圆中综合题复习专题

圆中综合题复习专题第一组1.若集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤16}，B ＝{(x ，y)|x 2＋(y －2)2≤a －1}且A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是________．解：由题意知B ⊆A.当a<1时，B ＝∅，满足题意；当a ＝1时，B ＝{(0，2)}，满足题意；当a>1时，则集合A ，B 分别表示圆面x 2＋y 2≤16与圆面x 2＋(y －2)2≤a －1，由题意得B 内含于A ，从而4－a －1≥2，解得a ≤5.综上，a ≤5.2.已知两点A (1,2)，B (5,5)到直线l 的距离分别是3和2，则满足条件的直线共有_____条.解以A (1,2)为圆心，3为半径的圆A ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，以B (5,5)为圆心，2为半径的圆B ：(x －5)2＋(y －5)2＝4，根据题意所要满足的条件，则l 是圆A 与圆B 的公切线，因为A (1,2)，B (5,5)两点间的距离d ＝5，即d ＝r 1＋r 2，所以圆A 与圆B 相外切，所以有3条公切线.3.过点(3，1)作圆()1122=+-y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________．解：点P (3，1)与圆心C (1，0)PA 2,则以P (3，1)为圆心，以2为半径的圆P 方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4,则两圆的交点即为A ，B ，两圆相减可得AB 的方程为2x ＋y －3＝0． 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是_______________________．解：由题意，圆C 与圆C 1和圆C 2的公共弦分别为圆C 1和圆C 2的直径，设C (a ，0），则(a ﹣4)2+(0﹣8)2+1=(a ﹣6)2+(0+6)2+9，∴a =0，∴圆C 的方程是x 2+y 2=81．5.圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a 的值为________．15+，解得a =±51=-，得0a =.综上 a =±0．6.在平面直角坐标系xOy 中，若与点A(2，2)的距离为1且与点B(m ，0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________．解:由题意知以A(2，2)为圆心，1为半径的圆与以B(m ，0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m －2)2＋4<16，所以－23＋2<m<23＋2，且m ≠2.7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解:方法一：如图，圆C ：(x －4)2＋y 2＝1，直线y ＝kx －2表示过定点P(0，－2)且斜率为k 的直线系．由题可知，直线系l 只能在直线l PA 与l PB 之间绕点P 旋转，所以k max ＝k PB ＝tan 2α，这里tan α＝CA PA ＝12，所以k max ＝43. 方法二：设动圆圆心O 1(t ，kt －2)，由于两个等圆(圆O 1与圆C)至少有一个公共点，则两圆圆心距O 1C ＝（4－t ）2＋（2－kt ）2≤1＋1，所以(k2＋1)t 2－4(2＋k)t ＋16≤0有解，所以Δ＝16(2＋k)2－4×16×(k 2＋1)≥0，化简得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43，即k max ＝43. 8.在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．【思维引导】先将动圆M 上点Q 当作定点，过点Q 作圆O 的切线QR ，切点为R ，根据圆的切线性质，有∠OQR ≥∠OQP ，根据OP ＝1，确定OQ ≤2，然后根据点Q 既在圆面x 2＋y 2≤4上，又在圆M 上，建立不等关系，从而确定参数a 的取值范围．【解析】过点Q 作圆O 的切线QR ，切点为R ，根据圆的切线性质，有∠OQR ≥∠OQP ＝30°；反过来，如果∠OQR ≥30°，则存在圆O 上的点P ，使得∠OQP ＝30°.所以若圆O 上存在点P ，使得∠OQP ＝30°，则∠OQR ≥30°.因为OP ＝1，所以OQ ≤2，即点Q 在圆面x 2＋y 2≤4上．又因为点Q 在圆M 上，所以圆M ：(x＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a 为实数)与圆面x 2＋y 2≤4有公共点，所以OM ≤3.因为OM 2＝(0＋a ＋3)2＋(0－2a)2，所以(0＋a ＋3)2＋(0－2a)2≤9，解得－65≤a ≤0. 【精要点评】本题的两个特色：(1) 动静结合，化动为静：难点在于点P 与点Q 均为动点，为了走出两动困境，所以先将点Q 当作定点(静)进行研究；(2) 化相等为不等，实现质的突变：题目的条件“圆O 与圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°”为相等关系，通过多次转化后得到一个关于参数a 的不等式，这既是本题亮点，也是难点，同时也符合现在高考“重在考查学生思维能力”的基本理念9.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．解:如图，圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°，此时PO ＝2，由题意可知点P 在圆x 2＋y 2＝4上．又因为点P 在圆M 上，所以圆x 2＋y 2＝4与圆(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1有公共点，由于圆M 的半径等于1，圆心坐标M(a ，a －4)，所以2－1≤MO ≤2＋1，MO ＝a 2＋（a －4）2，由1≤a 2＋（a －4）2≤3，解得2－22≤a ≤2＋22. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1：kx －y ＋2＝0 与直线 l 2：x ＋ky －2＝0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y －4＝0 的距离的最大值为 答案：3 2解析：由题意，l 1过定点M (0，2)，l 2过定点N (2，0)，且l 1⊥l 2，所以点P 的轨迹为以M N 为直径的圆，圆心为C (1，1) x －y －4＝0 的距离d ==,点 P 到直线x －y －4＝0 的距离的最大值为变式1.已知点A (2,3)，点B (6, 3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP BP ⋅＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是 ．变式 2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2+=x y 与x 轴，y 轴分别相较于N M ,两点，点P 在圆2)(22=+-y a x 上运动，若MPN ∠恒为锐角，则a 的取值范围是________417-<->a a 或 第二组1.已知圆M ：(x －1)2＋(y －4)2＝4，若过x 轴上的一点P(a ，0)可以作一直线与圆M相交于A ，B 两点，且满足PA ＝BA ，则实数a 的取值范围为________．【解析】(1) 方法一：如图，过点B 作圆M 的直径BD ，连接DA ，DP ，要存在满足条件的点P ，只要圆M 存在点D 即可．由于∠BAD ＝90°，PA ＝BA ，所以DP ＝DB ＝4，因而点D 在以P(a ，0)为圆心，4为半径的圆P ：(x －a)2＋y 2＝16上运动，这说明点D 同时在圆M 和圆P 上，因而两个圆必有交点，所以4－2≤（a －1）2＋（0－4）2≤4＋2，解得a 的取值范围是[1－25，1＋25]．方法二：设A(x ，y)，则B(2x －a ，2y)．因为点B 在圆M 上，所以(2x －a －1)2＋(2y －4)2＝4，即 ⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋122＋(y －2)2＝1(*)，这表明点A 在方程(*)表示的圆上，又点A 在圆M 上，因此这两个圆有公共点，所以2－1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12－12＋（2－4）2≤1＋2，解得a 的取值范围是[1－25，1＋25]． 变式：如图在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A （2,4）.设点T （t,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围. 解设()()1122,,,.P x y Q x y 因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以…①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…②,将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y ⎡⎤-++-=⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y ⎡⎤-++-=⎣⎦没有公共点，所以5555,-≤≤+解得22t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.2. 已知c b a ,,为单位向量，且0=∙--的取值范围是___________[]12,12+-变式：已知,,为同一平面内的三个向量，其中,是互相垂直的单位向量，且1))(=-∙-，的最大值为__________21+ 3.已知变量R a ∈θ,，则22)sin 225()cos 2(θθ--+-a a 的最小值为__________93.已知点)0,2(),0,2(B A -，直线02:=+-m y x l ，若在直线l 上存在点M 使得直线MB MA ,的斜率乘积等于1-，则实数m 的取值范围是_____________[]52,52- 4.已知圆1:22=+y x O ，直线3:=+y ax l ，若直线l 上存在点P ，过P 作圆O 的两条切线，切点为BA ,使得3π=∠APB ，则实数a 的取值范围为_____________2525-≤≥a a 或 5.已知)0,2(),0,2(B A -，点P 在圆)0()4()3(222>=-+-r r y x 上，满足4022=+PB PA ，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是___________()9,16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过点P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B.若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．设点P 的坐标为(x ，y)，因为PB ＝2PA ，所以PB 2＝4PA 2，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.方法一：该方程表示一个圆，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0，r ＝83.因为点P 有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，解得b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－203，4.方法二：因为点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为点P 有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b 2＋8b －80<0，解得b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－203，4. 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (−1，0)，Q (2，1)，直线 l ：ax ＋by ＋c ＝0，其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是解：∵实数 a ，b ，c 成等差数列，2b ＝a ＋c ，所以直线l ：ax ＋by ＋c ＝0过定点M (1，－2)，由题意，∠PHM ＝90°，所以点H 在以PM 为直径的圆上，圆心为C (0，－1)，∵ CQ ＝∴ 线段 QH的取值范围是QH ≤≤ 8.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A(2，0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________ 【解析】设M(x ，y)，因为MA 2＋MO 2≤10，所以(x －2)2＋y 2＋x 2＋y 2≤10，化简得x 2＋y 2－2x －3≤0，则圆C ：x 2＋y 2＋2x －1＝0与圆C ′：x 2＋y 2－2x －3＝0有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为x ＝－12，代入x 2＋y 2－2x －3≤0，可得－72≤y ≤72，所以点M 的纵坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，72. 9.在平面直角坐标系xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．【解析】设P(x ，y)，因为PA →·PB →≤20，所以(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，化简得(x ＋6)2＋(y －3)2≤65.又x 2＋y 2＝50，所以12x －6y ＋30≤0，故点P 的轨迹为劣弧CE.如图，由图可知，点P 的横坐标的取值范围为[x D ，x C ]．联立错误!消去y ，得x 2＋4x －5＝0，解得x ＝－5或x ＝1，即x C ＝1，又因为x D ＝－5错误!，所以点P 的横坐标的取值范围是[－52，1]．圆中综合题复习专题第一组1.若集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤16}，B ＝{(x ，y)|x 2＋(y －2)2≤a －1}且A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是________．2.已知两点A (1,2)，B (5,5)到直线l 的距离分别是3和2，则满足条件的直线共有_____条.3.过点(3，1)作圆()1122=+-y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________． 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是_______________________．5.圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a 的值为________．6.在平面直角坐标系xOy 中，若与点A(2，2)的距离为1且与点B(m ，0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________．7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．8.在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a)2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．9.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为________．变式1.已知点A (2,3)，点B (6, 3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP BP ⋅＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是 ．变式 2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2+=x y 与x 轴，y 轴分别相较于N M ,两点，点P 在圆2)(22=+-y a x 上运动，若MPN ∠恒为锐角，则a 的取值范围是________第二组1.已知圆M ：(x －1)2＋(y －4)2＝4，若过x 轴上的一点P(a ，0)可以作一直线与圆M 相交于A ，B 两点，且满足PA ＝BA ，则实数a 的取值范围为________．变式：如图在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M:221214600x y x y +--+=及其上一点A （2,4）.设点T （t,0）满足：存在圆M上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围.2.已知c b a ,,为单位向量，且0=∙--的取值范围是____变式：已知,,为同一平面内的三个向量，其中,是互相垂直的单位向量，且1))(=-∙-，的最大值为__________3.已知变量R a ∈θ,，则22)sin 225()cos 2(θθ--+-a a 的最小值为_________4.已知点)0,2(),0,2(B A -，直线02:=+-m y x l ，若在直线l 上存在点M 使得直线MB MA ,的斜率乘积等于1-，则实数m 的取值范围是_____________5.已知圆1:22=+y x O ，直线3:=+y ax l ，若直线l 上存在点P ，过P 作圆O 的两条切线，切点为B A ,使得3π=∠APB ，则实数a 的取值范围为_____________6.已知)0,2(),0,2(B A -，点P 在圆)0()4()3(222>=-+-r r y x 上，满足4022=+PB PA ，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是___________7.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过点P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B.若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．8.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (−1，0)，Q (2，1)，直线 l ：ax ＋by ＋c ＝0，其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2，点A(2，0)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO2≤10，则点M 的纵坐标的取值范围是________10.在平面直角坐标系xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．。