最新北京市合格性考试数学模拟试题1
(完整word版)高一数学合格考模拟题一
北京市普通高中学业水平考试合格性考试模拟（一）数 学 试 卷考生须知1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．本试卷共6页，分为两个部分，第一部分为选择题，25个小题(共75分)；第二部分为解答题，4个小题（共25分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知集合{0,1,2}A =，{1,2,3}B =，那么A B I 等于A ．{0}B ．{1,2}C ．{0,1}D ．{0,1,3}2．已知向量{1,2}a =-r，{2,}b m =r ，且a b ⊥r r ，那么m 等于A ．4-B ． 1-C ．1D ．43．如果直线1y kx =-与直线2y x =-平行，那么实数k 的值为A ．2-B ．13-C ．13D ．3 4．如图，给出了偶函数()f x 的局部图像，那么(1)f 等于A ．4-B ．2-C ．2D ．45．如果函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）的图像经过点（3，27），那么实数a 等于A ．13 B ．12C ．2D ．3 6．某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人．为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从初中学生中抽取的人数为A ．60B ．90C ．100D ．1107．已知直线l 经过点P (1，1)，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是A ．30x y +-=B ．30x y -+=C ．20x y +-=D ．0x y -=8．如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 中点，那么向量12AB uu ur AD +uuu r 等于A ．AE uu u rB ．AC uuu r C ．DC uuu rD ．BC uu u r9．实数131()log 32-+的值等于A ．1B ．2C ．3D ．410．函数2y x =，3y x =，12l g y o x =，lg y x =中，在区间(0,)+∞上为减函数的是A ．2y x = B ．3y x = C ．12l g y o x = D ．lg y x =11．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.3，那么本次抽奖活动中，中奖的概率为A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.512．如果正ABC ∆的边长为2，那么AB uu u r AC ⋅uuu r等于A ．12-B ．12C ．1D ．2 13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，如果=10a ，45A =︒，30B =︒，那么b 等于A ．522B ．52C ．102D ．202 14．已知圆C ：2220x y y +-=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是A ．12B ．2C ．1D ．215．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，1A A ⊥底面ABCD ，12A A =，2AB =，那么该四棱柱的体积为A ．1B ．2C ．4D ．816．函数3()6f x x =-的零点所在的区间是A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5）17．在sin50︒，sin50-︒，sin 40︒，sin 40-︒四个数中，与sin130︒相等的是A ．sin50︒B ．sin50-︒C ．sin 40︒D ．sin 40-︒ 18．把函数sin y x =的图像向右平移4π个单位得到()y g x =的图像，再把()y g x =图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），所得到图像的解析式为A ．3sin()4y x π=-B ．3sin(+)4y x π=C ．1sin()34y x π=-D ．1sin(+)34y x π=19．函数2,1(),1x x f x x x -≤-⎧=⎨>-⎩的最小值是A ．1-B ．0C ．1D ．220．给定函数：①()2f x x =；②()2x f x =；③2()f x x =；④2()log f x x =．对于()f x定义域中任意的1x ，2x ，满足等式“1212()()()f x x f x f x +=⋅”的函数的序号是 A ．① B ．② C ．③ D ．④21．在区间]4,0[内随机选一个实数x ，该实数恰好在区间]3,1[内的概率是A ．41 B.31 C.21 D. 43 22．已知5sin 13α=，(0,)2πα∈，那么sin()4πα+A ．26-B ．26-C ．26D ．2623．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，如果3a =，b =c =那么ABC ∆的最大内角的余弦值为A ．18B ．14C ．38D ．1224．在直角坐标平面内，与点(0,3)A 距离为2，且与点(4,0)B 距离为3的直线共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条25．建筑工程中，将房屋的窗户面积与地面面积之比称为“窗地面积比”．某办公室的窗户面积为n 平方米，地面面积为m 平方米，窗地面积比为1λ．将窗户面积和地面面积同时减少a 平方米后，窗地面积比为2λ．如果a n m <<，那么 A ．12λλ≤ B ．12λλ≥C ．12<λλD ．12>λλ第二部分 解答题（共25分）26．（本小题满分7分）已知函数()sin(2)6f x A x π=+，(0)2f =．（Ⅰ）A = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）函数()f x 的最小正周期T = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅲ）求函数()f x 的单调递减区间.27．（本小题满分7分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形， F 为对角线AC 与BD 的交点，E 为棱PD 的中点． （Ⅰ）证明：EF // 平面PBC ； （Ⅱ）证明：AC ⊥平面PBD ．28．（本小题满分6分）已知圆C ：222x y r +=（0r >）经过点A (0，2)，与x 轴正半轴交于点B ． （Ⅰ）r = ；（Ⅱ）经点P （4，2）向圆C 引切线，求切线的方程.29．（本小题满分5分）科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I （单位：瓦/平方米）有关. 在实际测量时，常用L （单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I 满足关系式：0lgI L a I =⋅（a 是常数），其中120110I -=⨯瓦/平方米. 如风吹落叶沙沙声的强度11110I -=⨯瓦/平方米，它的强弱等级10L =分贝. （Ⅰ）a = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如下表：那么m = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I 的最大值.答题卡第一部分选择题(共75分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9答案题号10 11 12 13 14 15 16 17 18答案题号19 20 21 22 23 24 25------- 答案第二部分解答题(共25分)26.（Ⅰ）A=；f x的最小正周期T=；（Ⅱ）函数()（Ⅲ）27.（Ⅰ）（Ⅱ）．28.（Ⅰ）r=；（Ⅱ）29. （Ⅰ）a=；（Ⅱ）m=；（Ⅲ）（演算纸）附29题答案科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I （单位：瓦/平方米）有关. 在实际测量时，常用L （单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I 满足关系式：0lgI L a I =⋅（a 是常数），其中120110I -=⨯瓦/平方米. 如风吹落叶沙沙声的强度11110I -=⨯瓦/平方米，它的强弱等级10L =分贝. （Ⅰ）a = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如下表：那么m = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I 的最大值.（Ⅰ）解：a =10. ……………………………………1分 （Ⅱ）解：m =20. ……………………………………3分 （Ⅲ）解：由题意，得 50L ≤.所以 1210lg50110I-⨯⨯≤.解不等式，得 70I -≤1.答：此时声音强度I 的最大值为70-1瓦/平方米. …………………………5分。
北京数学合格考试卷
选择题下列哪个数是无理数？A. 0B. 1/2C. √2D. 3.14如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 10πB. 25πC. 50πD. 125π下列函数在R上是增函数的是？A. y = -xB. y = x^2C. y = |x|D. y = x + 1等差数列{an} 的前n项和为Sn，已知a1 = 1, d = 2，则S5 = ?A. 5B. 10C. 15D. 20若集合A = {x | x^2 - 4 = 0}，B = {2, 3}，则A ∩ B = ?A. {2}B. {3}C. {2, 3}D. ∅已知|x| = 3，则x = ?A. 3B. -3C. ±3D. 无法确定填空题函数y = 2x - 1 的图象与y轴的交点坐标为_______。
若x^2 - 6x + 9 = 0，则x = _______。
在三角形ABC中，若sinA = 1/2，则角A = _______（答案用弧度制表示）。
等比数列{an} 的首项a1 = 2，公比q = 3，则a5 = _______。
已知2^x = 8，则x(log₂ 4) = _______。
直线y = 2x + 3 与直线y = -x + 1 的交点坐标为_______。
简答题解不等式：2x^2 - 5x - 3 < 0。
已知f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x) 的单调区间。
已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，求向量a 和b 的夹角。
在三角形ABC中，已知a = 5, b = 7, c = 8，求角C的余弦值。
已知函数f(x) = ln(x + 1)，求f(x) 在[0, 1] 上的最大值和最小值。
求经过点(1, 2) 和(3, 4) 的直线方程。
2024年北京市学业水平考试数学模拟试题
2024年北京市学业水平考试数学模拟试题一、单选题1．如图为某品牌车型设计图，它的俯视图是哪一张？（ ）A ．B ．C ．D ．2．一个数的倒数就是它的相反数，这样的数有多少个？（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数个 3．下列陈述中错误的数量为（ ）陈述一：正方形的每一条对称轴都过它的对称中心陈述二：正方形的对角线就是它的对称轴陈述三：有且仅有4条直线同时平分正方形的周长和面积陈述四：任意一条过正方形对称中心的直线均将它分为两个全等的图形A ．1B ．2C ．3D ．44．中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M 个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M 个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的3M =，加百列彩票店7M =，比较在甲乙彩票店中奖的概率（ ）A ．彼得彩票店大B ．加百列彩票店大C ．一样大D ．无法比较 5．小明在银行中存入10000元，活期月利率为0.35%．存入足够长的时间后，通过网络银行他获取了每个月的总存款（包含利息）信息，他惊奇的发现总存款（包含利息）中首数字为a 的最多．则a 为多少？（ ）A ．1B ．2C ．5D ．96．我们学习过方差的表述意义，下列指标能刻画数据的离散程度有几个？（ ） 我们记：12n x x x x n+++=LA ．1B ．2C ．3D ．4 7．对于实数x ，我们用[]x 表示不超过x 的最大整数．下列表述错误的是？（ ） A ．[]π14+=B ．函数[]y x x =-的最大值为1，最小值为0C ．函数[]y x x =不存在对称轴D ．随着x 的增大，函数1y x =和函数[]11y x =+越来越接近 8．对于最小的n ，使得任意n 个人中必定存在r 个人均相互认识或存在s 个人互相不相识．我们称(),R r s n =．下列表述错误的是？（ ）A ．()(),,R a b R b a =B ．()2,22R =C ．()3,38R =D ．我不能在考场上计算出()2024,2024R 的值二、填空题9．小明与小李讨论小区、学校和超市的距离．小明：我从家到学校需要5分钟，从家到超市需要7分钟小李：那你从学校到超市需要多少分钟呢？小明：大约是a 分钟吧假设小明行走的速度恒定不变，小明可能推测的a 取值范围为10．光速为300000km /s ，光年指光运动一年的距离，一光年的距离可以用科学记数法表示为10m(110)b a a ⨯<<，通过估算可以得出b 的值为．三、解答题11．如图，ABC V 是等腰三角形，1AB AC AD BC BH AC ==⊥⊥，，．已知BAD α∠=，用两种方法表示ABC V 的面积______【探究】你能否从这里得出sin2α的计算公式呢？四、填空题12．对于若两个不相等的实数,a b 给出命题：如果a b -和ab 都是有理数，则a 和b 都是有理数．这个命题是（真/假）命题．根据你的选择．完成第二空：如果这个命题是真命题，写出你的判断依据如果这个命题是假命题，直接写出一组反例．13．平面中有四个点,,,.A B C D AB 交CD 于点M 使得AM BM CM DM ⨯=⨯．三角形ABC 的外接圆为O e ．表示DOC ∠和DAC ∠的关系14．20世纪伟大的物理学家爱因斯坦思考狭义相对论时提出了一个著名的问题：有一辆火车以速度v 向前行驶，火车中有一束光以速度c 竖直射入地面．此时车内有一个人观测到光射入地面所需时间为t ，在车的左侧有一个人观测到光射入地面所需时间为t '用t 表示t '提示：研究车内和车外的人看到的光的路程．再利用光速不变【探究】时间居然可以变化！你对相对论感兴趣吗？如果有兴趣，不妨阅读有关著作寻找答案．15．对于101条直线()1101i i y k x b i =+≤≤，满足1230k k k ===L ，313260b b b ===L ，则这101条直线最多有个交点．16．A 国是一个思想独裁的国家，它共有m 个异教，因此设立了一个异教徒监狱．监狱内有n 个房间，每个房间关押一位罪犯，每个罪犯属于一个异教．如果相邻房间的犯人的宗教相同，就会发生暴乱．如果异教徒监狱进入了n 个犯人，如果他们的宗教完全等可能随机，采用等可能随机的方式安排罪犯的监狱，发生暴乱的概率为五、解答题1718．在规定的范围内解方程(1)50,x x x -=为实数且36x +为质数(2)()()24cos cos 2cos 454sin ,090A A A A +=︒+︒<<︒提示：()222sin cos 1,cos 212sin A A A A +==+19．利用图形的构造可以有效解决代数问题，对于如下的函数12y x <<可以转化为这样的一个几何图形，其中,x BC y AC EC ==+(1)AB DE +=(2)直接写出y 的最小值，和此时x 的值20．如图为正方形网格，每一个正方形的边长均为1．(1)BAC ∠的邻补角为DAC ∠，写出tan DAC ∠的值，并证明(2)若,A B ∠∠均为小于45度的锐角()A B ∠≤∠，若()t a n 1A B +=，请直接写出两组符合要求的tan A 和tan B21．关于x 的方程11210n n n n a x a x a x a -+++⋯++=，有n 个实数根．某数学小组对根与系数的关系进行探究．当2n =时，这一性质也称作韦达定理(1)请你补全证明过程；(2)当3n =，求121323x x x x x x ++（用系数表示）；(3)直接写出12n x x x ⋯的值（用系数表示）．22．如图，四边形ABCD 为正方形，DE EF FG AB ⊥⊥，．(1)证明：DAE EGF △∽△(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明DAE EGF △≌△23．从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理．你只需要“说明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”．问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大？问题三：,n m 均为正整数，且m n ≤．()()()111321n n n m m m --+-⨯⨯L L 是正整数吗？ 问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的“多”的定义）24．在边长为1的正三角形内放入n 个半径相同、彼此相切的圆，使得它们的半径为r 最大．(1)当1n r ==，(2)当6n =，选择作图工具，作出一种符合情况的图形（保留痕迹）(3)当5050n =，求r 的长度．（可画示意图说明）25．等周问题的研究内容为：在所有周长相等的平面图形中，面积最大的是什么？某数学小组对这一问题展开探究．我们记等周问题的解为图形W第一组探究“W 不可能是凹图形”在凹图形上寻找两点AB ，将图形中“凹陷”的一部分关于AB 作轴对称，会形成一个周长不变，面积增大的凸图形．(1)仿照如上两图，给出一种“凹图形不可能是等周问题的解”的例子第二组在第一组的基础上，探究“W 需要满足任意一条平分其周长的直线均平分它的面积”(2)请你参考第一组同学的思路，证明这一结论（3分，可配图）第三组在第二组的基础上，探究“W 上取任一条既平分其周长又平分其面积的线段AB ，那么W 上任何异于A 和B 的点P 都必须满足APB ∠为直角”(3)第三组完成证明后，一些同学展开了讨论．请选择正确的选项（多选）A ．小赵说：缺少了第一组的证明，后两组依然可以得出上述结论B ．小钱说：在第二组的证明后，W 不可能是正方形C ．小孙说：综合以上的证明，可以初步断定W 是圆D ．小李说：若封闭图形的周长为l ，面积为S ，这个证明可以得到不等式212.56S l <E ．小周说：但是这个证明依然存在漏洞，未证明证明W 存在性，仅证明了若W 存在它一定是圆，还有待进一步分析F ．小吴说：我来为大家讲个故事吧！纪塔娜被允许在一段直线的海岸边，用一段绳子划一片领地．她应划一个圆形使得领土的面积最大．26．已知,,a b c 均为正整数，2y ax bx c =++交x 轴于(),0A m ，(),0B n 两点，其中,m n A B <，至原点的距离均小于1．(1)比较：m 0；n 0(2)求a b c ++的最小值，并给出一组符合要求的,,a b c27．A 和B 为圆O 上两定点，C 为圆O 上不与,A B 重合的动点．ABC V 的垂心为H M ，点为BC 中点，连AM 交OH 于D ．连,BH CH ．（1）直接写出AH 与OM 的位置关系；（2）探究AD 和DM 的数量关系，并证明；（3）直接写出点D 和点H 在运动过程中所经过距离的比；【思考题】以ABC V 为例证明：三角形的内心、外心、重心共线． 28．对于两条不平行的直线AM 和AN ，它们所夹的角之一为α．将点P 先关于AM 作轴对称点P '，再将P '关于AN 作轴对称点Q ．称Q 为P 的A α-对称点 (,T T -e 的半径为1． (1)当两条对称轴分别为y x =和y x =-，直接写出T 的90O -︒对称点坐标(2)直接写出T 的75O -︒对称点横坐标的取值范围(3)A 和B 是2y ax =上两个不同的点，,OA OB AB ⊥交y 轴于.C D 为O 的C OAB -∠对称点．D 的纵坐标取值范围04048D y <<，求a 的值(4)O e 的半径为()2,,0A k 为x 轴除原点外一点，使得O e 上存在点B ，直线AB 交y 轴于点,C T e 上有O 的C OCB -∠对称点直接写出k 的取值范围．。
2023北京高中第二次数学合格考试卷
2023北京高中第二次数学合格考试卷2023年北京高中第二次数学合格考试卷一、选择题（共30题，每题4分，共120分）1. 已知直线l的斜率为k，直线m过点（1，2）且与直线l垂直，则直线m的斜率是（）。
A. 1/kB. -1/kC. kD. -k2. 若a，b，c均为正数，且a＜b＜c，则（）。
A. a²＜b²＜c²B. a²＞b²＜c²C. a²＜b²＞c²D. a²＞b²＞c²3. 设集合A={x | x²+x-6＜0}，则A的解集为（）。
A. {x | -3＜x＜2}B. {x | x＜-3或x＞2}C. {x | x＜-2或x＞3}D. {x | -2＜x＜3}4. 设函数f(x)=x³-2x²+x，g(x)=x-1，则f(x)g(x)=（）。
A. x⁴-3x³+2x²-xB. x⁴-3x²+xC. x⁴-2x²D. x⁴-3x²+x5. 已知向量a＝(1，2)，向量b＝(3，-1)，则向量a-2b=（）。
A. (-5，4)B. (-4，5)C. (-5，-4)D. (-4，-5)6. 若a>0，且a^2-5a+6=0，则a=（）。
A. 2或3B. 2或-3C. 3D. -37. 已知函数f(x)的定义域为R，且对于任意x，f(x)+f(-x)=3，则f(3)=（）。
A. 2B. 3C. -1D. 08. 若集合A={1，2，3，4，5}，集合B={3，4，5，6，7}，则A∩B=（）。
A. {3，4，5}B. {1，2，3，4，5，6，7}C. {3，4，5，6，7}D. {1，2}9. 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，BC=4，则∠B=（）。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10. 设函数f(x)=x³，g(x)=3x，h(x)=x²，若f(g(x))=h(x)，则x=（）。
2022年1月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷A(参考答案)
绝密★考试结束前2022年1月北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷A第一部分 选择题本部分共20小题，每小题3分，共60分. 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.第二部分 非选择题二、填空题共4小题，每小题3分，共12分 21. 2 22.2 23. 外切 24.23 三、解答题共4小题，共28分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程25．（1）21cos 1cos 1()sin sin()sin cos cos sin cos 26266222x x x f x x x x x x πππ-=++=++=-++12x =，所以115()32324f ππ=+==；（2）由（1）可得函数的最小正周期221T ππ==；（3）[0x ∈，]π时sin [0x ∈，1]，所以函数()f x 的值域为1[21]2+．26．证明：（1）因为E ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以//EF PA ，因为PA ⊂/平面BEF ，EF ⊂平面BEF ， 所以//PA 平面BEF ．（2）因为90PAC ∠=︒，所以PA AC ⊥， 又因为//PA EF ，所以EF AC ⊥， 因为AB BC =，E 为AC 的中点， 所以BE AC ⊥， 又BEEF E =，所以：AC ⊥平面BEF ， 因为BF ⊂平面BEF ， 所以：AC BF ⊥．27．（Ⅰ）根据题意，因为圆C 的圆心在y 轴上，则设C 的坐标为(0,)b ， 则圆C 的方程为222()x y b r +-=， 因为圆C 过(0,0)，(0,2)两点， 所以2222,(2).b r b r ⎧=⎨-=⎩解得1,1.b r =⎧⎨=⎩ 所以圆C 的方程是22(1)1x y +-=；（Ⅱ）依题意，知直线l 的斜率存在，又由直线l 经过点(2,2)P ， 所以设直线l 的方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k --+=； 因为直线l 与圆C1=．解得0k =，或43k =； 所以直线l 的方程是2y =或4233y x =-． 28．（1）树叶沙沙声的强度水平为121121010010L lg --==（分贝）；耳语的强度水平为1021210102010L lg --==（分贝）；无线电广播的强度水平为831210104010L lg --==（分贝）；（2）由题意得50L <，即12105010Ilg -<，解得7010I -<<．。
北京市第一次普通高中2022届高三学业水平合格性考试数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 抛物线上A 点到焦点F 的距离为，则点A 的纵坐标为（ ）A ．1B．C．D．2. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（ ）（参考数据：）A ．万年B ．117万年C ．万年D ．205万年3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于点，且是以为底边的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．4.如图，设点在河的两岸，一测量者在的同侧所在的河岸边选定一点．测出两点间的距离为．，则两点间的距离为（ ）m．A．B．C．D．5. 设全集，，则（ ）A．B．C．D．6. 复数满足，为虚数单位，则的共轭复数A ．1B．C ．2D．7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于A．B．C．D．8. 已知正方形的边长为4，点分别是边的中点，沿折叠成一个三棱锥（使重合于点），则三棱锥的外接球的体积为A．B．C．D．9. 故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面为矩形，，底面，且，分别为的中点，与底面所成的角为，过点作，垂足为．则下列选项中正确的有（）A ．平面北京市第一次普通高中2022届高三学业水平合格性考试数学试题(1)北京市第一次普通高中2022届高三学业水平合格性考试数学试题(1)三、填空题四、解答题B ．异面直线与所成角的余弦值为C ．点到平面的距离D．几何体的体积为10. 下列说法正确的是（ ）A ．正切函数是周期函数，最小正周期为πB ．正切函数的图象是不连续的C．直线是正切曲线的渐近线D．把的图象向左、右平行移动个单位，就得到的图象11. 关于平面向量，下列说去不正确的是（ ）A ．若，则B．C ．若，则D．12.若函数是定义域为的单调函数，且对任意的，都有，且方程在区间上有两个不同解，则实数的取值可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．313. 已知a ，b都是锐角，，则=___________.14.在△中，，，，将△绕边所在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为___________.15.正四面体的所有棱长均为12，球是其外接球，分别是与的重心，则球截直线所得的弦长为__________．16. 已知函数，其中为自然对数的底数．(1)若函数在上单调递减，求实数的值；(2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围．17. 如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，，，设AE 与平面ABC 所成的角为，且，四边形DCBE 为平行四边形，DC平面ABC ．(1)求三棱锥C －ABE 的体积；(2)证明：平面ACD平面ADE ；(3)在CD 上是否存在一点M ，使得MO ∥平面ADE？证明你的结论．18. 已知数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求及实数的取值范围.19. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，且．(1)证明：平面；(2)若．求四棱锥的体积．20. 已知是递增的等比数列，前项和为，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）各项均为正数的数列的首项，其前项和为，且______，若数列满足，求的前项和.在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.①；②，；③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21. 从甲、乙两班某次学业水平模拟考试成绩中各随机抽取8位同学的数学成绩．甲班：78，69，86，58，85，97，85，98乙班：66，78，56，86，79，95，89，99规定考试成绩大于或等于60分为合格．(1)求甲班这8位同学数学成绩的极差，并估计甲班本次数学考试的合格率；(2)估计乙班本次考试数学成绩的平均分，并计算乙班这8名同学数学成绩的方差．。
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷含答案
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一）（答案在最后）第一部分（选择题共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2,1,0A =--，{}1,1,2=-B ，则A B =（）A.{}1- B.{}2,2- C.{}2,1,0,2-- D.{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】【分析】由集合并集的定义即可得到答案.【详解】{}1,2,0,1,2A B =-- 故选：D2.函数()()ln 6f x x =+的定义域为（）A.()6,-+∞ B.()6,+∞ C.(),6-∞- D.(),6-∞【答案】A 【解析】【分析】由60x +>即可求解.【详解】由解析式可知，60x +>，及6x >-，所以定义域为()6,-+∞，故选：A3.在复平面内，复数23i z =-对应的点的坐标为（）A.()2,3 B.()2,3- C.()2,3-- D.()2,3-【答案】D 【解析】【分析】复数i z a b =+对应的点为(),a b 即可求解.【详解】因为23i z =-，所以对应的点的坐标为()2,3-，故选：D4.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,ABC D 是BC 的中点，则直线1DC （）A.与直线AC 相交B.与直线AC 平行C.与直线1AA 垂直D.与直线1AA 是异面直线【答案】D 【解析】【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可.【详解】易知三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由图易判断1DC 与AC 异面，AB 错误；因为11AA CC ∥,1DC 与1CC 相交但不垂直，所以1DC 与直线1AA 不垂直，C 错误；由图可判断1DC 与直线1AA 是异面直线，D 正确.故选：D5.如图，四边形ABCD 是正方形，则AC AB -=（）A.ABB.BCC.CDD.DA【答案】B 【解析】【分析】由三角形法则即可求解.【详解】AC AB -= BC.故选：B6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()11f f +-=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()11f f -=-，即()()011f f +-=.故选：B.7.在下列各数中，满足不等式()()120x x -+<的是（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案.【详解】解不等式()()120x x -+<得2<<1x -.故选：B.8.命题“2,10x x ∀∈+≥R ”的否定是（）A.2,10x x ∃∈+≥RB.2,10x x ∀∈+>RC.2,10x x ∃∈+<RD.2,10x x ∀∈+<R 【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】2,10x x ∀∈+≥R 的否定为：2,10x x ∃∈+<R .故选：C 9.22ππcos sin 66-=（）A.12B.33C.22D.2【答案】A【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】因为22πππ1cos sin cos 6632-==，故选：A.10.在下列各数中，与cos10︒相等的是（）A.sin80︒B.cos80︒C.sin170︒D.cos170︒【答案】A 【解析】【分析】由半角和全角诱导公式逐项化简即可；【详解】对于A ，()sin80sin 9010cos10°=°-°=°，故A 正确；对于B ，()cos80cos 9010sin10°=°-°=°，故B 错误；对于C ，()sin170sin 18010sin10︒=︒-︒=︒，故C 错误；对于D ，()0c cos 1810co os170s10°=°-=-°，故D 错误；故选：A.11.在下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.()3xf x = B.()2log f x x = C.()2f x x= D.()13log f xx =【答案】D 【解析】【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得.【详解】对A ：()3xf x =在R 上单调递增，故A 错误；对B ：()2log f x x =在()0,∞+上单调递增，故B 错误；对C ：()2f x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故C 错误；对D ：()13log f x x =在()0,∞+上单调递减，故D 正确.故选：D.12.已知x ∈R ，则“4x >”是1>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】判断两个命题的关系，当p q ⇒时，p 是q 充分条件；当p q ⇒/时，p 是q 不充分条件；当q p ⇒时，p 是q 必要条件；当q p ⇒/时，p 是q 不必要条件.【详解】当4x >21>=>，∴“4x >”是1>”充分条件；1>时，1x >，此时3x =满足要求，而34<，故4x >不一定成立，∴“4x >”是1>”不必要条件.故选：A.13.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，Ox 为始边，终边在y 轴上的角的集合为（）A.{}2π,k k αα=∈Z B.{}π,a k k α=∈Z C.ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z D.π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】C 【解析】【分析】结合角的定义即可得解.【详解】当终边在y 轴非负半轴上时，有π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，当终边在y 轴非正半轴上时，有3π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故终边在y 轴上的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .故选：C.14.在ABC V 中，1,2,60a b C ==∠=︒，则c =（）A.B.C.D.3【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理即可求解.【详解】由22212cos 1421232c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =.故选：A15.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为1x ，标准差为1s ；记这7天乙地每天最低气温的平均数为2x ，标准差为2s .根据上述信息，下列结论中正确的是（）A.1212,x x s s <<B.1212,x x s s <> C.1212,x x s s >< D.1212,x x s s >>【答案】B 【解析】【分析】分析统计图中对应信息得出对应量的结果即可.【详解】甲地1至7日最低气温均低于乙地，则甲地最低气温平均值也会小于乙地，即12x x <；标准差时反应一组数据的波动强弱的量，由图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即12s s >.故选：B16.函数()π2sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A.[]π,0- B.[]π,π- C.[]0,π D.[]0,2π【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式化简()f x ，再结合cos x 的图象性质可得结果.【详解】()π2sin 2cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由cos x 的图象可知()f x 在[]π,0-，[]π,2π上单调递增，[]0,π上单调递减，故A 正确，BCD 均错误.故选：A.17.已知,a b c d >>，则下面不等式一定成立的是（）A.a d b c +>+B.a d b c +<+C.a d b c ->-D.a d b c-<-【答案】C 【解析】【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.【详解】对于ABD:取4,3,2,1a b c d ====，满足,a b c d >>，显然a d b c +>+和a d b c +<+，a dbc -<-都不成立；对于C ：由c d >可得d c ->-，故a d b c ->-成立.故选：C18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.19 B.29C.13D.23【答案】D 【解析】【分析】算出基本事件的总数、随机事件中的基本事件的个数后可求概率.【详解】设A 为“2名学生来自不同年级”，则总的基本事件的个数为24C 6=，A 中基本事件的个数为224⨯=，故()4263P A ==，故选：D.19.在区间[],5a 上，()2x f x =的最大值是其最小值的4倍，则实数a =（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用()2xf x =的单调性，得到3242a =⨯，即可求解.【详解】()2xf x =区间[],5a 上单调递增，又()2af a =，()55232f ==，所以3242a =⨯，即3282a ==，解得3a =，故选：C.20.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为,,A B C ，如图1所示，然后截去以ABC V 为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（）A.108B.162C.180D.189【答案】C 【解析】【分析】正方体的体积减掉8个以ABC V 为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.【详解】设此半正多面体模型的体积为V ，则3311868318032V V V =-=-⨯⨯⨯=正方体正三棱锥.故选：C.第二部分（非选择题共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21.66log 4log 9+=_________．【答案】2【解析】【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果.【详解】66662log 4log log 949log 36⨯+===.故答案为：2.22.已知()22,0,2,0,x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩则()1f -=_________；()f x 的最大值为_________．【答案】①.1②.2【解析】【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解.【详解】由解析式可知：()11f -=，当0x <，易知()2f x <，当0x ≥，()222f x x =-+≤，当0x =时，取最大值2，所以()f x 的最大值为2，故答案为：1，223.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则a =_________；⋅=a b _________.【答案】①.2②.2-【解析】【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影，由图可知结果.【详解】由图可知2a =，cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，其中cos ,b a b 为b 在a上的投影，由图可知投影长度为1，且方向与a相反，故()cos ,212a b a b a b ⋅=⋅=⨯-=-.故答案为：2；2-.24.某公司,,A B C 三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A 部门 4.5567.59111213B 部门 3.54 5.579.510.511C 部门566.578.5从,,A B C 三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论：①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12；②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156；③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①②【解析】【分析】本意通过古典概型即可判断出①②，B 部门员工运动时间存在比C 部门员工运动时间多的，也存在少的，所以无法的结论③，从而得出答案.【详解】①A 部门共有8名员工，运动时间超过8小时的有4名员工，∴由古典概型可得甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12，故①正确；②A 、B 两部门各有员工8和7名，随机各抽取一名员工共有8756⨯=种情况，其中运动时间相同的情况只有1种，∴甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156，故②正确；③当抽取出来的乙运动时间为4小时，抽取出来的丙运动时间为7小时，此时不满足乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长，故③不正确.故答案为：①②三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程．25.已知函数()22f x x x b =-+的部分图象如图所示．（1）求()1f 的值；（2）求函数()()3g x f x =-的零点．【答案】（1）()11f =-（2）1-，3【解析】【分析】（1）根据图象可知()00f =，即可求解函数解析式，再代入求值；（2）根据零点的定义，解方程，即可求解.【小问1详解】因为()()22,00f x x x b f =-+=，所以0b =．所以()22f x x x =-．所以()11f =-．【小问2详解】因为()22f x x x =-，所以()()()()232331g x f x x x x x =-=--=-+．令()0g x =，得121,3x x =-=．所以()g x 的零点为1-，3．26.已知电流i （单位：A ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式为π5sin(100π),[0,)3i t t =+∈+∞．（1）当2t =时，求电流i ；（2）当t m =时，电流i 取得最大值，写出m 的一个值．【答案】（1）A 2；（2）1600（答案不唯一，1,N 60050k m k =+∈）.【解析】【分析】（1）把2t =代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得.（2）利用正弦函数的性质求出m 的表达式即可得解.【小问1详解】函数π5sin(100π[0,)3i t t =+∈+∞，当2t =时，ππ5sin(200π)5sin A 332i =+==.【小问2详解】当t m =时，电流i 取得最大值，则ππ100π2π,N 32m k k +=+∈，解得1,N 60050k m k =+∈，所以m 的一个值为1600.27.如图，在三棱锥P ABC -中，,,,AC BC AB PA D E =⊥分别是,AB PB 的中点.（1）求证：//PA 平面CDE ；（2）求证：AB CE ^.请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程.证明：（2）因为,AC BC D =是AB 的中点，所以①_________.因为AB PA ⊥，由（1）知，//PA DE ，所以②_________所以③_________.所以AB CE ^.在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）.空格序号选项①（A ）AB CD ⊥（B ）AB CD =②（A ）AB DE ⊥（B ）//PA 平面CDE ③（A ）AB ⊥平面PBC （B ）AB ⊥平面CDE【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由中位线得到线线平行，然后得到线面平行，即得证；（2）等腰三角形三线合一得到线线垂直，由（1）的结论和条件得到另一组垂线，从的证明面面垂直.【小问1详解】在PAB 中，因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，所以//PA DE ，因为PA ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//PA 平面CDE .【小问2详解】①A ，②A ，③B.28.已知()f x 是定义在R 上的函数．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-，则称()f x 缓慢递增．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212110f x f x x x --<<-，则称()f x 缓慢递减．（1）已知函数()f x kx b =+缓慢递增，写出一组,k b 的值；（2）若()f x 缓慢递增且()12f =，直接写出()2024f 的取值范围；（3）设()()g x f x x =-，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由．条件①：()f x 缓慢递增；条件②：()f x 单调递增．结论①：()g x 缓慢递减；结论②：()g x 单调递减．【答案】（1）1,02k b ==（2）()2,2025（3）条件①和结论①为真命题，条件①和结论②为真命题，答案见解析【解析】【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得01,k b <<为任意值，即可求解；（2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得()2024f 的取值范围；（3）先确定条件条件①：()f x 缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 缓慢递减，根据条件条件①：()f x 缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 单调递减.若()f x 单调递增不妨设()3f x x =，代入()()212120f x f x x x -=>-，可得两结论都不满足.【小问1详解】已知()f x kx b =+是定义在R 上的缓慢递增，如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()2121212101f x f x kx b kx b x x x x ---+<=<--，则可得01,k b <<为任意值，所以可得1,02k b ==；【小问2详解】若()f x 缓慢递增且()12f =，根据定义可得()()120241020241f f -<-<，将已知代入化简可得()520242202f <<，所以()2024f 的取值范围为()2,2025【小问3详解】若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 缓慢递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121311g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()212110g x g x x x --<<-．所以()g x 在R 上缓慢递减．若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 单调递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121211g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()21210g x g x x x -<-．所以()g x 在R 上单调递减．而条件②：()f x 为单调递增函数，不妨设()3f x x =，则()()2g x f x x x =-=，根据题意代入()()212121212221g x g x x x x x x x --==>--，不满足新的定义，所以()f x 为单调递增函数不能推出()g x 缓慢递减；也不能推出()g x 单调递减.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.。
2023北京高中合格考数学(第一次)(教师版)
2023北京高中合格考数学（第一次）第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，则UA =（ ）A ．{}1,3B ．{}2,3C ．{}1,4D ．{}3,42．不等式20x >的解集是（ ）A ．{}0x x =B ．{}0x x ≠C ．{}0x x >D ．{}0x x <3．函数()1f x x =−的零点是（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．24．在平面直角坐标系xOy 中，角α以O 为顶点，以Ox 为始边，终边经过点()1,1−，则角α可以是（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π 5．已知三棱柱111ABC A B C −的体积为12，则三棱锥111A A B C −的体积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．86．已知1sin 2α=，则()sin α−=（ ）A ．12−B ．12C ．2−D ．27．lg100=（ ）A ．－100B ．100C ．－2D ．28．如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列向量中，与OA 相等的是（ ）A ．DOB ．EOC ．FOD ．CO9．下列函数中，在R 上为增函数的是（ ） A ．()f x x =−B ．()2f x x =C ．()2xf x =D ．()cos f x x =10．已知向量()2,1a =，(),2b m =．若a b ∥，则实数m =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．611．已知a ，b ∈R ，且2a b +=．当ab 取最大值时，（ ） A ．0a =，2b = B ．2a =，0b =C ．1a =，1b =D ．1a =−，3b =12．将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则()f x =（ ）A ．()2log 1x +B ．21log x +C ．()2log 1x −D ．21log x −+13．四棱锥P ABCD −如图所示，则直线PC （ ）A ．与直线AD 平行B ．与直线AD 相交C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线 14．在ABC △中，1a =，1b =，c =C ∠=（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°15．已知a ，b ∈R ，则“0a b ==”是“0a b +=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则a b −=（ ）A ．2BC．D ．317．已知函数()f x =()y f x =的图象经过原点，则()f x 的定义域为（ ）A ．[)0,+∞B ．[,0−∞C ．[)1,+∞D ．[),1−∞18．某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．11619．已知函数()21,022,0xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪−>⎩，则()f x 的最小值是（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－120．某校学生的体育与健康学科学年成绩s 由三项分数构成，分别是体育与健康知识测试分数a ，体质健康测试分数b 和课堂表现分数c ，计算方式为20%40%40%s a b c =⨯+⨯+⨯．学年成绩s 不低于85时为优秀，若该校4名学生的三项分数如下：a bc 甲 8585 90 乙 90 85 80 丙 85 80 85 丁858090则体育与健康学科学年成绩为优秀的学生是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．丙和丁D ．甲和丁第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分。
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2018北京市合格性考练习题（一）数 学第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1. 设全集I {0,1,2,3}=，集合{0,1,2}M =，{0,2,3}N =，则I M N =I ð （ ）.A {1} .B {2,3} .C {0,1,2} .D ∅2. 函数5cos(2)6y x π=-的最小正周期是 （ ） .A 2π .B π .C 2π .D 4π3. 下列四个函数中，在区间(0,)+∞上是减函数的是 （ ）.A 3log y x = .B 3xy = .C 12y x =.D 1y x=4. 若54sin =α，且α为锐角，则sin2α的值等于 （ ） .A 1225 .B 1225- .C 2425.D 2425- 5. 不等式2x x >的解集是 （ ）.A (0)-∞，.B (01)， .C (1)+∞， .D (,0)(1,)-∞+∞6. 在ABC ∆中，2a =,2b =,4A π∠=,则B ∠= （ ） .A 3π .B 6π .C 6π或56π .D 3π或23π7. 如果函数2x y c =+的图象经过点(2,5)，则c = （ ） .A 1 .B 0 .C 1- .D 2-8. 已知过点(2,)A m -，(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 （ ）.A 0 .B 2 .C 8- .D 109. 已知二次函数2()(2)1f x x =-+，那么 （ ）.A (2)(3)(0)f f f << .B (0)(2)(3)f f f <<.C (0)(3)(2)f f f <<.D (2)(0)(3)f f f <<10.实数5lg 24lg )21(0++-的值为 （ ）.A 1 .B 2 .C 3 .D 411.已知向量(3,1)=a ,(2,5)=-b ，则32-=a b （ ）.A (2,7) .B (13,13) .C (2,7)- .D (13,7)-12.若函数()35191x x f x x x +⎧=⎨-+>⎩…，则()f x 的最大值为 （ ） .A 6 .B 7 .C 8 .D 913.直线a ,b 是不同的直线，平面α,β是不同的平面，下列命题正确的是 （ ）.A 直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a ∥直线b.B 直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则直线a ∥直线b.C 直线a ∥直线b ,直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β,则平面αβ∥ .D 直线a ∥直线b ,直线a ⊄平面α，直线b ⊂平面α,则直线a ∥平面α14．过点(0,1)并且与直线23y x =-+垂直的直线方程是 （ ）.A 210x y --= .B 220x y -+= .C 210x y -+= .D 220x y --=15. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青 年职工为7人，则样本容量为 （ ）.A 35 .B 25 .C 15 .D 716. 从1,2,3,4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是 （ ）.A 12 .B 13.C 14 .D 16 17. 已知(1,0)A ，(3,4)B ，M 是线段AB 的中点，那么向量AM uuu r的坐标是 （ ）.A (1,2) .B (1,2)-- .C (2,1) .D (2,1)--18. 在ABC ∆中，222a b c bc =++，则角A 为 （ ）.A 30 .B 45 .C 120 .D 15019. 如图,一个空间几何体的正视图(或称主视图)与侧视图 （或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半 径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 ( ).A π .B 3π.C 2π .D 3π+20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是 （ ）.A 22 .B 4 .C 8 .D 16俯视图侧（左）视图正（主）视图21. 如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥,3BC BD =uu u r uu u r ,1AD =uuu r,则AC AD ⋅=uuu r uuu r( ).A 1 .B 3 .C 2 .D 022．一天，某人要去公安局办理护照，已知公安局的工作时间为9：00至17：00，设此人在当天13：00至18：00之间任何时间去公安局的可能性相同，那么此人去公安 局恰好能办理护照的概率是 （ ）.A 13.B 34.C 58.D 4523. 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，当*n ∈N 时，*()f n ∈N ．若 [()]3f f n n =，其中*n ∈N ，则(1)f = （ ）.A 4 .B 3 .C 2 .D 124. 某同学为研究函数22()11(1)f x x x =+++- （01x 剟）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的 正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点， 设CP x =，则()AP PF f x +=. 则参考上述信息，得 到函数()4()9g x f x =-的零点的个数是 （ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 325. 某航空公司经营A 、B 、C 、D 这四个城市之间的客运业务. 它的部分机票价格如下： A —B 为2000元；A —C 为1600元；A —D 为2500元；B —C 为1200元；C —D 为900元. 若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B —D 的机票价格为 ( ) （注：计算时视A 、B 、C 、D 四城市位于同一平面内）.A 1000元 .B 1200元 .C 1400元 .D 1500元第二部分 解答题 （共25分）26. （本小题满分6分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 为底面ABCD 的对角线，E 为D D 1的中点.（Ⅰ）求证：1D B AC ⊥； （Ⅱ）求证：1D B AEC 平面∥.FD C B A EPEC 1D 1B 1C DA 1CB D A27．（本小题满分6分）已知函数()sin f x x =，x ∈R ，点(1,3)P -是角α终边上一点，[0,2]α∈π （Ⅰ）求()f α的值；（Ⅱ）设()()()g x f x f x α=++，求)(x g 在[0,]2π上的最大值和最小值. 28. （本小题满分6分）已知点(2,0)P 及圆C ：226440x y x y +-++=. （Ⅰ）求圆心C 的坐标及半径r 的大小；（Ⅱ）设过点P 的直线1l 与圆C 交于M ．N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；（Ⅲ）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．29. （本小题满分7分）某地今年上半年空气污染较为严重，该地环保监测机构对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数()f x 与时刻x （时）的函数关系为：25()log (1)21f x x a a =+-++，[0,24]x ∈.其中a 为空气治理调节参数，且(0,1)a ∈.（Ⅰ）若12a =，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； （Ⅱ）规定每天中()f x 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？数学试题答案26.证明：（Ⅰ）连接BD 交AC 于O ,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中底面ABCD 是正方形. 所以 AC BD ⊥.又因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱，所以1DD ⊥底面ABCD .又AC ⊂底面ABCD ， 所以1DD AC ⊥. 因为AC BD ⊥，1BDDD D =，1,BD DD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD . 又因为1BD ⊂平面1BDD ，所以1AC BD ⊥. …………………3分 （Ⅱ）因为底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 中点. 又因为E 为1DD 中点， 所以EO 为1BDD ∆的中位线. 所以1EO BD ∥.又EO ⊂平面EAC ，1BD ⊄平面EAC ，所以1//D B 平面AEC . …………………6分 27. 解：（Ⅰ）因为点(1,3)P -是角α终边上一点，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C D B A C A C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D C D B C DACBC题号 21 22 23 24 25 答案BDCCDOEC 1D 1B 1C ABD A 1所以22(1)(3)2r =-+=， 所以3sin 2y r α==，所以3()sin 2f αα==. …………………2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知3sin 2α=,1cos 2α=-,[0,2]α∈π. 所以23απ=. 所以()()()g x f x f x α=++2sin()sin 3x x π=++ 13sin cos sin 22x x x =-++13sin cos 22x x =+s i n ()3x π=+ 因为[0,]2x π∈, 所以336x ππ5π+剟. 所以，当32x ππ+=，即6x π=时，()g x 的最大值为1；当36x π5π+=，即2x π=时，()g x 的最小值为12. …………………6分28.解：（Ⅰ）因为226440x y x y +-++=，所以22(3)(2)9x y -++=，所以圆C 的圆心坐标为(3,2)-,半径为3. …………………2分 （Ⅱ）设圆心C 到直线1l 的距离为d .由圆C 圆心是(3,2)-，半径为3，及垂径定理得2294d -=，解得5d =.注意到圆心(3,2)-到点(2,0)P 的距离为5，所以P 为MN 中点. 所以，以MN 为直径的圆Q ，即为以(2,0)P 为圆心半径为2的圆.所以圆Q 的方程为22(2)4x y -+=. …………………4分 （Ⅲ）若过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则直线2l 必过圆心(3,2)-，所以220232l k --==--，所以直线10ax y -+=的斜率为12，所以12a =.所以直线10ax y -+=方程为1102x y -+=,即220x y -+=.计算圆心(3,2)-到直线220x y -+=的距离134235d ++=>，所以，不存在实数a 使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB . ……………6分29.解：（Ⅰ）当12a =时，则251()log (1)222f x x =+-+…，当该地的空气污染指数最低时，即()2f x =时，251log (1)02x +-=. 所以121255x +==，解得4x =.所以一天中，4点时该地区的空气污染指数最低. …………………2分 （Ⅱ）设25log (1)t x =+,()21g t t a a =-++，[0,1]t ∈，则当024x 剟时，01t 剟，即310,()11,t a t a g t t a a t -++⎧=⎨++<⎩剟…显然()g t 在[0,]a 上是减函数，在(,1]a 上是增函数， 则max ()max{(0),(1)}f x g g =. 因为(0)31g a =+，(1)2g a =+，若(0)(1)21g g a -=-，解得12a >， 若(1)(0)210g g a -=-+…，解得12a ….所以max 120,2()1311,2a a f x a a ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩… 又因为要使该地区每天的空气污染指数不超过3，即()3f x ….② 当102a <…时，5222a <+…，符合要求； ② 当112a <<时，由313a +≤,得23a …，故1223a <….综上所述，调节参数a 应控制在2(0,]3内. …………………7分。