2018届江苏省常熟市高三4月模拟考试(数学)(含答案)word版

江苏省常熟市高三数学高考模拟题1．已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为 ． 2．双曲线221416x y -=的渐近线方程为 .gkstk 3．“6πα=”是“1s i n 2α=”的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数n m ,作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5=+y x 上的概率为 .55．如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是 .6．若圆锥的母线长为2cm ，底面圆的周长为2πcm ，则圆锥的体积为 3cm .7．执行右边的程序框图,若15p =，则输出的n = . gkstk8．已知函数2log (0)(),3(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则1[()]4f f 的值是 . 9．等差数列{}n a 中，若124a a +=, 91036a a +=，则10S = .10．已知实数x 、y 满足203500x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩，gkstk 则y x z )21()41(⋅=的最小值为 . 11．设向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，其中πβα<<<0，若|2||2|a b a b +=- ，则βα-= . gkstk12．如图，已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 13．若函数22()243f x x a x a =++-的零点有且只有一个，a = .14．已知数列{}n a 满足：11a =，2a x =（x N *∈），21n n n a a a ++=-恰好含有666项为0，则x 的值为 . gkstk15．（本题满分14分）已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且(01)AP AB =≤≤ λλ.（1）若等边三角形边长为6，且13=λ；（2）若CP AB PA PB ⋅≥⋅ ，求实数λ的取值范围.16．（本题满分14分）gkstk如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点.⑴求证： //GH 平面CDE ；⑵求证： BD ⊥平面CDE .gkstk17.（本题满分15分）某地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事蔬菜加工．据估计，如果能动员x (x ＞0)户农民从事蔬菜加工，那么剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2x %，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为33()50x a -（0a >）万元。

（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入，试求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试求实数a 的最大值。

18. (本题满分15分) 已知圆22:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=.⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；gkstk⑵在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标.19．已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x=．若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Qm 的值。

20．已知数列{}n a ，(0,0,,,0,*)n n n a p q p q p q R n N λλλ=+>>≠∈≠∈.⑴求证：数列1{}n n a pa +-为等比数列；⑵数列{}n a 中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；⑶设{(,)|3,*}n n n n A n b b k n N ==+∈，其中k 为常数，且k N *∈，{(,)|5,*}n n n B n c c n N ==∈，求A B . gkstk常熟市高三数学高考模拟题数学参考答案及评分标准1、12、2y x =±3、充分不必要4、195、406、37、58、19 9、100 10、161 11、2π 12、8或915．解：（1）当13=λ时，13AP AB = ， 2222221()262622282CP CA AP CA CA AP AP =+=+⋅+=-⨯⨯⨯+= .∴||CP = ……………………………………………………………………7分（2）设等边三角形的边长为a ，则221()()2CP AB CA AP AB CA AB AB a a ⋅=+⋅=+λ⋅=-+λ ， 222()()PA PB PA AB AP AB AB AB a a ⋅=⋅-=λ⋅-λ=-λ+λ …………………12分即2222212a a a a -+λ≥-λ+λ，∴21202λ-λ+≤，∴2222+≤λ≤.又00≤λ≤1≤λ≤. ……………………………………………………14分 16．证明：⑴G 是,AE DF 的交点，∴G 是AE 中点，又H 是BE 的中点，∴EAB ∆中，AB GH //， ------------------------3分CD AB //，∴//GH CD ，又∵,CD CDE GH CDE ⊂⊄平面平面∴//GH 平面CDE -----------------------7分⑵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，∵AD ED ⊥，ED ADEF ⊂平面∴ED ⊥平面ABCD ， --------------------10分∴BD ED ⊥，又∵CD BD ⊥，CD ED D ⋂=∴CDE BD 平面⊥ ----------------------14分17．解（1）由题意得 3(100)(12%)3100x x -+≥⨯，即2500x x -≤，解得050x ≤≤，又因为0x >，所以050x <≤；--------------------------------------------------------6分（2）从事蔬菜加工的农民的年总收入为33()50x a x -万元，从事蔬菜种植农民的年总收入为3(100)(12%)x x -+万元，根据题意得，33()50x a x -≤3(100)(12%)x x -+恒成立，即210025x ax x ≤++恒成立． 又0x >，所以100125x a x ≤++恒成立， 而100125x x ++≥5（当且仅当50x =时取得等号）， 所以a 的最大值为5． --------------------------------15分18．解：⑴设所求直线方程为2y x b =-+，即20x y b +-=，3=，得b =±∴所求直线方程为2y x =-±分 ⑵方法1：假设存在这样的点(,0)B t ，当P 为圆C 与x 轴左交点(3,0)-时，|3|2PB t PA +=； 当P 为圆C 与x 轴右交点(3,0)时，|3|8PB t PA -=， 依题意，|3||3|28t t +-=，解得，5t =-（舍去），或95t =-。

---------------------------8分 下面证明 点9(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为一常数。

设(,)P x y ，则229y x =-， ∴22222222229188118()9(517)9552525(5)102592(517)25x y x x x x PB PA x y x x x x +++++-+====+++++-+， 从而35PB PA =为常数。

---------------------------15分 方法2：假设存在这样的点(,0)B t ，使得PB PA 为常数λ，则222PB PA λ=， ∴22222()[(5)]x t y x y λ-+=++，将229y x =-代入得， 22222229(10259)x xt t x x x x λ-++-=+++-，即2222(5)3490t x t λλ++--=对[3,3]x ∈-恒成立， ---------------------------8分∴22250,3490,t t λλ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，解得3595t λ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或15t λ=⎧⎨=-⎩（舍去），所以存在点9(,0)5B -对于圆C 上任一点P ，都有PB PA 为常数35。

---------------------15分 19．解：依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=；又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a =m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(22， ()()2g x m f x x x x==++， 设(),o o P x y ，则2002020202)()2(||x m x x y x PQ ++=-+= m m m m m x m x 2||2222222220220+=+≥++= 当且仅当202202x m x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2 当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m 当0<m 时，2)222(=+-m 解得12--=m 20．解：⑴∵n a =n n p q λ+，∴111()()n n n n n n n a pa p q p p q q q p λλλ+++-=+-+=-，∵0,0,q p q λ≠>≠∴211n n n na pa q a pa +++-=-为常数∴数列1{}n n a pa +-为等比数列-----------4分 ⑵取数列{}n a 的连续三项12,,(1,)n n n a a a n n N *++≥∈，∵211222212()()()()n n n n n n n n n n n a a a p q p q p q p q p q λλλλ++++++-=+-++=--， 0,0,,0p q p q λ>>≠≠ ，∴2()0n n p q p q λ--≠，即212n n n a a a ++≠，∴数列{}n a 中不存在连续三项构成等比数列； --------------------9分⑶当1k =时，3315n n n n k +=+<，此时B C =∅ ；当3k =时，33323n n n n n k +=+=⋅为偶数；而5n 为奇数，此时B C =∅ ；当5k ≥时，35n n n k +>，此时B C =∅ ；----------------------------------------------12分当2k =时，325n n n +=，发现1n =符合要求，下面证明唯一性（即只有1n =符合要求）。