2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷(附解析)

2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.第一部分 选择题（每小题分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{}123A =，，，{}345B =，，，那么集合A B 等于A. ∅B ．{}3C ．{}1,2,4,5D ．{}1,2,3,4,52. 函数()1f x x =-的定义域是 A. (,1]-∞B. [0,)+∞C. [1,)+∞D. R3. 如果指数函数()x f x a =(0a >，且1a ≠)的图象经过点(2,4)，那么a 的值是 A.2 B ．2C ．3D ．44. 将函数sin y x =的图象向右平移π3个单位，所得图象对应的函数表达式是 A ．πsin()3y x =-B. πsin()3y x =+C. πcos()3y x =-D. πcos()3y x =+5. 在平行四边形ABCD 中，AB AD +等于A ．ACB ．BDC ．BCD ．CD6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P ，那么sin α的值是A ．35B ．34C ．45D ．437. 已知向量1(1,)2=-a ，(2,)m =b ，且ab ，那么实数m 的值是A ．1-B ．12-C ．12D ．113V Sh =S h 38. 已知直线11:2l y x =，2:2l y ax =+，且12l l ⊥，那么实数a 的值是 A.2-B. 12-C.12D. 29. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，BC ，CD ，1CC 所在的直线中，与直 线1BC 成异面直线的是A. 直线ABB. 直线BCC. 直线CDD. 直线1CC10. 计算12216log 4+的结果是A. 6B. 7C. 8D. 1011. 在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》、《我爱你，中国》、《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查. 该校共有高中学生900人，其中高一年级学生330人，高二年级学生300人，高三年级学生270人. 现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为90的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为A ．30B ．31C ．32D ．3312. 计算5πtan4的结果是 A.1-B. 22-C.22D. 113. 某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是A.14B.13C.12D.3414. 计算cos69cos24sin69sin24︒︒+︒︒的结果是A.12B.22C.32D. 115. 经过点(1,0)，且斜率为2的直线的方程是A. 220x y -+=B. 220x y --=C. 210x y -+=D. 210x y --=16. 已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，a 与b 夹角为30︒，那么⋅a b 等于A.1-B.2C. 3D.217. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，12A A AB AC ===，那么三棱锥1A ABC -的体积是A. 43B.83C.4D. 818. 已知ABC △中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，2AC =，那么BC 等于 A. 1B.3 C.2D.419. 函数2()log 2f x x =-的零点的个数是A. 0B. 1C.2D. 320. 已知两条直线m ，n 和平面α，那么下列命题中正确的是A. 若m α⊥，n α⊥，则m nB ．若m α，n α，则m nC ．若m n ⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若mn ，n α，则m α⊥21. 如图，给出了偶函数()f x 的部分图象，那么(2)f 等于A. 3-B.1-C. 1D. 322. 圆221x y +=的圆心到直线20x y -+=的距离是A.22B.2C.2 D. 2223. 已知直线l 经过(1,0)-，(0,3)两点，那么直线l 的倾斜角的大小是A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒24. 圆22(1)1x y +-=与圆22(1)1x y -+=的公共点的个数是A. 0B. 1C.2D. 325. 已知函数,0,()1,0.x x f x x x⎧⎪=⎨<⎪⎩≥ 如果()2f m =-，那么实数m 的值是A. 8-B.2-C. 12-D. 126. 如果函数2()2f x x ax =-在区间[0,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是A. (,0]-∞B. (1,0]-C. (0,1]D. [0,)+∞27. 2007年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃煤、工业、扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施. 2008年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效果. 2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《2013-2017年清洁空气行动计划》，治理成效显著.上图是2000年至2018年可吸入颗粒物、细颗粒物、二氧化氮、二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是A. 2013年到2018年，空气中可吸入颗粒物的年日均值逐年下降B. 2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降C. 2000年到2018年，空气中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米D. 2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年第二部分 解答题(共19分)28．（本小题满分5分）某同学解答一道三角函数题：“已知函数()3sin cos f x x x =+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]6π-π上的最大值．”该同学解答过程如下：解答：（Ⅰ）因为 ()3sin cos f x x x =+，所以 31()2(sin cos )22f x x x =+ 2(sin cos cos sin )66x x ππ=+ π2sin()6x =+．所以 221T π==π． 所以 函数()f x 的最小正周期是2π．（Ⅱ）因为 6x π-π≤≤，所以 7066x π+≤≤π． 所以 当62x ππ+=时，函数πsin()6y x =+的最大值是1．所以 当3x π=时，函数()f x 的最大值是2． 写出该同学在解答过程中用到了下表中的哪些数学知识．(写出5个即可) 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义弧度制的概念 2ααπ±π±，的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数sin cos tan y x y x y x ===，，的图象 三角函数的周期性正弦函数、余弦函数在区间[02]π，上的性质同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间()22ππ-，上的性质两角差的余弦公式 函数sin()y A x+ωϕ=的实际意义 两角差的正弦、正切公式 两角和的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式参数A ，ω，φ对函数sin()y A x+ωϕ=图象变化的影响阅读下面题目及其证明过程，并回答问题.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，E ，F 分别是棱BC ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF平面PAB ；（Ⅱ）求证：EF BC ⊥．解答：（Ⅰ）证明：在PBC △中，因为E ，F 分别是BC ，PC 的中点，所以 EFPB ．因为 EF ⊄平面PAB ,PB ⊂平面PAB , 所以 EF平面PAB ．（Ⅱ）证明：在三棱锥P ABC -中，因为PA ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以 ___．因为 AB BC ⊥，且PA AB A =，所以 ___． 因为PB ⊂平面PAB ，所以 ___． 由（Ⅰ）知EFPB ，所以 EF BC ⊥．问题1：在（Ⅰ）的证明过程中，证明的思路是先证___，再证___．问题2：在（Ⅱ）的证明过程中，设置了三个空格. 请从下面给出的四个选项中,为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.①PA BC ⊥； ②PA AC ⊥； ③BC ⊥平面PAB ； ④BC PB ⊥．已知圆C 的圆心坐标为(2,0)，且与y 轴相切，直线:4l y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，求||MN .某同学的解答过程如下：解答：因为 圆C 的圆心坐标为(2,0)，且与y 轴相切，所以 圆C 的半径是2.所以 圆C 的方程是22(2)4x y -+=.因为 直线:4l y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，联立方程组 22(2)4,4,x y y x ⎧-+=⎨=-+⎩ 解得 111,3,x y =⎧⎨=⎩ 或 225,1.x y =⎧⎨=-⎩ 不妨设 (1,3)M ，(5,1)N -，所以 22||(51)(13)42MN =-+--=.（Ⅰ）指出上述解答过程中的错误之处； （Ⅱ）写出正确的解答过程.31. （本小题满分4分）2019年1月11日下午，探月工程传来捷报，嫦娥四号任务取得圆满成功，在人类历史上首次实现了航天器在月球背面软着陆和巡视勘察，首次实现了月球背面与地球的测控通信，在月球背面留下了人类探月的第一行足迹，开启了人类探索宇宙奥秘的新篇章. 某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣. 通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V （单位: 千米/秒）满足lnm MV W M+=，其中W （单位: 千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，m （单位：吨）表示它装载的燃料质量，M （单位：吨）表示它自身的质量（不包括燃料质量）.（Ⅰ）某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒. 当它装载100吨燃料时，求该单级火箭的最大速度；（精确到0.1）（Ⅱ）根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9. 如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由. （参考数据e 2.71828=⋅⋅⋅，ln3 1.10≈）。