹣3|+|x﹣1|≥4，不等式恒成立，从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．（Ⅱ）由f（x）≤1求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|，即|x﹣3|+|x﹣1|≥|x﹣3﹣x+1|=4．由绝对值的意义可得；不等式恒成立，故|x﹣3|+|x﹣1|≥4的解集为R．（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2．故有+=2（m＞0，n＞0），即+=1，∴m+2n=（m+2n）（+）=1++≥2，当且仅当=时，等号成立，故m+2n的最小值是2．2016年9月17日。
高三数学下学期第一次模拟考试试题理1
甘肃省武威市2017届高三数学下学期第一次模拟考试试）第I卷（60分）一. 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合P = {3,log2t/}. 0 = {d,b},若PDQ = {0},则P\JQ=（）扎{3,0} B. {3,0,2} C. {3,0,1} D. {3,0丄2}2.已知复数z满足（l-0z = 5 + /\则？=（）A. 2 + 3/ ”B. 2-3/C. 3 + 2,D. 3-2/3.在MBC中，a = 2、c = l, ZB = 60。
，那么Z?等于（）A. A/5*B. 5/3C. P1D. —24.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：'‘不便宜”是“好货的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件5.已知« , B是两个不同的平面，m, n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m丄o , mu 0 ,则（」丄B ：②若m丄n, m丄« ,则n〃a ；③若m〃，a 丄B ,则m丄B ,④若a C 0 =m, n〃m,且nG（】，nQ B ,则n// a » n// B （）A. ®®B.①②④C. ®®D.①③6.抛物线y = x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（）A . x2+（y-l）2 =2 B.（牙_l）2+（y_l）2 =4C. （x-l）2 + y2=lD. （x_l）2 + （y + l）2=5IT Tl 7.函数co$（2;v + 0）（-兀兰#5）的图象向右平移：个单位后，与函数戸=SIH（2A +—） 2* 3的图象重合，则卩的值为（）A.65兀~6D.8.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：•V2 ・4ln(x + l),x > 011 •已知函数/(x) = < ]若m < n 且/(〃2)= /(舁)，则”一加的取值范用()-x+Lx<0 12A. [3-2In2,2) B ・[3-21n2,2] C ・[幺一1,2] D ・[f —1,2)A ・ / W = sin AB ・ / (A ) = cos AC. /W = -X9. 圆柱被一个平而截去一部分后与半球(半径为厂)组成 一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如 图所示，若该几何体的表而积为16 + 20兀，则/•=()(A) 2 (B) 1 (C) 4 (D) 810. 如图所示，两个不共线向0B 的夹角为&， ACM 分别为创与0E 的中点，点U 在直线泗上，且 0C = xOA^yOB{x.y eR), 贝 ij x 2 +yB ・- D./籍氏函数/")/12.已知函数有两个极值点，则实数自的取值范围是（）A. （-co, 0）B. （0,》C. （0,1）D. （0,+«5）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等差数列｛&｝的前n项和为若a,=4, S F3,则公差d二_14.B知向量旳=（人+1,1）卫=（久+2,2）,伽+詔）丄（7«-«）,则久=______________ .15.正三角形ABC的边长为2,将它沿髙AD翻折，使点B与点C间的距离为迈，此时四而体ABCD外接球表而积为 ____ .16.从圆A，2+= 4内任取一点P，则p到直线A- +〉, = 1的距•离小于近的槪率—.T三. 解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列｛"”｝的前"项和为S“，且满足4//S… = （n + 1）'a” （n e N*）. q = 1（1）求a”：（2）设b= —t数列0｝的前j项和为7；,求证：T… <-.你 418.（本小题满分12分）在2』17年髙校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制” 折算，排出前"名学生，并对这"名学生按成绩分组，第一组［75,80）,第二组［80,85）, 第三组［85,90）,第四组［90,95）,第五组［95,100］,如图为频率分布直方图的一部分，苴中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60（I）请在图中补全频率分布直方图；（II）若Q大学决左在成绩髙的第3, 4, 5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行而试.①若Q大学本次而试中有B、C、D三位考官，规左获得两位考官的认可即而试成功"且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官而试的概率依况为苏1,1,求甲同学面试成功的概率②若Q大学决泄在这6需学生中随机抽取3名学生接受考官B的而试，第3组中有§需学生被考官B而试，求§的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，W\CDEF为正方形，而ABCD为等腰梯形, AB // CD, AB = 2BC, ZABC = 60°, AC 丄FB.（I）求证：AC丄平而FBC：（ID线段ED上是否存在点0,使平而EAC丄平面QBC2证明你的结论20.（本小题满分12分）Z\ \已知点A（0,-2），椭圆E:匚+二=1（。
甘肃省河西五市部分普通高中2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科)
2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix45．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75396．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．37．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．110．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E 为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．19．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．21．（12分）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的参数方程为（＜α＜π，t为参数，t≠0），l与C1交与点A，l与C2交与点B，且|AB|=，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．2017年甘肃省河西五市部分普通高中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】化简=，==，= =，进而得出．【解答】解：∵=，==，= =，而0＜＜2，∴a＞b＞c．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A．﹣15x4B．15x4C．﹣20ix4D．20ix4【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案．【解答】解：（x+i）6的展开式中含x4的项为x4•i2=﹣15x4，故选：A．【点评】本题考查二项式定理，深刻理解二项展开式的通项公式是迅速作答的关键，属于中档题．5．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．故选：B．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6．函数，则f（x）的最大值是（）A．0 B．2 C．1 D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】讨论当x＞0时，运用一次函数的单调性，可得f（x）的范围；当x≤0时，求出f （x）的导数，单调区间和极大值，也为最大值，即可得到所求最大值．【解答】解：当x＞0时，f（x）=1﹣2x递减，可得f（x）＜1；当x≤0时，f（x）=x3﹣3x，导数f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得x=﹣1处f（x）取得极大值，且为最大值﹣1+3=2．则f（x）的最大值为2．故选：B．【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，注意考虑各段的最值，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及判断比较能力，属于中档题．7．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是（）A．30m B．40m C．m D．m【考点】解三角形的实际应用．【分析】设出AB=x，进而根据题意将BD、DC用x来表示，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即可得到电视塔的高度．【解答】解：由题题意，设AB=x，则BD=x，BC=x在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，∴根据余弦定理，得BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠DCB即：（x）2=（40）2+x2﹣2×40•x•cos120°整理得x2﹣20x﹣800=0，解之得x=40或x=﹣20（舍）即所求电视塔的高度为40米．故选B．【点评】本题给出实际应用问题，求电视塔的高度．着重考查了解三角形的实际应用的知识，考查了运用数学知识、建立数学模型解决实际问题的能力．8．设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】简单线性规划的应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】画出p，q表示的平面区域，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A【点评】本题考查的知识是线性规划的应用，圆的标准方程，充要条件，难度中档．9．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得=+=（+，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则=+=+=+（﹣）=+=（+，），可得k OM ==≤=，当且仅当y 02=2p 2，取得等号．故选：C ．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出几何体的直观图，将几何体分解成两个棱锥计算体积． 【解答】解：做出几何体的直观图如图所示：其中底面ABCD 是边长为2的正方形，AE ，DF 为底面的垂线， 且AE=2，DF=1，∴V=V E ﹣ABC +V C ﹣ADFE =+=．故选D ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，体积计算，属于中档题．11．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[，1] B．[﹣，1] C．[1，3] D．（﹣∞1]【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分类法以及导数研究函数的最值即可．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴不等式f（x3﹣x2+a）+f（﹣x3+x2﹣a）≥2f（1）等价为2f（x3﹣x2+a）≥2f（1）即f（x3﹣x2+a）≥f（1）对x∈[0，1]恒成立，即﹣1≤x3﹣x2+a≤1对x∈[0，1]恒成立，即﹣1﹣a≤x3﹣x2≤1﹣a对x∈[0，1]恒成立，设g（x）=x3﹣x2，则g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），则g（x）在[0，）上递减，在（，1]上递增，∵g（0）=g（1）=0，g（）=﹣，∴g（x）∈[﹣，0]，即即，得﹣≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法结合导数法，构造函数求函数的最值是解决本题的关键．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．一．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是9．【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当a=1，b=9时，不满足a＞b，故a=5，b=7，当a=5，b=7时，不满足a＞b，故a=9，b=5当a=9，b=5时，满足a＞b，故输出的a值为9，故答案为：9【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．14．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．15．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm，下底半径是16cm，母线长为48cm，则矩形铁皮长边的最小值是144cm．【考点】棱台的结构特征．【分析】设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似求出x=96 cm．推导出△BOB′为正三角形，由此能示出矩形铁皮长边的最小值．【解答】解：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角∠AOA′=α，OA=x，由三角形相似可得，解得x=96 cm．则=，解得α=60°，所以△BOB′为正三角形，则BB′=OB=96+48=144 cm．由下图可知，矩形铁皮长边的最小值为144 cm．故答案为：144cm．【点评】本题考查矩形铁皮长边的最小值的求法，是中档题，解题时要要认真审题，注意圆台的性质的合理运用．16．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k ≤2m，a1，a2…a k中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有14个．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故答案为14【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016•江苏）记U={1，2，…，100}，对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；若T={t1，t2，…，t k}，定义S T=++…+．例如：T={1，3，66}时，S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S T=30．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S T＜a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．【考点】数列的应用；集合的包含关系判断及应用；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合．【分析】（1）根据题意，由S T的定义，分析可得S T=a2+a4=a2+9a2=30，计算可得a2=3，进而可得a1的值，由等比数列通项公式即可得答案；（2）根据题意，由S T的定义，分析可得S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1，由等比数列的前n项和公式计算可得证明；（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，进而分析可以将原命题转化为证明S C≥2S B，分2种情况进行讨论：①、若B=∅，②、若B≠∅，可以证明得到S A≥2S B，即可得证明．【解答】解：（1）当T={2，4}时，S T=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，从而a1==1，故a n=3n﹣1，（2）S T≤a1+a2+…a k=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=a k+1，（3）设A=∁C（C∩D），B=∁D（C∩D），则A∩B=∅，分析可得S C=S A+S C∩D，S D=S B+S C∩D，则S C+S C∩D﹣2S D=S A﹣2S B，因此原命题的等价于证明S C≥2S B，由条件S C≥S D，可得S A≥S B，①、若B=∅，则S B=0，故S A≥2S B，②、若B≠∅，由S A≥S B可得A≠∅，设A中最大元素为l，B中最大元素为m，若m≥l+1，则其与S A＜a i+1≤a m≤S B相矛盾，因为A∩B=∅，所以l≠m，则l≥m+1，S B≤a1+a2+…a m=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即S A≥2S B，综上所述，S A≥2S B，故S C+S C∩D≥2S D．【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述．18．（12分）（2017•甘肃一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2017•甘肃一模）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（Ⅱ）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为10，代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（Ⅰ）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，∵y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，∴r≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（Ⅱ）由≈1.331及（Ⅰ）得=≈0.103，=1.331﹣0.103×4=0.92．所以，y关于t的回归方程为：=0.92+0.10t．将2017年对应的t=10代入回归方程得：=0.92+0.10×10=1.92所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，考查线性相关与线性回归方程的求法与应用，计算量比较大，计算时要细心．20．（12分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．可得△＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，可得S△OAB=，再利用均值不等式即可得出．【解答】解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=﹣my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2﹣4（m2+2）（n2﹣2）=8（m2﹣n2+2）＞0，设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=﹣m×+n=，由于点P在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m4+4m2﹣4＞0，解得m2，∴或m．（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n2（m2﹣n2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n2=m2﹣n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2017•甘肃一模）已知f（x）=e﹣，其中e为自然对数的底数．（1）设g（x）=（x+1）f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），判断g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（2）若F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4无零点，试确定正数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（1）对函数f（x）求导后知g（x），对g（x）求导后得到单调性．（2）利用导函数求得F（x）的单调性及最值，然后对a分情况讨论，利用F（x）无零点分别求得a的取值范围，再取并集即可．【解答】解：（1）∵f（x）=e﹣，∴f′（x）=﹣，∴g（x）=（x+1）（﹣），∴g′（x）=[（x+3）﹣1]，当x＞﹣1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．（2）由F（x）=ln（x+1）﹣af（x）+4知，F′（x）=（﹣g（x）），由（1）知，g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且g（﹣1）=0 可知当x∈（﹣1，+∞）时，g（x）∈（0，+∞），则F′（x）=（﹣g（x））有唯一零点，设此零点为x=t，易知x∈（﹣1，t）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；x∈（t，+∞）时，F′（t）＜0．F（x）单调递减．知F（x）max=F（t）=ln（t+1）﹣af（t）+4，其中a=，令G（x）=ln（x+1）﹣+4，则G′（x）=，易知f（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，∴G′（x）＞0，G（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，且G（0）=0，①当0＜a＜4时，g（t）=＞=g（0），由g（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，知t＞0，则F（x）max=F（t）=G（t）＞G（0）=0，由F（x）在（﹣1，t）上单调递增，﹣1＜e﹣4﹣1＜0＜t，f（x）＞0，g（t）＞0在（﹣1，+∞）上均恒成立，则F（e﹣4﹣1）=﹣af（e﹣4﹣1）＜0，∴F（t）F（e﹣4﹣1）＜0∴F（x）在（﹣1，t）上有零点，与条件不符；②当a=4时，g （t ）===g （0），由g （x ）的单调性可知t=0，则F （x ）max =F （t ）=G （t ）=G （0）=0，此时F （x ）有一个零点，与条件不符；③当a ＞4时，g （t ）=＜=g （0），由g （x ）的单调性知t ＜0， 则F （x ）max =F （t ）=G （t ）＜G （0）=0，此时F （x ）没有零点．综上所述，当F （x ）=ln （x+1）﹣af （x ）+4无零点时，正数a 的取值范围是a ∈（4，+∞）． 【点评】本题考查函数的综合应用，以及导数在研究函数中的应用．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•甘肃一模）在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（β为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），l 与C 1交与点A ，l 与C 2交与点B ，且|AB|=，求α的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将曲线C 1的方程化为普通方程，然后转化求解C 1的极坐标方程．（2）曲线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，利用|AB|=，即可得出．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为（β为参数）．可得（x ﹣1）2+y 2=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴C 1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）曲线l 的参数方程为（＜α＜π，t 为参数，t ≠0），化为y=xtanα．由题意可得：|OA|=ρ1=2cosα，|OB|=ρ2=4cosα，∵|AB|=，∴|OA|﹣|OB|=﹣2cosα=，即cosα=﹣．又＜α＜π，∴α=．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、两点之间的距离、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•甘肃一模）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设m＞0，n＞0且m+n=1，求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，可得a2﹣2a﹣1≤2，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，利用分析法的证明步骤，结合基本不等式证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|2x﹣1|+|2x+1≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，∵不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，∴a2﹣2a﹣1≤2，∴a2﹣2a﹣3≤0，∴﹣1≤a≤3；（Ⅱ）要证：成立，只需证+≤2，两边平方，整理即证（2m+1）（2n+1）≤4，即证mn≤，又m+n=1，∴mn≤=．故原不等式成立．【点评】本题考查分析法证明不等式的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的性质，考查逻辑推理能力以及计算能力．。
甘肃省兰州2017届高三9月月考数学理试题Word版含答案
甘肃省兰州一中2017届高三第一次月考试题第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设集合A ={x|x >a },集合B ={-1,1,2},若A ∩B =B ,则实数a 的取值范围是 A.(1,+∞) B.(-∞,1)C.(-1,+∞)D.(-∞,-1)2.已知复数i1ia +-为纯虚数，那么实数a = （A ）1- （B ）12-（C ）1 （D ）123.已知某地域中小学生人数和近视情况别离如图1和如图2所示，为了了解该地域中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方式抽取«Skip Record If...»的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数别离为( )图1初中生4500名高中生2000名小学生3500名图2503010O近视率/%年级高中初中小学A .«Skip Record If...»，«Skip Record If...»B .«Skip Record If...»，«SkipRecord If...» C .«Skip Record If...»，«Skip Record If...» D .«Skip Record If...»，«Skip Record If...»4. 已知等差数列«Skip Record If...»前9项的和为27,«Skip Record If...»,则«Skip Record If...» （ ）（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）975. 设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．126. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（ ）A ．π238+ B ．π+38C ．π24+D ．π+4 7. 已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）A 、2B 、42C 、6D 、210 8. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的s 的值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．7 9. 甲、乙、丙三人站在一路照相留念,乙正好站在甲丙之间的概率为（ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．61 10. 函数sin cos y x x x =+的图象大致为（ ）11. 已知抛物线x y 82=的核心到双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的渐近线的距离不大于3，则双曲线E 的离心率的取值范围是（ ）A ．]2,1(B ．]2,1(C ．),2[+∞D ．),2[+∞12. 设()f x 是概念在R 上的偶函数，对任意的R x ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）()34,2 （B ）()2,+∞ （C ）()31,4 （D ） ()1,2第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 14. 若x ，y 知足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为15. 在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）16. 若等比数列«Skip Record If...»的各项均为正数，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...» .三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答进程应写出文字说明，证明进程或演算步骤）. 17.已知函数2()2cos 2222x x x f x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．18．2016 年1 月1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取70后和80后作为调查对象,随机调查了100位,取得数据如下表：（Ⅰ）以这100个人的样本数据估量该市的整体数据,且以频率估量概率,若从该市70后公民中随机抽取3位,记其中生二胎的人数为X ,求随机变量X 的散布列和数学期望； （Ⅱ）按照调查数据,是不是有 0090以上的把握以为“生二胎与年龄有关”,并说明理由： 参考数据：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）19. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC .E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .(1)证明PA ∥平面EDB ； (2)证明PB ⊥平面EFD ； (3)求二面角C －PB －D 的大小. 20．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点O ，核心在x 轴上，离心率为12，右核心到右极点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是不是存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得0=⋅OB OA 成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.21.已知函数f (x )＝ln x －a x，g (x )＝f (x )＋ax －6ln x ，其中a ∈R.(Ⅰ)当a ＝1时，判断f (x )的单调性；(Ⅱ)若g (x )在其概念域内为增函数，求正实数a 的取值范围； 22.(本题满分10分) 选修4－1《几何证明选讲》 已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点,直线DE 为圆O 的切线, AC∥DE ,AC 与BD 相交于H 点 (1)求证:BD 平分∠ABC ;(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH 的长.23. （本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》 已知直线l 的参数方程为232x t y t =⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位成立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)． (1)求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设点2(0,)2P ,求PA PB +. （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-（Ⅰ）若不等式()2f x ≤的解集为[0,4]，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若0x ∃∈R ，使得200()(5)4f x f x m m ++-<，求实数m 的取值范围．甘肃省兰州一中2017届高三第一次月考试题答案第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。