动量和能量守恒

§2.4 功 动能 势能 机械能守恒 §2.4.1 功 功率 1.功 定义：力对质点所作的功为力在质点位 移方向的分量与位移大小的乘积。 B
元功： dA = Fcos ds = F · dr 这里 | dr | = ds
B B A A
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则总功： A dA F dr F cos ds
引入势能后有：重力作等于物体重力势能增量的负值。
2.万有引力作功
质点m受到M(固定不动)的万有引力
Mm F G 2 e r r
er 为沿r 的单位矢量 A
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m dr
B r r +d r 则万有引力作功为: rA Mm er rB dA F dr G 2 e r dr r er 如图 er dr | er || dr | cos dr M• Mm dA G 2 dr 所以 dr dr r B rB dr 1 1 积分: A dA GMm 2 GMm rA r A rB rA
t1 t2 其中 I t1 F ( t )dt 称为力的冲量. ——质点的动量定理
动量定理的物理意义为：在给定时间间隔内,外 力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内 动量的增量。
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质点的动量定理(续）
注意:冲量是矢量. 冲量的方向为动量增量的方向 质点动量定理在直角坐标系中的分量式为：
可见,万有引力作功也只取决于质点的起始和终 了位置而与所经过的路径无关.
3.弹力作功 质量为m的物体与一弹簧相连,设O为平衡点 当质点位移为x时 F m 质点受弹力为 F = -kx i o 弹性力作功 x 弹簧由 x1 x2
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t2
t1
n t2 in ex mi v i mi v i 0 Fi dt Fi dt t1 i 1 i 1 n i 1 i 1
in F i 0 i 1
由于内力总是成对出现, 即
则:
n t2 ex n t1 F dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1
I x t Fx dt mv 2 x mv1 x 1 t I y t 2 Fy dt mv 2 y mv1 y
1
t2
I I xi I y j Izk
显然，质点在某一轴线上的动量增量，仅与该 质点在此轴线上所受外力的冲量有关。 由动量定理知: 在相等的冲量作用下,不同质量的 物体其速度变化不相同,但动量的变化却是一样.
A
A
合力的功等于各分力所作功的代数和 •功的单位:焦耳(Joule). 符号: J dA ds 2.功率 P F cos Fv cos dt dt 单位：瓦特(Watt) 1W = 1J· s-1
例1.
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一质量为m的小球竖直落入水中,刚接触水面时其速率为 v0. 设球在水中所受浮力与重力相等,水的阻力为Fr= -bv, b为一常量. 求阻力对球的功与时间的函数关系. 解: 取水面为坐标原点O,竖直向下为Ox轴正向. dx 水的阻力作功为 A F dr bvdx bv dt 即 A b v dt 由牛顿运动定律
则钢板受的作用力与球受的力大小相等,方向相反. 2mv cos F 代入数据有 F 20.0N
Δt
2mv cos F Fx Δt
y
F´的方向与Ox轴正向相反
三 质点系的 动量守恒定律 n n t ex 由动量定理 t F dt mi vi mi vi 0
建立如图坐标系 解：已知v1=v2=v=5m/s 对钢球, 由动量定理的分量式 x
v1 v2
= 2mv cos FyΔ t mv 2 y mv1 y = mv sin - mv sin = 0
因此,球受的平均冲力为
FxΔ t mv 2 x mv1 x mv cos ( mv cos )
或 : I = p - p0
上式表明:作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量——质点系的动量定理. dp ex ex 对无限小的时间间隔 F dt dp 或 F dt
作用于质点系的合外力等于质点系动量随时间的变化率.
例1.
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如图,一质量为0.20kg、速率为5m/s的钢球,以与钢板法线成60°角 的方向撞击在钢板上, 并以相同的速率和角度弹回来. 设球与钢板 的碰撞时间为0.05s.求在此碰撞时间内钢板所受到的平均冲力.
因此运用它时要选定一惯性参考系.
如图,一质量为 m 的球在质量为 M 的1/4圆弧滑槽中从 静止滑下.设圆弧的半径为 R，如所有摩擦都可忽略， 求当小球 m 滑到槽底时,M 滑槽在水平上移动的距离. 解: 先受力分析 水平方向动量守恒. V 以向右为x正向 vx mg 设vx为球相对槽的水平速度,有 N
A F dr ( Fx dx Fy dy Fz dz )
B
B
•合力的功 若几个力同时作用在质点上，则 F F1 F2 F3 即： A F dr ( F1 F2 F3 ) dr A A1 A2 A3 F1 dr F2 dr F3 dr
2
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2
1
1
2Leabharlann 211由于F12和F21是作用力和反作用.
t2
则: t ( F1 F2 )dt ( m1 v1 m2 v2 ) ( m2 v10 m2 v20 ) 1
即: F12+F21=0
质点系的动量定理续
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即作用于两质点组成系统的合外力的冲量等于 系统内两质点动量之和的增量. 推广到n个质点系统 n n n
2 1
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i 1
i 1
当系统所受合外力为零时,即 Fex=0时,系统的动量不变. n p mi vi 恒矢量 即:
系统所受合外力为零时,系统的总动量将保持不 变———动量守恒定律 在直角坐标系中的分量式为 n p x mi vix C1 (若Fxex 0) i 1 n 式中C1、C2和 ex p y mi viy C 2 ( 若F y 0 ) C3均为恒量。 i 1 n ex pz mi viz C 3 (若Fz 0)

3
A (3 4 x )dx 27J
0
3
2A 54 v 2.3m/s m 10
§2.4.3 保守力的功 势能 1.重力作功
质量为m的物体在重力作用下,沿 acb,重力P对物体作力为
dA = P· dr
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一、万有引力、重力、弹性力作功的特点 y
y1
a•
P
c •
dr •b x
P mg j
y2
dr dxi dyj
y2
故：dA mgj (dxi dyj ) mgdy
A mg dy ( mgy 2 mgy1 ) 或
y1
A mgy1 mgy2
上式表明：重力作功只与质点的起始和终了位 置有关，而与所经过的路径无关。
1 2 定义：E k mv 为质点的动能。 2
1 2 1 2 A m vdv mv 2 mv1 2 2 v
1
v2
上式表明： 合外力对质点作的功,等于质点动能的增量—动能定理. 注 1.功是过程量,动能是状态量.功是动能状态变化的量度. 意 2.该定理适用于惯性系, 且只能应用于同一惯性系.
例2. P40
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m M vx V 解得 Mg t t m m M Vdt 没m在槽上运动时间 R v x dt m 0 0 为t, 运动距离为R t m 于是滑槽在水平 S Vdt R 上移动的距离 mM 0
0 m(v x V ) MV
功是标量。功有正功、负功之分。Fcos 功是力对空间的累积效应。 功可以用图示法来计算。
dr •
A

F
在 Fcos ~ s 曲线中，曲线 下的面积等于变力的功
s1
s2
s
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•功在直角坐标系中的表示 由 F Fx i Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
因此动量p作为描述物体机械运动的状态参量.(还有r )
I z t Fz dt mv 2 z mv 1 z 1
t2
二. 质点系的动量定理 F2 设系统内有两个质点1和2, F1 质量分别为m1和m2, 分别 F12 F21 •2 1• 受外力F1和F2作用. S 两质点间的相互作用为F12和F21 对各质点有动量定理: t t ( F F ) dt m v m v t 1 12 1 1 1 10 t ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 上两式相加得: t t t ( F1 F2 )dt t ( F12 F21 )dt ( m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
i 1
i 1
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应用动量守恒时注意：
1. 动量是矢量.系统的总动量不变是指系统内各物体 动量的矢量和不变,而不是指哪个物体的动量不变. 2.系统所受合外力为零时,系统的动量守恒.但在应用时 若外力远小于系统的内力时可近似认为动量守恒. 3. 动量守恒式可单独应用其分量式.即某方向外力为零. 则该方向动量守恒(反映了力的独立性和叠加性). 4.动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一. 在微观领域牛顿定律不适用,而动量守恒却适用. 5. 动量定理和动量守恒只在惯性系中成立.