第三讲 圆综合复习

远辉教育初三数学总复习学案
主讲人：穆老师电话：62379828
第三讲圆综合复习
一、圆中面积计算
例1、如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD=120°，四边形ABCD 的周长为15．（1）求此圆的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
例2、如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE=3，连接BD，过点E作EM∥BD，
交BA的延长线于点M．
（1）求⊙O的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD=45°时，求图中阴影部分的面积．
练习1、如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB ＝30°．（1）求∠AOC的度数；
（2）)若弦BC＝6cm，求图中阴影部分的面积．
2、如图1，已知在⊙O 中，点C 为劣弧AB 上的中点，连接AC 并延长至D ，使CD=CA ，连接DB 并延长DB 交⊙O 于点E ，连接AE ．（1）求证：AE 是⊙O 的直径；
（2）如图2，连接EC ，⊙O 半径为5，AC 的长为4，求阴影部分的面积之和．（结果保留π与根号）
二、圆的切线证明和计算
例1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 是AC 的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A ，D 作⊙O ，使圆心O 在AB 上，⊙O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与⊙O 相切；
（2）若AD ：AE=4：5，BC=6，求⊙O 的直径．
例2、如图，已知ABC △，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接
BE 交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且AD BE ⊥，垂足为点H . （1）求证：AB 是半圆O 的切线； （
2）若3AB =，4BC =，求BE 的长.
A A
A
练习1、如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过C 作CD 丄P A ，垂足为D ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线； （2）若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度．
练习2 已知：在△ABC 中，以AC 边为直径的⊙O 交BC 于点D ，在劣弧AD ⌒上取一点E 使∠EBC = ∠DEC ，
延长BE 依次交AC 于G ，交⊙O 于H .(1)求证：AC ⊥BH (2)若∠ABC = 45°，⊙O 的直径等于10，BD =8，求CE 的长.
三、圆中相似与计算
例1、如图，BD 是⊙O 的直径，A 、C 是⊙O 上的两点，且AB ＝AC ，AD 与BC 的延长线交于点E ． （1）求证：△ABD ∽△AEB ； （2）若AD ＝1，DE ＝3，求BD 的长．
例2、如图，BD 为⊙O 的直径，AB=AC ，AD 交BC 于点E ，AE=2，ED=4， （1）求证：△ABE ∽△ADB ；（2）求AB 的长；
（3）延长DB 到F ，使得BF=BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
练习1、如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦AB 上的任意一点 （不与点A 、B 重合），连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD ．
（1）弦长等于________（结果保留根号）；（2）当∠D=20°时，求∠BOD 的度数；
（3）当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点的三角形与以B 、C 、0为顶点的三角形相似？请写出解答
过程．
2、如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AB=AC ，AD 与BC 相交于点E ，AE=21ED ，延长DB 到点F ，使FB=2
1
BD ，连接AF ．
（1）证明：△BDE ∽△FDA ；
（2）试判断直线AF 与⊙O 的位置关系，并给出证明．
四、圆中切线与三角函数的计算
3
DP DO
例2、如图所示．P 是⊙O 外一点．P A 是⊙O 的切线．A 是切点．B 是⊙O 上一点．且P A ＝PB ，连接AO 、
BO 、AB ，并延长BO 与切线P A 相交于点Q ．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）求证： AQ ·PQ ＝ OQ ·BQ ； （3）设∠AOQ ＝α．若cos α＝4
5
．OQ ＝ 15．求AB 的长
练习1、已知：如图，在△ABC 中，BC=AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为
点E ．（1）求证：点D 是AB 的中点；
（2）判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （3）若⊙O 的直径为18，cosB=3
1
，求DE 的长．
2、如图，⊙O 的直径AB 与弦CD （不是直径）相交于点E ，且CE =DE ，过点B 作CD 得平行线AD 延长线
于点F ．（1）求证：BF 是⊙O 的切线； （2）连接BC ，若⊙O 的半径为4，3
sin 4
BCD ∠=，求CD 的长？
3、如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 直径，AC=CD ，连接AD 交BC 于点M ，延长MC 到N ，使CN=CM ． （1）判断直线AN 是否为⊙O 的切线，并说明理由；
（2）若AC=10，tan ∠CAD=3
4
，求AD 的长．
4、如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD ＝∠ABC ． （1）求证：CA 是圆的切线；
（2）若点E 是BC 上一点，已知BE ＝6，tan ∠ABC ＝32，tan ∠AEC ＝3
5
，求圆的直径．
五、圆与一次函数结合综合类计算
例1、如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．
（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE；
（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=3CD，请说明你的理由．
例2、如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．（1）已知AC=3，求点B的坐标；
（2）若AC=a，D是OB的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同
一圆上，记这个圆的圆心为O1，函数
k
y
x
的图象经过点O1，求k的值（用含a的代数式表示）．
C
E
l
六、圆中其他综合题
2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．1、如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为3
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．
2、如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．
（1）求∠BPC的度数；（2）求证：P A=PB+PC；
（3）设P A，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度．
3、如图，等边△ABC内接于⊙O，P是 AB上任一点（点P不与点A．B重合），连AP．BP，过点C作CM∥BP 交P A的延长线于点M．
（1）填空：∠APC=度，∠BPC=度；（2）求证：△ACM≌△BCP；
（3）若P A=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．
4、如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB ＝40°，∠APD ＝65°． （1）求∠B 的大小：（2）已知圆心O 到BD 的距离为3，求AD 的长．
5、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，切点为A 、D 为⊙O 上一点，AD 与OC 相交于点E ，且∠DAB =∠C （1）求证：OC ∥BD ；
（2）若AO =5，AD =8，求线段CE 的长．
6、已知，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点C 在⊙O 的半径OA 上运动，PC ⊥AB ，垂足为C ，PC=5，PT 为⊙O 的切线，切点为T ．（1）如图（1），当C 点运动到O 点时，求PT 的长； （2）如图（2），当C 点运动到A 点时，连接PO 、BT ，求证：PO ∥BT ； （3）如图（3），设PT 2=y ，AC=x ，求y 与x 的函数关系式及y 的最小值．
7、如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相
交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA ∥PE .（1）求证：AP ＝AO ； （2）若弦AB ＝12，求tan ∠OPB 的值；
（3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为
，能构
成等腰梯形的四个点为 或 或 .
8、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E ．⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ，且AD ＝3，cos ∠BCD ＝
4
3． （1）求证：CD ∥BF ； （2）求⊙O 的半径； （3）求弦CD 的长．。