数学人教版八年级下册直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

《直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半》教学设计
广州市第四中学邓丽丽
一、教学内容与内容分析
1、教学内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半性质的形成和应用。

2、内容分析：
来源于人教版八年级数学下册19.2.1矩形一节，由矩形的对角线性质“矩形的对角线相等”我们得到了直角三角形的一个重要性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。

本课主要内容是一、为什么说“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”；二、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的应用（包括应用于生活实际问题、应用于几何计算与证明）。

利用倍长中线法，利用对称的性质构造全等三角形，以及构造中位线法证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，总结中点辅助线模型，为中考常见题型中的中点问题的解决提供了基础和方法。

二、教学目标与目标分析
1、教学目标
（1）知识与技能目标：能掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用，能利用添辅助线证明有关中点的几何问题；
（2）过程与方法目标：通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感悟化归思想；
（3）情感与态度目标：通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，让学生领悟数学源于生活用于生活，鼓励学生大胆思考，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习兴趣。

三、教学重点与教学难点：
教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明与应用。

教学难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明与应用。

3、突出重点、突破难点的方法与策略：
☆突出重点的方法：
通过设置情境问题，引导学生思考、探究和讨论，在学生的自主探究过程中突出重点☆突破难点的方法：
通过教师的启发引导，充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、探讨交流、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点。

四、教学方法：
根据本节课的教学内容、教学目标以及学生的认知特点和实际水平，教学上本节课采用“情景引入——探索新知——应用新知”的教学方法，并将学生分成几个小组，实行以个人自主探究、小组合作交流为主，教师适当引导为辅的教学模式。

☆教师的教法：突出学习方法的引导，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台，及时对学生个人和小组的学习进行评价；
☆学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳，在自主探究、自主思考、合作交流中，掌握本节课的知识、方法和数学思想。

五、教学过程：
Part1：复习引入
取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠：
问题：（4）中有几个全等的三角形，图中与CD相等的线段有哪些？CD与AB的大小有什么关系？
【设计意图】通过学生动手操作得到直角三角形斜边上的中线和斜边之间的长度关系，激发学生的学习兴趣。

Part 2：探索新知
要修建一个地铁站，想把地铁站的出口D建造在离附近的三个公交站点A、B、C的距离相等的位置。

而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形,∠ACB=90°。

你会把地铁站的出口D建造在哪里？
图1 图2
探索第一步（解决问题）
学生活动：动一动想一想猜一猜
1、请同学们分小组任意画一个直角三角形ABC,∠ACB=90°，在图上找出那个点，并说出它的位置。

2、请同学们测量一下这个点D到这三个顶点A,B,C的距离是否符合要求.
AD= ,BD= ,CD= ,AB= 。

3、通过以上实验请猜想一下，直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系？
教师活动：1、投影学生画的直角三角形；
2、利用几何画板动态显示斜边及斜边上的中线的关系，让学生猜测得出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3、对于所有的直角三角形是否也具有这样的性质，那么我们需要进行严格的几何证明。

【设计意图】通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系，引发学生的学习兴趣。

通过动手操作找到那个点，通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系。

让学生经历“折纸、画图、测量、观察、归纳”一个完整的数学探索过程．这种在
合情推理的基础上，得出猜想，加以证明，得出判定定理。

这种方式是直观的，由感性认识
上升到理性认识。

探索第二步（证明）：
师生活动：
教师可用思维流程图对学生进行引导，也可请小组合作交流探讨，师生共同分析，先理清思
路，后请学生补充证明过程，教师板书或多媒体展示，或者引导学生进行板书：
证明1：
B ∴　A B =
C E
∵
C E =2C
D ∴　A B =2C D
∵ ∠A C B =90°
∴
四边形A C B E 是矩形．∵
C D =D E , A D =B D ∴
四边形A C B E 是平行四边形．证明：如图，延长C D 至点E ,使得C D =D E ，
连接A E ，B E ．
证明2：
∵
A B =A E ∴
A B =2C D
∵ C E =B C , A D =B D ∴D C 是△A B E 的中位线．
∴A E =2C D.
∵ A C ⊥B C ,C E =B C ,
∴A B =A E ．
证明：如图，延长线段B C 至点E ,
使得C E =B C , 连接A E ．
证明3：
∴
A D =C D ∵
A D =
B D ∴
A B =2C D ∵ ∠A C B =90°
∴∠D E A =∠A C B =90°
∵
A E =E C , A D =
B D ∴D E 是△A B
C 的中位线．
∴D E //B C 证明：如图，取线段A C 的中点E ,
连接D E ．
教师活动：3种方法的总结，
（（1）倍长中线法（2）利用对称的性质构造全等三角形E
B （3）构造中位线法
A B
【设计意图】1、让学生通过三种不同证明方法的解题方法的比较，可以更好地拓展解题思
路，提高学生的逻辑思维能力。

2、在证明过程中，感悟化归思想。

小结1：
1、解决上述问题运用了什么知识？
全等三角形, 矩形的判定和性质，中位线，轴对称
2、解决上述问题体现了什么数学思想方法？
数学思想：转化（化归）
利用已知(求证)作出恰当的辅助线，构造全等三角形 。

3、中点
辅助线模型
师生活动：教师引导学生进行小结，学生回答，教师补充完善
【设计意图】能以“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”思想为指导，让学生通过折
纸、测量、猜想、验证等活动，经历一个完整的数学探索过程．这种在合情推理的基础上，经过严格证明，肯定结论的思维方式正是数学学科要重点培养的思维方式。

并且老师能及时
引导学生归纳中点辅助线模型的作法，为今后此类题目的学习，起了很好的铺垫作用。

Part 3：应用新知，解决问题
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”应用
1.应用于生活实际
如图，一根5米的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，如果竹竿沿着墙壁下滑，那么竹竿中点于墙角C之间的距离是否变化？
【设计意图】引导学生运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，CD,CD'分别是Rt△ACB与Rt△A'CB'斜边上的中线，分别等于斜边AB和A'B'的一半.
2.应用于几何计算
已知在Rt△ABC中，斜边AB=10cm，则斜边上的中线的长为______.
【设计意图】直接应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行几何计算。

3.应用于几何证明
已知：如图，△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的高，F是BC的中点，求证：EF=DF.
B C
师生活动：学生自主分析，请学生代表分析思路。

其基本思路为：连续两次运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。

【设计意图】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半在几何证明中的应用。