专题03 “用好零点”,证明函数不等式-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)
专题三“用好零点”，证明函数不等式
函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练.
【典型例题】
类型一设而不求，应用函数零点存在定理
例1.【四川省泸州市2019届高三二诊】已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与轴正半轴有公共点，求的取值范围；
（2）求证：时，．
类型二设而不求，应用不等式性质
例2.【广东省揭阳市2019届高三一模】已知函数（，e是自然对数的底，）
（1）讨论的单调性；
（2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：．
类型三代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系
例3.【湖南师大附中2019届高三月考试题（七)】已知函数，其中为常数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个相异零点，求证：.
类型四利用零点性质，构造函数证明参数范围
例4．【山东省临沂市2019届高三2月检测】已知函数．
(1)判断的单调性；
(2)若在(1，+∞)上恒成立，且=0有唯一解，试证明a<1．
【规律与方法】
应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二一
类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二一类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系.
1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”．
2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段.
【提升训练】
1．【广东省揭阳市2019届高三一模】设函数，
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个零点、，求证：．
2．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】已知函数有两个零点．
求实数a的取值范围；
若函数的两个零点分别为，，求证：．
3.【宁夏银川市2019年高三下学期检测】已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）．
4．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：．
5. 已知函数f（x）=3e x+x2，g（x）=9x﹣1．
（1）求函数φ（x）=xe x+4x﹣f（x）的单调区间；
（2）比较f（x）与g（x）的大小，并加以证明．
6. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax•e x﹣4x，其中a为大于零的常数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）．
7.【山东省济南市2019届高三3月模拟】已知函数，其导函数的最大值
为.
（1）求实数的值；
（2）若，证明：.
8．【山东省日照市2017届高三下学期一模】设
(e 为自然对数的底数)，． (I)记，讨论函单调性；
(II)令，若函数G(x )有两个零点． (i)求参数a 的取值范围；
(ii)设的两个零点，证明．
9．已知函数()()()2ln 10f x x a x a =+->.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 在区间()0,1内有唯一的零点0x ，证明： 3
120e x e --<<.
10．已知函数()1x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数， a R ∈ （I ）若a e =，函数()()2g x e x =-
①求函数()()()h x f x g x =-的单调区间
②若函数()()(),{ ,f x x m
F x g x x m ≤=>的值域为R ,求实数m 的取值范围
（II ）若存在实数[]12,0,2x x ∈,使得()()12f x f x =，且121x x -≥，求证： 21e a e e -≤≤-。
专题06 重温高考压轴题----函数零点问题集锦-2019年高考数学压轴题之函数零点问题(原卷版)
专题六 重温高考压轴题----函数零点问题集锦函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力.【典型例题】类型一 已知零点个数，求参数的值或取值范围例1.【2018年理新课标I 卷】已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 例2.【2018年理数全国卷II 】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．类型二 利用导数确定函数零点的个数 例3.【2018年全国卷II 文】已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．类型三 挖掘“隐零点”，证明不等式例4.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥.(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202ef x --<<.类型四 利用函数单调性，确定函数零点关系例5.【2016高考新课标1理】已知函数2()(2)e (1)xf x x a x =-+-有两个零点. （I ）求a 的取值范围；（II ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<. 类型五 借助导函数零点，解答综合性问题例6.【2016高考新课标2文】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 例7.【2016高考新课标Ⅲ文】设函数()ln 1f x x x =-+． （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->. 例8.【2018年理数天津】已知函数，，其中a >1.（I ）求函数的单调区间；（II ）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；（III ）证明当时，存在直线l ，使l 是曲线的切线，也是曲线的切线.【规律与方法】1.研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）．2. 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.3. 导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有1,ln 1xe x x x ≥+≤-等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.4. 对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要通过论坛和联系多加体会.5. 函数有零点等价于相应的方程有实根,然后将方程进行适当的变形,转化为两个函数图象有交点.交点的个数就是函数零点个数.在实际解题中,通常先求出()/f x ,然后令()/0f x =,移项,转化为判断两个函数图象的交点个数.【提升训练】1.【2019届高三第一次全国大联考】若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )A ．B ．（）C ．D ．（）2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．13.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________. 4．【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________． 5.【2018年天津卷文】设函数，其中,且是公差为的等差数列. （I ）若 求曲线在点处的切线方程；（II ）若，求的极值；（III ）若曲线与直线有三个互异的公共点，求d 的取值范围.6.【江西省南昌市2019届高三一模】已知函数（为自然对数的底数），，直线是曲线在处的切线.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在，使得在上有唯一零点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.7.【2016年高考四川理数】设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).8.【2017年新课标1】已知函数2()e(2)e xx f x a a x =+--.（1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.9．【2017江苏，20】 已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围. 10.【2016高考山东理】已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 11.【2016高考新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；(Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax ag x x-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．12.【辽宁省大连市2019届高三3月测试】已知函数．（1）讨论函数 的单调性；（2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围．。
【个题研究】(全国1卷)(理20)从2019年高考理科导数压轴题看函数零点问题的解题方法_邓军民
责任编辑 廖宇红
20 广东教育·高中 2019 年第 10 期
且当 x∈（0, β）
时，
f′（x）>0；
当 x∈（β,
π） 2
时，
f′（x）<0.
故 f（x）在
（0, β）
单调递增，
在
（β,
π 2
）
单调递减. 又 f（0）
=0，
f（
π 2
）=1-ln（1+
π 2
）>0，
所 以 当 x∈(0, π ] 时 ， f（x）>0. 所 以 f（x）在 (0, π ] 没 有
义思想的偏差， 媒体新闻稿件说的是 “美丽乡村” 建设中缺 乏专业规划， 盲目跟风模仿方面的政策和行为偏差。 材料的 立意角度很多， 如 “科学合理规划” “求真务实创新” “长 效管理机制” “保护文化传统” 以及 “发展理念” “责任担 当” “形式主义” “铭记乡愁” 等。 写作时一定要以剧本的 形式表达自己的观点， 表现主题。
【解析】 （1） 当-1<x<0 时， f（x）=sin2x- | ln（x+1）|<0 显 然
从2019年高考理科导数压轴题看函数零点问题的解题方法
从2019年高考理科导数压轴题看函数零点问题的解题方法
作者：邓军民
来源：《广东教育·高中》2019年第10期
2019年高考數学命题以全国教育大会精神为指引，认真贯彻“五育并举”教育方针，突出数学学科特色，着重考查考生的理性思维能力以及综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力. 试题突出学科素养导向，全面覆盖基础知识，凸显综合性、应用性，以反映我国社会主义建设的成果和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，在考试评价中落实立德树人根本任务. 今年全国？玉卷的导数压轴题也设置得很有特色，考查了函数零点问题，题目如下：。
专题05 用好导数,破解函数零点问题(第一篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析版)
一．方法综述近几年的高考数学试题中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化、综合化.处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口．利用导数解决函数的零点问题，是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大．本专题举例说明如何用好导数，破解函数零点问题.二．解题策略类型一 讨论函数零点的个数【例1】【吉林省通榆县第一中学2019届高三上期中】已知函数 . （1）求在处的切线方程； （2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数. 【答案】（1）； （2）2.【解析】 （1）由已知得 ，有， ∴在处的切线方程为：，化简得.【指点迷津】讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数.【举一反三】【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数.【答案】（Ⅰ）34a =；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. 学&科网【解析】（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在（1，+∞）无零点.当x =1时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===,故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（0单调递减，在1）单调递增，故当x ()f x取的最小值，最小值为f 14.①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.②若f =0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. ……12分学*科网 类型二 已知函数在区间上有零点，求参数的取值范围【例2】【河北省衡水中学2019届高三上学期二调】已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】 （2）由题意得，，所以.由，解得，故当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.又，，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则解得.所以实数的取值范围为.【例3】【2018年理数全国卷II】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【答案】（1）见解析（2）（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．学*科网【指点迷津】已知区间上有零点，求参数的范围问题．往往因为含有超越函数式的函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解．【举一反三】【贵州省遵义航天高级中学2018届高三上第四次模】已知函数的两个零点为．（1）求实数m的取值范围；（2）求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（2）令，则，由题意知方程有两个根，即方程有两个根，不妨设，，令，则当时，单调递增，时，单调递减，综上可知，，要证，即证，即，即证，令，下面证对任意的恒成立，∵，∴，∴又∵，∴∴，则在单调递增∴，故原不等式成立．类型三已知存在零点，证明零点的性质【例4】【安徽省皖中名校联盟2019届10月联考】已知函数．（1）讨论的单调性；（2若函数有两个零点分别记为．①求的取值范围；②求证：．【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶见证明【解析】（1），（i）当时，，时，单调递减；时，单调递增．（iii）当时，恒成立，在上单增．（iv）当时，时，单调递增；时，单调递减，时，单调递增．学科/网综上所述：时，在上单调递减，上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增；时，在上单调递减，上单调递增.（2）①，（i）当时，，只有一个零点，舍去；（ii）当时，在上单调递减，上单调递增，又，取且，则，存在两个零点．（iii）当时，在上单调递增，时，不可能有两个零点，舍去．（iv）当时，在上单调递增，不可能有两个零点，舍去．（v）当时，时，，又在单调递减，在上单调递增，因，不可能有两个零点，舍去．综上所述：．②由①知：，在上单调递减，在上单调递增，要证，即证，即证，令，则当时，单调递增．不妨设，则，即，又，，在上单调递减，，，原命题得证．学科#网【指点迷津】已知函数存在零点，需要证明零点满足某项性质时，实际上是需要对函数零点在数值上进行精确求解或估计，需要对零点进行更高要求的研究，为此，不妨结合已知条件和未知要求，构造新的函数，再次通过导数的相关知识对函数进行更进一步的分析研究，其中，需要灵活运用函数思想、化归思想等，同时也需要我们有较强的抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．含参数的函数的单调性的讨论，合理分类讨论是关键，分类点的选择一般依据导数是否存在零点，若存在零点，则检验零点是否在给定的范围之中．【举一反三】【江西师范大学附属中学2018年10月高三月考】设，函数（1）若无零点，求实数的取值范围；（2）若有两个相异零点，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)①若时，则是区间上的增函数，∵∴，函数在区间有唯一零点；②若，有唯一零点；③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间故在区间三．强化训练1．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是( )A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C2．【山西省太原市第五中学2019届10月月考】已知，又，若满足的有四个，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】令y=xe x ，则y'=（1+x ）e x ，由y'=0，得x=﹣1， 当x ∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y 单调递减，当x ∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函数y 单调递增．作出y=xe x 图象， 利用图象变换得f （x ）=|xe x |图象，学&科网 令f （x ）=m ，则关于m 方程h （m ）=m 2﹣tm+1=0两根分别在时，满足g （x ）=﹣1的x 有4个，由，解得．故选：B ．学科￥网3．【山东省安丘市2019届10月检测】若存在正实数m ，使得关于x 的方程有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】4.【江西省南昌市2018届二轮测试卷（一）】设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】5.【四川省攀枝花市第十二中学2019届10月月考】已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)【答案】B【解析】函数则，令则⑴当时，，存在两个零点，不符合题意，故⑶当时，，在，上单调递减，在上单调递增是的极小值点，是的极大值点，要使函数仅有一正零点，结合函数图像，可知，代入可得：，解得综上，则的取值范围为故选学$科网6.【江苏省淮安市淮海中学2019届高三上学期第二阶段测试】若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】7.【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】因为，所以函数在区间上单调递增，且所以当时，与有一个公共点；当时，令，即有一个解即可.设，则得.因为当时，当时，所以当时，有唯一的极小值，即有最小值，所以当时，有一个公共点.综上，实数的取值范围是.8.【陕西省西安市长安区第五中学2019届高三上期中】已知函数.(1)若直线过点（1，0），并且与曲线相切，求直线的方程；(2)设函数在[1,e]上有且只有一个零点，求的取值范围.(其中∈R，e为自然对数的底数)【答案】（1）；（2）或.【解析】（2）因为g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0，所以所求问题等价于函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上没有零点.因为.所以由lnx+1-a<00<x<e a-1,x>e a-1,所以g（x）在（0，e a-1）上单调递减，在（e a-1，）上单调递增.①当e a-1≤1，即a≤1时，g（x）在（1,e]上单调递增，所以g（x）>g(1)=0.此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，②当1<e a-1<e,即1<a<2时，g（x）在[1,e a-1)上单调递减，在（e a-1,e]上单调递增，又因为g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e]上的最小值为g（e a-1）=a-e a-1，所以（i）当1<a≤时，g（x）在[1,e]上的最大值g（e）≥0，即此时函数g（x）在(1,e]上有零点.（ii）当<a<2时，g（e）＜0，即此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，③当e≤e a-1即a≥2时，g（x）在[1,e]上单调递减，所以g（x）在[1,e]上满足g（x）<g(1)=0，此时函数g（x）在(1,e]上没有零点.综上，所求的a的取值范围是或.学%科网9.【山东省实验中学2019届高三第一次诊断】函数（）的导函数的图象如图所示：（1）求的值并写出的单调区间；（2）若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，在(－1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，极小值为f(2)＝c－.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得－＜c＜.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.学科&网10．【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（2）由题得，则因为有两个极值点，所以欲证等价于证，即，所以因为，所以原不等式等价于 .由可得，则②. 由①②可知，原不等式等价于，即设，则，则上式等价于.令，则因为，所以，所以在区间上单调递增，所以当时，，即，所以原不等式成立，即.。
高考数学2019年题型第9讲 函数零点问题(2)文科
（ ）.
A.2
B.4
C.6
D.8
变式
1
已知函数
f
x
x R
满足
f
x
2
f
x
，若函数
y
x 1 x
与
y
f
x
图像的交点为
m
x1 ，y1 ， x2 ，y2 ，⋯， xm ，ym ，则 xi yi ( ). i 1
A.0
B. m
C.2m
D.4m
变式 2 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 与 f x 1 都为偶函数，且 x1,1 时，
2,
x„
的图像与直线 y x 恰有三个公共点，则实数 m 的取 m
值范围是
.
变式
2
已知函数
f
x
2x
4
a, x
x a
1
x
3a
,
x…1
，若
f
x 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围
是
.
板块二 复合函数零点问题
【例
2】已知
f
x
x 1, x„ 0 log2 x, x 0
，则函数
y
f
[
f
(x)] 1的零点个数是（
不同实数解的充要条件是（ ）.
A. b 0 且 c 0
B. b 0 且 c 0
C. b 0 且 c 0
D. b…0 且 c 0
变式
1
设定义域为
R
的函数
f (x)
5|x1| 1(x…0)
x2
4x
4(x
0)
，若关于
x
的 方 程 [ f (x)]2
专题01+“四招”判断函数零点个数-2019年高考数学压轴题之函数零点问题+Word版含解析
专题一 “四招”判断函数零点个数函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕函数零点个数的判断问题，例题说法，高效训练.【典型例题】第一招 应用函数性质，判定函数零点个数 例1.已知偶函数()()4log ,04{8,48x x f x f x x <≤=-<<，且()()8f x f x -=，则函数()()12xF x f x =-在区间[]2018,2018-的零点个数为（ ）A. 2020B. 2016C. 1010D. 1008 【答案】A 【解析】当08x <<时，函数()f x 与函数12xy =图象有4个交点201825282=⨯+由()4211122242f log ==>=知， 当02x <<时函数()f x 与函数12xy =图象有2个交点故函数()F x 的零点个数为()2524222020⨯+⨯= 故选A .第二招 数形结合，判定函数零点个数例2.【2018届福建省永春一中、培元、季延、石光中学四校高三上第二次联考】定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x +=+，且[]0,1x ∈时， ()4xf x =； (]1,2x ∈时， ()()1f f x x=. 令()()[]24,6,2g x f x x x =--∈-，则函数()g x 的零点个数为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10 【答案】B∵函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ）+1，即自变量x 每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移1个单位， 分别画出函数y=f （x ）在x ∈[﹣6，2]，y=12x+2的图象，∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=12x+2有8个交点，故函数g（x）的零点个数为8个．故选：B．第三招应用零点存在性定理，判定函数零点个数例3.【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）讨论在上的零点个数.【答案】（1）见解析；（2）见解析∴当时，在上单调递增.当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）设，则由（1）知①当时，即，当时，，在单调递减，∴当，即，时，在上恒成立，∴当时，在内无零点.当，即，时，，根据零点存在性定理知，此时，在内有零点，∵在内单调递减，∴此时，在有一个零点.②当时，即，当时，，在单调递增，，.∴当，即时，，根据零点存在性定理，此时，在内有零点. ∵在内单调递增，∴此时，在有一个零点.当时，，∴此时，在无零点.③当时，即，当时，；当时，；则在单调递减，在单调递增.∴在上恒成立，∴此时，在内无零点.∴综上所述：当时，在内有1个零点；当时，在有一个零点；当时，在无零点.第四招构造函数，判定函数零点个数例4．【山东省菏泽市2019届高三上学期期末】已知函数f（x）＝lnx+﹣1，a∈R.（1）当a＞0时，若函数f（x）在区间[1，3]上的最小值为，求a的值；（2）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数.【答案】（1）；（2）详见解析.f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得.当a≥3时，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.综上知.（2）∵函数，令g（x）＝0，得.设，，当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，此时φ（x）在（0，1）上单调递增，当x∈（1，+∞）时，φ’（x）＜0，此时φ（x）在（1，+∞）上单调递减，所以x＝1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是（x）的最大值点，φ（x）的最大值为.又φ（0）＝0，结合φ（x）的图象可知：①当时，函数g（x）无零点；②当时，函数g （x ）有且仅有一个零点；③当时，函数g （x ）有两个零点；④a≤0时，函数g （x ）有且只有一个零点； 综上所述，当时，函数g （x ）无零点；当或a ≤0时，函数g （x ）有且仅有一个零点；当时，函数g （x ）有两个零点.【规律与方法】函数零点个数的求解与判断：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．(4)构造函数模型，判断零点个数.构造函数可根据题目不同，直接做差构造函数、分离参数后构造函数、先求导数再构造函数、先换元再构造函数等.【提升训练】1．【浙江省杭州地区(含周边)重点中学2019届高三上期中】已知定义在R 上的奇函数，满足当时，则关于x 的方程满足A ．对任意，恰有一解B ．对任意，恰有两个不同解C ．存在，有三个不同解D ．存在，无解【答案】A 【解析】 当时，，，时，；时，，在上递减，在上递增，，在上递增，又x 大于0趋近于0时，也大于0趋近于0；x 趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，又为R上的奇函数，其图象关于原点对称，结合图象知，对任意的a，方程都恰有一解．故选：A．2．【吉林省延边州2019届高三2月复检测】已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是( )A．函数在上为单调递增函数B．是函数的极小值点C．函数至多有两个零点D．时，不等式恒成立【答案】D若，则有2个零点，若，则函数有1个零点，若，则函数没有零点，故正确；由在递减，则在递减，由，得时，，故，故，故错误,故选D．3.已知函数()y f x =的图像为R 上的一条连续不断的曲线，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，则关于x 的函数()()1g x f x x=+的零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 【答案】A4．【新疆乌鲁木齐市2019届高三一模】已知函数.（Ⅰ）若的图像在点处的切线与直线平行，求的值；（Ⅱ）若，讨论的零点个数. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1个【解析】 （Ⅰ）函数， 导数为，， 图象在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，解得； （Ⅱ）若，可得，由，可得（舍去），即的零点个数为； 若，由，即为，可得，，设，， 当时，，递减；当时，，递增，可得处取得极大值，且为最大值，的图象如图：由，即，可得和的图象只有一个交点，即时，的零点个数为，综上可得在的零点个数为.5．【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】已知函数f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当a≤0时，曲线y=f（x）上任意一点处的切线与该曲线只有一个公共点．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），设g（x）=2ax2-x+1（x＞0），（1）当0＜a＜时，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，在（，）上小于零，所以f（x）在（0，），（，+∞）上递增，在（，）上递减，（2）当a≥时，g（x）≥0（当且仅当a=，x=2时g（x）=0），所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，（3）当a=0时，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，（4）当a＜0时，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，所以f（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减；（Ⅱ）曲线y=f（x）在点（t，f（t））处的曲线方程为：y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，曲线方程和y=f（x）联立可得：lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，设h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），h′（x）=，当a≤0时，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，故h（x）在（0，t）递增，在（t，+∞）递减，又h（t）=0，故h（x）只有唯一的零点t，即切线与该曲线只有1个公共点（t，f（t））．6．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟】已知函数，. （Ⅰ）当，函数图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数的零点个数.【答案】(Ⅰ)存在；(Ⅱ)详见解析.【解析】（Ⅰ），，，则函数在单调递减，上单调递增，上单调递减，因为，，，，，所以存在切线斜率，使得，，，，所以函数图象上是存在3条互相平行的切线.（Ⅱ），当，有；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，；，在上单调递增；所以函数存在唯一一个零点在内；当，有，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，，，，所以函数一个零点在区间内，一个零点在区间内，一个零点在内.所以函数有三个不同零点.综上所述：当函数一个零点；当函数三个零点.7．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】已知，，其中，为自然对数的底数．若函数的切线l经过点，求l的方程；Ⅱ若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析Ⅱ判断：函数的零点个数是0，下面证明恒成立，，故，若在递减，则，因此，要证明对恒成立，只需证明对恒成立，考虑等价于，记，，先看，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，，再看，.令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，.，且两个函数的极值点不在同一个x处，故对恒成立，综上，对恒成立，故函数函数零点是0个．8.【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一)】已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）证明：当且时，只有一个零点.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）．当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增．当时，由得，由得或，在单调递减，在和单调递增．令，，当时，，故在单调递增，所以，在单调递增，所以，因此．因为在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点.综上，当且时，只有一个零点．9．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】已知函数．求的单调区间和极值；当时，证明：对任意的，函数有且只有一个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】解：函数的定义域为，，当时，，在定义域上单调递增，无极值；当时，由，得，当时，，得的单调递增区间是；当时，，得的单调递减区间是，故的极大值为，无极小值．由，得，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减，所以，于是，则在上单调递减．设，则，由，得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以，即当时，，所以当时，，对任意的，有当时，，有；当时，有，又在上单调递减，所以存在唯一的，有；当时，，有，当时，有，又在上单调递减，所以存在唯一的，有，综上所述，对任意的，方程有且只有一个正实数根，即函数有且只有一个零点．10．【2019届高三第一次全国大联考】已知函数（其中）．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的极值点；（3）讨论函数零点的个数．【答案】（1）在上单调递增；在上单调递减；（2）函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和；（3）详见解析.（2）先考虑时的情况，当时，则；所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增．又因为函数的图象关于直线对称，所以在和上单调递减，在和上单调递增．所以函数无极大值点，有2个极小值点，分别为和．令，则．由，解得；由，解得，所以在上递增，在上递减，所以，当时，注意到，知此时在上单调递减，在上单调递增，且，这表明的图象与轴相切，所以此时函数在上只有1个零点，且为；当或时，，又当或时，，所以此时函数在上有2个零点，一个零点是，另一个零点在区间或内．又由函数的图象关于直线对称，综上可得，当或时，函数有2个零点；当或时，函数有4个零点．11．【2019年四川省达州市高考一诊】已知，函数，．求证：；讨论函数零点的个数．【答案】（1）见解析；（2）见解析解：，，，，，方程有两个不相等的实根，分别为，，且，，当时，，递减，当时，，递增，，，，即，．设，则，是减函数，当，即时，，函数只有一个零点，当，即时，，函数没有零点，当，即时，，且，由知，，若，则有，，函数有且只有一个大于的零点，又，即函数在区间有且只有一个零点，综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，当时，函数没有零点．12．【北京延庆区2019届高三一模】已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）当时，求函数在上区间零点的个数.【答案】（1）（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减（3）见解析【解析】（1）当时，，，,，切点，所以切线方程是.（2），令，、及的变化情况如下增减所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减.（3）由（2）可知的最大值为,（1）当时，在区间单调递增，在区间上单调递减.由，故在区间上只有一个零点 .（2）当时，，，,且 .因为，所以，在区间上无零点.综上，当时，在区间上只有一个零点，当时，在区间上无零点.13．【广东省江门市2019届高考模拟（第一次模拟)】设函数，是自然对数的底数，是常数．（1）若，求的单调递增区间；（2）讨论曲线与公共点的个数．【答案】（1）的单调递增区间为（或）；（2）或时，两曲线无公共点；或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点 .（I）时，有一个零点 .(II)时，由解得，．当时，；当时，，在取最小值 ,①时，，有一个零点.②时，，无零点 .③时，，由知，在有一个零点，即在有一个零点；由指数函数与幂函数单调性比较知，当且充分大时，，所以在有一个零点，即在有一个零点．从而有两个零点 .（III）时，，单调递减，，，所以在有一个零点，从而在定义域内有一个零点 .（IIII）时，无零点 .14．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月联考】设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由，得，令，所以，所以当时，，恒成立，即恒成立，所以单调递增；即，所以单调递减；当时，，即，所以单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.（2）当时，，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数有极大值，且，当时，函数有极小值，且.又因为，，所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.。
专题02+“三招五法”轻松破解含参零点问题(第一篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破
一．方法综述函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解．具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二．解题策略类型一“第一招”带参讨论【例1】【湖南省澧县一中2018届一轮第一次检测】已知函数f(x)=,如果函数f（x）恰有两个零点，那么实数m的取值范围为_____．【答案】【解析】分析：根据与-2，0和4的大小关系逐一判断的零点个数即可得出结论．若，则在上有2个零点0，在上无零点，符合题意；∴或．故答案为：．【指点迷津】1.根据题设要求研究函数的性质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2.由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解．【举一反三】【江苏省扬州中学2019届高三10月月考】已知定义在上的函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设若方程无实根，则实数的取值范围是_________【答案】【解析】∴p（t）=t2+2mt+m2﹣m+1．p（p（t））=[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1，若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1①无实根，方程①的判别式△=4m2﹣4（m2﹣m+1）=4（m﹣1）．1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，方程①有两个实根，即②，只要方程②无实根，故其判别式，即得③，且④，∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．综上，m的取值范围为m＜2．类型二“第二招”数形结合【例2】【2018年天津卷理】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【指点迷津】1.由两个基本初等函数组合而得的超越函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点个数，等价于方程g(x)－h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象的交点个数．2.先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数【举一反三】【2019届同步单元双基双测AB卷】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为____．【答案】.【解析】分析：求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．当x＜0时，≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b＞6，可得b＜﹣6；当0≤x≤4时，x﹣x2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b∈（﹣，0]．综上，范围是.故答案为：.类型三“第三招”分离参数【例3】【广东省惠州市2019届10月调研】已知函数是定义在上的偶函数，且，若函数有 6 个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，则当x≥0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），②当x≥2时，f （x ）=＜0，且当x→+∞，f （x ）→0，∵f′（x ）=，令f′（x ）==0，解得x=3，当2≤x ＜3时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 当x≥3时，f′（x ）≥0，f （x ）单调递增， ∴f （x ）min =f （3）=﹣，故f （x ）在[2，+∞）上的值域为[﹣，0）， ∵﹣＞﹣2，∴当﹣＜m ＜0时，当x≥0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 故当﹣＜m ＜0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点， 故选D. 【指点迷津】1.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域（最值）问题加以解决；2.通过将原函数中的变参量进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数的零点问题化归为与x 轴平行的直线y ＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题．【举一反三】【2015年天津卷理】已知函数()()22,2,{2,2,x x f x x x -≤=->函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A．7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．7,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭C．70,4⎛⎫⎪⎝⎭D．7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D类型四“三招五法”一题多解【例4】【2014年全国卷Ⅰ】已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)【答案】B【解析】法一单调性法：利用函数的单调性求解由已知得，a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2 a .当a>0时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；x∈（0，2a），f′(x)<0；x∈（2a，＋∞），f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，0)和2a，＋∞上单调递增，在（0，2a）上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意．当a<0时，x ∈（－∞，2a ），f′(x)<0；x ∈（2a，0），f′(x)>0；x ∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函数f(x)在（－∞，2a ）和(0，＋∞)上单调递减，在（2a ，0）上单调递增，所以要使f(x)有唯一的零点x 0且x 0>0，只需f （2a）>0，即a 2>4，解得a<－2.法三 数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解令f (x )＝0，得ax 3＝3x 2－1.问题转化为g (x )＝ax 3的图象与h (x )＝3x 2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a ＝0时，函数g (x )的图象与h (x )的图象存在两个的交点； 当a >0时，如图(1)所示，不合题意；当a <0时，由图(2)知，可先求出函数g (x )＝ax 3与h (x )＝3x 2－1的图象有公切线时a 的值．由g ′(x )＝h ′(x )，g (x )＝h (x )，得a ＝－2.由图形可知当a <－2时，满足题意．法四 分离参数法：参变分离，化繁为简.易知x ≠0，令f (x )＝0，则331a x x ＝－，记331()g x x x ＝－，2'234333(1)()x g x x x x--=-+=，可知g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g (－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y ＝a ，结合图象，可知a <－2.【指点迷津】1.本题的实质是函数f (x )存在唯一的零点x 0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．2. 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.【举一反三】【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】方法一：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x ee--+=+，则()()211111111x x x x x x eg x eeee e ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，方法二：由函数f (x )有零点，得211(2)0x x x x a e e －－＋－＋＋＝有解， 即211()(110)x x x a e e －－＋－－＋＋＝有解， 令1t x ＝－，则上式可化为2(10)t t t a e e －－＋＋＝，即21t tt a e e--+＝. 令21t tt e e--+h(t)＝，易得h (t )为偶函数， 又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0， 所以10122a -＝＝，故选C. 方法三：由()112()02.x x f x a ee x x ⇔－－＋＝＋＝－＋112x x e e ≥－－＋＋，当且仅当1x =时取“＝”． 2221)11(x x x ≤－＋＝－－＋，当且仅当1x =时取“＝”．若a >0，则112()x x a ee a ≥－－＋＋，要使f (x )有唯一零点，则必有21a ＝，即12a ＝. 若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，12a ＝. 三．强化训练1．【2018年新课标I 卷理】已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ． [–1，0）B ． [0，+∞）C ． [–1，+∞）D ． [1，+∞）【答案】C【解析】2.【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若函数有两个零点，则函数的图象与有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数的图象与的图象如下：3.【黑龙江省2018年仿真模拟（十）】已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：.即的取值范围是.本题选择D选项.4．【2019届同步单元双基双测AB卷】函数的定义域为实数集,,对于任意的都有,若在区间函数恰有三个不同的零点, 则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：m∈，故选：5.【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的a取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为当时，，所以时，所以，此时，故．所以在上的图象如图，要使函数在上有零点，只要直线与的图象有交点，由图象可得，所以使函数在上有零点，则实数的取值范围是．故选：B．6.【安徽省皖中名校联盟2019届10月联考】设函数若互不相等的实数满足则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨设，的图像如图所示，7.【安徽省六安市舒城中学2018届仿真（三）】函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，即则大致图象如图所示设，①当有一个根为时，，解得，此时另一个根为，满足条件②根不是时，则满足即综上所述，故实数的取值范围为故选8.【四川省双流中学2018届一模】对于函数和，设，若所有的，都有，则称和互为“零点相邻函数”.与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】9．【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.10.【安徽省定远重点中学2019届第一次月考】函数，定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数有4个零点．其中正确命题的序号为________________________ ．【答案】②③④【解析】∴F(m)−F(n)<0成立．故③正确对于④，由于，且函数，∴当x>0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x>0时，F(x)的最小值为F(1)=1，∴当x>0时，函数F(x)的图象与y=2有2个交点，又函数F(x)是偶函数，∴当x<0时，函数F(x)的图象与y=2也有2个交点，画出图象如下图：故当a>0时，函数y=F(x)−2有4个零点．所以④正确．综上可得②③④正确．。
备战2019年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题08 函数与方程——零点问题面面观
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————专题08 函数与方程----零点问题面面观【热点聚焦与扩展】函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根分布问题；（3）判断根的个数问题；（4）根据方程解的情况确定求参数的值或范围.上述情形除（1）简单，其它往往与分段函数结合或与导数的应用结合，难度往往较大. 一、基础知识：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =. （1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一.4、函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点.（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫.（3）图象的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.三者转化：函数()f x 的零点⇒方程()0f x =的根−−−−→方程变形方程()()g x h x =的根⇒函数()g x 与()h x 的交点.二、零点存在与判断方法、技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
备战2024年高考数学考试易错题专题03 不等式(3大易错点分析)(原卷版)
专题03不等式易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）1．比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a 0 b a )0(1 b a b a ，或)0(1 b a b a ，b a 0 b a )0(1 b baba 0b a )0(1 b a b a ，或)0(1 b a ba ，2．．等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a ；传递性c a c b b a c a c b b a ，；，可加性cb c a b a 可乘性b ac c b a bc ac c b a 00，；，同向可加性db c a d c c a ，同向同正可乘性bdac d c b a 00，可乘方性nn b a N n b a *0，类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．A ．若a b ，则20242024a bB ．若a b ，则20242024a bC ．若20242024ax bx ，则a bD ．若a b ，则20242024ax bx ，b ，，若，则下列不等式成立的是（）A ．11a bB ．3311a bC ．2222a bc cD ．22ac bc 2．若0b a ，则下列结论不正确的是（）A ．11a bB ．2ab a C ．33a bD ．a b a b3．已知a b ，c d ，则下列不等式一定成立的是（）A ．ac bdB ．e e c da b C ．e e e e a c b d D ． ln ln a c d b c d 4．若110a b，则下列不等式中正确的是（）A ．a b B ．a b C ．a b ab D ．2b a a b5．若a 、b 、c R ，且a b ，则下列不等式一定成立的是（）A ．a c b cB ． 2a b c C ．ac bcD ．2c a b6．下列命题中正确的是（）A ．若a b ，则22ac bc B ．若a b ，c d ，则a b c dC ．若a b ，c d ，则a c b dD ．若0ab ，a b ，则11a b7．设x R ，则“1x ”是“x x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件集问题）解一元二次不等式的步骤：第一步：将二次项系数化为正数；第二步：解相应的一元二次方程；第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．对含参的不等式，应对参数进行分类讨论具体模型解题方案：1、已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0 mn ），解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为11(mn ，．已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:011(2 c x b x a 的解集为)1[]1( ，，m n 即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)1[]1( ，，mn ．2、已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0 m n ），解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为11(n m ，即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)11(nm，．3．已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为)1[1( ，，nm 即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)1[]1(，，nm ，以此类推．4、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为R ，则一定满足00a ；5、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为 ，则一定满足00a ；6、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为R ，则一定满足00a ；7、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为 ，则一定满足0a ．易错提醒：一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ，其中24b ac ，12,x x 是方程20(0)ax bx c a 的两个根，且12x x （1）当0a 时，二次函数图象开口向上．（2）①若0 ，解集为21|x x x x x 或．②若0 ，解集为|2b x x R x a且．③若0 ，解集为R ．(2)当0a 时，二次函数图象开口向下．①若0 ，解集为 12|x x x x ②若0 ，解集为 。
2019年高考数学高频考点全突破专题03 函数的零点问题(真题演练)
函数的零点、方程根的问题方法灵活，综合性强也是高考的热点，常常给人带来“不识庐山真面目”的困惑，而对其问题进行归纳分类剖析，此类问题即在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查。
本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。
希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。
1.函数零点的定义(1) 一般地，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()y f x =的零点； (2) 明确三个等价关系(三者相互转化)由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者能相互转化，在解决有关零点的问题以及已知零点的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．2.函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ②若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号 3．断函数零点个数的常见方法（1）直接法：解方程()0f x =，方程有几个解，函数()f x 就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴的交点个数即为函数()f x 的零点个数； 或将函数()f x 拆成两个常见函数()g x 和()h x 的差，从而()()()00f x g x h x =⇔-=()()g x h x ⇔=，则函数()f x 的零点个数即为函数()y g x =与函数()y h x =的图象的交点个数；1. 【2010天津高考】函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1，0）C ．（0，1）D ．（1，2） 【答案】B【解析】因为1(1)230f --=-<，0(0)2010f =-=>，所以选B ．2.【2012北京高考】（2012北京）函数121()()2xf x x =-的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B3.【2013天津高考】函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】因为f ′(x )＝2xln2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增， 且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点． 4.【2013北京高考】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】令()0f x =，可得0.51log 2x x =，由图象法可知()f x 有两个零点． 5.【2013湖北高考】函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】0)(=x f ，则0=x 或0cos 2=x ，Z k k x ∈+=,22ππ，又[]4,0∈x ，4,3,2,1,0=k 所以共有6个解.选C ．6.【2013湖南高考】函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B7．【2014北京高考】已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,4 D ．()4,+∞ 【答案】C【解析】∵2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，231(4)log 4022f =-=-<，∴()f x 零点的区间是()2,4． 8．【2010浙江高考】设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是 A ．[]4,2-- B ．[]2,0- C ．[]0,2 D ．[]2,4 【答案】A【解析】(0)4sin10f =>，(2)4sin 52f =-，由于52ππ<<，所以(2)0f <，故函数()f x 在[0,2]上存在零点；由于(1)4sin(1)10f -=-+<，故函数()f x 在[1,0]-上存在零点，在[0,2]上也存在零点，令52[2,4]4x π-=∈，则52552()4sin 0424f πππ--=->，而(2)0f <， 所以函数在[2,4]上存在零点，故选A ．9．【2010福建高考】函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨-+>⎩≤，的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C ．10.【2014湖北高考】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为A ．{1,3}B ．{3,1,1,3}-- C．{23} D．{21,3}- 【答案】D11.【2013重庆高考】1若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间A ．(),a b 和(),b c 内B ．(),a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A【解析】由a b c <<，可得()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，()()()0f c c a c b =-->．显然()()0f a f b ⋅<，()()0f b f c ⋅<，所以该函数在(,)a b 和(,)b c上均有零点，故选A ．12.【2011山东高考】已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x <≤时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B ． 13．【2010广东高考】（2010广东）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件 【答案】A【解析】20x x m ++=有实数解等价于140m ∆=-≥，即14m ≤．当14m <时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m <不一定成立，故选A ． 14．【 2017新课标Ⅲ】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12-B ．13C ．12D ．1 【答案】C15．【2015福建高考】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a =． 当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a=-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 16．【2012辽宁高考】设函数)(x f ()x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()3=f x x ．又函数()()=cos g x x x π，则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B17.【2013安徽高考】已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A【解析】2'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2320x ax b ++=的两根，由23(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：x21)=x 1如图则有3个交点，故选A.18．【2012福建高考】若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A ．（-1,1） B ．（-2,2）C ．（-∞，-2）∪（2，+∞）D ．（-∞，-1）∪（1，+∞） 【答案】C【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式0∆>，即240m ->，解得2m <-或2m >，故选C ． 19．【2012全国课标高考】函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D20．【2015陕西高考】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．－1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【解析】由A 知0a b c -+=；由B 知()2f x ax b '=+，20a b +=；由C 知()2f x ax b '=+，令()0f x '=可得2b x a =-，则()32b f a -=，则2434ac b a-=； 由D 知428a b c ++=，假设A 选项错误，则2020434428a b c a b ac b a a b c -+≠⎧⎪+=⎪⎪⎨-=⎪⎪++=⎪⎩，得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，满足题意，故A 结论错误，同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A ．21．【2018全国卷Ⅰ】已知函数0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根， 函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象， 如图所示，由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ．22．【2017山东高考】已知当[0,1]x ∈时，函数2(1)y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A ．(])0,123,⎡+∞⎣ B ．(][)0,13,+∞C ．()23,⎡+∞⎣ D ．([)3,+∞【答案】B当1m >时，101m <<，函数2()(1)y f x mx ==-，在1[0,]m 上单调递减，在1[,1]m上单调递增，此时(0)(0)f g <，在1[0,]m无交点，要使两个函数的图象有一个交点， 需(1)(1)f g ≥，即2(1)1m m -+≥，解得3m ≥．选B ．23．【2016天津高考】已知函数()f x =2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（0a >,且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 A ．(0，23] B ．[23，34] C ．[13，23]{34} D ．[13，23）{34} 【答案】C即22(21)320x a x a +-+-=在(,0)-∞上恰有唯一的实数解． 判别式24(21)4(32)4(1)(43)a a a a ∆=---=--， 当34a =时，0∆=，此时12x =-满足题意； 令2()2(21)32h x x a x a =+-+-，由题意得(0)0h <，即320a -<，即23a <时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个正根、一个负根，满足要求； 当(0)0h =，即23a =时，方程22(21)320x a x a +-+-=有一个为0、一个根为23-，满足要求；当(0)0h >，即320a ->，即2334a <<时对称轴(21)0a --<，此时方程22(21)320x a x a +-+-=有两个负根，不满足要求； 综上实数a 的取值范围是123[,]{}334． 24．【2015天津高考】已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是A ．7(,)4+∞ B ．7(,)4-∞ C ．7(0,)4 D．7(,2)4【答案】D25．【2014山东高考】已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是A ．），（210B ．），（121C ．），（21D ．），（∞+2【答案】B【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<．26．【2014重庆高考】已知函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩, 且()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是A ．]21,0(]2,49(⋃--B ．]21,0(]2,411(⋃-- C ．]32,0(]2,49(⋃-- D ．]32,0(]2,411(⋃--【答案】A由(1)131y m x y x =+⎧⎪⎨=-⎪+⎩，消元得13(1)1m x x -=++，即2(1)3(1)10m x x +++-=， 化简得2(23)20mx m x m ++++=，当940m ∆=+=，即94m =-时直线 (1)y m x =+与13,(1,0]1y x x =-∈-+相切，当直线(1)y m x =+过点(0,2)- 时，2m =-，所以9(,2]4m ∈--，综上实数m 的取值范围是91(,2](0,]42--⋃．27．【2011天津高考】对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭C ．11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】B28．【2018全国卷Ⅲ】函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为________．【答案】3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．29．【2014福建高考】函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是_________．【答案】230. 【2015高考湖北】函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.31．【2015湖北高考】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2【解析】因为2()4coscos()2sin |ln(1)|22x f x x x x π=---+ 2(1cos )sin 2sin |ln(1)|x x x x =+⋅--+=sin 2|ln(1)|x x -+32．【2014江苏高考】已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，|212|)(2+-=x x x f ．若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1(0,)233．【2014天津高考】已知函数2()|3|f x x x =+，x ∈R .若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】01a <<或9a >【解析】法一 显然0a >．(ⅰ)当(1)y a x =--与23y x x =--相切时，1a =，此时()|1|0f x a x --=恰有3个互异的实数根．（ⅱ）当直线(1)y a x =-与函数23y x x =+相切时，9a =，此时()|1|0f x a x --=恰有2个互异的实数根.结合图象可知01a <<或9a >．法二：显然1a ¹，所以231x x a x +=-.令1t x =-，则45a t t =++．因为4(,4]t t+∈-∞-[4,)+∞，所以45t t++Î(,1][9,)-∞+∞．结合图象可得01a <<或9a >. 34．【2012福建高考】对于实数a 和b ，定义运算“*”：22,,,,a ab a b a b b ab a b ⎧-*=⎨->⎩… 设()f x =(21)(1)x x -*-，且关于x 的方程为()f x m =（m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是____________．【答案】116（）35．【2011北京高考】已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x =k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是_______． 【答案】(0,1)【解析】当2x <时，2()3(1)0f x x '=-≥，说明函数在(,2)-∞上单调递增，函数的值域是(,1)-∞，又 函数在[2,)+∞上单调递减，函数的值域是(0,1]，因此要使方程()f x k =有两个不同实根，则01k <<． 36．【2011辽宁高考】已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是_____． 【答案】(,2ln 22]-∞-37.【2014上海高考】设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[0，2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= ．【答案】73π38.【2015高考江苏】已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 【答案】439.【2015湖南高考】已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 . 【答案】),1()0,(+∞-∞ .【解析】分析题意可知，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，∴23a b a <<，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->a b a b 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ .40.【2014天津高考】已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______ 【答案】12a << 【解析】分别作出函数()y f x =与||y a x =的图像，由图知，0a <时，函数()y f x =与||y a x =无交点，0a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，故0.a >当0x >，2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =有一个交点，当0x >，02a <<时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <时，若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切，则由0∆=得：1a =或9a =（舍），因此当0x <，1a >时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <，1a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，当0x <，01a <<时，函数()y f x =与||y a x =有四个交点，所以当且仅当12a <<时，函数()y f x =与||y a x =恰有4个交点.xo41.【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞42．【2018江苏高考】若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ． 【答案】3-43．【2018浙江高考】已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是_____．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是______． 【答案】(1,4)；(1,3](4,)+∞【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点， 结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．44．【2015北京高考】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩≥‚‚‚①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1- 1[,1)2[2,)+∞【解析】①若1a =，则21()4()(2) 1.x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩≥‚‚‚，作出函数()f x 的图象如图所示，由图可知()f x 的最小值为1-．②当1a ≥时，要使()f x 恰好有3个零点，需满足120a -≤，即2a ≥．所以2a ≥； 当1a <时，要使()f x 恰好有2个零点，需满足11220a a a <⎧⎨->⎩≤，解得112a <≤． 45．【2015湖南高考】已知函数32,(),x x af x x x a⎧=⎨>⎩≤，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】),1()0,(+∞-∞从而0<a ；综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ ．46．【2017江苏高考】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x D f x x x D ⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x x n n-==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 【答案】847．【2018山东高考】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m⎧=⎨-+>⎩≤ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的 方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_________.【答案】(3,)+∞【解析】由题意，当x m >时，222()24()4f x x mx m x m m m =-+=-+-， 其顶点为2(,4)m m m -。