黑龙江省哈尔滨市宾县一中2019-2020学年高一上学期第三次月考数学(文)试题 Word版含解析

数学试卷（文）一、选择题（每题5分，共计60分） 1.已知2log 13<a ，那么a 的取值范围是（ ） A. ()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭C. 2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】分1a >和01a <<两种情况解不等式.【详解】当1a >时，2log 03a < ，所以2log 13<a 恒成立， 当01a <<时，22log 1log log 33a a a a <⇒< ，即023a << ，综上：a 的范围是()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选A【点睛】本题考查对数不等式的解法，意在考查分类讨论，以及计算求解能力，属于基础题型.2.若tan 2θ=，则22sin 3sin cos θθθ-=（ ）． A. 10 B. 25±C. 2D.25【答案】D 【解析】 【分析】变换得到22222sin 3sin cos 2sin 3sin cos sin cos θθθθθθθθ--=+，上下除以2cos θ得到 222tan 3tan tan 1θθθ-+，代入数据得到答案. 【详解】2222222sin 3sin cos 2tan 3tan 22sin 3sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθ---===++故选D【点睛】本题考查了齐次式的计算，变换22222sin 3sin cos 2sin 3sin cos sin cos θθθθθθθθ--=+是解题的关键. 3.lg 210lg 5lg 2++=（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算性质化简求值即可 【详解】lg 210lg5lg 22+lg10=2+1=3++=故选A【点睛】本题考查对数公式的应用，对数恒等式的使用，属于基础题4.下列函数中，周期为π，且在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的是（ ）A. sin y x =-B. cos y x =C. sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据正余弦函数的图像与性质逐个判断即可. 【详解】对A, sin y x =-为偶函数,无周期. 对B, cos cos y x x ==,周期为2π,不满足 对C, sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,为偶函数,且当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时为减函数,满足对D, cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭,周期为π,在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,不满足 故选：C【点睛】本题主要考查了正余弦函数的性质运用,属于基础题型. 5.如果()1cos +=2A π，那么sin +2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ）A. 12-B.12C. 【答案】A 【解析】 【分析】用诱导公式化简已知式和求值式即可得． 【详解】1cos()cos 2A A π+=-=，1cos 2A =-，∴1sin()cos 22A A π+==-． 故选：A ．【点睛】本题考查诱导公式，掌握诱导公式是解题基础． 6.已知1sin 1a a θ-=+，31cos 1a aθ-=+，若θ为第二象限角，则下列结论正确的是（ ） A. 11,3a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B. 1a =C. 1a =或19a =D. 19a =【答案】D 【解析】 【分析】由22sin cos 1θθ+=，注意θ在第二象限，有sin 0,cos 0θθ><即可．【详解】∵22sin cos 1θθ+=，∴22131()()111a a a a--+=++，解得1a =或19a =，1a =时，sin 0θ=，θ不是第二象限角，舍去．19a =时，sin 0,cos 0θθ><符合题意．∴19a =．故选：D ．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，利用平方关系参数值时，要注意检验θ是否是第二象限角．7. 方程|x|=cosx 在（﹣∞，+∞）内（ ） A. 没有根 B. 有且仅有一个根C. 有且仅有两个根D. 有无穷多个根 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，求出方程对应的函数，画出函数的图象，如图，确定函数图象交点的个数，即可得到方程的根．解：方程|x|=cosx 在（﹣∞，+∞）内根的个数，就是函数y=|x|，y=cosx 在（﹣∞，+∞）内交点的个数，如图，可知只有2个交点，故选C点评：本题是基础题，考查三角函数的图象，一次函数的图象的画法，函数图象的交点的个数，就是方程根的个数，考查数形结合思想．8.函数24x y -=） A. []22-, B. ()2,2-C. [)(]2,11,2-D.()()2,21,2-【答案】C 【解析】 【分析】 由分母不0，被开方数不小于0求解即可.【详解】要使y =240x -≥且10x -≠， 解得22x -≤≤且1x ≠，即定义域为[)(]2,11,2-.故选C.【点睛】本题考查函数的定义域.函数的定义域，即为使解析式有意义的自变量的取值范围，一般要考虑分母不为0，开偶次方时被开方数不小于0等. 9.已知函数()cos()(0)3f x x πωω=+>的一条对称轴为直线3x π=，一个对称中心为点(,0)12π，则ω有（ ） A. 最小值2 B. 最大值2C. 最小值1D. 最大值1【答案】A 【解析】 【分析】 将3x π=代入余弦函数对称轴方程，可以算出ω关于k 的一个方程，再将12x π=代入余弦函数的对称中心方程，可求出另一个ω关于k 的一个方程，综合两个等式可以选出最终答案. 【详解】由3x π=满足余弦函数对称轴方程可知1331()333x k k k k k Z πππωπωπωω+=⇒+=⇒+=⇒=-∈，再由12x π=满足对称中心方程可知321232126x k k k πππππππωπωπωπ+=+⇒+=+⇒=+212()k k Z ω=+∈，综合可知ω的最小值为2，故选A.【点睛】正弦函数的对称轴方程满足()2x k k Z ππ=+∈，对称中心满足(),0()k k Z π∈；余弦函数的对称轴方程满足()x k k Z π=∈，对称中心满足,0()2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；解题时一定要注意k Z ∈这个条件，缩小范围.10.已知0a >，则1344a a -⋅等于（ ）. A. 12a-B. 316a-C. 13aD. a【答案】A【解析】 【分析】进行分数指数幂的运算即可． 【详解】1313144442a aaa⎛⎫---⎪⎝⎭⋅==．故选A ．【点睛】本题考查了分数指数幂的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 11.函数3()2xf x e x =--(e=2.71828…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（ ） A. (-1，0) B. (0，1)C. (1，2)D. (2，e)【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，即可判断出结果. 【详解】因为3()2x f x e x =--，所以1311(1)1022--=+-=-<f e e ，031(0)0022=--=-<f e ，135(1)1022=--=->f e e ， 所以(0)(1)0f f <，由零点存在定理可得：区间(0,1)内必有零点. 故选B【点睛】本题主要考查判断零点所在的区间，熟记零点的存在定理即可，属于基础题型. 12.定义运算,,a a ba b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩，例如，121⊗=，则函数()sin cos f x x x =⊗的值域为（ ）A. 2⎤⎥⎣⎦B. 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2⎡-⎢⎣⎦D.1,2⎡--⎢⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】先阅读理解题意，可得()sin ,sin cos cos ,sin cos x x x f x x x x≤⎧=⎨>⎩，再作出函数()f x 在一个周期内的图象，再由图像观察值域即可.【详解】解：根据题设中的新定义，得()sin ,sin cos cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，作出函数()f x 在一个周期内的图象（实线部分），观察图象，可知函数()f x 的值域为21,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 故选:C .【点睛】本题考查了阅读能力，重点考查了分段函数的图像及其值域，属中档题. 二、填空题（每题5分，共计20分） 13.()22log 4=-+y x x 的增区间是_________. 【答案】(]0,2 【解析】 【分析】先求函数定义域，再由复合函数单调性求解．【详解】由240-+>x x 得04x <<，24u x x =-+在(0,2]上递增，在[2,4)上递减， 而函数2log y u =在(0,)u ∈+∞时是增函数， ∴()22log 4=-+y x x 的增区间是(0,2]． 故答案为：(0,2]．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，求单调区间前先求函数定义域，在定义域内再利用复合函数单调性结论求解．14.求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒【答案】12【解析】【详解】由诱导公式()()3cos 330cos330cos 27060sin 60-==+==； ()()1sin 210sin 210sin 18030sin 302︒︒︒︒︒-=-=-+==，所以，原式221112=-+-+12= 15.已知定义在R 上的偶函数满足3()4(0)xf x x x =+≥，若(12)()f m f m -≥，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】分析：先确定原函数的单调性，然后结合偶函数即可确定()()12f m f m -≥的等价条件，求解即可.详解：由题可得：定义在R 上的偶函数()()340xf x x x =+≥，因为y=3x ，4x y =在0x ≥时都是单调递增的函数，故函数()340xf x x x =+≥在为增函数，又函数为偶函数，故图像关于y 轴对称，所以()()12f m f m -≥，只需：112(,][1,)3m m m -≥⇒∈-∞⋃+∞，故答案为[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦点睛：考查偶函数的性质，函数单调性的判断与应用，能正确分析函数的单调性确定不等式是解题关键，属于中档题.16.若函数2221y x mx m =-++-在[3,)+∞上是减函数，则m 的取值范围是______.【答案】3m 【解析】 【分析】根据二次函数开口方向、对称轴，结合函数在[3,)+∞上是减函数列不等式，解不等式求得m 的取值范围.【详解】由于函数2221y x mx m =-++-的开口方向向下，对称轴为x m =，由于函数在[3,)+∞上是减函数，所以3m ≤.故填：3m ≤.【点睛】本小题主要考查二次函数的性质，考查二次函数在给定区间上的单调性问题，属于基础题.三、解答题（共计70分） 17.已知tan 2α=，计算(1)()()2cos cos 2sin 3sin 2παπαπαπα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭(2)33sin cos sin 2cos αααα-+【答案】(1)37-. (2) 16． 【解析】 【分析】直接利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】∵tan 2α=，(1)()()2cos cos 2sin cos 2tan 132cos 3sin 13tan 7sin 3sin 2παπααααπααααπα⎛⎫+-- ⎪-+-+-⎝⎭===++⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. (2) ∵222222415sin tan sin sin cos tan αααααα===++，∴345sin sin αα= 33443sin cos tan 1sin cos 15554418sin 2cos 6sin 2cos tan 2555αααααααααα---====+++． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．18.已知函数()3sin 326x f x π⎛⎫=++⎪⎝⎭.（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； （2）指出()f x 的周期、振幅、初相、对称轴、对称中心. 【答案】（1）图象见解析；（2）04,3,6T A ππϕ===，()223x k k Z ππ=+∈，2,33k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈. 【解析】 【分析】 （1）令26x π+分别为0，2π，π，32π，2π.列表描点连线得图象；（2）由函数解析式易得周期、振幅、初相、对称轴、对称中心 【详解】（1）列表：26x π+ 02π π32π 2πx3π-23π 53π 83π 113π()f x3 633描点连线：（2）周期4T π=，振幅3A =，初相06ϕπ=，对称轴：262x k πππ+=+，()223x k k Z ππ=+∈， 26x k ππ+=，23x k ππ=-，对称中心为2,33k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈． 【点睛】本题考查三角函数的“五点法”作图，考查周期、振幅、初相、对称轴、对称中心的概念．属于基础题．19.已知在ABC ∆中，17sin +cos 25A A =. （1）求sin cos A A ；（2）判断ABC ∆是锐角三角形还是钝角三角形； （3）求tan A 的值. 【答案】（1）168625-；（2）是钝角三角形；（3）247-. 【解析】 【分析】（1）把已知式两边同时平方可得结论； （2）由（1）知cos 0A <，A 为钝角；（3）解方程组求得sin ,cos A A ，从而可求tan A ． 【详解】（1）17sin cos 25A A +=两边平方得21712sin cos 25A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭168sin cos 625A A =-； （2）∵A 是三角形内角，∴sin 0A >，又168sin cos 0625A A =-<，∴cos 0A <， 2A π∴>，ABC 为钝角三角形 ；（3）由2217sin cos 25sin cos 1A A A A ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得24sin 257cos 25A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（∵cos 0,sin 0A A <>） 24tan 7A ∴=-. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，掌握同角关系是解题基础．在用平方关系求值时要注意角的范围．要掌握sin cos αα±，sin cos αα之间的关系．20.已知函数()2333xx xf x -⋅=+，（1）判断函数()()1y g x f x ==-的奇偶性，并求函数()y g x =的值域； （2）若实数m 满足()()20g m g m +->，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）函数()y g x =是奇函数，()1,1-；（2）()1,+∞. 【解析】 【分析】（1）先由题意得到()()33133---=-=+x x x xg x f x ，根据函数奇偶性的概念，即可判断其奇偶性；根据2113-+>x 得到220213x-+＜＜，进而可求出函数值域； （2）先判断函数()2232113313--⋅=-=-++x x x xg x 的单调性，再由其奇偶性，即可将不等式化为()()()22>--=-g m g m g m ，进而可求出结果.【详解】（1）因为()()2333113333---⋅==-=--=++x x xx xx x y g x f x ， ∴()()3333x xx xg x g x ----==-+，所以函数()g x 是奇函数，∵2113-+>x ，∴220213x -+＜＜，∴2211113x---+＜＜， 所以函数()y g x =的值域是()1,1-． （2）因为213-=+x y 在R 上单调递减，所以()2232113313--⋅=-=-++x x x xg x 在R 上是单调递增函数，所以()y g x =在R 上是单调递增函数，且是奇函数，由()()20g m g m +->得，()()()22>--=-g m g m g m ， ∵()y g x =在R 上是单调递增函数，∴2>-m m ，∴1m ， ∴实数m 的取值范围是()1,+∞．【点睛】本题主要考查判断函数奇偶性，求函数值域，以及由函数的奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型. 21.已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）将函数()f x 图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值. 【答案】（1）2ω=； （2）． 【解析】 【分析】 （1）周期2T πω=，求ω的值.（2）伸缩变换后得()sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求43x π+的范围，再求sin 43x π⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值.【详解】（1）由2ππω=，得2ω=.（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以()()2sin 43g x f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭. 因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以44,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 413x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即当4x π=时，()ming x =. 【点睛】本题考查三角函数的伸缩变换和函数性质，sin y x =的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，()0ω> 纵坐标不变，变换后的解析式是sin y x ω=，()sin y x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，()0ω> 纵坐标不变，变换后的解析式是()sin y x ωϕ=+.22.已知幂函数()()23122233p p f x p p x --=-+满足()()24f f <．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若函数()()()[]2,1,9g x fx mf x x =+∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()12f x x =；（2）存在1m =-使得()g x 的最小值为0；（3）9,24n ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．【解析】试题分析：（1）根据幂函数()f x 是幂函数，可得2331p p -+=，求解p 的值，即可得到函数的解析式； （2）由函数()()()2,[1,9]g x fx mf x x =+∈，利用换元法转化为二次函数问题，求解其最小值，即可求解实数m取值范围；（3）由函数()9(3)h x f x =-+，求解()h x 的解析式，判断其单调性，根据在[],a b 上的值域为[],a b ，转化为方程有解问题，即可求解n 的取值范围． 试题解析： （1）∵()f x 幂函数，∴2331p p -+=，∴1p =或2p =．当1p =时，()1f x x -=在()0,+∞上单调递减，故()()24f f >不符合题意． 当2p =时，()12f x x ==在()0,+∞上单调递增，故()()24f f <，符合题意．∴()f x =（2）()g x x =+令t =．∵[]1,9x ∈，∴[]1,3t ∈，∴()2g x t mt =+，[]1,3t ∈．当12m-≤时，1t =时，()g x 有最小值， ∴10m +=，1m =-．②当132m <-<时，2m t =-时，()g x 有最小值．∴204m -=，0m =（舍）． ③当32m-≥时，3t =时，()g x 有最小值， ∴930m +=，3m =-（舍）．∴综上1m =-． （3）()h x n =， 易知()h x 在定义域上单调递减，∴()()h a b h b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即n b h a⎧=⎪⎨=⎪⎩，S =t =，则23a S =-，23b t =-，∴2233n S t n t S ⎧-=-⎨-=-⎩，∴22t S S t +=+， ∴()()10t S t S -+-=． ∵a b <，∴S t <，∴10t S +-=，∴1t S =-，1=． ∵a b <，∴1134a -≤<-，∴10,2S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ∴23n t S =+- 22S S =-- 21924S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．∴9,24n ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．点睛：本题主要考查了幂函数的解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质等知识点的综合应用，其中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键，试题综合性强，属于难题，考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识．。