2015-2016学年高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业 新人教A版必修4
高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业 新人教A版必修4
高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课时作业 新人A 教版必修4基础巩固一、选择题1．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥b ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向[答案] D[解析] ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，又a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1..∴c ＝－d ，∴c 与d 反向．2．(陕西高考文)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－2或 2 D ．0[答案] C[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a ∥b 知1×2＝m 2，即m ＝2或m ＝－ 2.3．(2015·北京西城高三第一学期期末)已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →∥a ，则实数y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] C[解析] AB →＝(3，y －1)，又AB →∥a ， 所以(y －1)－2×3＝0，解得y ＝7.4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)[答案] A[解析] 设C (x ，y )，∵A (0,1)，AC →＝(－4，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，∴C (－4，－2)，又B (3,2)，∴BC →＝(－7，－4)，选A ．5．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,1)，若a ＋2b 与3a ＋λb 平行，则λ的值等于( ) A ．－6 B ．6 C ．2 D ．－2[答案] B[解析] a ＋2b ＝(5,5)，3a ＋λb ＝(3＋2λ，9＋λ)， 由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0， ∴λ＝6.6．(2015·济南模拟)若a ＝(1,2)，b ＝(－3,0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－12B ．12C ．2D ．－2 [答案] A[解析] 2a ＋b ＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，a －mb ＝(1,2)－m (－3,0)＝(1＋3m,2)∵(2a ＋b )∥(a －m b ) ∴－1＝(1＋3m )×2 ∴6m ＝－3，解得m ＝－12二、填空题7．(2015·北京东城区模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为________．[答案] 12[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝12.8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)．若λa ＋u b 与a ＋b 共线，则λ与u 的关系为________．[答案] λ＝u[解析] ∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋u b ＝λ(1,2)＋u (－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u )．又∵(λa ＋u b )∥(a ＋b )，∴(－1)×(2λ＋3u )－5(λ－2u )＝0.∴λ＝u . 三、解答题9．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值． [解析] ∵AB →＝(4－k ，－7)，BC →＝(－k －4,5)，因A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →， ∴7(k ＋4)－5(4－k )＝0，∴k ＝－23.10．已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标． [解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →|， 则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x,9－y )． 当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝36－x ，y －5＝39－y ，解得x ＝214，y ＝8.当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－36－x ，y －5＝－39－y ，解得x ＝152，y ＝11.∴点M 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11.能力提升一、选择题1．已知向量a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，则a 和b 的关系是( ) A ．共线且方向相同 B ．共线且方向相反 C ．是相反向量 D ．不共线[答案] B[解析] 因为a ＝(－2,4)，b ＝(3，－6)，所以a ＝－23b ，由于λ＝－23<0，故a 和b共线且方向相反．2．(2015·福州高一检测)设a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．75°D ．45°[答案] D[解析] 32×13＝sin αcos α，sin2α＝1,2α＝90°，α＝45°.3．(重庆高考文)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[答案] D[思路点拨] 分别求出a ＋b,4b －2a ，将向量共线的条件转化为坐标运算，从而求出x 的值．[解析] 因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.4．已知向量集合M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝( )A ．{(1,1)}B ．{(1,2)，(－2，－2)}C ．{(－2，－2)}D ．Ø[答案] C[解析] 设a ∈M ∩N ，则存在实数λ和中μ，使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧4μ－3λ＝35μ－4λ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝0，∴a ＝(－2，－2)． 二、填空题5．(北京高考)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.[答案] 1[解析] a －2b ＝(3，3)．因为a －2b 与c 共线， 所以k3＝33，解得k ＝1. 6．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|，则求点P的坐标为________．[答案] (45，34)[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有P 1P →＝23PP 2→，又P 1P →＝(x －2，y ＋1)，PP 2→＝(－1－x,3－y )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝23－1－x ，y ＋1＝233－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.三、解答题7．平面内给定三个向量：a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 和n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解析] (1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a ＝m b ＋n c ，m ，n ∈R ，∴(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.∴m ＝59，n ＝89.(3)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)． 又∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴(3＋4k )×2－(－5)×(2＋k )＝0. ∴k ＝－1613.8．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.(1)求E ，F 的坐标； (2)判断EF →与AB →是否共线．[解析] (1)设E (x 1，y 1)、F (x 2，y 2)， 依题意得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)．由AE →＝13AC →可知(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝23y 1＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－13y 1＝23，∴E (－13，23)．由BF →＝13BC →可知(x 2－3，y 2＋1)＝13(－2,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23y 2＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73，y 2＝0.∴F (73，0)，即E 点的坐标为(－13，23)，F 点的坐标为(73，0)．(2)由(1)可知EF →＝OF →－OE →＝(73，0)－(－13，23)＝(83，－23)，(O 为坐标原点)，又AB →＝(4，－1)， ∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，即EF →与AB →共线．。
新人教版必修4高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示练习题
§2．3.4 平面向量共线的坐标表示【学习目标、细解考纲】1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。
2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。
【知识梳理、双基再现】1、两向量平行（共线）的条件若//(0)a b b ≠v v v 则存在唯一实数使//a b λv v ；反之，存在唯一实数λ。
使//a b λv v ，则//a b v v2、两向量平行（共线）的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==v v ，其中0b ≠v 则//a b v v 等价于______________________。
【基础训练、锋芒初显】1、已知=-=-v v(,),(,)a b x 131，且//a b v v ，则x=（ ） A ．3 B ．-3 C ．13 D ．13- 2、已知=-=-v v (,),(,)a y b 621且a v 与b v 共线，则x =( ) A ．-6 B ．6 C ．3 D ．-33、已知(2,1),(3,1)A B -与AB u u u v 平行且方向相反的向量a v 的是（ ）A ．1(1,)2a =v B ．(6,3)a =--v C ．(1,2)a =-v D ．(4,8)a =--v 4、已知1(1,3),(8,)2A B ，且A 、B 、C 三点共线，则C 点的坐标是（ ） A ．(9,1)- B ．(9,1)- C ．(9,1) D ．(9,1)-5、已知：3(4,6),(3,)2A B -与AB u u u v 平行的向量的坐标可以是（ ） ①14(,3)3 ②9(7,)2 ③14(,3)3-- ④(7,9) A ．①② B ．①②③ C ．②③④ D ．①②③④6、下列各组向量相互平行的是（ ）A ．(1,2),(3,5)a b =-=v vB ．(1,2),(2,1)a b ==v vC ．(2,1),(3,4)a b =-=v vD ．(2,1),(4,2)a b =-=-v v7、已知A （-1，7）B （1，1）C （2，3）D （6，19）则AB u u u v 与CD uuu v 的关系为（ ） A ．不共线 B ．共线 C ．相交 D ．以上均不对【举一反三、能力拓展】8、判断下列向量a v 与b v 是否共线①(2,3) (3,4)a b ==v v ②8(2,3) (,4)3a b ==v v 9、证明下列各组点共线：（1）7(1,2) (3,4)(2,)2A B C -- （2）1(9,1) Q(1,3)(8,)2P R -10、已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB u u u v 与CD uuu v 是否共线？【名师小结、感悟反思】 1、建立平面向量的坐标，基础是平面向量的基本定理及正交分解，对所给向量应会根据条件X 轴和y 轴进行分解求出其坐标。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示课后习题 新人教A版必修4
2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、A组1.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是()A.a-c与b共线B.b+c与a共线C.a与b-c共线D.a+b与c共线解析:∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).∴b-c=a.∴a与b-c共线.答案:C2.(2016·河南郑州高一期末)平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),若a∥b,则x等于()A.4B.-4C.-1D.2解析:∵平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),且a∥b,∴1·x-(-2)·(-2)=0,解得x=4.故选A.答案:A3.如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反,那么k的值为()A.-3B.0C.-D.-2解析:∵向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且方向相反,∴(k,1)=λ(6,k+1),λ<0.∴k=6λ,1=(k+1)λ,解得k=-3.故选A.答案:A4.已知向量a=(,1),b=(cos α,-sin α),且α∈,若a∥b,则α=()A.B.C.D.解析:由a∥b,得-sin α-cos α=0,∴sin α=-cos α,∴tan α=-.∵α∈,∴α=.答案:D5.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是()A.m≠-2B.m≠C.m≠1D.m≠-1解析:若点A,B,C能构成三角形,则A,B,C三点不共线,即不共线,又=(1,2),=(m,m+1),∴m+1-2m≠0,∴m≠1.答案:C6.已知A(2,3),B(6,-3),P是线段AB上靠近A的一个三等分点,则点P的坐标是.解析:设P(x,y),由题意得,即(x-2,y-3)=(4,-6),解方程组答案:7.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为.解析:设点B的坐标为(x,y),则b==(x-1,y-2).∵a∥b,∴-2(y-2)-3(x-1)=0,即3x+2y-7=0.又点B在坐标轴上,∴当x=0时,y=;当y=0时,x=.∴点B的坐标为.答案:8.(2016·广东揭阳惠来一中检测)已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.若,O为坐标原点,则角α的值是.解析:=(-3,3),=(cos α,sin α).∵,∴-3sin α-3cos α=0,∴tan α=-1.∵α∈,∴α=.答案:9.已知A,B,C,D四点的坐标分别为A(0,-1),B(3,2),C(1,3),D(-1,1),证明四边形ABCD是梯形.证明:∵=(3,3),=(-2,-2),∴=-,∴,AB∥CD.又=(-1,2),=(-2,1),且-1×1-2×(-2)=3≠0,∴不平行,即AD与BC不平行.∴四边形ABCD是梯形.10.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足点P,B,D三点共线,求y的值.解:(1)设B(x1,y1),∵=(4,3),A(-1,-2),∴(x1+1,y1+2)=(4,3),∴∴B(3,1).同理可得D(-4,-3),设BD的中点M(x2,y2),则x2==-,y2==-1.∴M.(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).∵P,B,D三点共线,∴.∴-4+7(1-y)=0.∴y=.二、B组1.已知e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λe1-e2,当a∥b时,实数λ等于()A.-1B.0C.-D.-2解析:∵e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λe1-e2,∴a=2(1,0)+(0,1)=(2,1),b=λ(1,0)-(0,1)=(λ,-1).∵a∥b,∴2×(-1)-1×λ=0,解得λ=-2.故选D.答案:D2.已知a=(-2,1-cos θ),b=,且a∥b,则锐角θ等于()A.45°B.30°C.60°D.30°或60°解析:由a∥b,得-2×=1-cos2θ=sin2θ,∵θ为锐角,∴sin θ=.∴θ=45°.答案:A3.已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线,则实数k等于()A.1B.1或-C.-D.-1或解析:=(1-k,2k-2),=(-k,-1-2k),由已知得,,即(1-k)(-1-2k)-(2k-2)·(-k)=0,解得k=1或-.当k=1时,=(1,2),=(1,2),即A,B两点相同,与已知矛盾.∴k=-.答案:C4.已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有=λ,则λ等于()A.2B.C.-3D.-解析:如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,∴|EC|=.∵=λ,λ<0,∴|λ|==3.∴λ=-3.答案:C5.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线,则k=. 解析:∵a=(,1),b=(0,-1),∴a-2b=(,1)-(0,-2)=(,3).又c=(k,),且a-2b与c共线,∴3k=3.∴k=1.答案:16.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.解析:=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因为A,B,C共线,所以共线,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n, ②解①②组成的方程组得所以m+n=9或.答案:9或7.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,已知两点F1(2,1),F2(-2,1),若点P满足=λ+(1-λ),λ∈R,则点P的轨迹方程是.解析:依题意,设=(x,y),则(x,y)=λ(2,1)+(1-λ)·(-2,1)=(4λ-2,1),所以x=4λ-2,y=1.也就是说点P的轨迹方程为直线y=1.答案:y=18.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a=(1,-2),b=(3,4).(1)求向量3a+4b的坐标;(2)当实数k为何值时,k a-b与3a+4b共线.解:(1)向量a=(1,-2),b=(3,4),向量3a+4b=(3,-6)+(12,16)=(15,10).(2)k a-b=(k-3,-2k-4),3a+4b=(15,10).由k a-b与3a+4b共线,可得10k-30=-30k-60,解得k=-.9.已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),求:(1)3a+b-2c;(2)若a=m b+n c,求实数m,n的值;(3)当k为何实数时,a+k c与2b-a平行,平行时它们是同向还是反向?解:(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6).(2)∵a=m b+n c,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).∴解得(3)a+k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).∵(a+k c)∥(2b-a),∴2(3+4k)-(2+k)(-5)=0.∴k=-.。
高中数学 2.3.4 平面向量共线的坐标表示课时训练 新人
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3.4 平面向量共线的坐标表示课时训练 新人教版必修4一、选择题1．设k ∈R ，下列向量中，与向量a ＝(1，－1)一定不平行的向量是( ) A ．b ＝(k ，k ) B ．c ＝(－k ，－k ) C ．d ＝(k 2＋1，k 2＋1)D ．e ＝(k 2－1，k 2－1)【解析】 由向量共线的判定条件，当k ＝0时，向量b ，c 与a 平行；当k ＝±1时，向量e 与a 平行．对任意k ∈R,1·(k 2＋1)＋1·(k 2＋1)≠0，∴a 与d 不平行． 【答案】 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)【解析】 由a ∥b 得m ＋2×2＝0，∴m ＝－4， ∴b ＝(－2，－4)．∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 【答案】 B3．在▱ABCD 中，已知AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 、BD 相交于O 点，则CO →的坐标是( )A ．(－12，5)B ．(－12，－5)C ．(12，－5)D ．(12，5)【解析】 ∵CO →＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →)＝－12(－2,3)－12(3,7)＝(－12，－5)．【答案】 B4．已知向量a ＝(32，sin α)，b ＝(sin α，16)，若a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°【解析】 ∵a ∥b ，∴sin 2α＝32×16＝14，∴sin α＝±12.∵α为锐角，∴α＝30°.【答案】 A5．与a ＝(12,5)平行的单位向量为( ) A ．(1213，－513)B ．(－1213，－513)C ．(1213，513)或(－1213，－513)D ．(±1213，±513)【解析】 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213，y ＝513，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1213，y ＝－513.【答案】 C 二、填空题6．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(0，－1)，(2,3)，(－1，－3)，则A ，B ，C 三点的位置关系是________．【解析】 AB →＝(2,4)，AC →＝(－1，－2)，∴AB →＝－2AC →. ∴A ，B ，C 三点共线． 【答案】 共线7．(2013·福州高一检测)设向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(6,2)共线，则实数λ＝________.【解析】 λa ＋b ＝λ(1,0)＋(1,1)＝(λ＋1,1)，因为向量λa ＋b 与c ＝(6,2)共线，所以(λ＋1)×2＝6×1，∴λ＝2.【答案】 28．(2013·宿州高一检测)已知：AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)．若A 、C 、D 三点共线，则k ＝________.【解析】 ∵AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)， ∴AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)，又∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →∥CD →.∴10×1－2(k ＋1)＝0， 解得k ＝4. 【答案】 4 三、解答题9．已知向量AB →＝(6,1)，CD →＝(－2，－3)，BC →＝(x ，y ) 且|BC →|＝5，BC →∥DA →，求x ，y 的值．【解】 由题意得DA →＝－A D →＝－(AB →＋BC →＋CD →)＝－[(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)]＝(－x －4，－y ＋2)， BC →＝(x ，y )．又∵BC →∥DA →， ∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0. 化简得x ＋2y ＝0.即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0.① 又∵|BC →|＝5，即x 2＋y 2＝5.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.10．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，试证明四边形ABCD 是梯形．【证明】 ∵AB →＝(3,3)，CD →＝(－2，－2)， ∴AB →＝－32CD →.又∵A 、B 、C 、D 四点不共线，∴AB →∥CD →. 又∵AD →＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)， BC →＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)．且－1×1－2×(－2)≠0，∴AD 与BC 不平行， ∴四边形ABCD 是梯形．11．已知四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．【解】 以A 为坐标原点，AB →为x 轴建立直角坐标系，如图所示，∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)． ∴F (6,4)，E (3,0)， 设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )， AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)． 由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －6y ＝0，6x －3－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3.∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB ＝36－12×3×3－12×3×6＝452.【教师备课资源】1．向量在平面几何问题中应用【典例】 已知ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE .【思路探究】 建立直角坐标系，将几何证明问题转化为坐标运算问题． 【自主解答】 建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便．不妨设正方形ABCD 的边长为1，则B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (x ，y )，这里y >0，于是AC →＝(1,1)，BE →＝(x －1，y )．∵AC →∥BE →，∴1×y －(x －1)×1＝0⇒y ＝x －1.① ∵AC ＝OC ＝CE (已知)，∴CE 2＝OC 2⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.②由y >0，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32，y ＝1＋32，即E (3＋32，1＋32)．AE ＝OE ＝3＋322＋1＋322＝3＋1.设F (t,0)，则FC →＝(1－t,1)，CE →＝(1＋32，－1＋32)．∵F 、C 、E 三点共线，∴FC →∥CE →.∴(1－t )×－1＋32－1＋32×1＝0，解得t ＝－1－ 3.∴AF ＝OF ＝1＋3，∴AF ＝AE .1．解决本题的关键是建立直角坐标系，分别求出点A 、E 、F 的坐标．2．用向量解决平面几何问题，首先要建立坐标系，将平面几何中的证明问题转化为向量的计算问题，计算时要充分利用向量共线、向量相等的条件．如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，求点M 的坐标．【解】 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝(0，54)，∴C (0，54)．∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝(2，32)，∴D (2，32)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)．∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4，74)，∵CM →∥CB →，∴74x －4(y －54)＝0，即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为(127，2)．2．知识拓展 三点共线问题再探究坐标平面内的三点A 、B 、C 共线时，当且仅当存在三个均不为零的实数l ，m ，n 使l ·OA →＋m ·OB →＋n ·OC →＝0，且l ＋m ＋n ＝0；反之亦成立．理由如下： ①一方面：∵l ＋m ＋n ＝0，∴－m l －n l＝1， ∴－m l ＝1＋n l.又∵l ·OA →＋m ·OB →＋n ·OC →＝0， ∴OA →＝－m l OB →－n lOC →＝(1＋n l )OB →－n lOC →＝OB →＋n l (OB →－OC →)＝OB →－n lBC →，∴OA →－OB →＝－n l BC →，∴BA →＝－n lBC →，∴A 、B 、C 三点共线．②另一方面： ∵A 、B 、C 三点共线，∴存在常数λ使BA →＝λBC →(λ≠0且λ≠1)， ∴OA →－OB →＝λ(OC →－OB →)， ∴OA →＋(λ－1)OB →－λOC →＝0.即l ＝1，m ＝λ－1，n ＝－λ，由λ≠0，且λ≠1知，l 、m 、n 均不为零， ∴l ·OA →＋m ·OB →＋n ·OC →＝0，且l ＋m ＋n ＝0.。
高中数学必修四课时作业1：2.3.4 平面向量共线的坐标表示
2.3.4 平面向量共线的坐标表示一、基础过关1．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若AB →和CD →是相反向量，则D 点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(－1,1)[答案] C2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线 [答案] C[解析] ∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴．3．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A ．2 B.12C ．－2D ．－12[答案] A[解析] ∵a ∥b ，∴2cos α×1＝sin α. ∴tan α＝2.故选A.4．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( ) A ．－13 B ．9 C ．－9 D ．13[答案] C[解析] 设C 点坐标(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)． ∵A 、B 、C 三点共线，∴3－8＝y ＋68，∴y ＝－9.5．已知向量a ＝(2x ＋1,4)，b ＝(2－x,3)，若a ∥b ，则实数x 的值等于________． [答案] 12[解析] 由a ∥b 得3(2x ＋1)＝4(2－x )，解得x ＝12.已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3,1)且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________. [答案] 32[解析] 由题意得，点B 的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB →＝(4,6)．又AB →与a ＝(1，λ)共线， 则4λ－6＝0，得λ＝32.7．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.二、能力提升8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1[答案] B[解析] ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )， v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12.故选B.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b与a －2b 共线，则mn 等于( )A ．－12B.12 C ．－2 D ．2[答案] A[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12，选A.10．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. [答案] 2[解析] λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，c ＝(－4，－7)， ∴λ＋2－4＝2λ＋3－7，∴λ＝2. 11．已知两点A (3，－4)，B (－9,2)在直线AB 上，求一点P 使|AP →|＝13|AB →|.解 设点P 的坐标为(x ，y )，①若点P 在线段AB 上，则AP →＝12PB →，∴(x －3，y ＋4)＝12(－9－x,2－y )．解得x ＝－1，y ＝－2，∴P (－1，－2)．②若点P 在线段BA 的延长线上，则AP →＝－14PB →，∴(x －3，y ＋4)＝－14(－9－x,2－y )．解得x ＝7，y ＝－6，∴P (7，－6)．综上可得点P 的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．12.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)、B (6,4)、C (5,0)、D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解 设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )， DB →＝(5,4)，CA →＝(－3,6)，DC →＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)．又∵CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4,4λ)，由于CP →与CA →共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0. 解之得λ＝47，∴DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎫207，167， ∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167. 三、探究与拓展如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．解 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， ∴C (0，54)．∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝⎝⎛⎭⎫2，32，∴D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72. ∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，74， ∵CM →∥CB →，∴74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.。
高中数学第二章平面向量课时作业242.3.4平面向量共线的坐标表示新人教A版必修4
课时作业(二十四) 2.3.4 平面向量共线的坐标表示1．下列向量中，能作为表示它们所在平面所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(12，－34)答案 B2．已知向量a ＝(4，2)，向量b ＝(x ，3)，且a ∥b ，则x 等于( ) A ．9 B ．6 C ．5 D ．3答案 B3．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝( ) A.34 B ．－34C.43 D ．－43答案 A解析 a ∥b ⇒3cos α＝4sin α，∴tan α＝34.4．已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，则b 可能是( ) A ．(4，8) B ．(8，4) C ．(－4，－8) D ．(－4，8)答案 D解析 a ＝(1，－2)＝－14(－4，8)．即b ＝－4a ，∴b 可能是(－4，8)．5．若P 1(1，2)，P(3，2)且P 1P →＝2PP 2→，则P 2的坐标为( ) A. (7，2) B ．(－7，－2) C ．(－4，－2) D ．(4，2)答案 D解析 设P 2(x ，y)，则由P 1P →＝2PP 2→得(2，0)＝2(x －3，y －2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＝2， y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即P 2＝(4，2)． 6．已知A(2，－1)，B(3，1)，若AB →与向量a 平行且方向相反，则a 的坐标可以是( ) A ．(1，12)B ．(2，1)C ．(－1，2)D ．(－4，－8)答案 D解析 AB →＝(3－2，1＋1)＝(1，2)，设a ＝(x ，y)． ∵a ∥AB →且方向相反，∴y ＝2x<0. 令x ＝－4，y ＝－8.7．已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2答案 D解析 依题意得a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6，4x －2)，∵a ＋b 与4b －2a 平行，∴3(4x －2)＝6(x ＋1)，由此解得x ＝2，选D.8．(高考真题²北京卷)已知a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________． 答案 19．已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，x)方向相反，则x ＝________． 答案 －1解析 由题意知a 与b 共线，则x 2＝1，∴x ＝±1， 又∵a 与b 反向，∴x ≠1，∴x ＝－1.10．(高考真题²陕西卷)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m)，c ＝(－1，2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________． 答案 －1解析 由已知a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1，2)，由(a ＋b )∥c 得1³2－(m －1)³(－1)＝m ＋1＝0，所以m ＝－1.11．若点P(x ，1)在A(2，－4)、B(5，11)这两点的连线上，则x ＝________． 答案 312．平面内给出三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，求解下列问题： (1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k.解析 (1)3a ＋b －2c ＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1)＝(0，6)． (2)∵a ＝m b ＋n c ，∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.(3)∵a ＋k c ＝(3，2)＋k(4，1)＝(3＋4k ，2＋k)， 2b －a ＝2(－1，2)－(3，2)＝(－5，2)，又(a ＋k c )∥(2b －a )，∴(3＋4k)²2＝(2＋k)²(－5)．∴k＝－1613.►重点班²选做题13．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝S △PBC S △ABC ，λ2＝S △PCA S △ABC ，λ3＝S △PABS △ABC ，定义f(P)＝(λ1，λ2，λ3)．若G 是△ABC 的重心，f(Q)＝(12，13，16)，则( )A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合答案 A14．设A(x ，1)，B(2x ，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x 为何值时，AB →与CD →共线且方向相同，此时A ，B ，C ，D 能否在同一直线上？解析 AB →＝(x ，1)，CD →＝(4，x)，AB →与CD →共线，则x 2＝4，x ＝±2. 又∵AB →，CD →同向，∴x ＝2.此时BC →＝(－3，2)，AB →与BC →不共线． ∴A 、B 、C 、D 不在同一直线上．15．已知点A(2，0)，B(2，2)，C(1，3)，O 为坐标原点，求AC 与OB 的交点D 的坐标． 解析 由题意知OB →，OD →共线，故存在实数λ，使OD →＝λOB →＝(2λ，2λ)．又AD →＝OD →－OA →＝(2λ－2，2λ)．AC →＝OC →－OA →＝(－1，3)，又∵AC →与AD →共线，∴(2λ－2)³3－2λ³(－1)＝0，解得λ＝34.故点D 的坐标为(32，32)．1．已知a ＝(－2，1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－14)，且a ∥b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．15°答案 A解析 由a ∥b 得－2(－14)－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0即12＝1－cos 2θ＝sin 2θ，即sin θ＝±22， 又∵θ为锐角，∴sin θ＝22，θ＝45°，故选A. 2．已知a ＝(2，－4)，b ＝(1，2)，c ＝(1，－2)，d ＝(－2，－4)，其中的共线向量有( ) A ．a 和b ；c 和d B ．a 和d ；b 和c C ．a 和c ；b 和d D ．以上都正确答案 C3．以下命题错误的是( )A ．若i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，则|i ＋j |＝|i －j |B ．若a ∥b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则必有x 1y 1＝x 2y 2C ．零向量的坐标表示为(0，0)D ．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标 答案 B4．(高考真题²广东卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2答案 B5．已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x ，y)，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________． 答案112解析 ∵AC →＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，BD →＝(x ，y)－(2, 3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，∴x ＋y ＝112.6．设a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，若向量m a ＋b 与向量c ＝(－3，2)共线，则m ＝________． 答案 －587．在直角坐标系xOy 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 是∠AOB 的平分线与AB 的交点，则C 坐标为________．答案 (－12，32)8．已知a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，若λa ＋b 与a ＋λb (λ∈R )平行，求λ的值． 解析 λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)． ∵λa ＋b 与a ＋λb (λ∈R )平行，∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)＝0，即－7λ2＋7＝0，解得λ＝±1. 9．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ的值．解析 (1)设B(x ，y)．∵A(－1，－2)，∴AB →＝(x ＋1，y ＋2)＝(4，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝4，y ＋2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.即B(3，1)．同理可得D(－4，－3)．∴线段BD 的中点M 的坐标为(3－42，1－32)，即M(－12，－1)． (2)∵PB →＝(1，1－y)，BD →＝(－7，－4)， ∴由PB →＝λBD →得(1，1－y)＝λ(－7，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，解得y ＝37，λ＝－17.10．已知a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，n ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . (1)若n ＝3v ，求x ；(2)若n ∥v ，并说明此时两向量方向相同还是相反．解析 ∵a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，∴n ＝a ＋2b ＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3)，v ＝2a －b ＝(2，2)－ (x ，1)＝(2－x ，1)．(1)∵n ＝3v ，∴(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝6－3x ，3＝3，解得x ＝1.(2)∵n ∥v ，∴2x ＋1＝3 (2－x)，∴x ＝1.此时，n ＝(3，3)，v ＝(1，1)，n ＝3v ，∴n 与v 方向相同．11．在△ABC 中，已知点A(3，7)、B(－2，5)．若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上，求点C 的坐标．解析 (1)若AC 的中点在y 轴上，则BC 的中点在x 轴上，设点C 的坐标为(x ，y)，由中点坐标公式，得3＋x 2＝0，y ＋52＝0，∴x ＝－3，y ＝－5，即C 点坐标为(－3，－5)．(2)若AC 的中点在x 轴上，则BC 的中点在y 轴上，则同理可得C 点坐标为(2，－7)． 综合(1)(2)，知C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．12．设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标． 解析 (1)如图，由向量的线性运算可知OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)(2)如图，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1P PP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12，那么OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)，即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1P PP 2＝2，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评 本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式．教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y)， 即 ⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ（x 2－x ），y －y 1＝λ（y 2－y ），⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．13．设a ＝(6，3a)，b ＝(2，x 2－2x)且满足a ∥b 的实数x 存在，求实数a 的取值范围． 解析 由a ∥b 的条件得6(x 2－2x)－3a³2＝0. 即x 2－2x －a ＝0. ①根据题意，方程①有实数解，故有Δ＝4＋4a≥0，即a≥－1.。
高中数学第二章平面向量课时202.3.4平面向量共线的坐标表示作业aa高一数学
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解：由 a＝2b，知λλ＋ 2－2c＝os22αm＝，m＋2sinα，
∴λλ＝ 2－2mm＝－c2o，s2α＋2sinα. 又 cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1 ＝－(sinα－1)2＋2， ∴－2≤cos2α＋2sinα≤2，
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∴(x1，y1)＝－13，23，(x2，y2)＝73，0， ∴E→F＝(x2，y2)－(x1，y1)＝83，－23. ∵4×－23－(－1)×83＝0，∴E→F∥A→B.
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11．已知 a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线； (2)若A→B＝2a＋3b，B→C＝a＋mb 且 A、B、C 三点共线，求 m 的值．
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∴－2≤λ2－m＝(2m－2)2－m≤2，∴14≤m≤2. ∵mλ ＝2mm－2＝2－m2 ，∴－6≤2－m2 ≤1， ∴mλ 的取值范围为[－6,1]．
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内容(nèiróng)总结
课时作业(zuòyè)20 平面向量共线的坐标表示
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3．已知向量 a，b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果
c∥d，那么( D )
A．k＝1 且 c 与 d 同向
B．k＝1 且 c 与 d 反向
C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向
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高中数学2.3.4平面向量共线的坐标表示1课时学案北师大版必修4
《§2.3.4 平面向量共线的坐标表示》学案学习目标：1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
学习重难点：利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。
学习过程【自主学习】1、知识回顾：平面向量共线定理_____________________________________________________.2、思考：如何用坐标表示两个共线向量？【重难点探究】（一）、思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)（ b ≠0） 其中b ≠a由a =λb ，得________________________，即_____________________，消去λ后得:___________________________.这就是说,当且仅当______________________时,向量a 与b共线.（二）、典型例题：例1：已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．例2：已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证：A 、B 、C 三点共线．例3：设点P 是线段P 1P 2的中点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，求点P 的坐标.【归纳总结】1．平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么?2．如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行?【巩固提升】1、课本101页【练习】：5题 【A 组】：5、6题2、下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（ ）A ．==-(0,0),(1,2)a bB ．=-=(1,2),(5,7)a bC ．==(3,5),(6,10)a bD ．=-=-(2,3),(4,6)a b3、已知向量=-=-(2,4) , (1,2)a b ，则a 与b 的关系是（ ）A ．不共线B ．相等C ．同向D ．反向4、已知AB =a +5b ，BC =－2a +8b ，CD =3（a －b ），则（ ）A. A 、B 、D 三点共线B. A 、B 、C 三点共线C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线5、若向量a =(-1，x)与b =(-x ，4)共线且方向相同，则x 为________.6．已知：四点A(5，1)， B(3，4)， C(1，3)， D(5，-3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.【当堂检测】1、已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .2、若a =(2，3)，b =(4，-1+ y )，且a ∥b ，则y =（ ）A. 6B. 5C. 7D. 83、若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 34、已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为5、已知(2,3)a =，(1,2)b =-，若ka b -与a kb -平行，则k 等于（ ）．A. 1B. -1C. 1或-1D. 26、已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，试问向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与直线CD 平行吗？。
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课时作业21 平面向量共线的坐标表示
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．下列向量中，与向量a ＝(－5,4)平行的是( ) A ．(－5k,4k ) B ．(－5k ，－4k
)
C ．(－10,2)
D ．(5k,4k )
解析：因为k a 与a 共线，故本题可通过观察直接选A 项． 答案：A
2．已知点A (－1,1)，点B (2，y )，向量a ＝(1,2)，若AB →
∥a ，则实数y 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7
D ．8
解析：AB →＝(3，y －1)，又AB →
∥a ， 所以(y －1)－2³3＝0，解得y ＝7. 答案：C
3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝( ) A.14 B.12 C ．1
D ．2 解析：由题意可得a ＋λb ＝(1＋λ，2)．
由(a ＋λb )∥c 得(1＋λ)³4－3³2＝0，解得λ＝1
2.
答案：B
4．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )．若p ∥q ，则角C 的大小为( )
A.π6
B.2π3
C.π2
D.π3 解析：∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a )且p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b ²b ＝0，即c 2
＝a 2
＋b 2
， ∴角C 的大小为π
2.故选C.
答案：C
5．若a ＝(x,2)，b ＝(1
2，1)，c ＝a ＋2b ，d ＝2a －b ，且c ∥d ，则c －2d 等于( )
A ．(－5
2，－5)
B ．(5
2，5)
C ．(1,2)
D ．(－1，－2)
解析：c ＝(x ＋1,4)，d ＝(2x －1
2，3)，
∵3(x ＋1)＝4(2x －1
2)，
∴x ＝1.
∴c ＝(2,4)，d ＝(3
2，3)，c －2d ＝(－1，－2)．故选D.
答案：D
6．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝(1＋cos θ，－1
4)，且a ∥b ，则锐角θ等于( )
A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．15° 解析：由a ∥b 得－2(－1
4)－(1－cos θ)(1＋cos θ)＝0，
即12＝1－cos 2θ＝sin 2
θ，即sin θ＝±22， 又∵θ为锐角，∴sin θ＝2
2
，θ＝45°，故选A. 答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析：λa ＋b ＝(λ＋2,2λ＋3)，
∵(λa ＋b )∥c ，∴－7(λ＋2)＝－4(2λ＋3)⇒λ＝2.故填2. 答案：2
8．已知A 、B 、C 三点共线，BA →
＝－38AC →，A 、B 的纵坐标分别为2、5，则点C 的纵坐标
为________．
解析：设点C 的纵坐标为y ，
∵A 、B 、C 三点共线，BA →
＝－38AC →，A 、B 的纵坐标分别为2、5，
∴2－5＝－3
8(y －2)．∴y ＝10.
答案：10
9．平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →
，连
接DC 延长至E ，使|CE →|＝14
|ED →
|，则点E 的坐标为________．
解析：∵AC →＝12BC →
，
∴OC →－OA →＝12(OC →－OB →
)．
∴OC →＝2OA →－OB →
＝(3，－6)． ∴点C 的坐标为(3，－6)．
又∵|CE →|＝14|ED →
|，且E 在DC 的延长线上，
∴CE →
＝－14
ED →.设E (x ，y )，
则(x －3，y ＋6)＝－1
4
(4－x ，－3－y )，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x －3＝－14
4－x ，
y ＋6＝－1
4
－3－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝83
，
y ＝－7，
∴点E 为(8
3，－7)．
答案：(8
3
，－7)
三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)
10．已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，当BC →∥DA →
时，求实数x ，y 应满足的关系．
解：由题意，得 DA →
＝－AD →＝－(AB →＋BC →＋CD →
)
＝－[(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)] ＝(－x －4，－y ＋2)，
BC →
＝(x ，y )．
又∵BC →∥DA →，
∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0.解得x ＋2y ＝0， 即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0. 11．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；
(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →
＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 解：(1)由已知k a －b ＝(k,0)－(2,1)＝(k －2，－1)．
a ＋2
b ＝(1,0)＋(4,2)＝(5,2)．
当k a －b 与a ＋2b 共线时，
2(k －2)－(－1)³5＝0，解得k ＝－1
2
.
(2)由已知可得AB →
＝2a ＋3b ＝(2,0)＋(6,3)＝(8,3)． BC →
＝a ＋m b ＝(1,0)＋(2m ，m )＝(2m ＋1，m )．
∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →
， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，得m ＝3
2.
12.
如图，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA ，OB 分别相交于点M ，N ，若OM →＝xOA →，ON →
＝
yOB →
(0<x <1)．
(1)求y ＝f (x )的解析式； (2)令F (x )＝
1
f x
＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明． 解：(1)OP →＝AB →＝OB →－OA →，NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →
， MP →
＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA →
＝－(1＋x )OA →＋OB →
，
又NM →∥MP →
，有x －y (1＋x )＝0， 即f (x )＝
x
x ＋1
(0<x <1)．
(2)由(1)得F (x )＝
x ＋1
x
＋x ＝x ＋1
x
＋1(0<x <1)，
设0<x 1<x 2<1，
则F (x 1)－F (x 2)＝(x 1＋1x 1＋1)－(x 2＋1
x 2
＋1)
＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1
x 2
)
＝(x 1－x 2)(1－1
x 1x 2
)
＝(x 1－x 2)
x 1x 2－1
x 1x 2
. 由0<x 1<x 2<1，得x 1－x 2<0，x 1x 2－1<0，x 1x 2>0，得F (x 1)－F (x 2)>0， 即F (x 1)>F (x 2)．
所以F (x )在(0,1)上为减函数．。