立体几何综合大题专题

一、线面角

1. （2018学年杭十四中4月月考19）如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为2

，1A B =1A B AC ⊥．

（1）求证：111A C B C ⊥；

（2）求直线AC 和平面11ABB A 所成角的余弦值．

2. （2018学年浙江名校协作体高三上开学考19）如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △和ABC △均为等

腰三角形，且90APC BAC ∠=∠=?，4PA AB ==．（1）判断AB PC ⊥是否成立，并给出证明；（2）求直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值．

3. （2018学年浙江名校协作体高三下开学考19）四棱锥P ABCD -的底面为菱形，4AB =，

60ABC ∠=?， M 为PB 的中点，N 为BD 上一点，且1

BN ND =．

C 1

B 1

A 1

（1）求证：MN 平面PAC ；

（2）求证：PN ⊥平面ABCD ；

（3）若5PA PC ==

，PB =PN 与平面PCD 所成角的正弦值．

4. （2018学年浙江重点中学高三上期末热身联考19）如图，等腰直角ABC △中，B ∠是直角，平面

ABEF ⊥平面ABC ，2AF AB BE ==，60FAB ∠=?，AF

BE ．

（1）求证：BC BF ⊥；

（2）求直线BF 与平面CEF 所成角的正弦值．

5. （2019届超级全能生2月模拟19）如图，在三棱锥P ABC -中，2

BAC π

∠=

，2AC =

，BC BP ==，

PC =，APC △

的面积等于

（1）求证：AC PB ⊥；

B A B

（2）求直线AC 与平面PBC 所成角的正弦值．

6. （2019届杭二仿真考19）如图，矩形ADFE 和梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB CD ∥，

90ABC ADB ∠=∠=?，1CD =，2BC =．（1）求证：BE ∥平面DCF ；

（2）当AE 的长为何值时，直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45?．

7. （2019届湖丽衢9月质检19）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，且AD

BC ，

BC CD ⊥，60ABC ∠=?，22BC AD ==，3PC =，PAB △是正三角形，E 是PC 的中点．

（1）求证：DE

平面PAB ；

（2）求直线BE 与平面PAB 所成角的正弦值．

C B

8. （2019届湖州三校4月模拟19）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2

的正方形，且

DE =，平面ABCD ⊥平面ADE ，二面角A CD E --为30?．

（1）求证：AE ⊥平面CDE ；

（2）求AB 与平面BCE 所成角的正弦值．

9. （2019届湖州中学仿真考19）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为边长为2的菱形，PA ⊥平

面ABCD ，60ABC ∠=?，E 是BC 的中点，PA AB =．（1）证明：AE PD ⊥；

（2）若F 为PD 上的动点，求EF 与平面PAD 所成最大角的正切值．

D E A

10. （2019届稽阳联谊4月模拟19）在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，BC AD ∥，BC AB ⊥，

2PB AD ==，1AB BC ==，E 为棱PD 上的点．

（1）若1

PE PD =，求证：PB ∥平面ACE ；

（2）若E 是PD 的中点，求直线PB 与平面ACE 所成角的正弦值．

11. （2019届嘉丽4月模拟19）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点E ，F 分别是线段DC ，BC

的中点，分别将DAE △沿AE 折起，CEF △沿EF 折起，使得D ，C 重合于点G ，连结AF ．（1）求证：平面GEF ⊥平面GAF ；

（2）求直线GF 与平面GAE 所成角的正弦值．

A P

12. （2019届嘉兴9月基础测试20）如图，ABC △时候边长为2的正三角形，ABD △是以AB 为斜边的

等腰直角三角形．已知2CD =．（1）求证：平面ABC ⊥平面ABD ；

（2）求直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值．

13. （2019届金华十校4月模拟20）在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，BC CD ⊥，

1SC SD CD DA ====，2CB =，AD BC ∥，23

SCB π

∠=，E 为线段SB 上的中点．（1）证明：AE ∥平面SCD ；

（2）求直线AE 与平面SBC 所成角的余弦值．

14. （2019届金华一中5月模拟19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=?，2AB =，

1PA =，PA ABCD ⊥平面，E 是直线PC 的中点，F 是直线AB 的中点．

（1）求证：BE ∥平面PDF ；

（2）求直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值．

D C

A S

C B

15. （2019届金丽衢十二校第二次联考19）三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BCC B ，已知1BC =，

BCC π

∠，12AB C C ==．

（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；

（2）若E 在棱1C C (不包含端点1C C ，)上，且1EA EB ⊥，求1A E 与平面1AB E 所成角的正弦值．

16. （2019届金丽衢十二校第一次联考19）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四

边形ABCD 为直角梯形，2

ABC BAD π

∠=∠=

，2PA AD ==，1AB BC ==，点M 、E 分别是PA ，

PD 的中点．

（1）求证：CE

平面BM D ；

（2）点Q 为线段BP 中点，求直线PA 与平面CEQ 为所成角的余弦值．

E D

A 1

B 1

C 1

17. （2019届临海新昌乐清4月模拟19）已知多面体ABCDE 中，AE 、CD 均垂直于平面ABC ，

120ABC ∠=?，2AE CD =，AB BC CD ==，F 是BE 的中点．（1）求证：DF ∥平面ABC ；

（2）求直线BD 与平面ABE 所成角的正弦值．

18. （2019届宁波4月模拟19）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面

垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的阳马

P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==

，AB =AC 的中点O 为球心，AC 为直径的球面交PD 于M （异于点D ），交PC 于N （异于点C ）．

（1）证明：平面AM PCD ⊥，并判断四面体MCDA 是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

（2）求直线ON 与平面ACM 所成角的正弦值．

M P

19. （2019届宁波十校5月模拟19）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，

ABC π

∠=

，11B BA B BC ∠=∠，16

B BD π=

，1122AB A B ==，12B B =，E 是CD 的中点．

（1）求证：直线AC ⊥平面11BDD B ；

（2）求直线1ED 与平面11ABB A 所成角的正弦值．

20. （2019届平湖5月模拟19）如图所示，在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=?，CD AB ∥，4AB =，

2AD CD ==，M 为线段AB 的中点，将ADC △沿AC 折起，得到几何体P ABC -．（1）求证：AC PM ⊥；

（2

）已知PM PB 与平面APC 所成角的正弦值．

B 1

C 1

D 1

A 1

21. （2019届七彩阳光联盟第三次联考19）如图，在四棱锥P ABCD -中，BC ⊥平面PCD ，CD ∥AB ，

22AB CD ==

，BC PC ==PD AB ⊥．（1）求PD 的长；

（2）求直线AD 与平面PAB 所成角的正弦值．

22. （2019届七彩阳光联盟第一次联考19）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，且侧面

PAD ⊥平面PBC ，侧面PAD

平面=PBC l ，PDC △为正三角形，2CD =．

（1）求证：l

BC ；

（2）求直线AB 与平面PAD 所成角的正弦值．

23. （2019届衢州二中第二次模拟19）如图，正方形ABCD 所在平面外一点P 满足PE PF =，其中E 、F

分别是AB 、CD 的中点．（1）求证：EF PC ⊥；

C B

（2）若4AB =

，PE PF ==且二面角P EF C --

，求BC 与平面PEF 所成角的正弦值．

24. （2019届衢州二中第一次模拟20）如图，已知矩形BCDE 所在平面与ABE △所在平面互相垂直，且

AB AE ⊥，AB AE >．

（1）若M 为AC 的中点，N 为BE 的中点，求证：MN ∥平面ADE ；（2）若2BE =，1DE =，且DE 与平面DAC

，求ABE ∠的大小．

25. （2019届绍兴3月模拟19）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，

且2PA AB ==，3AD =，E 是棱BC 上的动点，F 是线段PE 的中点．（1）求证：PB ⊥平面ADF ；

F E

D C

（2）若直线DE 与平面ADF 所成角为30?，求EC 的长．

26. （2019届绍兴柯桥区5月模拟19）如图，在RT △ABC 中，90C ∠=?，2CA =

，CB =

△ABC 的中位线DE 将△ADE 翻折至A DE '，使得二面角A DE A '--为60?．（1）求证：A C ED '⊥；

（2）求直线BA '与平面A DE '所成角的正弦值．

27. （2019届嵊州5月模拟19）如图，已知四棱锥P ABCD -，AD BC ∥，90ABC ∠=?，135ADP ∠=?

，

AB =，22BC AD ==

，2PB PD ==

（1）求证：AB PD ⊥；

（2）求直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值．

F E

D C

28. （2019届台州4月模拟19）如图，棱锥P ABCD -的底面是菱形，2AB =，3

DAB π

∠=

，侧面PAB

垂直于底面ABCD ，且PAB △是正三角形．（1）求证：PD AB ⊥；

（2）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值．

29. （2019届温州2月模拟19）在三棱锥D ABC -中，AD DC ⊥，AC CB ⊥，222AB AD DC ===，且

平面ABD ⊥平面BCD ，E 为AC 的中点．（1）证明：AD BC ⊥；

（2）求直线DE 与平面ABD 所成角的正弦值．

30. （2019届温州5月模拟19）如图，四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=?，

24AB CD ==，PA CD ⊥，在锐角．．PAD △中，E 是边PD

上一点，且3AD PD ED ===

（1）求证：PB ∥平面ACE ；

（2）当PA 的长为何值时，AC 与平面PCD 所成的角为30?？

P D

31. （2019届温州8月模拟19）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AA AC AB ==，90ABC ∠=?，侧面

11A ABB 为矩形，1=120A AC ∠?．将111A B C △绕11A C 翻折至121A B C △，使2B 在平面11A ACC 内．

（1）求证：1BC 平面121A B B ；

（2）求12C B 与平面11A ABB 所成角的正弦值．

32. （2019届温州九校第一次联考19）如图，将矩形ABCD 沿AE 折成二面角1D AE B --，其中E 为CD

的中点，已知2AB =，=1BC ，11BD CD =，F 为1D B 的中点．（1）求证：CF

平面1AD E ；

（2）求AF 与平面1BD E 所成角的正弦值．

B 1

C 1

B 2

A 1

33. （2019届永康5月模拟20）已知在等腰梯形ABGH 中，AB GH ∥，22AB GH HA ==，E ，F 分别为线

段AH 和BG 的中点，现将四边形EFGH 沿直线EF 折成一个五面体AED BFC -．

（1）在线段BC 上是否存在点M ，使FM ∥平面ADE ，若存在，找出点M 的位置，若不存在，说明理由；（2）若二面角C EF B --的大小为60?，求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值．

34. （2019届浙江百校联考19）如图，已知△PAD 为等边三角形，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，

90DAB ∠=?，平面PAD ⊥平面ABCD ，2AB AD CD ==，E 为PB 的中点．（1）求证：CE ∥平面PAD ；

（2）求PB 与平面PCD 所成角的正弦值．

D 1F

F E

35. （2019届浙江名校联盟第二次联考19）在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，

PB PD =，E F M 、、分别是棱AD PD PC 、、上的点，且=PF FD λ，AE ED λ=，若对任意()0,1λ∈，都有EF 平面DBM ．

（1）求PM

的值；

（2

）若DM M DB C --的大小为30?，求直线PD 与平面BDM 所成角的正弦值．

36. （2019届浙江名校联盟第三次联考19）在所有棱长都相等的三棱柱111ABC A B C -中，1=60B BC ∠?．

（1）证明：1AB BC ⊥；

（2）若二面角1A BC B --的大小为60?，求1BC 与平面ABC 所成角的正弦值．

C B

E F

C D P

M A

37. （2019届浙江名校联盟第一次联考19）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，

AB CD ∥，4CD =，2PA AB BC AD ====，Q 为棱PC 上的点，且1

PQ PC =．

（1）证明：平面QBD ⊥平面ABCD ；

（2）求直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值．

38. （2019届浙江三校第二次联考19）在斜三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2

的正三角形，

1A B =，1160A AB A AC ∠=∠=?．

（1）证明：1平面平面A BC ABC ⊥；

（2）求直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值．

C 1

B 1

A 1C

C B

39. （2019届浙江三校第四次联考19）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=?，30B ∠=?，D ，E 分别为BC ，

AD 的中点，

延长CE 交AB 于点F ，现将ACD △沿AD 折起，使二面角B AD C --的平面角大小为30?．（1）求证：AD CF ⊥；

（2）求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值．

40. （2019届浙江三校第一次联考19）如图，已知四棱锥A BCDE -中，2AB BC ==，120ABC ∠=?

，

AE =CD BE ∥，24BE CD ==，60EBC ∠=?．

（1）求证：EC ABC ⊥平面；

（2）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值．

B 1

C 1

A 1

A F

41. （2019届镇海中学5月模拟19）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，

60ABC ∠=?，点M 是棱PC 的中点，PA ⊥平面ABCD ．

（1）证明：PA ∥平面BMD ；

（2）当PA 长度为多少时，直线AM 与平面PBC

所成角的正弦值为

．

42. （2019届镇海中学考前练习19）如图，在四棱锥P ABCD -中，60APB BPD APD ∠=∠=∠=?，

2PB PD BC CD ====，3AP =．

（1）证明：AP BD ⊥；

（2）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．

43. （2019届知行联盟5月模拟19）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AE CDE ⊥平面．

已知1AE =

，DE

（1）证明：ADE ABCD ⊥平面平面；

（2）求直线BE 与平面ACE 所成的角的正弦值．

44. （2019届舟山中学5月模拟19）如图所示多面体EF ABCD -，其底面ABCD

为矩形且AB =2BC =，四边形BDEF 为平行四边形，点F 在底面ABCD 内的投影恰好是BC 的中点．

（1）已知G 为线段FC 的中点，证明：BG ∥平面AEF ；

（2）若二面角F BD C --的大小为3

，求直线AE 与平面BDEF 所成角的正弦值．

45. （2019届诸暨5月模拟19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60BAD ∠=?

，

PB PD =

（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）设H 在AC 上，13

AH AC =

，若PH =．求PH 与平面PBC 所成角的正弦值．

二、二面角

46. （2018学年杭高高三下开学考19）如图（1），已知ABC △是边长为6的等边三角形，点D 、E 分别

是边AB 、AC 上的点，且满足2AD CE ==．如图（2），将ADE △沿DE 折成四棱锥1A BCED -，且有平面1A DE ⊥平面BCED ．