2.3.2双曲线的简单几何性质(1)

3、顶点 、
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 ）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是 A1 ( − a ,0 )、 A2 ( a ,0 )
(2)线段 1A2叫做双曲线的实轴， 线段A 线段 线段B 叫做双曲线的虚轴。 线段B1B2叫做双曲线的虚轴。
实轴的长为2a，虚轴的长为2b; 实轴的长为 ，虚轴的长为 a称为半实轴的长，b称为半虚轴的长；; 称为半实轴的长， 称为半虚轴的长； 称为半实轴的长 称为半虚轴的长
能力提升： 能力提升：
例1.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为 3 x ± y = 0，且焦点到渐近线的距离为3， 求双曲线的标准方程。
x y 例2.已知双曲线 2 − 2 = 1(0 < a < b)的半焦距为c, a b 直线l过(a,0 ), (0, b )两点，且原点到直线的距离为 3 c, 求双曲线的离心率？ 4
一、复习回顾： 复习回顾：
平面内与两个定点F 的距离的差的绝对值等于常数(小于 小于|F 平面内与两个定点 1、F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 1 F2|)的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦 的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点 的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点， 双曲线的焦距。 点的距离叫做双曲线的焦距 点的距离叫做双曲线的焦距。 即 || MF1 | − | MF2 ||= 2a, ( 2a < 2c )
1.双曲线的定义： 双曲线的定义： 双曲线的定义
2.双曲线的标准方程： 双曲线的标准方程： 双曲线的标准方程
c2 = a 2 + b2
x y − 2 = 1(a > 0, b > 0). 2 a b
2 2
y2 x2 − 2 = 1(a > 0, b > 0). 2 a b
3．前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？ ．前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
x
5、离心率 、 c 双曲线的焦距与实轴长 的比 e = ,叫做 （1）定义： ）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围 ） 的范围： （3）e的含义： ） 的含义：
c2 − a2 c 2 = ( ) −1 = e2 −1 a a b b ∴当 e ∈ (1,+∞ )时， ∈ (0,+∞ ), 且 e增大 , 也增大 a a ⇒ e增大时，渐近线与实轴 的夹角增大 b = a
你能类比探究出双曲线的几何性质吗？ 你能类比探究出双曲线的几何性质吗？
x2 y 2 方程 + 2 = 1(a > b > 0) 2 性质 a b x2 y 2 − 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
图形
范围 对称性
− a ≤ x ≤ a,−b ≤ y ≤ b
关于x, y轴及原点对称 A1 (−a,0), A2 (a,0)
y
M
Y
p F2 X
F1
0
F2
X
F1
0
范围
|x|≤a,|y|≤b ≤
对称性
对称轴： 轴 对称轴：x轴，y轴 轴 对称中心： 对称中心：原点
|x| ≥ a，y∈R ， ∈
对称轴： 轴 对称轴：x轴，y轴 轴 对称中心： 对称中0,b) (0,-b) 长轴： 短轴： 长轴：2a 短轴：2b
例3.已知双曲线的渐近线方程为2 x ± 3 y = 0. (1)若双曲线过点P ( 6 ,2), 求双曲线的标准方程。
(2)若双曲线的焦距是2 13 , 求双曲线的标准方程。
（3）求双曲线的离心率？ ）求双曲线的离心率？
x2 y2 例4.求与双曲线 − = 1有相同的渐进线，且经过 25 16 点P(−5,2)的双曲线标准方程。
(-x,y)
(x,y)
-a (-x,-y)
o
a (x,-y)
x
2、对称性 、
关于x轴 轴和原点都是对称。 关于 轴、y轴和原点都是对称 轴和原点都是对称 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 轴是双曲线的对称轴， 轴 轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心 中心。 又叫做双曲线的中心。
Q c>a>0 ∴
e >1
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
6.类比 类比 方程 图形 顶点 对称 范围 焦点 离心率 渐近线
x2 y2 − 2 = 1( a , b > 0 ) 2 a b
y o x
x2 y2 − 2 + 2 = 1( a , b > 0 ) b a
y o x
(±a , 0 ) ±
( 0, ±a )
x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a (±c , 0 ) ±
e= c ( e > 1) a
|y|≥a ( 0, ±c )
y = ±
b x a
y = ±
a x b
典例讲解： 典例讲解：
求双曲线9x 的实半轴长和虚半轴长、 例1. 求双曲线 －16y =144的实半轴长和虚半轴长、 的实半轴长和虚半轴长 焦点坐标、离心率、渐近线方程。 焦点坐标、离心率、渐近线方程。
B1 (0,−b), B2 (0, b) A1 A2叫长轴, B1 B2叫短轴
c e = , (0 < e < 1) a
顶点坐标 离心率
课堂新授
一、研究双曲线 1、范围 、 2
x2 y 2 − 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 a b
的简单几何性质
y
x Q 2 ≥ 1,即x 2 ≥ a 2 a ∴ x ≥ a, x ≤ −a
(-a,0) (a,0) 实轴： 实轴：2a 虚轴：2b 虚轴：
离心率
e=
c ＜ a ( 0＜e ＜1 )
e=
c (e>1) a
b a x
渐近线
无
a2 x = ± c
y= ±
准线
a2 x = ± c
5 例2 已知双曲线顶点间的距 离是16，离心率 e = ， 4 焦点在 x轴上，中心在原点，写 出双曲线的方 程，并且求出它的渐近 线和焦点坐标 .
练一练.求一渐近线为 练一练 求一渐近线为3x+4y=0,一个焦点为 一个焦点为(4,0)的双曲线 的双曲线 求一渐近线为 一个焦点为 的标准方程. 的标准方程
2 2
小
结
椭 圆
双曲线
方程
a b c关系
图象
2 x2 + y = 1 a＞ b ＞0） 2 （ ＞ ） 2 a b
x 2 − y 2 = ( a＞ 0 b＞0) ＞ 1 ＞ a 2 b2
c 2= a 2 + b 2 (a＞ 0 b＞0) ＞ ＞
c 2= a 2 − b 2 (a＞ b＞0) ＞ ＞
x2 y 2 − 2 =1 2 a b y2 x2 − 2 =1 2 a b x2 y 2 − 2 =0 2 a b
y2 x2 − 2 =0 2 a b
b y = ± x a
3.双曲线的画法： 双曲线的画法： 双曲线的画法
a y=± x b
y
B2 A1 O B1 A2
①定顶点 ③画渐近线 ②画矩形 ④画双曲线
y
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。 (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。 B2 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 b
x − y = m (m ≠ 0)
2 2
A1 -a
-b
o
a
A2
x
B1
4、渐近线 、
（1）
x2 y2 双曲线 2 − 2 = 1( a > 0, b > 0 ) a b b 的渐近线为 y = ± x a
x2 y2 解：设双曲线方程为： − = λ , (λ ≠ 0) 25 16
将P(−5,2)代入双曲线方程得：
3 25 4 − =λ ⇒λ = 4 25 16
4x2 y2 ∴ 双曲线方程为： − =1 75 12
小结：与双曲线 小结：与双曲线x2/a2－y2/b2=1有共同渐近线 有共同渐近线 的双曲线方程可设为 可设为： 的双曲线方程可设为：x2/a2－y2/b2=λ。 。
x2 y2 解:把方程化为标准式 2 − 2 = 1 把方程化为标准式 4 3
虚半轴长b=3, c =5 ∴实半轴长 a= 4, 虚半轴长 ± 焦点坐标为 (±5,0)
O
2 2
y
3 y= x 4
x
3 y=− x 4
3 渐近线方程为 y = ± x 4
2 2
5 离心率为 e = 4
练一练. 求双曲线16x －25y =-400的实半轴长和虚半轴 练一练 求双曲线 的实半轴长和虚半轴 焦点坐标、离心率、渐近线方程。 长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
2 2
y Q b
N(x,y’) M(x,y)
等轴双曲线 x − y = m （2） ( m ≠ 0 )的渐近线为
B2
A1
o
A2
a x
y = ±x
（3） 利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图
B1
b y =− x a
b y= x a
双曲线的渐近线 2 2 x y b 渐近线. 规定： ▲规定：直线 y = ± a x 叫做双曲线 2 − 2 =1 的渐近线.。 a b 2 2 y x 思考： 的渐近线方程是什么？ ▲思考： 双曲线 2 − 2 = 1的渐近线方程是什么？ a ① y=± x a b b 两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？ ②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？