第3章 函数逼近
函数逼近
第3章 函数逼近
设函数 f ( x ) C[a, b] ，集合
H n span 1, x , x ,
2
,x
n
如果存在 p( x ) H n，满足 max f ( x ) p( x ) En
a xb
其中 En min max f ( x ) pn ( x )
pn ( x )H n a x b
a n
b k 0 k k a k
f ( x) S( x)
b a
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1,
21
,n
数值分析
第3章 函数逼近
Th
设给定节点 f ( x ) C[a, b]，则其最佳平方逼近
唯一存在，且可以由前述 Gram 组成的方程组求解构造。
注：
组成的交错点组。
Chebyshev定理给出了最佳一致逼近多项式满足的性质
10
数值分析
第3章 函数逼近
f ( x )有唯一 设函数 f ( x ) C[a, b] ，则在 H n 中， 的最佳一致逼近多项式 P ( x ) 。
Th
（存在唯一性）
Th
（最佳一致逼近多项式的一种求法）
( n1)
[a , b]上不 设 f ( x ) 在[a , b]上有n+1阶导数， f ( x) 在 p( x ) H n 是 f ( x ) 的最佳一致逼近多项式，则： 变号， [a , b]的端点属于f ( x ) p( x ) 的交错点组。
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , ( x ) 为[a,b]上的一个权函数。 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
第3章逼近拟合中的基本概念
x1 , ... , xm 是 n 阶多项式 P( x) u0 u1 x ... un x n 的根
广义多项式拟合
定义 线性无关/ linearly independent/函数族{ 0(x), 1(x), … ,
n(x), … } 满足条件：其中任意函数的线性组合
n 0 n 1
对应法方程（或正规方程组/normal equations/）为：
m 1 m xi i 0 m xn i i 0
xi
x i2
i 0 i 0 m
m
x i2 x i3
i 0 m i 0 m
m
x in1
定理4. x*为Ax b的最小二乘解的 AT Ax* AT b
证 ： )若 存 在 使A Ax A b， 设 另 有 向 量 ( x * ~ x x y, y 0
* T * T
~ b Ax
b Ax
* 2 2 * 2 2
2 2
~ )T (b Ax ) ~ ( b Ax
( u1 , u1 ) ( u2 , u1 ) ( un , u1 ) ( u1 , u2 ) ( u2 , u2 ) ( un , u2 ) G (u , u ) (u , u ) (u , u ) 2 n n n 1 n
则称 ( x )为f ( x )的拟合函数 通常取 ( x )为多项式
函数逼近
当f ( x ) C , 要求 ( x )按某一近拟标准替代f ( x )，称 为函数逼近
最佳一致逼近
在C[a , b]中定义 f
max f ( x )
《数学函数逼近》PPT课件
---------(2)
a0 * 0(x) a1 * 1(x) an * n(x)
使得 * 2 2
m
(S * ( xi ) yi )2
i0
m
min S ( x)
2 2
min
S ( x)
i0
( S ( xi
)
yi
)2
n
其中S(x) a j j (x)为中的任意函数。
j0
---------(3)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY
理学院
n
称满足条件(3)的求函数S *(x) a*j j (x)的方法为 j0
数据拟合的最小二乘法.
n
S *(x) a*j j (x)为最小二乘解. j0 n
S(x) a j j (x)为拟合函数, a j ( j 0,1, , n)为拟合系数. j0 * 2 称为最小二乘解的平方误差. 2
解: 从数据的散点图可以看出
y与x之间具有三角函数关系 cos x y与x之间还具有指数函数关 系ex
y与x之间还具有对数函数关 系ln x 因此假设拟合函数与基函数分别为
设x, y的关系为
y S(x)
其中S(x)来自函数类 如(1)中y(x)来自线性函数类
设函数类 的基函数为 i(x)(i 0,1,,n) 一般要求n m
也称是由i(x)(i 0,1,, n)生成的函数集 ,即
span{0(x),1(x),,n(x)}
n
i0
k 0,1,,n 即
m
m
m
a0 0(xi )k (xi ) a1 1(xi )k (xi ) an n(xi )k (xi )
数值分析第三章
称为1 − 范数 , 称为 2 − 范数 .
(
b 2 ∫a f ( x )dx
)，
1 2
三、内积与内积空间
R n中向量x及y定义内积 : ( x, y ) = x1 y1 + L + x n y n .
定义3 上的线性空间， 定义3 设X是数域 K ( R或C)上的线性空间，对 ∀u, v ∈ X， 中一个数与之对应， 并满足条件： 有K中一个数与之对应，记 为( u, v )，并满足条件： (1) ( u,v ) = (v , u), ∀u,v ∈ X ; (2) (αu,v ) = α ( u,v ), α ∈ R; (3) ( u + v , w ) = ( u,w ) + (v,w ), ∀u,v,w ∈ X ; (4) ( u, u) ≥ 0, 当且仅当 u = 0时， , u) = 0. (u 则称( u, v )为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间 称 的共轭， 为内积空间. (v , u)为( u,v )的共轭，当 K = R时 (v , u) = ( u,v ).
2)
j =1
∑ α ju j = 0 ⇔ ( ∑ α ju j , ∑ α ju j ) = 0
j =1 n j =1
n
n
n
⇔ ( ∑ α j u j , uk ) = 0, k = 1,L, n.
j =1
∴ G非奇异 ⇒ u1 , u2 ,L, un线性无关 (反证法 )；反之亦然 .
在内积空间X上可以由内积导出一种范数, 即对u ∈ X , 记 || u ||= (u , u )， Cauchy − Schwarz不等式得出. (1.10) 易证它满足范数定义的正定性和齐次性, 而三角不等式由
数值分析第四版习题及答案
第四版数值分析习题第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211N dx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. ,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是 (4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x 第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
《数值分析》第3讲：函数逼近与计算
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
函数逼近论
函数逼近论函数逼近论是函数论的一个重要组成部分，涉及的基本问题是函数的近似表示问题。
在数学的理论研究和实际应用中经常遇到下类问题：在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，并求出用g近似表示ƒ而产生的误差。
这就是函数逼近问题。
在函数逼近问题中，用来逼近已知函数ƒ的函数类可以有不同的选择；即使函数类选定了，在该类函数中用作ƒ的近似表示的函数g的确定方式仍然是各式各样的；g对ƒ的近似程度（误差）也可以有各种不同的含义。
所以函数逼近问题的提法具有多样的形式，其内容十分丰富。
从18世纪到19世纪初期，在L.欧拉、P.-S.拉普拉斯、J.-B.-J.傅里叶、J.-V.彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。
这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。
在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。
切比雪夫提出了最佳逼近概念,研究了逼近函数类是n次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元的特征定理。
他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题，得到了许多重要结果。
已知[α,b]区间上的连续函数ƒ(x)，(n≥0)，叫做ƒ(x)的n阶最佳一致逼近值，简称为最佳逼近值，简记为En(ƒ)。
能使极小值实现的多项叫做ƒ(x)的n阶最佳逼近多项式。
切比雪夫证明了，在区间[-1,1]上函数xn+1的n阶最佳逼近多项式必满足关系式。
多项式就是著名的切比雪夫多项式。
切比雪夫还证明了ƒ(x)在[α,b]上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在[α，b]上存在着n+2个点：α≤x1<x2<…xn+2≤b，在这些点上依照i=1,2,…,n+2的次序交错变号，像这样的点组{x1,x2,…,xn+2} 便是著名的切比雪夫交错组。
1885年德国数学家K.（T.W.）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。
数值分析第3章函数逼近和快速傅立叶变换
数值分析第3章函数逼近和快速傅立叶变换第3章的内容主要涉及函数逼近和快速傅立叶变换。
函数逼近是指通过一系列已知数据点来估计一个函数的近似值。
快速傅立叶变换是一种高效计算连续傅立叶变换的方法。
函数逼近是数值分析中一项重要任务，它涉及到通过一组已知数据点来估计一个未知函数的值。
常用的函数逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近和样条函数逼近。
多项式逼近是利用一组已知数据点来构造一个多项式，使得该多项式在这些数据点上的值与已知数据点的值尽可能接近。
多项式逼近的基本思想是利用多项式的线性组合来近似未知函数，通过最小化误差函数来确定逼近多项式的系数。
多项式逼近的优点是简单易实现，但是当数据点较多或者函数较复杂时，多项式逼近的结果可能不够精确。
三角函数逼近是利用三角函数的线性组合来近似未知函数。
三角函数逼近的基本思想是利用三角函数的周期性来估计未知函数的值。
通过最小化误差函数来确定逼近三角函数的系数。
三角函数逼近适用于具有周期性的函数，在信号处理和图像处理中得到广泛应用。
样条函数逼近是利用多个局部的插值多项式来逼近未知函数。
样条函数逼近的基本思想是将整个待逼近区间分成多个子区间，每个子区间内使用一个插值多项式来逼近未知函数。
通过最小化误差函数来确定样条函数的系数。
样条函数逼近适用于具有较强光滑性的函数，在计算机图形学和计算机辅助设计领域得到广泛应用。
快速傅立叶变换（FFT）是一种高效计算连续傅立叶变换的方法。
傅立叶变换可以将一个连续函数分解成若干个正弦和余弦函数的和，它在信号处理、图像处理和通信等领域有着重要应用。
传统的傅立叶变换算法的时间复杂度为O(n^2)，而快速傅立叶变换算法的时间复杂度为O(nlogn)，能够极大地提高计算效率。
快速傅立叶变换的基本思想是将一个长度为n的序列分解成两个长度为n/2的序列，通过递归地进行这种分解，最终得到长度为1的序列。
然后再通过合并各个子问题的解来得到原始序列的傅立叶变换。
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§3.2 最佳一致逼近/*Best Uniform Approximation */ Weierstrass定理 设给定函数 f ( x ) C[a, b]，则对 0 ，存 在一多项式 P ( x )，使得
第3章 函数逼近
f ( x) P ( x) x [a, b]
n a x b
b n a
一致逼近
lim f ( x ) p( x ) ( x )dx 0
2
3
L2逼近
数值分析
第3章 函数逼近
例 ：对被逼近函数 f x x ,在区间 0,1 上按三种不同的逼近方式求其形如
p x ax b 的逼近函数.
设函数 f ( x ) C[a, b] ，集合
H n span 1, x , x , , x
2
n
如果存在 p( x ) H n，满足 max f ( x ) p( x ) En
a xb
其中 En min max f ( x ) pn ( x )
pn ( x )H n a x b
b
a0 , a1 ,, an S( x) a00 ( x) ann ( x)
2
f ( x ) S ( x )
a
( x )dx min
( x ) 1，则称 S ( x )
称函数 S ( x )为 f
( x ) 在[a,b]上关于权函数 ( x ) 的最佳
将 S ( x ) 代入前式：
S( x) a00 ( x) ann ( x)
( 0 , 0 )a0 ( 0 ,1 )a1 ( 0 , n )an ( 0 , f ) (1 , 0 )a0 (1 ,1 )a1 (1 , n )an (1 , f ) ( n , 0 )a0 ( n ,1 )a1 ( n , n )an ( n , f )
2 ( x ) S ( x ) S ( x ) f ( x ) ( x )dx
( x) S ( x ) S ( x ) f ( x ) ( x )dx (b a ) S ( x ) f ( x ) ( x ) ( x )dx 0
前述Gram组成的方程组通常称为法方程组
Gram矩阵是实对称正定矩阵 最佳平方逼近可以通过求解法方程组而得到
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数值分析
例1：求函数 f ( x ) sin x 在 [0,1]上的最佳平方逼近： 解： 本题的函数系和权函数为：
0 ( x) 1 1 ( x ) x
数值分析
Numerical Analysis
李小林
重庆师范大学数学学院
数值分析
第3章 函数逼近
第3章 函数逼近
§3.1 基本概念
函数逼近: 用比较简单的函数代替复杂的函数
要求构造函数在整个区间上 与已知函数的误差尽可能小
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数值分析
第3章 函数逼近
误差度量标准：
（1）
max f ( x ) p( x )
对于任意广义多项式
( x) b00 ( x ) b11 ( x ) bnn ( x )
下面证明
f ( x ) S ( x )
b a
2
( x )dx
f ( x ) ( x ) a
b
2
( x )dx
即
f ( x) S( x)
求最佳一致逼近多项式最终归结为求解非线性方程组
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数值分析
1 例1：求函数 f ( x ) x 在 [ ,1]上的一次最佳一致逼 4 近多项式。
解：设所求的一次最佳一致逼近多项式为：
第3章 函数逼近
p( x ) ax b
R( x) f ( x) p( x) x ax b
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数值分析
第3章 函数逼近
n
最佳一致逼近多项式求解过程总结
p ( x ) a k x k 设在 H n中所求的最佳一致逼近多项式为：
f ( x ) p ( x ) 的n+2个交错点组为：
则有
k 0
a x1 x2 xn 2 b
n k 0 k i i
b a
f ( x) S( x) ( x)dx 0 k 0,1,, n
2 a
f ( x) S( x)
即：
k
( x ) ( x )dx 0 k 0,1, , n
b
b
a
S ( x ) k ( x ) ( x )dx f ( x ) k ( x ) ( x )dx
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数值分析
令
第3章 函数逼近
Gn ( i , j ) ( n1)( n1)
i , j 0,1,, n
G 对称矩阵 n 是关于函数系 j ( x )
T
n
j 0
的Gram(格拉姆)矩阵
易证Gram矩阵为实对称正定矩阵：
x ( x0 , x1 ,, xn ) 0
注：
Bernstein多项式具有良好的一致逼近性质； 如果要求精度很高， Bernstein多项式次数
会很高，即它的收敛速度很慢；
Chebyshev方法：在所有次数不超过固定次
数n的多项式中寻找一个最精确地逼近函数f ( x ) 的多项式。
故称之为最佳一致逼近
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数值分析
第3章 函数逼近
（最佳一致逼近的定义） Def 1
解 ① 插值法，以 x0 0, x1 1为插值节点对 f x 作一次插值得
p x x
② 最佳一致逼近，得
p x x 1 8
③ 最佳平方逼近，得
p x 4x 5 4 15
可见，对同一个被逼近函数，不同距离意 义下的逼近，逼近函数是不同的.
4
数值分析
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数值分析
第3章 函数逼近
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数值分析
§3.3
第3章 函数逼近 最佳平方逼近/*Best Approximation in Quadratic Norm*/
假设 f ( x ) C[a, b] ， j ( x )
n j 0
是[a,b]上的一个线性无
关函数系,且 j ( x) C[a, b] , ( x ) 为[a,b]上的一个权函数。 如果存在一组系数 使得广义多项式 满足
b a
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( x )dx min
数值分析
记
D
f ( x ) ( x ) a
b b
2
( x )dx
2
第3章 函数逼近
f ( x ) S ( x ) a b 2 D S ( x ) ( x ) ( x )dx a
b a
b
( x )dx
T T
x Gn x 0
T
x Gn x x ( i , j ) x ( n1)( n1)
( xk k ( x ), xk k ( x ))
k 0 k 0
n
n
0
上述方程组存在唯一解
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数值分析
第3章 函数逼近
设由上述方程组的解确定的广义多项式为：
S( x) a00 ( x ) a11( x ) ann ( x )
f ( xi ) p ( xi ) f ( xi ) ak x ( 1) En
n+1个方程， 2n+3个未知数
1
i 1, 2,, n 1, n 2
f ( xi ) p ( xi ) 0 当交错点 xi 在区间 ( a , b )内部时满足
a
k 0,1, 2, , n
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数值分析
记
第3章 函数逼近
b
( i , j ) i ( x ) j ( x ) ( x )dx i , j 0,1, 2, , n
a b a
( i , f ) i ( x ) f ( x ) ( x )dx i 0,1, 2, , n
平方逼近或最小二乘逼近；特别，若 是f
( x ) 在[a,b]上的最佳平方逼近.
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数值分析
第3章 函数逼近
由定义可以看出，最佳平方逼近问题实际上是个多元极值问题
记
I (a0 , a1 ,, an )
b
f ( x) S( x) ( x)dx a
b 2
由极值的必要条件
I ak ak
a xb
b
（2）
a
f ( x ) p( x ) ( x )dx
2
其中
对于给定的函数系
使得函数 （1） （2）
( x )
j
( x ) 0为权函数
n j 0
，寻求一组系数
c0 , c1 ,, cn
p( x ) c j j ( x )满足
j 0
n
lim max f ( x ) p( x ) 0
g( x ) C[a , b] ，若存在n个点：
满足
且 则称
g( xi ) max g( x )
a xb
a x1 x2 xn b
i 1, 2, , n
g( xi ) g( xi 1 ) i 1, 2,, n 1 x1 , x2 ,, xn 为 g ( x ) 在 [a , b]上的Chebyshev
则称 p( x ) 为 f ( x ) 的n次最佳一致逼近多项式，简称n 次最佳逼近多项式。 p( x ) 和 f ( x ) 的偏差 称为 f ( x ) 的n次最佳逼近或最小偏差