2.1不等式的基本性质
专题2-1 不等关系与不等式性质(知识讲解)-八年级数学下册(北师大版)
专题2.1 不等关系与不等式性质（知识讲解）【学习目标】1．理解不等式的意义，能用不等关系符号刻画现实世界中的数量关系.3. 掌握不等式的三条基本性质，并能简单应用.【要点梳理】要点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．特别说明：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．要点二、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c )．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．用不等式表示：（1）a与2的和是正数．（2）x与y的差小于3．（3）x，y两数和的平方不小于4．（4）x的一半与y的2倍的和是非负数．【答案】（1）a+2＞0 （2）x-y＜3 （3）(x+y)2≥4 （4）12x+2y≥0【分析】结合不等式的定义以及题意列不等式即可．（1）因为正数都大于0，所以“a与2的和是正数”可表示为：a+2＞0（2）“x与y的差小于3”可表示为：x-y＜3（3）因为“不小于3”就是“大于或等于”，所以“x，y两数和的平方不小于4”可表示为：(x+y)2≥4（4）因为“非负数”就是“正数或0”，所以“x的一半与y的2倍的和是非负数”可表示为：12x+2y≥0【点拨】本题考查了列不等式，用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式．如5x>，像3x≠这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意①常见的符号有“＞、＜、≠、≥、≤”，分别读作“大于、小于、不等于、大于或等于、小于或等于”．其中“≥”又读作“不小于”，“≤”又读作“不大于”．①在不等式“a b>”或“a b<”中，a叫不等式的左边，b叫不等式的右边．①在列不等式时，一定要注意表示不等式关系的关键词，如：正数、非负数、不大于、至少等．举一反三：【变式1】有两种商品其单价总和超过100元，且甲商品的单价是乙商品单价的2倍少10元，设未知数，并用不等式表示出上述关系；【答案】设乙商品的价格为x元，x+2x-10＞100【分析】设乙商品的价格为x元，表示出甲商品的价格，然后根据两商品的单价总和超过100元，列不等式即可．解：设乙商品的价格为x元，则甲商品的价格为（2x-10）元，由题意得，x+2x-10＞100．即不等式为：x+2x-10＞100．【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．【变式2】通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄；通常规定以树干离地面1.5米的地方作为测量的部位，某棵树栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，这棵树至少生长多少年，其树围才能超过2.4m？根据题意，完成下面填空：（1）题目涉及的两个有关系的量，分别是：_____________________________；（2）设生长年份为x，则树围用x表示为：__________________；（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：______________________________；（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系：___________________________；【答案】（1）生长年份，树围；（2）5+3x；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）5+3x>240【分析】（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)m；（3）这棵树生长x年，其树围才能超过2.4m；（4）由题意可得5+3x>2.4×100.解：（1）由题可知两个有关系的量分别是生长年份和树围；故答案为生长年份，树围；（2）栽种时的树围为5cm，以后树围每年增加约3cm，可知x年后，树围为(5+3x)cm；故答案为5+3x；（3）用文字叙述生长年份与树围满足的不等关系是：这棵树生长x 年，其树围才能超过2.4m ；故答案为这棵树生长x 年，其树围才能超过2.4m ；（4）用适当的不等号表示（3）中的不等关系为：5+3x>2.4×100，故答案为5+3x>240【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．类型二、不等式的性质2．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式． （1）15x -<； （2）413x -≥； （3）1142x -+≥； （4）410x -<-．【答案】（1）6x < （2）1≥x （3）6x ≤- （4）52x > 【分析】（1）根据不等式的性质1解答即可；（2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答； （3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答； （4）根据不等式的性质3解答即可；（1）解：15x -<，两边加上1得：1151x -+<+， 解得：6x <； （2）解：413x -≥，两边加上1得：41131x -+≥+，即44x ， 两边除以4得：1≥x ； （3）解：1142x -+≥，两边减去1得：111412x -+-≥-，即132x -≥，两边除以12-得：6x ≤-；（4）解：410x -<-，两边除以4-得：52x >． 【点拨】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．举一反三：【变式1】已知x y >，下列不等式一定成立吗？（1）66x y -<-；（2）33x y <；（3）22x y -<-；（4）2121x y +>+． 【答案】（1）不成立；（2）不成立；（3）成立；（4）成立． 【分析】根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 解：（1）①x y >①66x y ->-，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变； 不等式66x y -<-不成立； （2）①x y >①33x y >，不等式两边同时乘以一个大于零的数，不等号方向不变； 不等式33x y <不成立； （3）①x y >①22x y -<-，不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向改变； 不等式22x y -<-成立； （4）①x y >①22x y > ①2121x y +>+ 不等式2121x y +>+成立【点拨】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键． 【变式2】说明：（1）由314x -≤，得43x ≥-，是如何变形的？依据是什么?（2）由a b >，得ax bx >的条件是什么？为什么？ （3）由a b >，得ax bx ≤的条件是什么？为什么？【答案】（1）不等式两边同时乘以43-，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是0x >，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向；（3）条件是0x ≤，当0x <时，理由是当0x <时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当0x =时，左边=右边0=．【分析】（1）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得； （2）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （3）根据不等式的性质：不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向、以及等式的性质即可得．解：（1）不等式两边同时乘以43-，依据是不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；（2）条件是0x >，理由是不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向； （3）条件是0x ≤，理由如下：当0x <时，不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向；当0x =时， 左边=右边0=．【点拨】本题考查不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．类型三、不等式性质的应用3．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若0a b ->，则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <．反之也成立．这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试解决下面的问题：（1）比较22432a b b +-+与2321a b -+的大小； （2）若223a b a b +>+，比较a 、b 的大小． 【答案】（1）222432321a b b a b +-+>-+；（2）a b < 【分析】（1）直接用22432a b b +-+减去2321a b -+得出的结果与0进行比较即可得到答案；（2）直接解不等式即可.解：（1）()222243232130a b b a b b +-+--+=+>，①222432321a b b a b +-+>-+；（2）①223a b a b +>+，①()()2230a b a b a b +-+=-+>， ①a b <．【点拨】本题主要考查了整式的减法运算，解不等式，不等式的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.举一反三：【变式1】阅读材料：形如2213x <+<的不等式，我们就称之为双连不等式，求解双连不等式的方法一，转化为不等式组求解，如221213x x <+⎧⎨+<⎩；方法二，利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去1，得122x <<，然后同时除以2，得112x <<． 解决下列问题：（1）请你将双连不等式534x -≤-<转化为不等式组． （2）利用不等式的性质解双连不等式2235x ≥-+>-．【答案】（1）5334x x -≤-⎧⎨-<⎩；（2）142x ≤<【分析】（1）根据阅读材料中的方法将双连不等式化为不等式组即可； （2）利用不等式的基本性质求出所求即可．解：（1）534x -≤-<转化为不等式组为5334x x -≤-⎧⎨-<⎩．（2）2235x ≥-+>-，不等式的左、中、右同时减去3， 得128x -≥->-，同时除以2-，得142x ≤<【点拨】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式的定义，弄清阅读材料中的转化方法是解本题的关键．【变式2】在△ABC 中，AB ＝9，BC ＝2，AC ＝x ． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 的周长为偶数，则△ABC 的周长为多少？ 【答案】（1）7＜x ＜11；（2）20【分析】（1）根据三角形的三边关系列出不等式求解即可．（2）根据第三边取值范围和三角形周长表达式列式计算即可．解：（1）由题意知，9﹣2＜x＜9+2，即7＜x＜11；（2）①7＜x＜11，①x的值是8或9或10，①①ABC的周长为：当x=8时，9+2+8＝19(舍去)；当x=9时，9+2+9＝20符合题意当x=10时，9+2+10＝21(舍去)；即该三角形的周长是20．【点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，不等式的性质，利用三角形三边关系建立不等式是解题的关键．。
2.1不等式的基本性质3
cd bcbd 由传递性可得 a c b d 证毕
(1)又称为不等式的移项法则 (2)又称为不等式的同向可加性
例2.利用性质3证明：
如果 a b 0, c d 0 ，那么 ac bd 证明：a b, c 0 ac bc
c d,b 0 bc bd
当 c 0时，由于正数与正数的乘积为正数
所以 (a b)c 0 即 ac bc
当 c 0时，由于正数与负数的乘积为负数
所以 (a b)c 0 即 ac bc
该性质叫做不等式的乘法性质。
例1.利用性质1和性质2证明：
(1)如果 a b c ，那么a c b (2)如果a b,c d ，那么a c b d 证: (1) a b c a b (b) c (b)
一般地，如果 a b 0 ， 那么 an bn (n N *)
思考
a b 0 n a n b (n N *, n 1) 成立吗？
证：反证法，假设 n a n b
即 n a n b 或者 n a n b
由一般结论和根式性质得 a b ，与已知矛盾
因此假设不成立，即原不等式成立. 证毕
在由传递性得 ac bd 证毕
思考 命题 a b, c d ac bd 成立吗？
原题被称为不等式的正数同向可乘性！
a b 0
思考
n个
可得出什么结论？
a b 0
三、不等式的性质II
性质3 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc 如果 a b, c 0 ，那么 ac bc
即 (a c) (b c) 0
因此 a c b c 证毕
性质2表明不等式两边加上同一个数， 所得不等式与原不等式同向，又称为 不等式的加法性质
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
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6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
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7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
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8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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谢谢
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1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
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2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
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3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
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4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
不等式的基本性质
＝－5＜0
∴（2x－5）（x＋1）＜2x2－3x
亲爱的同学们，下节课见！
第二章 不等式
2.1 不等式的基本性质
1.作差比较法：比较两个实数的大小，可以通过考察它们的差来实现.
对于两个任意的实数a和b，有：a－b＞0⇔a＞b；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b＜0⇔a＜b.
2.不等式的性质.
（1）性质1（加法法则）：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.
（2）性质2（乘法法则）：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
（
√ ）
2.如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.
（
√ ）
3.如果a＞b，且c＞d，那么ac＞bd.
（
× ）
三、选择题
1.已知a＞b，且ac＞bc，那么（
A. c＞0
B. c＝0
A ）.
C. c＜0
2.若m＞3，则下列不等式中必定成立的是（
A. m＞0
B. m－3＜0
3.如果a＞b，那么（
A. ac＜bc
（4）设a＞b，则－2a＜ －2b，
（5）设x＜y，则1－2x＞1－2y，
1 1
（6）设x＞y＞0，则 ＜ .
2.根据条件，写出x的取值范围：
（1）x＋4＞7， x＞3
（2）2x－1＜3，x＜2
（3）3－2x＞5， x＜－1
（4）2－x＜x－4， x＞3
二、判断题
1.如果a＜b，且b＜c，那么a＜c.
（
三、解答题
比较大小.
1.x2＋1与（x＋1）2，其中x＞0.
解：∵（x2＋1）－（x＋1）2
＝x2＋1－（x2＋2x＋1）
数学上册2.1《不等式的基本性质》课件(2)
把它吹得如烟，如雾，如尘。
小练习：
1.背诵全诗 2.学习了这篇诗歌，有什么感受，
请同学们课下互相交流，谈一 谈。
同学们，再见
作业： 第26页 习题3 4
5 瀑布
叶圣陶（1894年－ 1988年），原名叶 绍钧，字秉臣，汉族 人，江苏苏州人，著 名作家、教育家、编 辑家、文学出版家和
社会活动家。
想一想
5瀑 布
叶圣陶
Байду номын сангаас
瀑布
还没看见瀑布， 先听见瀑布的声音， 好像叠叠的浪涌上岸滩， 又像阵阵的风吹进松林。
山路忽然一转， 啊！望见了瀑布的全身！
这般景象没法比喻， 千丈青山衬着一道白银。
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！
时时吹来一阵风， 把它吹得如烟，如雾，如尘。
瀑布
还没看见瀑布， 先听见瀑布的声音， 好像叠叠的浪涌上岸滩， 又像阵阵的风吹进松林。
山路忽然一转， 啊！望见了瀑布的全身！ 这般景象没法比喻， 千丈青山衬着一道白银。
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！ 时时吹来一阵风， 把它吹得如烟，如雾，如尘。
尘
尖
站在瀑布脚下仰望， 好伟大呀，一座珍珠的屏！ 时时吹来一阵风， 把它吹得如烟，如雾，如尘。
世 界 上 最 宽 的 瀑 布 伊 瓜 苏 瀑 布
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世界上最高的瀑布-----安赫尔瀑布
世界第一瀑布----维多利亚瀑布
观察上面的题的大小比较，你能得到怎样的结论？
对于两个实数a,b,它 们都具有如下性质
a-b>0a>b a-b<0a<b a-b=0a=b
做差比较法：是一种常见的 比较两个实数大小的方法， 一般步骤是：把要比较的 两个实数作差，然后进行 化解，判断最终化解结果 的符号，从而判断出这两 个实数的大小。
2.1 不等式的基本性质课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式
A．x2＞y2
B．ax＞ay
C．x＋5＞y＋5
D．x＋2y＞3y
【解析】 B选项中，当a＝0时，ax＝ay，故选项B不成立．
2．a、b、c 为实数，且 c≠0，下列命题中正确的是( D ) A．a＞b⇒ac＞bc B．ac＜bc⇒a＜b C．a＞b⇒1a＜1b D．a＞b⇒ca2＞cb2 【解析】 利用不等式的性质或举反例进行判断，取 a＝2、b＝－1、c＝－1 来检验，对 A 有ac＜bc，故 A 错；对 B 有 a＞b，故 B 错；对 C 有a1＞1b，故 C 错；对 D，∵ c≠0，∴ c12＞0，由不等式的性质知，选项 D 正确．
【融会贯通】 比较大小． (1)( 2＋ 3)2 与 4＋2 6； (2)2x2＋5x＋6 与(x＋3)(x＋2)，x∈R. 解：(1)∵( 2＋ 3)2－(4＋2 6)＝(5＋2 6)－(4＋2 6)＝1＞0，∴( 2＋ 3)2 ＞(4＋2 6)． (2)∵(2x2＋5x＋6)－(x＋3)(x＋2)＝(2x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋6)＝x2≥0， ∴(2x2＋5x＋6)≥(x＋3)(x＋2)．
2.1 不等式的基本性质
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
1．不等式的概念 用不等号“≠、＞、＜、≥、≤”表示不等关系的式子叫做不等 式．如：f(x)＞g(x)，f(x)≤g(x)，等等．
知识点1 知识点2 知识点3 知识点4 知识点5
2．几个恒不等式 任意实数的平方不小于0，即a2≥0. 任意实数的绝对值不小于0，即|a|≥0.
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【解析】 根据不等式的性质可知，a＞3 且 b＞3⇒a＋b＞6 成立，a＞3 且 b
中职数学2.1不等式的基本性质课件
例3
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
用符号“ ”或“ ”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条
基本性质．
（2）如果 > ，那么 + 4
+ 2；
（2）根据不等式性质1，不等式 > 两边同时加上4，不等号
方向不变，即 + 4 > + 4，
又因为 + 4 > + 2，所以根据不等式性质3，可以得到
当>0时，点和点同时向右平移个单
位，即可到达点′和点′的位置；
当<0时，点和点同时向左平移
个单位，即可到达点′和点′的位置．
显然，两种情况中，点′点′的左右位置与点和点的情况相同．
2.1不等式的性质 —不等式的性质
性质3
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
5
2
例1 比较 7 与 3 的大小．
解 因为 5 2 15 14 15 14 1 0
7
3
21
5 2
所以
．
7 3
21
21
21
,
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
大于b（或b小于a）．
2.1不等式的性质 —实数的大小
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数，都可以
在数轴上找到对应的点和，如图所示．
不等式的基本性质
a>b>0，c>d>0 如果a>b，c>d,那么ac>bd是否成立？ 如果a>b>0，那么1/a<1/b是否一定成立？ 如果a<b<0，那么1/a>1/b是否一定成立？ 同号倒数改向性 例：若a、bR，请写出不等式a>b和1/a>1/b同时成立的 充要条件。
正数同向相乘法性
例 求证：如果a>b>0，那么a2>b2。 如果a>b>0，那么an>bn。(nN*)
7、已知三个不等式：（1）ab>0；（2）－c/a<－d/b；
（3）bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论， 则可以组成多少个真命题？ 8、已知命题甲：a>b，命题乙：1/a<1/b， 命题丙：c/a2>c/b2。 （1）若甲是乙的必要非充分条件，求a、b应满足的条件； （2）若a<0，b<0，判断丙是甲的什么条件，并加以证明。 9、（1）设2<a5,3b<10，求a+b、a-b及a/b的取值范围； （2）若二次函数f(x)的图像过原点，且1f(-2) 2, 3f(3)
2、如果a>b，那么a+c>b+c。
3、如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。 4、如果a>b，c>d,那么a＋c>b＋d。 5、如果a>b>0，c>d>0,那么ac>bd。 6、如果a、b同号，那么1/a<1/b。
7、如果a>b>0，那么an>bn (nN*) 。
4、解关于x的不等式：（1）ax+4<2x+a2，其中a>2 （2）m(x+2)>x+m。
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【课题】2.1不等式的基本性质
【教学目标】
知识目标：
（1）理解不等式的基本性质；
（2）了解不等式基本性质的应用．
水平目标：
通过不等关系的学习与探究，培养数学思维水平.
情感目标：
（1）经历比较实数大小及证明不等关系的过程，注重逻辑判断与推理；
（2）感受生活中的不等关系模型，体会数学知识的应用.
【教学重点】
⑴比较两个实数大小的方法；
⑵不等式的基本性质．
【教学难点】
比较两个实数大小的方法．
【教学设计】
（1）以实例引入知识内容，提升学生的求知欲；
（2）抓住解不等式的知识载体，复习与新知识学习相结合；
（3）增强知识的巩固与练习，培养学生的思维水平．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
1课时．(45分钟)
【教学过程】。