2.4.2二分法应用---一元二次方程根的分布
方程根的定义
方程根的定义方程根是指能够满足给定方程的解的数值或数值集合。
在数学中，方程是描述数值关系的等式，方程的根是能够使方程成立的数值。
方程根的概念广泛应用于各个数学分支以及实际问题中，如代数方程、微分方程、概率方程等。
一元一次方程是最简单的方程形式，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。
一元一次方程的解即为方程的根，通过对方程进行变形和求解，可以得到方程的根。
例如，对于方程2x + 3 = 0，通过移项和化简可以得到x = -3/2，-3/2即为方程的根。
一元二次方程是一种更复杂的方程形式，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。
一元二次方程的解也是方程的根，通过应用求根公式或配方法等求解技巧，可以得到方程的根。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，通过因式分解或求根公式可以得到x = 2，3，2和3即为方程的根。
方程根的存在性和唯一性是方程理论中的重要问题。
对于一元一次方程来说，存在且唯一的根，即使方程无解也可以看作是存在一个复数根。
而对于一元二次方程来说，根的情况则有所不同。
如果方程的判别式b^2 - 4ac大于0，方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于0，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于0，方程有两个共轭复数根。
在实际问题中，方程根的求解常常涉及到数学建模和计算机算法等领域。
例如，在物理学中，通过建立方程模型可以描述物体运动的规律，求解方程的根可以得到物体的位置、速度等信息。
在工程学中，通过建立方程模型可以分析电路、结构等问题，求解方程的根可以得到电流、应力等参数。
在计算机科学中，通过建立方程模型可以解决搜索、优化等问题，求解方程的根可以得到最优解或满足特定条件的解。
方程根的求解方法不仅限于代数方法，还可以通过数值计算的方法进行近似求解。
数值方法通过迭代计算，逐步逼近方程的根。
例如，牛顿迭代法、二分法等都是常用的数值求根方法。
二分法求方程的根
二分法求方程的根二分法是求解函数零点的一种简单而又有效的方法。
它适用于xx、xx、xx等情况下，能够快速找出函数的根，对于计算机程序中的解析和数学问题研究都有很大帮助。
接下来，我们就来介绍一下利用二分法求方程的根。
求解方程的根，首先需要通过一些数学手段，将问题转化为一个函数问题。
假设我们需要求解函数$f(x)=0$的根，其中$x$为实数，我们可以将其转化为$f(x)>0$和$f(x)<0$两种情况的判断。
这样的话，就可以寻找一个区间$[a,b]$，在这个区间内，$f(x)>0$的$x$和$f(x)<0$的$x$广泛地分布在$a$和$b$这两个点的两侧，此时我们就可以运用二分法，在这个区间$[a,b]$内寻找函数$f(x)=0$的根。
在使用二分法之前，要定义好区间$[a,b]$，并进行初始化。
通常情况下，我们可以采用等距离的方式将区间分成$n$份，其中$n$为我们估计的一个比较小的值，但要保证区间内$f(x)>0$和$f(x)<0$的值分别在区间的两侧。
然后在处理过程中，每进行一次迭代，区间长度就会缩短一半，这样可以不断逼近根。
接下来就可以按照下述步骤进行计算：1. 首先，选定区间$[a,b]$，将区间分为$n$份（$n$为自己估计的一个小数），如果$f(a)>0$且$f(b)<0$，则继续下一步骤，否则退出。
2. 对于区间$[a,b]$，将其一分为二，这里我们选定中间点为$c=\dfrac{a+b}{2}$，并对区间左半部分$[a,c]$和右半部分$[c,b]$进行讨论。
3. 判断$f(c)>0$还是$f(c)<0$，如果是$f(c)>0$，则根位于左半部分$[a,c]$；如果是$f(c)<0$，则根位于右半部分$[c,b]$。
4. 再次对左半部分$[a,c]$和右半部分$[c,b]$进行二分，不断缩短区间长度，逼近根。
5. 重复执行步骤3和4，直到区间长度小于一定的精度，或者达到迭代的最大次数。
一元二次方程根的分布情况归纳完整版
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
一元二次方程根的分布
(3) 若f(a).f(c)>0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b)) 4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b)；否则得复2～4
热身训练： （1）判断方程x=3-lgx是否有根？ （2）求方程x=3-lgx根的个数？ （3）求方程x=3-lgx根的所在区间是
一、复习
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点存在判定法则
如果函数y=f(x)在区间[a,b f(b)<0，那么，函 数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
（7）两个根都在(0,2)内 （8）一个根在(-2,0)内，另一个根在(0,4)内
练习: 1、若一元二次方程（m-1)x2+2(m+1)xm=0有两个正根，求m的取值范围。 2、已知关于x的方程x2+2mx+2m+1=0 （1）若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内， 另一根区间在(1,2)内，求m的取值范围 （2）若方程均在区间(0,1)内，求m的取值范围
A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)
（4）求方程x=3-lgx根的近似解（精确度为0.6）
（5）若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是2和-4， 求a,b的值。
已知方程x2+(m-3)x+m=0,分别满足下列条件 时，求m的取值范围。 （1）两个正根 （2）两个负根 （3）有一正根，有一负根 （4）两根都小于1 （5）两根都大于½ （6）一根大于1，一根小于1
青岛版九年级上册数学《用二分法估计一元二次方程的根》
例 完成下列表格，并回答问题： （ 1）
x 2x2-1 0 －1 1 2 7
1
1 之间． 0 与_____ 由表可知方程2x2-1=0的解在_____
15
（2） x 2x2-1 0.5 －0.5 0.6 0.7 0.8 0.28 0.9
－ 0.28 － 0.02
0.62
0.7 0.8 之间． 由表可知方程2x2-1=0的解在_________ 与_________
44
大于36
这说明，在3和3.5之间有方程x2+7x=36的根．
7
取3和3.5的中间值3.3，重复以上过程，填写下表：
x
x2+7x
3
30
3.3
33.99
3.5
36.75
与36比较
小于36
小于36
大于36
这说明，在3.3和3.5之间有方程x2+7x=36的根．
8
同样地，再取3.3和3.5的中间值3.4，填写下表：
x 3.3 3.4 3.5
x2+7x
与36比较
33.99
小于36
35.36
小于36
36.75
大于36
这说明，在3.4和3.5之间有方程x2+7x=36的根．并 由此可知这个根பைடு நூலகம்十分位上的数字是4，即x=3.4…．
9
于是，便求出了方程x2+7x=36的根的精确到0.1的
近似值为x≈3.4或x≈3.5．
如当x=-12时，x2+7x=60＞36．所以在-12和0的之间还有原方程
的根，这个根是负根．
小莹的分析正确吗？你能求出原方程在-12和0之间的负根
一元二次方程根的分布及应用
一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布讨论记)0()(2>++=a c bx ax x f ，方程02=++c bx ax 的根为1x 、2x )(21x x ≤ac b 42-=∆，abx x 221-=+，a c x x =21，设m n <一、例题分析例1、若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。
)1,0(0101)1(20)1(4)1(42∈⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-+≥-++m mmm m m m m例2、k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？()()）（）（所以时时当3,00,3-0300030000⋃∈<<-⇔><<⇔<<>k k f k k f k 例3、若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。
3512-03k 030)3(49000022121<≤⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≥--⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆>k k k k k k x x x x k 或时当例4、求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x 有两实数根且分别满足（1）一个根比2大，一个根比2小；210)2(-<⇔<m f（2）两根都比1大；⎥⎦⎤⎝⎛--∈⇔⎪⎩⎪⎨⎧>->≥+--=∆⇔1,45110)1(0)62(4)1(42m m f m m（3）两根1x 、2x 满足41021<<<<x x ；)45,57(0)4(0)1(0)0(--∈⇔⎪⎩⎪⎨⎧><>m f f f（4）两根1x 、2x 都在（0，4）内。
[)+∞⋃⎥⎦⎤⎝⎛--∈⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<≥+--=∆,51,570)4(0)0(4100)62(4)1(42m f f m m m。
《2.4.2 计算函数零点的二分法》教案
《2.4.2 计算函数零点的二分法》教案【学习要求】1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理；2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．【学法指导】通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点.填一填：知识要点、记下疑难点如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值，即，则这个函数在这个区间上，至少有，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为零点.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？探究点一变号零点与不变号零点问题函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．探究点二二分法的概念问题1由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？例1利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)．问题2例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？问题3给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？跟踪训练1借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间(0,1)内的零点(精确到0.1)．探究点三二分法的应用例2求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．小结：判定一个函数能否用二分法求其零点的近似值的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练2求32的近似值(精确到0.1)．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.已知函数f(x)的图象是不间断的，x、f(x)的对应法则见下表，则函数f(x)存在零点的区间有()，[4,5]，[5,6]2.设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的，且f(a)·f(b)<0，取x0＝a＋b2，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求函数零点时，零点所在区间为__________．3.已知函数f(x)＝mx＋2m－7 (m≠0)在区间[－2,5]上有零点，求实数m的取值范围．课堂小结：1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.。
高中数学 例说“二分法”思想的应用学法指导
例说“二分法”思想的应用“二分法”是高中数学必修内容之一，是现代信息技术与函数、方程知识的有机整合，是求方程近似解的常用方法。
利用“二分法”可以帮助我们轻松、快捷解决一些相关的问题。
一、利用“二分法”思想巧证不等式例1. 已知三个正数a 、b 、c ，满足b a c 2+>，求证ab c c a ab c c 22-+<<--。
解析：从所要证的目标的结构上看，可把ab c c 2--、ab c c 2-+看作一元二次方程0ab cx 2x 2=+-的两个根，同时构造一个区间)ab c c ,ab c c (22-+--。
设ab cx 2x )x (f 2+-=利用“二分法”思想，要证目标，只需证a 在区间)ab c c ,ab c c (22-+--内即可。
如图1所示，由于二次函数的图象开口方向向上，只需证0)a (f <因0)b c 2a (a ab ca 2a )a (f 2<+-=+-=所以a 在区间内，即ab c c a ab c c 22-+<<--图1二、利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布例2. 已知函数c bx 2ax 3)x (f 2++=，0c b a =++，0)1(f ,0)0(f >>，求证：（1）0a >且1ba 2-<<-； （2）方程0)x (f =在（0，1）内有两个实根证明：（1）利用0)1(f ,0)0(f >>及0c b a =++，容易证明（略）。
（2）一般地，要证方程0)x (f =在（0，1）内有两个实根，只需证明：①△0≥②对称轴落在区间（0，1）内③区间（0，1）端点f(0)，f(1)的符号。
而采用“二分法”，其解法简洁明快，只需证明：①区间（0，1）两个端点f(0)，f(1)的符号都为正（题目已知条件已给定）②在区间（0，1）内寻找一个二分点，使这个二分点所对应的函数值小于0，它保证抛物线与x 轴有两个不同的交点（因a>0抛物线开口方向向上）。
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方法2：（利用图像）
2m 1f 0 0
得 2m 1 m 1 0
1 m 1 2
练习：y=x2+(a2-1)x+(a-2)两个零点在1两侧， 求a的范围
m 例2、已知方程 x m 2 x 0 4
2
有两个不等正实根，求实数 m的取值范围。
解得：p∈(－2，－1)∪(3，4) 小结
二次方程根分布问题的解决步骤：
根的位置<=>图象位置<=>等价条件 数 形 数
条件罗列的优先级：
1 是否是二次方程 2 是否需要考虑开口方向 3 端点函数值的符号 4 是否需要判断△ 5 是否需要限定对称轴
判别式 △ =b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
没有实数根
y
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等的 有两个相等的 实数根x1 ,x2 实数根x = x2 (a≠0)的根 1
y y
函数y=ax2 +bx+c (a>0)的图象
函数的图象 与 x 轴的交点
x1
0
x2 x
0 x1
x
0
x
(x1,0) , (x2,0)
2.4二分法应用
一元二次方程根的分布
复习 （1）函数零点的概念
形 f(x)=0的实数解 数 y=f(x)与x轴交 点的横坐标
变号零点
不变号零点
(2)零点分类
（3）变号零点存在的判断：
如果y=f(x)在[a, b]上的图象是连续的，并且 f(a)· f(b)<0，那么f(x)在区间(a, b)内有零点，即 存在零点c∈(a, b),使得f( c )=0
2
有一实根在（0，1）另一实根在其外，求 m 范围。
1
f (0)f (1) 0
1 2 m 2 3
小结
例5.若方程7x2－(p＋13)x＋p2－p－2＝0的两 根α、β满足0＜α＜1＜β＜2，求实数p的取值范围. 2 2
解：设f(x)＝7x －(p＋13)x＋p －p－2 根据题意得： f(0)＞0 f⑴＜0 f⑵＞0 1 2 p2－p－2＞0 p2－2p－8＜0 p2－3p＞0
根，求实数m的取值范围
例3.方程x2＋mx＋2＝0两不等根x1，x2∈(1，2) 求 m的范围
f 1 0 f 2 0 0 m 1 2 2
m 3 m 3 m 2 2或m 2 2 4 m 2
1
2
3 m 2 2
小结
例4.已知方程 x (m 2) x 2m 1 0
(x1,0)
没有交点
引例：
已知：函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是1和2， （1）求函数f(x)的解析式。 f(x)=x2-3x+2
（2）判断 f(0), f(1.5), f(3)的符号
1 2
f(0)>0, f(1.5)<0, f(3)>0
( 3 ) 在图上（1，0），（2，0）两点的特 点是什么？
例1、已知二次方程 2m 1 x 2mx m 1 0
2
有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
方法1：（利用韦达定理）
m 1 0 x1 x2 x x x2 2 2 m 1 x1 1 4m2 4(2m 1)(m 1) 0
1 m 1 2
0 m 2 2 m 0 m 4或m 1 m2 m 2 m 2 0 x1 x2 1 m0 m0 m x1 x2 0 练习：方程x2+mx+m=0有两个不等小于1的实数 4 1 m 0