第7章 图

一、图的数组(邻接矩阵)存储表示 二、图的邻接表存储表示
三、有向图的十字链表存储表示
一、图的数组(邻接矩阵)存储表示
定义:矩阵的元素为
Aij=
V1 V3
V4 V5 无向图 G2
{ 1 (i,j)VR
V1 V2 V3 V4 V5 V1 V2 V3 V4 V5
0 (i,j)VR
V2
0 1 0 1 0
插入或删除顶点
插入和删除弧
对邻接点的操作
遍历
结构的建立和销毁
CreatGraph(&G, V, VR):
// 按定义(V, VR) 构造图 DestroyGraph(&G):
// 销毁图
对顶点的访问操作
LocateVex(G, u); // 若G中存在顶点u，则返回该顶点在 // 图中“位置” ；否则返回其它信息。 GetVex(G, v); // 返回 v 的值。
4 4 5 5 1 2
A 5
3
弧的结点结构
adjvex nextarc info
typedef struct ArcNode { int adjvex; // 该弧所指向的顶点的位置 struct ArcNode *nextarc; // 指向下一条弧的指针 InfoType *info; // 该弧相关信息的指针 } ArcNode;
遍 历
DFSTraverse(G, v, Visit());
//从顶点v起深度优先遍历图G，并对每 //个顶点调用函数Visit一次且仅一次。
BFSTraverse(G, v, Visit());
//从顶点v起广度优先遍历图G，并对每 //个顶点调用函数Visit一次且仅一次。
7.2 图的存储表示
二、邻接表：图的链式存储结构
每个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的结 点表示依附于顶点vi的边（对有向图是以顶点vi 为尾的弧） 表头结点通常以顺序结构的形式存储，以便访问 任一顶点的链表。
二、邻接表：图的链式存储结构
B C D F E
0 1 2 3 4 5
A B C D E F
1 0 3 2 0 1
第七章 图
7.1 抽象数据类型图的定义
7.2 图的存储表示
7.3 图的遍历
7.4 最小生成树 7.5 拓扑排序 7.6 关键路径 7.7 两点之间的最短路径问题
图的结构定义:
图是由一个顶点集 V 和一个弧集 R构成
的数据结构。 Graph = (V , R ) 其中，VR＝{<v,w>| v,w∈V 且 P(v,w)} <v,w>表示从 v 到 w 的一条弧，并称 v 为 弧尾，w 为弧头。 谓词 P(v,w) 定义了弧 <v,w>的意义或信息。
对非连通图，则 称由各个连通分 量的生成树的集 合为此非连通图 的生成森林。
数据结构
第七章 图
一棵有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边。若一个 图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图。若它多 于n-1条边，则一定有环。但是有n-1条边的图不一定是 生成树。
A B A B A B
C
F I L
D
G J G3
11
弧或边带权的图
B
3
7
E
C
F
分别称作有向网或 无向网。
设图G=(V,{VR}) 和 图 G=(V,{VR}), 且 VV, VRVR, 则称 G 为 G 的子图。
B
A
B E
C
F
假设图中有 n 个顶点，e 条边，则
含有 e=n(n-1)/2 条边的无向图称作 完全图； 含有 e=n(n-1) 条弧的有向图称作 有向完全图； 若边或弧的个数 e<nlogn，则称作 稀疏图，否则称作稠密图。
C
F
C
F
数据结构
第七章 图
例：
A
C F I L G3 D G J E H K M L
B
A C F J
B
D G I
E H K
M
数据结构
第七章 图
例：
V1 V3
V2 V4
V1 V3 V4
V2
有向图G1
G1的两个强连通分量
假设一个连通图有 n 个顶点和 e 条边， 其中 n-1 条边和 n 个顶点构成一个极小 连通子图，称该极小连通子图为此连通图 的生成树。 B A F E C D
case UDG: return CreateUDG(G); //构造无向图G
case UDN: return CreateUDN(G); //构造无向网G default: return ERROR; } }//CreateGraph
Status CreateUDN (MGraph &G){ //采用数组（邻接矩阵）表示法，构造无向网G。 scanf（&G.vexnum,&G.arcnum,&IncInfo);//IncInfo为0则 各弧不含其他信息 for(i=0;i<G.vexnum;++i) scanf(&G.vexs[i]);//构造顶点向 量 for(i=0;i<G.vexnum;++i) //初始化邻接矩阵 for(j=0;j<G.vexnum;++j) G.arcs[i][j]={INFINITY,NULL};//{adj,info}初始值为∞和 null for(k=0;k<G.arcnum;++k){//构造邻接矩阵 …… } return OK; }//CreateGraph
G2.arcs= V5
V4
无向图G2
G2的邻接矩阵
对于无向图：顶点vi的度是邻接矩阵中第
i行（或第i列）的元素之和 TD(vi)= A[i][j]
i 0 n 1
(n=MAX_VERTEX_NUM) 对于有向图：第i行的元素之和为顶点vi
的出度OD(vi),
第j列的元素之和为顶点vi的入度ID（ vi ）
// 点”。若 w 是 v 的最后一个邻接点，则 // 返回“空”。
插入或删除顶点
InsertVex(&G, v);
//在图G中增添新顶点v。
DeleteVex(&G, v);
// 删除G中顶点v及其相关的弧。
插入和删除弧
InsertArc(&G, v, w); // 在G中增添弧<v,w>，若G是无向的， //则还增添对称弧<w,v>。 DeleteArc(&G, v, w); //在G中删除弧<v,w>，若G是无向的， //则还删入度为0，其余顶 点的入度均为1，则是一棵有向树。一个有向图的生成 森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只 有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。
A F B E 有向图 C D
A
F A F E
B
E
C
D C
强连通分量
B 生成森林
D
基本操作
结构的建立和销毁 对顶点的访问操作
例如: OD(B) = 1 ID(B) = 2
TD(B) = 3
设图G=(V,{VR})中的一个顶点序列 { u=vi,0,vi,1, …, vi,m=w}中，(vi,j-1,vi,j)VR 1≤j≤m, 则称从顶点u 到顶点w 之间存在一条路径。 路径上边的数目称作路径长度。 如:长度为3的路径 简单路径:序列中顶点 {A,B,C,F} 不重复出现的路径。 A 简单回路:序列中第一 B E 个顶点和最后一个顶 点相同的路径。 C F
(B,E), (C,D), (D,F), (B,F), (C,F) }
由顶点集和边 集构成的图称 作无向图。
B
C
A F E
D
名词和术语
网、子图
完全图、稀疏图、稠密图
邻接点、度、入度、出度 路径、路径长度、简单路径、简单回路
连通图、连通分量、 强连通图、强连通分量 生成树、生成森林
15
A
21 2
9
7 ∞ ∞ ∞ 5 ∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1
∞ ∞ 9 6 ∞ ∞
网N的邻接矩阵
在邻接矩阵存储结构MGraph上构造图: Status CreateGraph（MGraph &G）{
算法7.1
//采用数组（邻接矩阵）表示法，构造图G。
scanf（&G.kind); switch(G.kind){ case DG: return CreateDG(G); //构造有向图G case DN: return CreateDN(G); //构造有向网G
若图G中任意两个顶 点之间都有路径相通， 则称此图为连通图； A B A
F E
B
C D
C
D
F
E
若无向图为非连通图， 则图中各个极大连通 子图称作此图的连通 分量。
若任意两个顶点之间都存在 对有向图， 一条有向路径，则称此有向图为强连通图。 否则，其各个强连通子图称作它的 强连通分量。 A B E B A E
PutVex(&G, v, value); // 对 v 赋值value。
对邻接点的操作
FirstAdjVex(G, v);
// 返回 v 的“第一个邻接点” 。若该顶点 //在 G 中没有邻接点，则返回“空”。
NextAdjVex(G, v, w); // 返回 v 的（相对于 w 的） “下一个邻接
for(k=0;k<G.arcnum;++k){//构造邻接矩阵 scanf(&v1,&v2,&w);//依次输入一条边依附的顶点和权值 i=LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2);//确定v1和v2在G中的位置 G.arcs[i][j].adj=w;//弧<v1,v2>的权值 if(IncInfo) Input(*G.arcs[i][j].info); //若弧含有相关信息，则输入 G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j]; //置<v1,v2>的对称弧<v2,v1>}