最新高三一轮---空间向量解决立体几何(建系)试题汇编

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1、如在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE ⊥DC ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F ﹣AB ﹣P 的余弦值．
2、已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点（1）证明：PE ⊥BC （2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．（42
）
３．如图，四棱锥P ﹣ABCD ，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB=2，∠BAD=3
，M 为BC 上的一点，
且BM=21
，MP ⊥AP ．（Ⅰ）求PO 的长；（Ⅱ）求二面角A ﹣PM ﹣C 的正弦值．
４．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，AB ⊥AC ，AB=AC=2，AA 1=4，点D 是BC 的中点． （1）求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；（2）求平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值．
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５.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，顶点A 1在底面ABC 上的射影恰为点B ，且AB=AC=A 1B=2．（1）求棱AA 1与BC 所成的角的大小；
（2）在棱B 1C 1上确定一点P ，使AP=14，并求出二面角P ﹣AB ﹣A 1的平面角的余弦值．
６.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=a ，∠ABC=60°，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE=a ，点M 在线段EF 上．
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；．（Ⅱ）求二面角B ﹣EF ﹣D 的平面角的余弦值．
７.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．△PAD 为等腰直角三角形，且PA ⊥AD ． E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角E ﹣PD ﹣C 的余弦值．
８.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A﹣DC﹣B的余弦值．
（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．
９、在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EC⊥AC，EF∥AC，AB=，EF=EC=1，
（1）求证：平面BEF⊥平面DEF；（2）求二面角A﹣BF﹣E的大小．
10、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，P是平面ABCD外一点，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，PA=AB=BC=2AO=2，BO=3．
（1）证明：PA⊥BO；（2）求二面角A﹣BP﹣D的余弦值．
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11、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=CA=AA1，D为AB的中点．（1）求证：BC1∥平面DCA1；（2）求二面角D﹣CA1﹣C1的平面角的余弦值．
12、在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．
１3、如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AB⊥平面BCE，DC⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=
3
2 ．（I）求证：平面ADE⊥平面ABE；（Ⅱ）求二面角A﹣EB﹣D的大小．
１4、在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=2，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．
（Ⅰ）求证：CD=C1D；
（Ⅱ）求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值．
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１5、所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠BAD=3
．，AD=2．
（1）求证：平面FCB ∥平面AED ；
（2）若二面角A ﹣EF ﹣C 为直二面角，求直线BC 与平面AEF 所成的角θ的正弦值．
１6、已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，AA 1=AC=BC=2，A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ．（Ⅰ）求证：AC 1⊥BA 1；（Ⅱ）求A ﹣A 1B ﹣C 的余弦值．
１７、在三棱锥P ﹣ABC 中，PB ⊥平面ABC ，△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D 、E 、F 分别为AC 、AB 、BC 的中点．
（I ）求证：EF ⊥PD ；（2）求二面角E ﹣PF ﹣B 的正切值．
１８、在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，若PD=DA，M是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BDM；（2）求二面角B﹣DM﹣C的余弦值．
１９、四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=22，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．
（1）求证：SD∥平面CFA；（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．
２０、AB为圆O的直径，点E、F在圆上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直，已知AB=2，BC=EF=1（Ⅰ）求证：BF⊥平面DAF（Ⅱ）求平面ADF与平面CDFE所成的二面角的余弦值．
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２1、四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2AB．（1）证明：PC⊥AB；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
２2、己知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，N是CC1的中点．
（I）求证：A1C⊥BN；（Ⅱ）求二面角B﹣A1N﹣C的余弦值．
２３、三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1；（2）（理）设点E是直线B1C1上一点，且DE∥平面AA1B1B，求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值．
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２4、四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=4AD=2，BD=23，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D大小为4 ．，求AP与平面PBC所成角的正弦值．
２５、在直角梯形中ABCD中．AB∥CD，AB⊥BC，F为AB上的点，且BE=1，AD=AE=DC=2，将△ADE沿DE折叠到P点，使PC=PB．
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．
２6、已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形，点M、N分别是A1C1和A1B1的中点，AA1=AB=BM=2，∠A1AB=60°．（Ⅰ）求证：BN⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求二面角A1﹣AB﹣M的正切值．
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２7、在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，CF=1．
（Ⅰ）求证：平面FBC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）若M为线段EF的中点，设平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值．
２8、已知AB⊥平面A CD,DE⊥平面ACD, ,AB=2,AC=AD=DE=4
,F为CD的中点，（Ⅰ）求证：AF//面BCE，
（Ⅱ）若
120
=
∠CAD，求二面角F-BE-D余弦值.
２９、三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4正三角形，AA1⊥平面ABC，AA1=26，M为A1B1的中点．（I）求证：MC⊥
AB；（II）在棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面AB,若存在，确定点P的位置；若不
存在，说明理由．（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求二面角B-AP-C的余弦值．
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30、在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD中点，D1E⊥CD
，AB=2，BC=1，（1）证明BC⊥D1E，（2）若平面BCC1B1与平面BED1成锐二面角为600，，求线段D1E长度
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