千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第12炼 复合函数零点问题 Word版含解析
千题百炼高考数学个热点问题一第炼复合函数零点问题
炼复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设y = /(/), f = g(x)，且函数g(x)的值域为/⑴定义域的子集, 那么y 通过f的联系而得到自变量x的函数，称〉，是x的复合函数，记为〉，= /[g(x)]2、复合函数函数值计算的步骤：求y = g[/(x)]函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知/(X)=2\^(A)= X2-X»计算g[/(2)]解：/(2) = 22 = 4 (2)] = (4) = 123、己知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求*的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。
例如：已知/(x) = 2\ g(x) = x2-2x,若g [/(x)] = 0, 求x解：令/ = f(x),贝ljg(/) = o=>/2_2z=o解得/ = 0,/ = 2当/=0亠/*(兀)=0=>2"=0,贝Ijxe0当/=2»(x) = 2=>2”=2,贝ljx = l综上所述：x = 1由上例可得，要想求出g[/(X)] = O的根，则需要先将/(X)视为整体，先求出/(X)的值，再求对应X的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义: 4、函数的零点：设/(x)的定义域为D,若存在x°wD,使得/(々)=0,则称x = x0为门对的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g[/(x)] = O根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于/(X)的方程，观察有儿个几刃的值使得等式成立；第二层是结合着第一层/(工)的值求出每一个/(工)被儿个兀对应，将兀的个数汇总后即为g[/(x)] = 0的根的个数6、求解复合函数y = g[/(x)]零点问题的技巧：(1) 此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像(2) 若己知零点个数求参数的范围，则先估计关于几兀)的方程g[/(x)] = O 中/⑴解的个数，再根据个数与的图像待点，分配每个函数值£(x)被儿个X 所对应，从 而确定ZG)的取值范围，进而决定参数的范围复合函数： 二、典型例题[丄®例1：设定义域为R 的函数/(A-)= Ix-lp-,若关于兀的方程f(X ) + bf(X )+C = O 由l,x = l3个不同的解“宀,心，则对+城+玮= ________思路：先作出几刃的图像如图：观察可发现对于任意的儿，满足y 0=/(x)的X 的个 数分别为2个(儿＞0,儿知)和3个(儿= 1),已知有3个解，从而可得/(x) = l 必 为严(x) +M(x) + c = 0的根，而另一根为1或者是负数。
高中数学函数零点问题必考点梳理+真题精练(附答案)
f
x
mx
m
2 3
有四个解，即直线
y
mx
m
2 3
与函数
f
x
的图象有四个交点，
因为直线
y
mx
m
2 3
过定点
1,
2 3
，
在同一直角坐标系中作出直线 y mx m 2 与函数 f x 的图象，如下图所示，
3
当直线
y
mx
m
2 3
过原点时，
m
2 3
；
当直线
y
mx
m
2 3
与函数
y
ln
x
1
,
x
0
的图象相切时，
4、函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系 （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的 单调性确定是否存在零点. （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两 个可分析的函数，为作图做好铺垫. （3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.
专题 08 函数零点问题面面观 【热点聚焦与扩展】
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助 于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1） 零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4） 根据方程解的情况确定求参数的值或范围.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或 与导数的应用结合，难度往往较大. 一、基础知识：
高考函数-复合函数的零点-含答案
结合图象可知
a
a
f f
3 3 4 8
，可得 3 a
8
（2）若 a 0 ，则关于的不等式 0 f x a 恰有一个整数解．
结合图象可知{
a a f
f 1 1 1 3
，可得 3 a 1
综上， 3 a 1或3 a 8 ．
例
5.已知函数
f
(x) (x2
3)ex
，当 m
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于 的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
的 4 个公共点，由图象可知 7 b 2 ． 4
8 6 4 2
15
10
5 2
5
10
15
4
6
8
例
7.（13
江西改编） 设函数
f
(x)
1 a
x
,
1
1 a
0 xa,
1 x , a
x
（ 1
a
为常数且
a
0,1
）．
若 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点，则称 x0 为 f (x) 的二阶周期点，
二 题型攻略·深度挖掘 1.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出 现，一般综合性强，难度大．
2.【技能方法】求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧： （1）借助数形结合思想，处理问题作出 u f x, y g u 的图像
复合函数的零点问题
复合函数的零点问题I ．题源探究·黄金母题例1设函数()1,0,()11,11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩a 为常数且()0,1a ∈．若0x 是()()f f x x -的零点但不是()f x x -的零点;则称0x 为()f x 的二阶周期点;求函数()f x 的二阶周期点．答案函数()f x 有且仅有两个二阶周期点;121a x a a =-++;2211x a a =-++． 解析2222221,0,1(),,(1)(())1(),1,(1)1(1),1 1.(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤-⎪⎩当20x a ≤≤时;由21x x a=解得0x =;由于()00f =;故0x =不是()f x 的二阶周期点；当2a x a <≤时;由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈因222211()1111a a af a a a a a a a a a =⋅=≠-++-++-++-++;故21ax a a =-++是()f x 的二阶周期点； 精彩解读试题来源2013年高考江西卷改编．母题评析本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点;难度较大．新定义信息题是近几年来高考的一个热点． 思路方法理解定义;写出复合函数的解析式;再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．当21a x a a <<-+时;由21()(1)x a x a -=-解得12x a=-2(,1)a a a ∈-+;因111112122f a a a a⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故12x a =-不是()f x 的二阶周期点；当211a a x -+≤≤时;1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+;因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =•-=≠-++--++-++-++; 故211x a a =-++是()f x 的二阶周期点． 综上：函数()f x 有且仅有两个二阶周期点;121a x a a =-++;2211x a a =-++． II ．考场精彩·真题回放 例22017年高考江苏卷设()f x 是定义在R 且周期为1的函数;在区间[0,1)上;2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D xx n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ;则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．答案8解析由于()[0,1)f x ∈ ;则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内;x Q ∈ 且x ∈Z 时;设命题意图本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．考试方向这类试题在考查题型上;通常基本以选择题或填空题的形式出现;综合性强;难度大． 难点中心解答此类问题;关键在于 “抽茧剥丝”;把复合函数问题转化为单函数问题;准确作出函数图象;利用图象解决问题．*,,,2qx p q p p=∈≥N ;且,p q 互质 若lg x Q ∈ ;则由lg (0,1)x ∈ ;可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ;且,m n 互质 因此10n mq p =;则10()n m qp= ;此时左边为整数;右边非整数;矛盾;因此lg x Q ∉因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等;只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点;画出函数图象;图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数;属于每个周期x D ∉的部分;且1x =处()11lg 1ln10ln10x x '==<;则在1x =附近仅有一个交点;一次方程解的个数为8．例32015年高考天津已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ;其中b R ∈;若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点;则b 的取值范围是A ．7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭答案D ． 解析由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩; 222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪∴=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩;即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--;所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解;即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点;由图象可知724b <<． III ．理论基础·解题原理1．复合函数定义：设()y f t =;()t g x =;且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集;那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数;称y 是x 的复合函数;记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦．2．复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序;一层层求出函数值．例如：已知()()22,x f x g x x x ==-;计算()2g f ⎡⎤⎣⎦． 解析()2224f ==;()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解;则遵循“由外到内”的顺序;一层层拆解直到求出x 的值．例如：已知()2x f x =;()22g x x x =-;若()0g f x =⎡⎤⎣⎦;求x ．由上例可得;要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根;则需要先将()f x 视为整体;先求出()f x 的值;再求对应x 的解;这种思路也用来解决复合函数零点问题;先回顾零点的定义．4．函数的零点：设()f x 的定义域为D ;若存在0x D ∈;使得()00f x =;则称0x x =为()f x 的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数;在解此类问题时;要分为两层来分析;第一层是解关于()f x 的方程;观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应;将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数． IV ．题型攻略·深度挖掘 考试方向这类试题在考查题型上;通常基本以选择题或填空题的形式出现;一般综合性强;难度大． 技能方法求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：1此类问题与函数图象结合较为紧密;在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像 2若已知零点个数求参数的范围;则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数;再根据个数与()f x 的图像特点;分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应;从而确定()i f x 的取值范围;进而决定参数的范围． 易错指导1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数fx 在区间－2;2上的图象是连续不断的曲线;且fx 在－2;2内有一个零点;则f －2·f2的值 A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定解答：若函数fx 在－2;2内有一个零点;该零点可分两种情况：1该零点是变号零点;则f －2·f2<0；2该零点是非变号零点;则f －2·f2>0;因此选D ． 易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况．方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题;可以根据区间端点处的函数值的正负来确定;但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性;在给定的区间上;如果函数是单调的;它至多有一个零点;如果不是单调的;可继续细分出小的单调区间;再结合这些小的区间的端点处函数值的正负;作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性;事实上;当fx 在－2;2内有一个零点时;f －2·f2的符号不能确定．2．要注意对于在区间a;b 上的连续函数fx;若x 0是fx 的零点;却不一定有fa·fb<0;即fa·fb<0仅是fx 在a;b 上存在零点的充分条件;而不是必要条件． 注意以下几点：①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一； ②不满足零点存在性定理条件时;也可能有零点．③由函数)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出)(a f ·)(b f 0<;如图所示．所以)(a f ·)(b f 0<是)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件． 注意：①如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;并且函数在区间[],a b 上是一个单调函数;那么当)(a f ·)(b f 0<时;函数在区间),(b a 内有唯一的零点;即存在唯一的(,)c a b ∈;使0)(=c f ．②如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;并且有)(a f ·)(b f 0>;那么;函数在区间),(b a 内不一定没有零点．③如果函数在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线;那么当函数在区间),(b a 内有零点时不一定有)(a f ·)(b f 0<;也可能有)(a f ·)(b f 0>．V ．举一反三·触类旁通 例12018四川绵阳一诊函数满足;且当时;．若函数的图象与函数;且的图象有且仅有4个交点;则的取值集合为 A ．B ．C ．D ．答案C()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()f x例22018南宁高三毕业班摸底联考设函数是定义在上的偶函数;且;当时;;若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根;则实数的取值范围是A． B． C． D．答案D解析由题意可得函数fx的对称轴为x=2;周期为T=4;原方程变形为;;所以只需画出;两个函数在区间-2;6的图像;根据图像求a的范围;图像如下;一定过-1;0点;当时;显然只有一个交点;所以;只需要对数从点B;点C下面穿过就有4个零点;所以解得;选D．点睛对于求不同类的两个函数构成的方程;我们常把方程变形为fx=gx;然后根据y=fx与y=gx的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程变形为;再画出两个函数的图像;根据两个图像有4个交点;求出参数a的范围．例32018河南天一大联考已知函数若关于的方程有3个实数根;则实数的取值范围是A． B． C． D．答案D解析作图如下：因此要使方程有3个;实数的取值范围是;选D．名师点睛对于方程解的个数或函数零点个数问题;可利用函数的值域或最值;结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点;分析函数的最值、极值；从图象的对称性;分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势;分析函数的单调性、周期性等．例42018广西桂林柳州高三综合模拟已知函数()3log ,03{4,3x x f x x x <≤=->;若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点;则实数m 的取值范围是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．[)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦答案AA0;﹣2;B3;1;C4; 0;则g x 的图象介于直线AB 和AC 之间;介于k AB ＜m ＜k AC ;可得12＜m ＜1．故答案为：12;1．点睛:函数h x=f x ﹣mx+2有三个不同的零点;即为f x ﹣mx +2=0有三个不同的实根;可令y=f x;y =g x=mx ﹣2;分别画出y=f x 和y=g x 的图象;通过图象观察;结合斜率公式;即可得到m 的范围．例52018广东珠海一中等六校第一次联考已知函数()()222,12{log 1,1x x f x x x +≤=->;则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案A解析解：令t=fx;Fx=0;则ft ﹣2t ﹣32=0;名师点睛本题关键是找出内外层函数的对应关系;找准一个t 对应几个x ． 例62018安徽阜阳临泉一中上学期二模已知;若关于的方程恰好有 个不相等的实数根;则实数的取值范围是______________． 答案解析∵;∴;∴∴当或时;;当时;∴在上单调递增;在上单调递减;在上单调递增可作出大致函数图象如图所示： 令;则当时;方程有一解；当时;方程有两解；时;方程有三解∵关于的方程;恰好有4个不相等实数根 ∴关于的方程在和上各有一解∴;解得;故答案为名师点睛已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离;转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形;在同一平面直角坐标系中画出函数的图象;然后数形结合求解． 例72018湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考已知函数()2log ,02{ 2,22x x f x x x x <<=+≥;若0＜a ＜b ＜c ;满足fa =fb =fc ;则()abf c 的范围为__． 答案1;20a b c ＜＜＜;满足()()()f a f b f c ==;22log log a b ∴-=;即1ab =;()21122c f c c c +==+;()112f c ∴<<;故()()112ab f c f c <=<;故答案为()12，． 名师点睛画出函数()f x 的图象;由图象可知有相等时的取值范围;这里2log x 由的图象和计算得1ab =;可以当作结论;这样三个未知数就只剩下c ;由反比例即可求出结果．例82018江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考已知函数()ln 1||f x x =-; ()f x m -的四个零点1x ; 2x ; 3x ; 4x ;且12341111k x x x x =+++;则()k f k e -的值是__________． 答案2e -例92018山西山大附中等晋豫名校第四次调研已知函数()()21,0{11,0x x f x f x x -≤=-+>;把方程()0f x x -=的根按从小到大顺序排成一个数列;则该数列的前n 项和n S =__________．答案()12n n -解析当01x <≤时;有110x -<-≤;有()()1112x f x f x -=-+= ; 当12x <≤时;有011x <-≤ ;有()()21121x f x f x -=-+=+ 当23x <≤时;有112x <-≤ ;有()()31122x f x f x -=-+=+ 当34x <≤时;有213x <-≤ ;有()()31123x f x f x -=-+=+ 依次类推;当()1n x n n N <≤+∈时;则()()1112x n f x f x n --=-+=+ ; 所以()()12x n g x f x x n x --=-=+- ;故21n a n +=+ ;所以通项公式1n a n =-;()12n n n S -=．点睛本题考查对分段函数的处理方法;分段函数要分段处理;根据分段函数的解析式找出各段函数的零点;从而得出各个零点与项数的关系;写出数列的通项公式;根据数列是特殊的等差数列;利用等差数列求和公式;求出数列的前n 项的和．例102018江苏南通如皋第一次联考已知函数()211{ 52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点;则实数m 的取值范围是________．答案714⎛⎤ ⎥⎝⎦，例112018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研已知定义在R 上的函数()()2,0{1,0x x x f x ln x x +≤=+>;若函数()()()1g x f x a x =-+恰有2个零点;则实数a 的取值范围是_________．答案()1,1,1e⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭． 解析数形结合;由直线()1y a x =+与曲线()y f x =的位置关系可得当()1,1,1a e ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭时有两个交点;即函数()y g x =恰有两个零点．名师点睛涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题;一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等;再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况;归根到底还是研究函数的性质;如单调性、极值;然后通过数形结合的思想找到解题的思路．例122018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研已知函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点;则实数m 的取值范围为________．答案1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭数()22ln h x x m x =+-最小值为21112ln 222h m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;令102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭ ;可得1ln22m <-;此时函数()22ln h x x m x =+-有两个零点;故函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点;实数m 的取值范围为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭;故答案为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭． 方法点睛本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根;属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”;解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个;判断函数()y f x =零点个数的常用方法：1 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；2 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线;且()()0,f a f b <再结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性 可确定函数的零点个数；3 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题;画出两个函数的图象;其交点的个数就是函数零点的个数;在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点;在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性;确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理;有时可结合函数的图象辅助解题． 跟踪练习1．2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考函数()()()820{ 1022sin x x f x f x x π-≤=⎛⎫-> ⎪⎝⎭;则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 答案D解析函数的零点满足： ()4log f x x =;则原问题等价于考查函数4log y x =与函数()f x 的交点的个数．()114sin22sin22222f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当32x ππ<≤时; 22x πππ<-≤;据此可得： ()112sin2sin22222f x f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；当54x π=时; 55sin 2144f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 而445log log 414π<=; 则函数4log y x =与函数()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个交点; 很明显;当32x π>时;函数图象没有交点;绘制函数图象如图所示;观察可得： 函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个． 名师点睛函数零点的求解与判断方法：1直接求零点：令fx ＝0;如果能求出解;则有几个解就有几个零点． 2零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a ;b 上是连续不断的曲线;且fa ·fb ＜0;还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点．3利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差;画两个函数的图象;看其交点的横坐标有几个不同的值;就有几个不同的零点．2．2018江西上饶高三下学期一模已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数;若对任意的()0,x ∈+∞;都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦;且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解;则实数a 的取值范围是A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥ 答案A即有3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解;由()32694g x x x x a =-+-+;可得()23129g x x x =-+';当13x <<时; ()0g x '<; ()g x 递减；当01x <<时; ()0g x '>; ()g x 递增． ()g x 在1x =处取得最大值a ; ()04g a =-; ()34g a =-;分别作出13log y x =;和32694y x x x =-+-的图象;可得两图象只有一个交点()1,0;将32694y x x x =-+-的图象向上平移;至经过点()3,1;有两个交点;由()31g =;即41a -=;解得5a =;当05a <≤时;两图象有两个交点;即方程两解．故选A ．3．201甘肃兰州西北师范大学附属中学一调若函数()3,0{ ,0xx e x f x e x x+≤=>;则方程()()330f f x e -=的根的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析方法点睛本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用;属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系;通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法;是中学数学四种重要的数学思想之一;尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效;大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简;并迎刃而解．4．2018安徽滁州高三9月联合质量检测已知()()11,011{ ,10x f x f x x x +<<-=-<≤;若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解;则实数a 的取值范围是__________．答案1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 解析当01x <<时; 110x -<-<;所以()11f x x -=-．()()111111f x f x x =+=+--． 若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解;即() 2f x ax a =-;有唯一解． 作出()y f x =和y 2ax a =-的图象;根据题意两函数图象有唯一交点． 由图可知： 13a ≤．名师点睛根据函数零点求参数取值;也是高考经常涉及的重点问题; 1利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2分离参数后转化为函数的值域最值问题求解;如果涉及由几个零点时;还需考虑函数的图象与参数的交点个数；3转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题;从而构建不等式求解． 5．2018山西45校高三第一次联考已知(),01,{ 11,1.x e x f x e x e x<≤=+-<≤若方程()f x kx e=+有且仅有3个实数解;则实数k 的取值范围是__________． 答案211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦设()0,A e ;AB 为()y f x =的切线;B 为切点; 1,1C e e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭;观察可知;当位于切线AB和割线AC 之间时; y kx e =+图象与()y f x =的图象有三个交点;设()00,B x y ．由2111'e x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭;可得切线AB: ()02001110y e x x x ⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭;解得02x =;故14AB k =-;又2111ACe ee e k e e+---==;所以当方程()f x kx e =+在(]0,e 上有三个实数解;实数k 的取值范围为211,4e e -⎛⎤- ⎥⎝⎦．名师点睛根据函数零点求参数取值;也是高考经常涉及的重点问题; 1利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2分离参数后转化为函数的值域最值问题求解;如果涉及由几个零点时;还需考虑函数的图象与参数的交点个数；3转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题;从而构建不等式求解． 6．2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研已知()2,0{2,0lnx x f x x x x ->=+≤;若()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ;则1234x x x x +++的取值范围是________________．答案10,2e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 解析因为1234342x x x x x x +++=-++;所以;故答案为10,2e e⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 7．2018河郑州一中模拟已知函数()222,0{ 2,0x x x f x x x x -+≥=-<;若关于x 的不等式()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦恰有1个整数解;则实数a 的取值范围是__________．答案38a <≤解析画出()f x 的图象如图所示 当()0f x =时;得x 0=或x 2=此时()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦化为; 20b -< 若b 0≠;则此时有两解x 0=或x 2=;违背题意; 故b 0=此时()()a 0f x f x ⎡⎤+<⎣⎦若a 0>;则关于的不等式()a 0f x -<<恰有一个整数解． 结合图象可知()()33{48a f a f -<=--≥=-;可得3a 8<≤若a 0<;则关于的不等式()0a f x <<-恰有一个整数解． 结合图象可知()()11{13a f a f ->=-≤-=;可得3a 1-≤<-综上; 3a 13a 8-≤<-<≤或．8．2018江苏南京高三数学上学期期初学情调研已知函数()22,0{ ,313,0x x f x x x ≤=--+>若存在唯一的整数x ;使得()0f x a x->成立;则实数a 的取值范围为______．答案0;2∪3;8满足()00f x a x ->-符合题意;当8a >时;至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意;故答案为[][]0,23,8⋃名师点睛对于方程解的个数或函数零点个数问题;可利用函数的值域或最值;结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点;分析函数的最值、极值；从图象的对称性;分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势;分析函数的单调性、周期性等 9．2018浙江温州一模已知函数有六个不同零点;且所有零点之和为3;则的取值范围为__________． 答案单调递增;且取值范围是;当时;函数的导函数;考虑到是上的单调递增函数;且;于是在上有唯一零点;记为;进而函数在上单调递减;在上单调递增;在处取得极小值;如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系;注意到;;函数;在上与直线有个公共点;的取值范围是;故答案为．10．2018湖南永州高三上学期一模定义函数()()(),{,f x x a h x g x x a≤=>; ()f x x =;()224g x x x =--;若存在实数b 使得方程()0h x b -=无实数根;则实数a 的取值范围是__________． 答案()(),54,-∞-⋃+∞解析11．2018河北石家庄二中八月高三模拟已知()22,{ 2,x x af x x x a-≥=+<;若函数()1ln g x f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有零点;则实数a 的取值范围是__________．答案[][)1,23,-⋃+∞综上可得： 1a 2-≤≤或a 3≥ 故答案为： [][)1,23,-⋃+∞名师点睛已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围；2分离参数法：先将参数分离;转化成求函数值域问题加以解决；3数形结合法：先对解析式变形;在同一平面直角坐标系中;画出函数的图象;然后数形结合求解．12．2018广东茂名高三五大联盟学校9月份联考若函数至少有3个零点;则实数的取值范围是__________． 答案解析由可得;则问题转化为函数的图像有至少三个交点;结合图像可以看出当时;即时满足题设;应填答案．名师点睛本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用;求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像;进而借助图像的直观建立不等式;进而通过解不等式求出参数的取值范围．13．2018山东齐河晏婴学校一模已知()1x f x e =-;又()()()()2g x f x tf x t R =-∈;若满足()1g x =-的x 有三个;则t 的取值范围是__________． 答案()2,+∞解析由题意作函数()1x f x e =-的图象：名师点睛本题考查方程根的个数问题的转化;一元二次方程根的分布问题;以及换元法的应用;考查数形结合思想;转化思想；由题意作函数()1x f x e =-的图象;令()m f x =;由图求出m 的范围;代入方程()1g x =-化简;由条件和图象判断出方程的根的范围;由一元二次方程根的分布问题列出不等式;求出t 的取值范围．14．2018浙江名校协作体上学期考试已知函数()()22,0{,14,0x x f x x ln x x +>=-+≤则关于x 的方程()246f x x -=的不同实根的个数为________． 答案4个解析函数 ()f x 图像如图所示; ()22424t x x x =-=-- ;由图15．2018河南郑州一中模拟已知函数()f x 满足()()22f x f x +-=;当(]0,1x ∈时;()2f x x = ;当(]1,0x ∈-时;()()221f x fx +=+;若定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点;则实数t 的取值范围是__________．答案()0,627-解析当(]1,0011x x ∈-⇒<+时;则(11f x x +=+;故()221f x x =-+；当(]1,2021x x ∈⇒≤-<时;则()()222f x x -=-;故()()222f x x =--；当()2,3120x x ∈⇒-<-<时;则()()()()22224213f x f x f x f x⎡⎤⎥=--=-=-⎥-+-⎦;又因为()2,3031x x ∈⇒<-<;所以33f x x -=-;则()224433f x x x =-=+--．所以()222+1{ 2(243xx x f x x -=-+-; (](](](),1,0,0,1,1,2,2,3x x x x ∈-∈∈∈;画出函名师点睛解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数()y f x =在区间()1,3-上的解析表达式求出来;再画出其图像数形结合;从而将问题转化为方程()()()2212242=0t x x x t x t +=--⇒+-++有唯一解;可求得627t =-;通过数形结合;求得当0627t <<-时;函数()y f x =在区间()1,3-上的图像与直线()1y t x =+的图像有且只有三个不同的交点;即定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点．16．2018江苏南京师范大学附属中学模拟函数()()()({ 4x x x t f x xx t ≤=>其中0t >;若函数()()1g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦有6个不同的零点;则实数t 的取值范围是__________．答案()3,4解析314{ 34127t t t<⇒<<>时;两直线1,1y t y =+=与函数()y f x =共有六个不同交点;应填答案()3,4．名师点睛解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数形结合思想建立不等式组．求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值．灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征;体现了数学思想在解决数学问题中四两拨千斤的功能．。
千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第5炼 函数的对称性与周期性 Word版含解析
第5炼 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
复合函数的零点问题
复合函数的零点问题I ．题源探究·黄金母题【例1】设函数()1,0,()11,11x x a af x x a x a⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩（a 为常数且()0,1a ∈）．若0x 是()()ff x x -的零点但不是()f x x -的零点，则称0x 为()f x 的二阶周期点，求函数()f x 的二阶周期点．【答案】函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++． 【解析】2222221,0,1(),,(1)(())1(),1,(1)1(1),1 1.(1)x x a a a x a x a a a f f x x a a x a a a x a a x a a ⎧≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪-⎪=⎨⎪-<<-+-⎪⎪⎪--+≤≤-⎪⎩当20x a ≤≤时，由21x x a=解得0x =，由于()00f =，故0x =不是()f x 的二阶周期点； 当2a x a <≤时，由1()(1)a x x a a -=-解得21a x a a =-++2(,),a a ∈因222211()1111a a af a a a a a a a a a =⋅=≠-++-++-++-++，故21ax a a =-++是()f x 的二阶周期点；当21a x a a <<-+时，由21()(1)x a x a -=-解得12x a=-2(,1)a a a ∈-+，因精彩解读【试题来源】2013年高考江西卷改编． 【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点．【思路方法】理解定义，写出复合函数的解析式，再利用函数与方程思想、分类分类讨论思想、数形结合思想解题．111112122f a a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故12x a =-不是()f x 的二阶周期点；当211a a x -+≤≤时，1(1)(1)x x a a -=-解得211x a a =-++ 2(1,1)a a ∈-+，因22221111()(1)11111a f a a a a a a a a a =•-=≠-++--++-++-++， 故211x a a =-++是()f x 的二阶周期点．综上：函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，121a x a a =-++，2211x a a =-++． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017年高考江苏卷】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ． 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p =，则10()nm q p= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，【命题意图】本题主要考查复合函数的零点．本题能较好的考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，综合性强，难度大． 【难点中心】解答此类问题，关键在于 “抽茧剥丝”，把复合函数问题转化为单函数问题，准确作出函数图象，利用图象解决问题．图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处()11lg 1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8． 【例3】【2015年高考天津】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （ ） A ．7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D ． 【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪∴=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--，所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<． III ．理论基础·解题原理1．复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦．2．复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值．例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦． 【解析】()2224f ==，()()2412g f g ∴==⎡⎤⎣⎦．3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值．例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x ．由上例可得，要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义．4．函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点．5．复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，一般综合性强，难度大． 【技能方法】求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围． 【易错指导】1．函数零点—忽视单调性的存在．例如：若函数f(x)在区间[－2，2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2，2)内有一个零点，则f(－2)·f （2）的值 ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定解答：若函数f(x)在(－2，2)内有一个零点，该零点可分两种情况：（1）该零点是变号零点，则f(－2)·f （2）<0；（2）该零点是非变号零点，则f(－2)·f（2）>0，因此选D ．易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况．方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(－2，2)内有一个零点时，f(－2)·f（2）的符号不能确定．2．要注意对于在区间[a ，b]上的连续函数f(x)，若x 0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在[a ，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件． 注意以下几点：①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一； ②不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点．③由函数)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点不一定能推出)(a f ·)(b f 0<，如图所示．所以)(a f ·)(b f 0<是)(x f y =在闭区间[],a b 上有零点的充分不必要条件．注意：①如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且函数()f x 在区间[],a b 上是一个单调函数，那么当)(a f ·)(b f 0<时，函数()f x 在区间),(b a 内有唯一的零点，即存在唯一的(,)c a b ∈，使0)(=c f ．②如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且有)(a f ·)(b f 0>，那么，函数()f x 在区间),(b a 内不一定没有零点．③如果函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，那么当函数()f x 在区间),(b a 内有零点时不一定有)(a f ·)(b f 0<，也可能有)(a f ·)(b f 0>． V ．举一反三·触类旁通 【例1】【2018四川绵阳一诊】函数满足，且当时，．若函数的图象与函数（，且）的图象有且仅有4个交点，则的取值集合为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【例2】【2018南宁高三毕业班摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可得函数f(x)的对称轴为x=2，周期为T=4，原方程变形为，，所以只需画出，两个函数在区间(-2，6)的图像，根据图像求a 的范围，图像如下，一定过（-1，0）点，当时，显然只有一个交点，所以，只需要对数从点B ，点C 下面穿过就有4个零点，所以解得，选D ．【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a 的范围．【例3】【2018河南天一大联考】已知函数若关于的方程有3个实数根，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】作图如下： 因此要使方程有3个，实数的取值范围是，选D ．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 【例4】【2018广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数()3log ,03{4,3x x f x x x <≤=->，若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．[)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】AA （0，﹣2），B （3，1），C （4， 0），则g （x ）的图象介于直线AB 和AC 之间，介于k AB ＜m ＜k AC ，可得12＜m ＜1．故答案为：（12，1）． 点睛:函数h （x ）=f （x ）﹣mx+2有三个不同的零点，即为f （x ）﹣mx +2=0有三个不同的实根，可令y=f （x ），y =g （x ）=mx ﹣2，分别画出y=f （x ）和y=g （x ）的图象，通过图象观察，结合斜率公式，即可得到m 的范围．【例5】【2018广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数()()222,12{log 1,1x x f x x x +≤=->，则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】A【解析】解：令t=f （x ），F （x ）=0，则f （t ）﹣2t ﹣32=0， 【名师点睛】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t 对应几个x ． 【例6】【2018安徽阜阳临泉一中上学期二模】已知，若关于的方程恰好有 个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________．【答案】【解析】∵，∴，∴∴当或时，，当时，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增可作出大致函数图象如图所示： 令，则当时，方程有一解；当时，方程有两解；时，方程有三解∵关于的方程，恰好有4个不相等实数根 ∴关于的方程在和上各有一解∴，解得，故答案为【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：①直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．【例7】【2018湖南株洲醴陵第二中学、醴陵第四中学高三上学期两校期中联考】已知函数()2log ,02{2,22x x f x x x x<<=+≥，若0＜a ＜b ＜c ，满足f （a ）=f （b ）=f （c ），则()abf c 的范围为__． 【答案】（1，2）0a b c Q ＜＜＜，满足()()()f a f b f c ==，22log log a b ∴-=，即1ab =，()21122c f c c c+==+Q ，()112f c ∴<<，故()()112ab f c f c <=<，故答案为()12，．【名师点睛】画出函数()f x 的图象，由图象可知有相等时的取值范围，这里2log x 由的图象和计算得1ab =，可以当作结论，这样三个未知数就只剩下c ，由反比例即可求出结果．【例8】【2018江西宜春丰城九中、高安二中、宜春一中、万载中学、樟树中学、宜丰中学六校联考】已知函数()ln 1||f x x =-， ()f x m -的四个零点1x ， 2x ， 3x ， 4x ，且12341111k x x x x =+++，则()kf k e -的值是__________． 【答案】2e -【例9】【2018山西山大附中等晋豫名校第四次调研】已知函数()()21,0{11,0x x f x f x x -≤=-+>，把方程()0f x x -=的根按从小到大顺序排成一个数列，则该数列的前n 项和n S =__________．【答案】()12n n -【解析】当01x <≤时，有110x -<-≤，有()()1112x f x f x -=-+= ，当12x <≤时，有011x <-≤ ，有()()21121x f x f x -=-+=+ 当23x <≤时，有112x <-≤ ，有()()31122x f x f x -=-+=+ 当34x <≤时，有213x <-≤ ，有()()31123x f x f x -=-+=+依次类推，当()1n x n n N <≤+∈时，则()()1112x n f x f x n --=-+=+ ，所以()()12x n g x f x x n x --=-=+- ，故21n a n +=+ ，所以通项公式1n a n =-， ()12n n n S -=．【点睛】本题考查对分段函数的处理方法，分段函数要分段处理，根据分段函数的解析式找出各段函数的零点，从而得出各个零点与项数的关系，写出数列的通项公式，根据数列是特殊的等差数列，利用等差数列求和公式，求出数列的前n 项的和．【例10】【2018江苏南通如皋第一次联考】已知函数()211{ 52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】714⎛⎤ ⎥⎝⎦，【例11】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知定义在R 上的函数()()2,0{1,0x x x f x ln x x +≤=+>，若函数()()()1g x f x a x =-+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_________．【答案】()1,1,1e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭．【解析】数形结合，由直线()1y a x =+与曲线()y f x =的位置关系可得当()1,1,1a e ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭时有两个交点，即函数()y g x =恰有两个零点．【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．【例12】【2018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】已知函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为________． 【答案】1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭数()22ln h x x m x =+-最小值为21112ln 222h m ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭ ，可得1ln22m <-，此时函数()22ln h x x m x =+-有两个零点，故函数()22f x x m =+的图象与函数()ln g x x =的图象有四个交点，实数m 的取值范围为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭，故答案为1,ln22⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭． 【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点、函数的零点、方程的根，属于难题．函数图象的交点、函数的零点、方程的根往往是“知一求二”，解答时要先判断哪个好求解就转化为哪个，判断函数()y f x =零点个数的常用方法：（1） 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；（2） 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；（3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题． 【跟踪练习】1．【2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考】函数()()()820{ 1022sin x x f x f x x π-≤=⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】D【解析】函数的零点满足： ()4log f x x =，则原问题等价于考查函数4log y x =与函数()f x 的交点的个数．()114sin22sin22222f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当32x ππ<≤时， 22x πππ<-≤，据此可得： ()112sin2sin22222f x f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；当54x π=时， 55sin 2144f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而445log log 414π<=， 则函数4log y x =与函数()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个交点， 很明显，当32x π>时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得： 函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个． 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．【2018江西上饶高三下学期一模】已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()323694f x x x x a -=-+-+在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．05a <≤B ．5a <C ．05a <<D ．5a ≥ 【答案】A即有3213log 694x x x x a =-+-+在区间(]0,3上有两解，由()32694g x x x x a =-+-+，可得()23129g x x x =-+'，当13x <<时， ()0g x '<， ()g x 递减；当01x <<时， ()0g x '>， ()g x 递增． ()g x 在1x =处取得最大值a ， ()04g a =-， ()34g a =-，分别作出13log y x =，和32694y x x x =-+-的图象，可得两图象只有一个交点()1,0，将32694y x x x =-+-的图象向上平移，至经过点()3,1，有两个交点，由()31g =，即41a -=，解得5a =，当05a <≤时，两图象有两个交点，即方程两解．故选A ．3．【201甘肃兰州西北师范大学附属中学一调】若函数()3,0{ ,0xx e x f x e x x+≤=>，则方程()()330f f x e -=的根的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解．4．【2018安徽滁州高三9月联合质量检测】已知()()11,011{ ,10x f x f x x x +<<-=-<≤，若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当01x <<时， 110x -<-<，所以()11f x x -=-．()()111111f x f x x =+=+--．若方程()()200f x ax a a -+=≠有唯一解，即() 2f x ax a =-，有唯一解． 作出()y f x =和y 2ax a =-的图象，根据题意两函数图象有唯一交点． 由图可知： 13a ≤． 【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 5．【2018山西45校高三第一次联考】已知(),01,{ 11,1.x e x f x e x e x<≤=+-<≤若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦设()0,A e ，AB 为()y f x =的切线，B 为切点， 1,1C e e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，观察可知，当位于切线AB 和割线AC 之间时， y kx e =+图象与()y f x =的图象有三个交点，设()00,B x y ．由2111'e x x ⎛⎫+-=-⎪⎝⎭，可得切线AB: ()02001110y e x x x ⎛⎫-+-=--⎪⎝⎭，解得02x =，故14AB k =-，又2111AC e ee e k e e+---==，所以当方程()f x kx e =+在(]0,e 上有三个实数解，实数k 的取值范围为211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦． 【名师点睛】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．6．【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学第一次调研】已知()2,0{2,0lnx x f x x x x ->=+≤，若()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是________________．【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【解析】因为1234342x x x x x x +++=-++，所以，故答案为10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 7．【2018河郑州一中模拟】已知函数()222,0{ 2,0x x x f x x x x -+≥=-<，若关于x 的不等式()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】38a <≤【解析】画出()f x 的图象如图所示 当()0f x =时，得x 0=或x 2=此时()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦化为， 20b -< 若b 0≠，则此时有两解x 0=或x 2=，违背题意， 故b 0=此时()()a 0f x f x ⎡⎤+<⎣⎦若a 0>，则关于的不等式()a 0f x -<<恰有一个整数解．结合图象可知()()33{48a f a f -<=--≥=-，可得3a 8<≤若a 0<，则关于的不等式()0a f x <<-恰有一个整数解． 结合图象可知()()11{13a f a f ->=-≤-=，可得3a 1-≤<-综上， 3a 13a 8-≤<-<≤或．8．【2018江苏南京高三数学上学期期初学情调研】已知函数()22,0{,313,0x x f x x x ≤=--+>若存在唯一的整数x ，使得()0f x a x->成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[0，2]∪[3，8]满足()00f x a x ->-符合题意，当8a >时，至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意，故答案为[][]0,23,8⋃【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 9．【2018浙江温州一模】已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为__________． 【答案】单调递增，且取值范围是，当时，函数的导函数，考虑到是上的单调递增函数，且，于是在上有唯一零点，记为，进而函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，如图：接下来问题的关键是判断与的大小关系，注意到，，函数，在上与直线有个公共点，的取值范围是，故答案为．10．【2018湖南永州高三上学期一模】定义函数()()(),{,f x x a h x g x x a≤=>， ()f x x =， ()224g x x x =--，若存在实数b 使得方程()0h x b -=无实数根，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()(),54,-∞-⋃+∞【解析】11．【2018河北石家庄二中八月高三模拟】已知()22,{ 2,x x a f x x x a -≥=+<，若函数()1ln g x f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有零点，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[][)1,23,-⋃+∞ 综上可得： 1a 2-≤≤或a 3≥ 故答案为： [][)1,23,-⋃+∞【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 12．【2018广东茂名高三五大联盟学校9月份联考】若函数至少有3个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】【解析】由可得，则问题转化为函数的图像有至少三个交点，结合图像可以看出当时，即时满足题设，应填答案．【名师点睛】本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用，求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等式，进而通过解不等式求出参数的取值范围．13．【2018山东齐河晏婴学校一模】已知()1x f x e =-，又()()()()2g x f x tf x t R =-∈，若满足()1g x =-的x 有三个，则t 的取值范围是__________．【答案】()2,+∞【解析】由题意作函数()1x f x e =-的图象：【名师点睛】本题考查方程根的个数问题的转化，一元二次方程根的分布问题，以及换元法的应用，考查数形结合思想，转化思想；由题意作函数()1x f x e =-的图象，令()m f x =，由图求出m 的范围，代入方程()1g x =-化简，由条件和图象判断出方程的根的范围，由一元二次方程根的分布问题列出不等式，求出t 的取值范围．14．【2018浙江名校协作体上学期考试】已知函数()()22,0{,14,0x x f x x ln x x +>=-+≤则关于x 的方程()246f x x -=的不同实根的个数为________．【答案】4个【解析】函数 ()f x 图像如图所示， ()22424t x x x =-=--，由图15．【2018河南郑州一中模拟】已知函数()f x 满足()()22f x f x +-=，当(]0,1x ∈时， ()2f x x = ，当(]1,0x ∈-时，()()21f x fx +=+，若定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是__________． 【答案】()0,627-【解析】当(]1,0011x x ∈-⇒<+≤时，则11f x x +=+，故()221f x x =-+；当(]1,2021x x ∈⇒≤-<时，则()()222f x x -=-，故()()222f x x =--；当()2,3120x x ∈⇒-<-<时，则()()()()22224213f x f x f x f x⎡⎤⎥=--=--=⎥-+-⎦，又因为()2,3031x x ∈⇒<-<，所以()33fx x -=-，则()224433f x x x =-=+--．所以()222+1{ 2(243xx x f x x -=-+-，(](](](),1,0,0,1,1,2,2,3x x x x ∈-∈∈∈，画出函【名师点睛】解答本题的关键是充分运用题设条件先将函数()y f x =在区间()1,3-上的解析表达式求出来，再画出其图像数形结合，从而将问题转化为方程()()()2212242=0t x x x t x t +=--⇒+-++有唯一解，可求得627t =-0627t <<-()y f x =在区间()1,3-上的图像与直线()1y t x =+的图像有且只有三个不同的交点，即定义在()1,3-上的函数()()()1g x f x t x =-+有三个不同的零点．16．【2018江苏南京师范大学附属中学模拟】函数()()()({ 4x x x t f x x x t ≤=>其中0t >，若函数()()1g x f f x ⎡⎤=-⎣⎦有6个不同的零点，则实数t 的取值范围是__________．【答案】()3,4【解析】314{ 34127t t t<⇒<<>时，两直线1,1y t y =+=与函数()y f x =共有六个不同交点，应填答案()3,4． 【名师点睛】解答本题的关键关节有两个：其一是将函数的零点问题进行等价转化；其二是要巧妙运用数形结合思想建立不等式组．求解时还要综合运用导数知识确定函数的极值点和极值．灵活运用所学知识和重要是数学思想进行分析问题和解决问题是本题一大特征，体现了数学思想在解决数学问题中四两拨千斤的功能．。
千题百炼- 函数的性质综合应用必刷100题(原卷版)
专题04函数的性质综合应用必刷100题任务一:善良模式(基础)1-50题一、单选题1．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（ ）A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭2．（2021·湖南·高三月考）已知函数()f x 满足22()()326f x f x x x +-=++，则（ ）A ．()f x 的最小值为2B ．x R ∃∈，22432()x x f x ++>C ．()f x 的最大值为2D ．x R ∀∈，22452()x x f x ++>3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（ ）A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0,1]D ．[1,1]-4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x 2+1）＝x 4，则函数y ＝f （x ）的解析式是（ ） A ．()()21,0f x x x =-≥ B ．()()21,1f x x x =-≥ C ．()()21,0f x x x =+≥ D ．()()21,1f x x x =+≥5．（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数()f x 满足()()()222f a b f a f b +=+对,a b ∈R 恒成立，且(1)0f ≠，则(2021)f =（ ）A ．1010B ．20212C ．1011D ．202326．（2021·安徽·六安二中高三月考）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21x f x =-，则当0x <时，()f x =（ ） A ．21x -- B ．21x -+ C ．21x --- D ．21x --+7．（2021·河南·高三月考（理））||||2()x x x e f x e -=的最大值与最小值之差为（ ）A ．4-B ．4eC ．44e- D ．08．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞- D ．()3,-+∞9．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数()(1ln 31xxa x f x x a +=+++-（0a >，1a ≠），且()5f π=，则()f π-=（ ） A ．5- B ．2C ．1D ．1-10．（2021·北京通州·高三期中）已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（ ）A ．()04f <B ．()14f =C ．()24f >D ．()30f <11．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数()()221xf x a a R =-∈+为奇函数，则实数a =（ ）. A ．2-B ．1-C ．0D ．112．（2022·上海·高三专题练习）函数()2020sin 2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(,1]-∞13．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时，()2f x '>恒成立，若不等式()()()1221f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个15．（2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足1(2)()f x f x +=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+，则()2021f 等于（ ） A ．4 B ．2C ．2-D ．2log 716．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数()f x 是定义在[3,2]a --上的奇函数，且在[3,0]-上单调递增，则满足()()0f m f m a +->的m 的取值范围是（ ） A ．5,82⎛⎤⎥⎝⎦B ．5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．[]2,3D ．[]3,3-17．（2021·浙江·高三期中）已知0a >，0b >，则“2ln39b a ab>-”是“a b >”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件18．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()f x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭19．（2021·全国·高三期中）已知()2f x +是偶函数，当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3b f =，()4c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<20．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()13f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（ ）A ．2022B ．0C ．3D ．2022-21．（2021·河北·高三月考）已知函数()3()21sin f x x x x =+++，则()(32)4f x f x -+-<的解集为（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(2,)+∞22．（2021·河南·高三月考（文））已知函数()()12x x f x e e －＝+，记12a fπ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝，1log 2b f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，()c f π＝，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a23．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．无法确定24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立，且函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，(1)4f =，则(2020)(2021)(2022)f f f ++=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．425．（2021·江西·高三月考（文））若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且()30f =，则满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为（ ） A ．(][),15,-∞-+∞ B ．[][]3,05,-+∞ C ．[][]1,02,5-D ．(][),10,5-∞-26．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（ ） A ．f 3()2<f 1()4-<f 1()4B ．f 1()4<f 1()4-<f 3()2C ．f 3()2<f 1()4<f 1()4-D ．f 1()4-<f 3()2-<f 1()427．（2022·全国·高三专题练习）函数()342221x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，则不等式()1f x ≥的解集是（ ） A ．()513⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，， B ．(]5133⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦，， C ．513⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．533⎡⎤⎢⎥⎣⎦，28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））函数()f x 满足()()4f x f x =-+，若()23f =，则()2022f =（ ） A ．3 B ．-3 C ．6 D ．202229．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数2()ln(231)f x x x =-+的单调递减区间为（ ） A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞30．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ）A ．404B ．804C ．806D ．40231．（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x 1<2<x 2，且x 1＋x 2>4，则f (x 1)＋f (x 2)的值（ ） A ．可正可负 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．恒小于032．（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数()f x 满足()()1f x f x -=()x R ∈，则下列函数中，不是奇函数的为（ ） A ．()()11f x f x -+ B ．()()11f x f x +-C ．()()1f x f x -D ．()()1f x f x +33．（2021·四川郫都·高三月考（文））已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2log 3 B ．1C ．1-D ．034．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f ≠，则()2021f =（ ）． A ．2021 B ．1 C ．0D ．1-二、多选题35．（2021·全国·高三月考）()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()()2log 2f x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的一个周期为4B ．()20221f =C ．当[]2,3x ∈时，()()2log 4f x x =--D ．函数()f x 在[]0,2021内有1010个零点36．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）关于函数()321x f x x +=-，正确的说法是（ ） A ．()f x 有且仅有一个零点 B ．()f x 在定义域内单调递减 C ．()f x 的定义域为{}1x x ≠ D ．()f x 的图象关于点()1,3对称37．（2021·福建·三明一中高三月考）下列命题中，错误的命题有（ ） A ．函数()f x x =与()2g x =是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．函数4sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值为4 D ．设函数22,0()2,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 在R 上单调递增38．（2021·福建·高三月考）已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()13f x f x +=-，()()13f x f x +=-，当02x ≤≤时，()2f x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为4 B ．()f x 的图象关于直线2x =对称 C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最大值为2 D ．当68x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12-39．（2022·全国·高三专题练习）设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（ ） A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称； B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称； C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称； D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称.40．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知函数sin ()()x f x e x R =∈，则下列论述正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为e ，最小值为0 B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期函数，且最小正周期为2πD ．不等式()f x ≥5,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭41．（2021·全国·模拟预测）已知函数()21xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 在(),1-∞上是增函数 B ．函数()f x 的图象关于点()1,2中心对称C ．函数()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得直线//AB x 轴D ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称42．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称第II 卷（非选择题）三、填空题43．（2021·广东·高三月考）请写出一个函数()f x =__________，使之同时具有如下性质： ①图象关于直线2x =对称；②x R ∀∈，(4)()f x f x +=．44．（2021·湖南·高三月考）已知偶函数()f x 满足()()416f x f x +-=，且当(]0,1x ∈时，()[]222()f x f x =，则()3f -=___________.45．（2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考）定义在R 上的函数f (x )满足()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+，则23(log 8)2f +＝___．46．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，2(2),[3,1)(),[1,3)x x f x x x ⎧-+∈--⎪=⎨∈-⎪⎩，数列{}n a 满足(),n a f n n N =∈*，{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =_________．47．（2021·辽宁沈阳·高三月考）若函数()3121x f x m x⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭为偶函数，则m 的值为________．48．（2021·全国·高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为______.49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________.50．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359xf xg x x x +=-++，则()()13f g -+=______．任务二:中立模式(中档)1-30题一、单选题1．（2021·河南平顶山·高三月考（文））若函数2233()1x x f x x ++=+的最大值为a ，最小值为b ，则a b +=（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．82．（2021·重庆南开中学高三月考）函数()1xf x x=+，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．()y f x =的图象关于点()1,1-对称 B ．()f x 在其定义域上单调递增 C ．()f x 的值域为()1,1-D ．函数()()g x f x x =-有且只有一个零点3．（2021·辽宁沈阳·高三月考）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为（ ）A ．(),e -∞B ．(),1-∞C ．(),e +∞D ．()1,+∞4．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x->，且()20f -=，则不等式()0f x x >的解集是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞D ．()(),20,2-∞-5．（2021·广东·深圳市第七高级中学高三月考）已知,,(0,1)a b c ∈，且22ln 1a a e -+=，222ln 2b b e -+=，232ln 3c c e -+=，其中e 是自然对数的底数，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（ ） A ．2- B ．0C ．2D ．47．（2021·陕西·武功县普集高级中学高三期中（文））已知函数()()2020sin 2020f x x x =+，若()()21f x x f m +≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)2,+∞D ．(],1-∞8．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．14 B ．18C ．78-D ．38-9．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61iji x y =+=∑（ ） A ．0 B ．6C ．12D ．2410．（2021·河南·高三月考（理））对于函数()f x ，122x x a +=时，()()122f x f x b += ，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称．探究函数()x f x =图象的对称中心，并利用它求12021()()()()202220222230222022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．4042 B．C ．2022 D ．202111．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()()22,031log 1,3x x f x x x -+≤<⎧=⎨-+≥⎩，若对任意的[],1x t t ∈+，不等式()()()12f x f x t f -≤++-恒成立，则实数t 的最小值为( ) A ．-1 B ．23-C ．13-D ．1312．（2021·山东菏泽·高三期中）定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，21,01()44,12x e x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩，若关于x 的不等式||()m x f x ≤的整数解有且仅有7个，则实数m 的取值范围为（ ） A ．11,53e e --⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,53e e --⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,75e e --⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,75e e --⎛⎤⎥⎝⎦13．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知2()sin 20211xf x x =++，其中()f x '为函数()f x 的导数.则(2021)(2021)(2022)(2022)f f f f ''+-+--=（ ）A ．0B ．2C ．2021D ．202214．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+<，若2211(),2(2),ln (ln )3333a fb fc f ==--=，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．c a b <<15．（2021·天津·南开中学高三月考）已知ln 22a =，1e b =，2ln39c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>16．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 满足1()()02f x f x '+>且有1(2)f e =，则()f x >的解集为（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞17．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．3618．（2021·北京十四中高三期中）函数()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()22f x f x ππ-=+，且当[0,)x π∈时，2sin ()xf x x πx π=-+，给出下列四个结论：①()0f π=；②π是函数()f x 的周期；③函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增；④函数()()sin1([10,10])g x f x x =-∈-所有零点之和为3π． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．①③④ D ．①②③④19．（2021·江苏扬州·高三月考）已知32a >且33ln ln 22a a =，2b >且ln22ln b b =，52c >且55lnln 22c c =，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a b c << D ．a c b <<20．（2021·福建·福州四中高三月考）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥，则m 的取值范围是（ ） A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、多选题21．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2cos2x xf x x=+，则下列关于()f x 判断正确的是（ ）A ．()f x 是以π为周期的周期函数B ．()f x 的图象关于原点对称C ．()f x的值域为⎡⎢⎣⎦D ．函数()f x 的图象可由函数cos242sin 2x y x =+的图象向右平移4π个单位长度获得22．（2021·全国·高三专题练习）函数()f x 对任意实数x 都有()()f x f x ππ+=-，若()()()2f x f x g x +-=，1()()()2g x g x f x π++=，2()(),(),2cos 2()0,(),2g x g x x k k Z x f x x k k Z πππππ-+⎧≠+∈⎪⎪=⎨⎪=+∈⎪⎩则以下结论正确的是（ ）A ．函数()g x 对任意实数x 都有()()g x g x ππ+=-B ．函数1()f x 是偶函数C ．函数2()f x 是奇函数D ．函数1()f x ，2()f x 都是周期函数，且π是它们的一个周期23．（2022·全国·高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数24．（2021·重庆·高三月考）定义域在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（ ）A ．()00f >B ．()421f e >-C ．()()()2021202021f ef e ->-D ．()()22202120201f e f e ->-25．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数()f x 对任意的实数x ，y 满足()()()()cos 222f x f y x y x y f π++-=⋅，且1(0)(1)0,()12f f f ===，并且当1(0,)2x ∈时，()0f x >，则下列选项中正确的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在11(,)22-上单调递增C ．函数()f x 是以2为周期的周期函数D ．5()02f -=第II 卷（非选择题）三、填空题26．（2021·广东·揭阳市揭东区教育局教研室高三期中）若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3x f x e >的解集为________________．27．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________.28．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.29．（2021·广东·大埔县虎山中学高三月考）已知函数())2log f x x =，若任意的正数,a b ，满足()()410f a f b +-=.则19aa a b++的最小值_____.30．（2021·上海·格致中学高三月考）已知函数()f x 的定义域()0,D =+∞，且对任意12,x x D ∈，恒有()()()1212f x x f x f x =+，当1x >时，()0f x <，若()()2212f m f m ->-，则m 的取值范围是______________．任务三:邪恶模式(困难)1-20题一、单选题1．（2021·内蒙古·海拉尔第二中学高三期中（理））已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x ≥时，有22()()f x xf x x +'>，则不等式()()()220182018420x f x f +++-<的解集为（ ） A ．(),2016-∞- B ．()2016,2012-- C ．(),2018-∞- D ．()2016,0-2．（2021·四川遂宁·模拟预测（理））设函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，()f x '为()f x 的导函数，当0x >时，ln ()()0x x f x f x '⋅+>，则使得()2()01x f x x +≤-成立的x 的取值范围（ ）A ．(](),20,1-∞-B ．[)2,0(0,1)-C ．[)2,0(1,)-+∞D ．(](),21,-∞-+∞3．（2021·江苏·无锡市第一中学高三月考）已知()f x 是定(,0)(0,)-∞+∞的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f <，且满足：()()ln 0f x f x x x+'⋅<，则不等式(1)()0x f x -⋅<的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)(0,1)-∞- C ．(,1)-∞ D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞4．（2021·江西景德镇·模拟预测（理））定义在R 上的函数()f x ，满足对于任意0x ≠总有1()()f x f x =--成立，且当(1,1]x ∈-时2,01()1<<0x x x f x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-⎪⎩，函数,>1(),01,<0a x g x ax a x a x ⎧⎪=+≤≤⎨⎪-⎩.设两函数图像交点坐标为1122(),(,),(,)n n x y x y x y ⋅，当121n x x x =-时，实数a 的取值范围为（ ）A ．1(0,3(,1)4- B ．1(0,)(1,324+C ．1(3)(1,)4-+∞D ．1(3)(1,324-+5．（2021·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．186．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，1(1)3f -=-，对于任意的实数x 均有ln3()()f x f x '⋅<成立，且1()12y f x =-+的图像关于点（12，1）对称，则不等式2()30x f x -->的解集为（ ） A ．（1，+∞） B ．（-1，+∞） C ．（-∞，-1） D ．（-∞，1）7．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，若()()1f x f x '>+，()(6)2f x f x +-=，(6)5f =，则不等式()210x f x e ++<的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(0,3)D ．(3,6)8．（2021·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．929．（2021·黑龙江大庆·高三月考（理））设()e 2ln e 2a +=+，2ln 2b =，2e 4ln 4c =-，其中e 是自然对数的底数，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<10．（2021·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ） A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭11．（2021·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ） ①()0,1m ∈；②()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ③函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③12．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，若()()1x f f x '+>，()()6f x f x ''=-，()31f =，()65f =，则不等式()ln 210f x x ++<的解集为（ ） A ．()0,1 B ．()0,3 C ．()1,3 D ．()3,6二、多选题13．（2021·江苏如皋·高三月考）已知函数()y f x =满足：对于任意实数,R x y ∈，都有()()2()cos f x y f x y f x y ++-=，且(0)0f =，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．R,()1x f x ∀∈≤D ．()f x 在ππ[,]22-上是增函数14．（2021·海南·高三月考）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当[0,3]x ∈时，21,[0,1]()(2),(1,3]x x f x f x x ⎧-∈⎪=⎨--∈⎪⎩，当3x >时，1()(4)2f x f x =-，则以下结论正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．任意()()1212,,2x x R f x f x ∈-≤C ．1(10)4f -=-D ．()f x 在区间[2,4]上单调递增15．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数sin cos ()e e x x f x =-，下列说法中正确的是（ ）A ．()()f x f x -=B ．()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数 C ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数 D ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一极值点第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________.18．（2021·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =-有三个零点，则实数a 的范围为________．19．（2021·湖北·襄阳四中高三月考）已知()sin x x f x e e x x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围___．20．（2021·浙江·模拟预测）已知0a >，b R ∈，若()3242||2ax bx ax bx a b x b -+≤+++对任意122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则b a的取值范围是______．。
千题百炼- 函数图象的辨析100题(解析版)
结合选项，可得A选项符合题意.
故选：A.
5．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（理））函数 的图象大致形状为（）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值判断可得；
【详解】
解：因为 ，所以定义域为 ，且 ，即 为偶函数，函数图象关于 轴对称，故排除C、D；
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数为奇函数以及函数值的正、负，就中得到正确答案.
【详解】
因为 ，所以函数为奇函数，故排除A,D选项；
当 时， ，所以 ，故排除C；
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求解时要充分利用选项中的图象，提取有用的信息，并利用排除法得到正确选项.
34．（2021·河北石家庄·二模）函数 的图象大致为（）
又 时， ，故排除选项D；
故选：A.
4．（2021·四川资阳·高三月考（理））函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数的奇偶性，可排除C、D，利用 和 时， ，结合选项，即可求解.
【详解】
由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D；
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可
【详解】
因为 ，所以 是偶函数，排除B，D，
因为 ，排除C，
故选：A.
28．（2022·全国·高三专题练习）函数 在 轴正半轴的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据 ，化简函数的解析式，结合对数型函数的性质，幂函数的性质进行判断即可.
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第12炼 复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =⎡⎤⎣⎦2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =⎡⎤⎣⎦函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f ⎡⎤⎣⎦ 解：()2224f == ()()2412g f g∴==⎡⎤⎣⎦ 3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。
例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =⎡⎤⎣⎦，求x 解：令()t f x =，则()2020g t t t =⇒-=解得0,2t t ==当()0020xt f x =⇒=⇒=，则x ∈∅当()2222xt f x =⇒=⇒=，则1x =综上所述：1x =由上例可得，要想求出()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数6、求解复合函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围复合函数： 二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
所以()1i f x =，可解得：1230,1,2x x x ===，所以2221235x x x ++= 答案：5例2：关于x 的方程()22213120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 8思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得：1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即可，共有5个 答案：C例3：已知函数11()||||f x x x x x=+--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ．思路：所解方程2()()0f x a f x b ++=可视为()()20f x a f x b ++=，故考虑作出()f x 的图像：()2,12,012,102,1x x x x f x x x x x⎧>⎪⎪<≤⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎪⎩， 则()f x 的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有()()122,02f x f x =<<，所以()()()122,4a f x f x -=+∈，解得42a -<<- 答案：42a -<<-例4：已知定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦的实数根个数为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 思路：已知方程()()2610f x f x --=⎡⎤⎣⎦可解，得()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23y y ==-与()y f x =的交点个数即可。
由奇函数可先做出0x >的图像，2x >时，()()122fx f x =-，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩为一半即可。
正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。
通过数形结合可得共有7个交点 答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。
例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6思路：()'232f x x ax b =++由极值点可得：12,x x 为2320x ax b ++= ①的两根，观察到方程①与()()()2320f x af x b ++=结构完全相同，所以可得()()()2320fx a f x b ++=的两根为()()1122,f x x f x x ==，其中()111f x x =，若12x x <，可判断出1x 是极大值点，2x 是极小值点。
且()()2211f x x x f x =>=，所以()1y f x =与()f x 有两个交点，而()2f x 与()f x 有一个交点，共计3个；若12x x >，可判断出1x 是极小值点，2x 是极大值点。
且()()2211f x x x f x =<=，所以()1y f x =与()f x 有两个交点，而()2f x 与()f x 有一个交点，共计3个。
综上所述，共有3个交点 答案：A例6：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ）A. ()2,0-B. ()2,1--C. ()0,1D. ()0,2思路：考虑通过图像变换作出()f x 的图像（如图），因为()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ，若要出七个根，则()()()121,0,1f x f x =∈，所以()()()121,2b f x f x -=+∈，解得：()2,1b ∈--答案：B例7：已知函数()xx f x e=，若关于x 的方程()()210fx mf x m -+-=恰有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()1,22,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭ C.11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭思路：(),0,0x xxx ef x x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，分析()f x 的图像以便于作图，0x ≥时，()()'1x f x x e -=-，从而()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，()11f e=，且当,0x y →+∞→，所以x 正半轴为水平渐近线；当0x <时，()()'1x f x x e -=-，所以()f x 在(),0-∞单调递减。
由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于()f x 的方程()()210f x mf x m -+-=中，()()12110,,,f x f x e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而将问题转化为根分布问题，设()t f x =，则210t mt m -+-=的两根12110,,,t t e e ⎛⎫⎛⎫∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()21g t t mt m =-+-，则有()20010111100g m m m g e e e >⎧->⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫-⋅+-=< ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩，解得11,1m e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭ 答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例8：已知函数()21,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数判断正确的是（ ）A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点C. 无论a 为何值，均有2个零点D. 无论a 为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦的解的个数，先作出()f x 的图像，直线1y ax =+为过定点()0,1的一条直线，但需要对a 的符号进行分类讨论。
当0a >时，图像如图所示，先拆外层可得()()12210,2f x f x a =-<=，而()1f x 有两个对应的x ，()2f x也有两个对应的x ，共计4个；当0a <时，()f x 的图像如图所示，先拆外层可得()12f x =，且()12f x =只有一个满足的x ，所以共一个零点。
结合选项，可判断出A 正确 答案：A例9：已知函数()()()232211,0231,31,0x x f x x x g x x x ⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=-+=⎝⎭⎨⎪-++≤⎩，则方程()0g f x a -=⎡⎤⎣⎦（a 为正实数）的实数根最多有___________个 思路：先通过分析()(),fx g x 的性质以便于作图，()()'23632f x x x x x =-=-，从而()f x 在()(),0,2,-∞+∞单增，在()0,2单减，且()()01,23f f ==-，()g x 为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取()f x 能对应x 较多的情况，由()f x 图像可得，当()()3,1f x ∈-时，每个()f x 可对应3个x 。