三角函数的基本关系
三角函数的基本关系
三角函数的基本关系三角函数是高中数学中的重要内容，它们描述了角度和边长之间的关系。
三角函数的基本关系是指正弦、余弦和正切三个基本三角函数之间的关系。
一、正弦函数的基本关系正弦函数（sin）是指一个角的正弦值与该角的对边与斜边的比值之间的关系。
我们可以通过一个直角三角形来理解正弦函数。
假设在直角三角形ABC中，∠B为直角，BC为斜边，AC为对边，AB为邻边。
根据正弦函数的定义，sin∠A = AC/BC。
我们可以进一步推导出一些正弦函数的基本关系：1. sin(π/2 - θ) = cosθ：这个关系是由于余弦函数（cos）定义为邻边与斜边的比值，因此sin(π/2 - θ) = AC/BC = cosθ。
2. sin(π + θ) = -sinθ：这个关系是由于对于同一个角度，其正弦值在每个周期内是对称的，即sin(π + θ) = AC/BC = -sinθ。
3. sin(2π - θ) = sinθ：这个关系是由于正弦函数具有周期性，即sin(2π - θ) = AC/BC = sinθ。
二、余弦函数的基本关系余弦函数（cos）是指一个角的余弦值与该角的邻边与斜边的比值之间的关系。
同样地，在直角三角形ABC中，∠B为直角，BC为斜边，AC为对边，AB为邻边。
根据余弦函数的定义，cos∠A = AB/BC。
我们可以进一步推导出一些余弦函数的基本关系：1. cos(π/2 - θ) = sinθ：这个关系是由于正弦函数的定义，sin(π/2 - θ)= AC/BC = sinθ。
2. cos(π + θ) = -cosθ：这个关系是由于余弦函数的定义，cos(π + θ) = AB/BC = -cosθ。
3. cos(2π - θ) = cosθ：这个关系是由于余弦函数具有周期性，cos(2π- θ) = AB/BC = cosθ。
三、正切函数的基本关系正切函数（tan）是指一个角的正切值与该角的对边与邻边的比值之间的关系。
三角函数的关系及其应用
三角函数的关系及其应用三角函数是我们高中数学中最常见的一类函数，它们被广泛应用于几何、物理、工程、计算机等领域。
本文将探讨三角函数之间的关系以及它们的应用。
一、正弦函数和余弦函数的关系正弦函数和余弦函数是最基本的两个三角函数，它们的关系可以用三角恒等式“正弦二次定理”来表示：$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$我们可以根据这个公式推导出许多有用的关系，例如：$$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$将其带入余弦函数的定义式中：$$\cos x = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$$可以得到：$$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$$这个公式说明了正弦函数和余弦函数之间的关系：当一个角的正弦值确定时，它的余弦值也就确定了；当一个角的余弦值确定时，它的正弦值也就确定了。
这个关系在解决三角函数问题时非常有用。
二、正切函数和余切函数的关系正切函数和余切函数也是两个常见的三角函数，它们的关系可以用“余角公式”来表示：$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$$$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$我们可以将它们的分子、分母互换，得到：$$\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$$$$\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{\cot x}$$这个关系告诉我们，当一个角的正切值确定时，它的余切值也就确定了；当一个角的余切值确定时，它的正切值也就确定了。
这个关系在计算切线时非常有用。
三、三角函数的应用三角函数在几何、物理、工程和计算机等领域都有广泛的应用，以下几个例子说明了它们的用途。
1. 计算三角形边长和角度在平面几何中，我们可以利用正弦函数、余弦函数和正切函数来计算三角形的边长和角度。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边的长度，我们可以用正弦函数或余弦函数来计算斜边的长度；已知一条直角边和斜边的长度，我们可以用正弦函数或余弦函数来计算另一条直角边的长度；已知两条直角边的长度，我们可以用正切函数来计算斜边与直角边的夹角。
三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系倒数关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方关系：sin²α＋cos²α＝1 1＋tan²α＝sec²α平常针对不同条件的常用的两个公式sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1锐角三角函数公式二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦cos2 A =cos² A -sin² A =2cos² A -1 =1-2sin² A正切tan2A=（2tanA）/（1-tan²A）两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβsin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinα诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanα= sinα/cosαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²] tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]其它公式：(1) (sinα)²+(cosα)²=1(2)1+(tanα)²=(secα)²一、诱导公式口诀：（分子）奇变偶不变，符号看象限。
三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α诱导公式sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ2tan(α/2) sinα＝——————1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin—－－·cos—－— 2 2α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－— 2 2α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－— 2 2α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2 1sinα ·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 21cosα ·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）] 21cosα ·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]21sinα ·sinβ＝－-[cos（α＋β）－cos（α－β）]2化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）三角函数的图象与性质（一）知识要点12sin ()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像和性质6。
三角函数的基本关系归纳与证明
三角函数的基本关系归纳与证明三角函数是数学中重要的概念，它描述了角度和三角形之间的关系。
在这篇文章中，我们将对三角函数的基本关系进行归纳和证明。
首先我们来介绍三角函数的定义，接着给出它们之间的基本关系，并逐一进行证明。
一、三角函数的定义在解析几何中，三角函数是根据单位圆上的点的坐标定义的。
设有一个角度θ，它的终边与单位圆的交点为P(x,y)，那么根据P点的坐标，我们可以定义以下三个三角函数：1. 正弦函数（sine）：sin(θ) = y2. 余弦函数（cosine）：cos(θ) = x3. 正切函数（tangent）：tan(θ) = y/x这些函数在三角学中具有广泛的应用，因此，在不同的数学领域中，研究者还对它们进行了更深层次的研究与推广。
二、三角函数的基本关系三角函数之间存在一系列基本关系，它们使得我们能够通过已知一个三角函数值，来求解其他三角函数值以及角度的关系。
下面是三角函数的基本关系总结：1. 余弦与正弦的关系：在单位圆上，若P(x,y)为角θ的终边上的点，则有cos^2(θ) +sin^2(θ) = 1。
2. 正切与余切的关系：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = 1 / cot(θ)3. 正弦与余弦的关系：sin(θ) = cos(θ + (π/2)) = -cos(θ - (π/2))4. 正切与余切的关系：tan(θ) = 1 / cot(θ) = -cot(θ + π)5. 正弦与正切的关系：tan(θ) = sin(θ) / √(1 - sin^2(θ))6. 余弦与余切的关系：cot(θ) = cos(θ) / √(1 - cos^2(θ))三、三角函数的基本关系证明现在，我们逐一证明上述基本关系：1. 余弦与正弦的关系：由正弦函数的定义可知，sin^2(θ) = y^2由余弦函数的定义可知，cos^2(θ) = x^2由单位圆条件可知，x^2 + y^2 = 1所以，cos^2(θ) + sin^2(θ) = x^2 + y^2 = 1即，cos^2(θ) + sin^2(θ) = 12. 正切与余切的关系：由正切函数的定义可知，tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)由余切函数的定义可知，cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)所以，tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = 1 / cot(θ)3. 正弦与余弦的关系：由单位圆的性质可知，sin(θ) = cos(θ + (π/2))这是因为，在单位圆上，角度增加π/2，相应的x和y坐标交换位置同理，sin(θ) = -cos(θ - (π/2))4. 正切与余切的关系：由正切函数的定义可知，tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)由余切函数的定义可知，cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)所以，tan(θ) = 1 / cot(θ) = -cot(θ + π)5. 正弦与正切的关系：由正切函数的定义可知，tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)所以，sin^2(θ) = tan^2(θ) * cos^2(θ)将sin^2(θ)代入上式，可得tan^2(θ) * cos^2(θ) = 1 - cos^2(θ)即，tan(θ) = sin(θ) / √(1 - sin^2(θ))6. 余弦与余切的关系：由余切函数的定义可知，cot(θ)= cos(θ) / sin(θ)所以，cos^2(θ) = cot^2(θ) * sin^2(θ)将cos^2(θ)代入上式，可得cot^2(θ) * sin^2(θ) = 1 - sin^2(θ)即，cot(θ) = cos(θ) / √(1 - cos^2(θ))综上所述，我们归纳了三角函数的基本关系，并对其进行了证明。
三角函数的基本关系总结
于在 0 和 π/2 弧度之间的角。 它也提供了一个图象， 把所有重要的三角函数都 包含了。 根据勾股定理，单位圆的等式是： 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针 的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位 圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。图象中的三角形确 保了这个公式；半径等于斜边且长度为 1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。 单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1 的一种查 看无限个三角形的方式。 两角和公式: sin(Α+B) = sinΑcosB+cosΑsinB sin(Α-B) = sinΑcosB-cosΑsinB cos(Α+B) = cosΑcosB-sinΑsinB cos(Α-B) = cosΑcosB+sinΑsinB tαn(Α+B) = (tαnΑ+tαnB)/(1-tαnΑtαnB) tαn(Α-B) = (tαnΑ-tαnB)/(1+tαnΑtαnB) cot(Α+B) = (cotΑcotB-1)/(cotB+cotΑ) cot(Α-B) = (cotΑcotB+1)/(cotB-cotΑ)
两角和公式: sin(Α+B) = sinΑcosB+cosΑsinB sin(Α-B) = sinΑcosB-cosΑsinB cos(Α+B) = cosΑcosB-sinΑsinB cos(Α-B) = cosΑcosB+sinΑsinB
tαn(Α+B) =
tαnΑ+tαnB 1−tαnΑtαnB tαnΑ+tαnB 1+tαnΑtαnB cotΑcotB−1 cotB+cotΑ cotΑcotB+1 cotB−cotΑ
三角函数的基本关系式
1. 同角三角函数的基本关系式 tan α ⋅ cot α = 1 sin α ⋅ csc α = 1 cos α ⋅ sec α = 1 2. 倒数关系:
tan α =
sin α sec α = cos α csc α 1 cos α csc α = = tan α sin α sec α
正弦为奇函数 余弦为偶函数 正切为奇函数 sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝ sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中 k∈Z)
3. 商的关系： cot α = 4. 平方关系：
sin 2 α + cos 2 α = 1
1 + tan 2 α = sec2 α =
(对应于勾股定理)
1 (上述公式的扩展) cos 2 α 1 1 + cot 2 α = csc2 α = sin 2 α
5. 诱导公式 单一角公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα
三角函数的基本关系
三角函数的基本关系三角函数是数学中的重要概念，用来描述角和其它几何形状之间的关系。
它们之间存在着一系列的基本关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在本文中，我们将详细探讨这些基本关系，并给出相应的定义和性质。
1. 正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中的一种，它描述了一个角的对边与斜边之间的比值。
通常用sin表示，定义如下：sinθ = 对边/斜边2. 余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数中的另一种，它描述了一个角的邻边与斜边之间的比值。
通常用cos表示，定义如下：cosθ = 邻边/斜边3. 正切函数（Tangent Function）正切函数也是三角函数中的一种，它描述了一个角的对边与邻边之间的比值。
通常用tan表示，定义如下：tanθ = 对边/邻边这些基本关系可以进一步发展出其它与三角函数相关的重要关系。
4. 余切函数（Cotangent Function）余切函数是正切函数的倒数，它表示邻边与对边之间的比值。
通常用cot表示，定义如下：cotθ =1/tanθ = 邻边/对边5. 反正弦函数（Arcsine Function）反正弦函数是正弦函数的反函数，它表示给定正弦值所对应的角度。
通常用arcsin表示，定义如下：arcsin(x) = θ，其中sinθ = x，-π/2 ≤ θ ≤ π/26. 反余弦函数（Arccosine Function）反余弦函数是余弦函数的反函数，它表示给定余弦值所对应的角度。
通常用arccos表示，定义如下：arccos(x) = θ，其中cosθ = x，0 ≤ θ ≤ π7. 反正切函数（Arctangent Function）反正切函数是正切函数的反函数，它表示给定正切值所对应的角度。
通常用arctan表示，定义如下：arctan(x) = θ，其中tanθ = x，-π/2 < θ < π/2通过以上的基本关系，我们可以推导出许多三角函数间的重要等式和恒等式。
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同角三角函数基本关系式
同角三角函数基本关系式
公式的推导−
−−−
−
公式的运用−→−−−−（1）根据一个角的某一三角函数值求其它的三角函数值。
需注意先用平方关系，后用商数关系，最后用倒数关系，关键注意符号问题。
（2）三角函数式的化简，注意化简的结果做到“五个尽量”，即①项数尽量少，②次数尽量低，③尽量不含分母，④尽量不带根号，⑤尽量化为数值。
（3）三角恒等式的证明，掌握常规的化弦法（即：切割化弦）以及由繁到简法等。
【例1】已知3cos 5
α=-，α是第二象限角，那么tan α的值等于（）。
A 4
3B 4
3-C 3
4D 3
4
-变式：已知：1sin 5
α=且tan 0α<
，试求cos α，tan α的值。
变式：已知8cos 17
α=-，求sin α
和tan α的值。
变式
：⑴已知12sin 13
α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα.⑵已知4
cos α=-，求sin ,tan αα.
【例2】已知α）
A 2tan α-
B 2tan α
C tan α
D tan α-
变式：
=___________；66441sin cos 1sin cos x x x x --=--___________。
变式：已知α
-。
【例3】已知2tan =α，求sin 4cos 5sin 2cos αααα
-+及2sin 2sin cos ααα+的值。
变式：已知tan 2α=，求
sin cos 2sin 3cos αααα+-的值（）A 2B 3C 1D
3-变式：已知tan 2α=，求下列各式的值：
（1）4sin cos 3sin 5cos αααα
-+；（2）2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin αααααα-⋅--；（3）223
1sin cos 42
αα+；（4）sin cos αα⋅。
变式：已知sin 2sin αβ=，tan 3tan αβ=，则2cos α=_________。
【例4】已知1sin cos 5
αα-=，求下列各式的值.⑴sin cos αα；
⑵33sin cos αα-；
⑶44sin cos αα-.
【例5】
已知1sin cos 2
αα-+=，且0απ<<，则tan α的值为（）。
A
B
C
D 变式：
已知方程221)0x x m -+=的两根分别是sin ,cos θθ，求sin cos 11tan 1θθθθ+--的值。