2021届湘豫名校高三联考理数
河南省湘豫名校联盟2021-2022学年高三上学期11月联考理科数学试题(wd无答案)
河南省湘豫名校联盟2021-2022学年高三上学期11月联考理科数学试题一、单选题1. 复数满足，则复数是A．B．C．D．2. 已知集合，，则（）A．B．C．D．3. “”是“函数为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4. 已知.则（）A．B．C．D．5. 某校为了解学生体能素质，随机抽取了名学生，进行体能测试.并将这名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图.下列结论中不正确的是（）A．这名学生中成绩在内的人数占比为B．这名学生中成绩在内的人数有人C．这名学生成绩的中位数为D．这名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）6. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）A．B．C．D．7. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：①若.则；②若，则；③若.则；④若，则.其中真命题的有（）个A．个B．个C．个D．个8. 已知在中，内角的对边分别是，若､且，则的面积为（）A．B．C．D．9. 如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线交双曲线的右支于两点.若.且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10. 已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．11. 在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形､若二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积大小为（）A．B．C．D．12. 已知函数的图象关于中心对称﹐现将曲线的纵坐标不变横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位.得到曲线.则关于函数给出下列结论：①若.且，则；②存在.使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；③若在上恰有个零点﹐则的取值范围为④若在上单调递增，则的取值范围为其中.所有正确结论的编号是（）A．①②B．②③C．①③D．②④二、填空题13. 已知抛物线的焦点为.点在上，则___________ .14. 若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为___________ .15. 已知在中. ，平面内有动点满足，则数量积的最大值是 ___________ .16. 若关于的不等式对于任意恒成立.则实数的取值范围是 ___________ .三、解答题17. 已知数列的前项和为.若，且(1)求；(2)设，记数列的前项和为.证明：.18. 某中学共有名教职工.其中男教师名､女教师名.为配合“双减政策”该校在新学年推行“”课后服务.为缓解教师压力，在202 1年9月10日教师节大会上该校就是否实行“弹性上下班”进行了调查.另外，为鼓舞广大教职工的工作热情，该校评出了十位先进教师进行表彰﹑并从他们中间选出三名教师作为教师代表在教师节大会上发言.(1)调查结果显示：有的男教师和的女教师支持实行“弹性上下班”制，请完成下列列联表﹒并判断是否有的把握认为支持实行“弹性上下班”制与教师的性别相关？支持实行“弹性上下班”制不支持实行“弹性上下班”制合计男教师女教师合计(2)已知十位先进教师足按“分层抽样”的模式评选的，用表示三位发言教师的女教师人数，求随机变量的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据：19. 如图，在四棱锥 中，侧面为等边三角形，底面为等腰梯形，且(1)证明：平面 平面 ；(2)若点 在棱 上，且二面角的大小为 ，求 的值.20. 已知椭圆的离心率，其左右焦为为椭圆 上任意一点， 点到原点 的距离的最小值为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设直线与椭圆 交于两点，且，是否存在这样的直线 同时又与圆 相切？如果存在﹐直线 有几条？如果不存在，请说明理由. 21. 已知函数 .其中且 .(1)当时，证明：当时，：(2)若函数 有两个极值点.求实数 的取值范围.22. 在平面直角坐标系中， 的参数方程为（ 为参数.）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.的极坐标方程为.(1)求 的直角坐标方程，并指出其图形的形状； (2)若曲线 与有且仅有一个公共点，求参数方程 中的 的正切值.23. 已知函数.(1)求函数的最小值；(2)记函数的最小值为，若实数，，满足.证明.。
湘豫名校2021-2022学年高三下学期4月联考数学(理科)试题
湘豫名校联考（2022年4月）数学（理科）试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1．已知集合[)2,4A =，[]3,5B =，则()RA B ⋂=（ ）A ．(]4,5B ．[]4,5C ．()[),23,-∞⋃+∞D ．(][),23,-∞⋃+∞2．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ） A ．2B ．3C ．23D ．323．若数列32n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，11a =，553a =-，则2a =（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．24．已知函数()sin 2cos2f x x a x =+在4x π=处取得极值，则函数()sin 2cos21g x a x x =-+的图象（ ）A ．关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线4x π=对称D ．关于直线2x π=对称5．已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）A ．ln y x x =B ．1ln y x x=C ．1ln x x x y e⎛⎫+- ⎪⎝⎭=D ．1ln x x x y e⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=6．已知O 是坐标原点．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过双曲线C 的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C 的一条渐近线交于A 点，若以F 为圆心的圆经过点A ，O ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A 30x y ±=B ．30x ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=7．若()()sin1013tan10sin 10α︒=-︒⋅︒-，则()sin 270α+︒=（ ） A ．18B ．18-C ．78D ．78-8．已知3log 10a =，lg 27b =，3c =．则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<9．在()532351x x -+的展开式中，除5x 项之外，剩下所有项的系数之和为（ ） A ．299B ．301-C ．300D ．302-10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱台的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．8B ．11C ．12D ．1311．为了防控疫情，某市进行核酸检测，经统计，该市在某一周内核酸检测的人数（单位：万人）如下图所示：记()1,2,3,4,5i s i =表示从第i 天开始，连续3天核酸检测人数数据的标准差，则1s ，2s ，3s ，4s ，5s 的大小关系是（ ） A ．23514s s s s s ==<< B ．12354s s s s s <==< C ．42351s s s s s <==<D ．14235s s s s s <<==12．若0x >，不等式()13222ln 22x xe a x x a x --+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．[)1,+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题共90分）二，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量()1,3a =-，()2,b x x =-，其中x ∈R ，则a b -的最小值为______． 14．已知数列{}n a 满足121213332n n n n n a a a a ---++++=，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为______．15．在△ABC 中．BC=7．13AB AC +=，点A 在以B ，C 为焦点的椭圆1M 上．同时点A 在以B ，C 为焦点的双曲线2M 上，若1M ，2M 的离心率分别为1e ，2e ，且12316e e +=，则角A =______． l6．阿基米德多面体（Archimedean polyhedra ）是由两种或三种正多边形面组成的半正多面体．它共有13种，其特点是棱长相等．如图1，顺次连接棱长为2的正方体各棱的中点，得到一个阿基米德多面体，如图2，在此阿基米德多面体的所有棱中任取两条，则两条棱垂直的概率为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小題满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB=90°，12BB BC =，1AA ⊥平面ABC ，AC=BC ，E 为AB 的中点，D 为11A B 上一点．（1）求证：AD ⊥CE ；（2）当D 为11A B 的中点时，求二面角1C AD B --的余弦值． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22a c b += （1）求cos B 的最小值；（2）若()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =-+-，求角C ． 19．（本小题满分12分）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，动点P 满足△P AB 的垂心为原点O ．当直线l 的倾斜角为30°时，16AB =．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）求证：点P 在定直线上． 20．（本小题满分12分）某地质量检测部门从一企业的产品中随机抽取100件产品，测量这批产品的某项技术指标值，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计这100件产品的技术指标值的中位数；（2）根据大量的测试数据，可以认为这批产品的技术指标值X 近似地服从正态分布()2,Nμσ．根据上表计算出样本平均数130.32x =，样本方差21023.9s ≈，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差作为σ的估计值，从该企业这批产品中购买50件，设这50件产品中技术指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y ，求()E Y ；（3）如果产品的技术指标值在2μσ-与2μσ+之间为合格品，其他技术指标值为次品，每抽取100件产品中的合格品和次品件数分别是多少（精确到个位数）？计算从100件产品中任取3件，恰好取到1件次品的概率．参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=1023.932≈．21．（本小题满分12分）对于正实数a ，b （a b >），我们熟知基本不等式：()(),,G a b A a b <，其中(),G a b ab a ，b 的几何平均数，(),2a b A a b +=为a ，b 的算术平均数．现定义a ，b 的对数平均数：(),ln ln a bL a b a b-=-． （1）设1x >，求证：12ln x x x<-，并证明()(),,G a b L a b <；（2）若不等式()()(),,,G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数a ，b （a b >）恒成立，求正实数m 的取值范围． （二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中．直线3cos ,:7sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为l 的倾斜角．[)0,απ∈）以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:5C ρ=，直线l 与圆C 交于M ．N 两点． （1）若直线l 的斜率2k =，求弦MN 的中点Q 的直角坐标与弦长MN 的值； （2）若点()3,7P ．证明：对任意α，有PM PN ⋅为定值．并求出这个定值． 23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()()1224f x x x x t t =-+-+-∈R ．（1）若函数()f x 在()3,+∞上单调递增，求实数t 的取值范围； （2）若2t >，求函数()f x 的最小值．湘豫名校联考（2022年4月）数学（理科）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．B 【解析】()[]4,5RA B ⋂=，故选B ．2．D 【解析】因为1i z =-，所以1i z =+．所以()()2i 21i i 1i 33i z z -=--+=-．所以2i z z -=．故选D ．3．A 【解析】令32n n b a =+．因为11a =，553a =-， 所以11b =，59b =，所以21n b n =-． 所以3221n a n =--．所以21a =-．故选A ． 4．D 【解析】()2cos22sin 2f x x a x '=-． 因为()f x 在4x π=处取得极值，所以2cos 2sin 0422f a πππ⎛⎫'=-=⎪⎝⎭．所以0a =．所以()1cos2g x x =-，画图可知()g x 的图像关于直线2x π=对称．故选D ．5．A 【解析】由图象可知，()10f =，排除选项C ，D ． 由()f x 在区间()1,+∞上为增函数可排除选项B ，故选A ． 6．A 【解析】由已知，得OA c =． 因为以F 为圆心的圆经过点A ，O ， 所以FO FA c ==．所以60AOF ∠=︒．所以双曲线C 的渐近线方程为30x y ±=．故选A ． 7．C 【解析】因为()()()cos103sin102sin 20sin 10sin 104sin10sin 10sin10cos10cos10ααα︒-︒︒︒-⋅=︒-⋅=︒⋅︒-=︒︒︒所以()1sin 104α︒-=． 所以()()()217sin 270cos 20212sin 10188ααα+︒=︒-=-︒-=-=．故选C ． 8．D 【解析】因为33log 10log 923a =>=>，所以a c >． 又23log 10lg 273a b c ⋅=⋅==，所以b c a <<．故选D ． 9．A 【解析】令1x =，得()53511-+=-． 因为()532351x x -+的展开式中5x 项为()()11131255435300C xC x x -=-，所以()532351x x -+的展开式中，除5x 项之外，剩下所有项的系数之和为()1300299---=．故选A ．10．D 【解析】如图，该几何体为三棱台，可以看作棱长为2的正方体的一部分．所以表面积为()1132121222222132222S =+++⨯⨯⨯+⨯=．故选D ． 11．A 【解析】设第i 天的核酸检测人数为i a 万人，因为{}{}234,, 3.5,4.5,5.5a a a =，同时{}{}345,, 4.5,5.5,6.5a a a =，{}{}567,, 6.5,7.5,8.5a a a =，所以{}{}{}567345234,,2,2,23,3,3a a a a a a a a a =+++=+++．所以235s s s ==．记(),,s a b c 为数据a ，b ，c 的标准差，则()()12,3.5,5.50.5,2,4s s s ==≈，同理可得()()4 4.5,6.5,8.50,2,4s s s ==≈14s s <．又()()235 3.5,4.5,5.52,3,4s s s s s ====≈所以2351s s s s ==<，综上可得23514s s s s s ==<<．故选A ．12．C 【解析】由原不等式可得0x >，()1322242ln x xe x x a x x -+-≥-． 令()()1322242ln x h x xe x x a x x -=+---，则由()10h ≥，得12a ≥． 当12a ≥时，()13223ln x h x xe x x x -≥+--，则 ()()()1321322ln 21x x h x x e x x x x x e x x x x --≥-+--≥-+--+．令()()12x u x x e x -=-，()321v x x x x =--+，则()()120x u x x e x -=-≥，()()()2110v x x x =-+≥，当1x =时，等号同时成立．所以()0h x ≥．所以12a ≥．故选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13【解析】法一：因为()12,3a b x x -=--+，所以(1a b -=--==所以min5a b-=法二：设()1,3A -，()2,B x x -，则a OA =，b OB =，a b OA OB BA -=-=． 因为点B 在直线20x y +=上，所以所求最小值为点A 到直线20x y +=的距离，该距离为d ==min5a b-=14．12,1,2,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩ 【解析】当1n =时，12a =．当2n ≥时，121213332n n n n n a a a a ---++++=，①231121332n n n n a a a ----+++=．②①－3×②，得()122n n a n -=-≥． 因为12a =不满足上式，所以12,1,2,2n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩．15．60°【解析】设AB x =，椭圆1C 的长轴长为12a ，双曲线2C 的实轴长为22a ，则12137a =>，227a <，且13AC x =-．因为点A 在以B ，C 为焦点的椭圆1M 上， 所以1111127213c c BC e a a AB AC ====+． 又因为点A 在以B ，C 为焦点的双曲线2M 上， 所以22222272213c c BC e a a AB AC x ====--． 因为12316e e +=，所以2133x -=．所以5x =或8x =． 所以2564491cos 2582A +-==⨯⨯．因为0180A ︒<<︒，所以60A =︒．16．423【解析】此阿基米德多面体共有24条棱，任取2条，共有2241223276C =⨯=种． 两条棱垂直有两类情况：①都来自同一个正方形：6424⨯=种；②来自对面的两个正方形：3824⨯=种．故所求概率为48427623P ==．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．【解析】（1）因为AC BC =，E 为AB 的中点， 所以CE AB ⊥．因为1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， 所以1AA CE ⊥．因为1AA AB A ⋂=， 所以CE ⊥平面11ABB A ．因为AD ⊂平面11ABB A ，所以AD CE ⊥．（2）以C 点为坐标原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设1AC BC ==，则()1,0,0A ，()0,0,0C ，11,,222D ⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 所以()1,0,0CA =，11,,222CD ⎛⎫=⎪⎝⎭． 易知平面11ABB A 的一个法向量为11,,022CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 设平面ACD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m CA m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,1120,22x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩亦即0,40.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1z =-，则平面ACD 的一个法向量为()0,4,1m =-．所以234cos ,172174CE m m CE CE m⋅===⨯． 故二面角1C AD B --23418．【解析】（122a c b +=，所以由余弦定理，得2222222222322cos 22a c a c a c b a c ac B ac ac ++-+-+-⎝⎭===6226284ac ac ac -≥=，=时，等号成立．所以cos B． （2）由()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =-+-及正弦定理， 得()()2222a b c b c b c =-+-，即222b c a bc +-=．所以2221cos 22b c a A bc +-==．因为0A π<<，所以3A π=．2c b +=sin 2sin A C B +=． 因为3A π=，所以23B C π=-．所以2sin 2sin 23C C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．1sin 2sin 2C C C ⎫+=+⎪⎪⎝⎭．所以cos 2C =． 因为203C π<<，所以4C π=． 19．【解析】（1）设直线l 的方程为2px my =+，()11,A x y ，()22,B x y ． 由2,22,p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220y pmy p --=． 所以122y y pm +=，212y y p ⋅=-．由抛物线定义，得()()21212221AB x x p m y y p p m =++=++=+．当直线l 的倾斜角为30°时，1tan 30m ==︒()221816AB p m p =+==．所以24p =，即抛物线C 的标准方程为24y x =． （2）由（1），得124y y m +=，124y y ⋅=-．因为PAB △的垂心为原点O ，所以OA PB ⊥，OB PA ⊥． 因为22BO y k x =，所以22AP x k y =-．所以直线AP 的方程为()2112x y y x x y -=--，即21344y y x y =-+．同理可得，直线BP 的方程为12344y y x y =-+． 联立方程21123,443,44y y x y y y x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩解得()123,33,4p p x y y y m =-⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 即()3,3P m -．所以点P 在定直线3x =-上．20．【解析】（1）设中位数为0x ．因为()200.00380.00540.00750.334⨯++=，所以()00.01601200.50.334x ⨯-=-，解得0130.375x =．所以估计这100件产品的技术指标值的中位数为130.375．（2）依题意，得()2~130.32,32X N ，所以 ()()()198.32194.32130.3232130.3232130.3264130.32642P X P X P X <≤=-<≤++-<≤+⎡⎤⎣⎦ 0.95440.68260.47720.34130.818522=+=+=． 所以从这批产品中任取一件其质量指标值恰好在98.32与194.32之间的概率为0.8185．这50件产品中质量指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y ，则Y 服从二项分布，()~50,0.8185Y B ．所以()500.818540.925E Y =⨯=．（3）依题意，产品的技术指标值在2μσ-与2μσ+之间为合格品，其概率为()220.95440.95P X μσμσ-<≤+=≈，所以每抽取100件产品中合格品件数为95件，次品件数为5件．所以从100件产品中任取3件，恰好取到1件次品的概率为1259531009594589321009998646832C C P C ⨯⨯===⨯⨯⨯． 21．【解析】（1）令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则 ()()222221111212222x x x f x x x x x ---'=--==-． 所以当1x >时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减．又()10f =，所以当1x >时，()0f x <．所以当1x >时，11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即12ln x x x<-．（*） 要证()(),,G a b L a b <ln ln a b a b -<-，只需证ln a b <2ln <．令)1t t =>，则由（*），得12ln t t t<-．所以，即()(),,G a b L a b <． （2）由()()(),,,G a b A a b m L a b +<⋅恒成立，得ln ln 2a b a b m a b -+⋅<-恒成立，即1112ln a a b m a b b-⎛⎫⋅<+ ⎪⎝⎭恒成立．令)1t t =>，由()221112ln 2t m t t t -⋅<++恒成立，得()1112ln 2t m t t -⋅<+恒成立． 所以1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立． 令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+，则 ()()()()()()222222121121111mt t t m t g t m t t t t t t -+-+--'=⋅-==++⋅+⋅． （注：()10g =）①当0∆>，即2m >时，易知方程()22110t m t -+--=有一根1t 大于1，一根2t 小于1， 所以()g t 在()11,t 上单调递增．所以()()110g t g >=，不符合题意．②当02m <≤时，有()()()222214110mt t t t t -+≤-+=--<，所以()0g t '<，从而()g t 在()1,+∞上单调递减．故当1t >时，恒有()()10g t g <=，符合题意．综上可知，正实数m 的取值范围为02m <≤．（二）选考题：共10分．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【解析】由圆:5C ρ=，得圆22:25C x y +=． 将3cos ,7sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入2225x y +=，得()26cos 14sin 330t t αα+++=． 设点M ，N ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，0t ，则有1202t t t +=，12MN t t =-， 126cos 14sin t t αα+=--，1233t t ⋅=．（1）当2k =时，tan 2α=，所以sinα=，cos α=． 所以2330t ++=． 所以1202t t t +==，235Q x ==-， 175Q y ==．所以21,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以()221212163145MN t t t t ⨯=+-=．所以5MN =． （2）由参数t 的几何意义知，1233PM PN t t ⋅==，即PM PN ⋅为定值33，与α无关．23．【解析】（1）因为()1224f x x x x t =-+-+-，所以若3t ≤，则对任意3x >，都有()()()()1224754f x x x x t x t =-+-+-=--，此时函数()f x 在()3,+∞上单调递增，满足条件；若3t >，则当3x t <<时，()()()()122454f x x x x t x t =-+---=--+，此时函数()f x 在()3,t 上单调递减，不满足条件．综上所述，实数t 的取值范围为(],3-∞．（2）因为2t >，所以()754,1,534,12,122454,2,754,.x t x x t x f x x x x t x t x t x t x t -++≤⎧⎪-++<≤⎪=-+-+-=⎨--+<≤⎪⎪-->⎩ ①若1x ≤，则()[)75424,f x x t t =-++∈-++∞；②若12x <≤，则()[)53474,24f x x t t t =-++∈-+-+；③若2x t <≤，则()[)5453,74f x x t t t =--+∈-+-+；④若x t >，则()()75453,f x x t t =--∈-++∞．综上可知，当x t =时，函数()f x 取得最小值，最小值为()53f t t =-+． 故函数()f x 的最小值为53t -+．。
2021届高三湘豫名校联考(2020年11月)数学(理科)试题含答案
湘豫名校2021届高三联考试卷数学(理科)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数(1)(1)()z ai i a =+-∈R 为纯虚数，则复数z 的模等于（ ） A.14B.12C. 1D. 2【答案】D2. 已知集合()(){}120M x x x =-+>，集合(){}2lg 2N x y x x ==-，则()RM N ⋂=（ ）A. (]0,1B. (]2,2-C. [)0,+∞D. ()(),01,-∞⋃+∞【答案】A3. n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若721S =.则345a a a ++=（ ） A. 9 B. 12C. 15D. 18【答案】A4. 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥中最长的棱长为（ ）A. 4B. 2C.10 D. 23【答案】D5. 在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时釆用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测. A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C6. 实数,x y 满足条件1{32350x x y x y ≥+≤-++≥，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A.165B. 4C. 1-D. 5【答案】D7. 某种商品广告投入x 万元与收益y 万元的关系如下表所示，已知y 与x 具有线性相关关系，且求得它们的回归直线的斜率为6.5，当投入11万元时，预测收益可达到（ ）A. 71万元B. 76万元C. 89万元D. 99万元【答案】C8. 定义[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[0.13]0=，12π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[3.99]3=.执行下面的程序框图.则输出a =（ ）A. 23B. 26C. 36D. 47【答案】A9. 一个密码箱上有两个密码锁，只有两个密码锁的密码都对才能打开.两个密码锁都设有四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现将左边密码锁的四个数字设成两个相同，另两个也相同；右边密码锁的四个数字设成互不相同.这样的密码设置的方法有（ ）种情况. A. 288 B. 864C. 1436D. 1728【答案】B10. 已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF 的3a ，则离心率e 的取值范围是（ ）A. 51,2⎛ ⎝⎭B. 52⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C. 71,2⎛ ⎝⎭D. 72⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D11. 设123a =，403b =，则（ ） A. 42()3ab a b ab <+< B. 42()3ab a b ab >+> C. 62()5ab a b ab >+> D. 62()5ab a b ab <+<【答案】D12. 已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，下列关于该函数结论错误的是（ ）A. ()f x 的图象关于直线2x π=对称B. ()f x 的一个周期是2πC. ()f x 的最大值为2D. ()f x 是区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数 【答案】C二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若向量1e ，2e 为单位向量，且向量122e e +与向量12825e e -相互垂直，则向量1e ，2e 的夹角为______. 【答案】3π 14. 已知3(2)(1)++mx x 的展开式中3x 的系数为5，则它的展开式中各项系数和等于______. 【答案】2415. 四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 为等边三角形，二面角S AD B --的余弦值为3，则四棱锥S ABCD -的外接球的表面积等于______.【答案】8π16. 已知圆M ：()()22004x x y y -+-=，从点()3,4N 向圆M 作两条切线NP ，NQ ，切点分别为P ，Q ，若3PNQ π∠=，则点M 到直线34250x y ++=的最小距离为______.【答案】6三､解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 3C a b c a=+-. （1）求角B ；（2）D 为边AB 上的一点，且满足1CD =，2AC =，锐角三角形ACD 面积为154，求BC 的长. 【答案】（1）6π；（215. 18. 如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点.（1）求证：平面AGC ⊥平面ADF ； （2）若3AB =1BC =，求直线CF 与平面ACG 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）21035. 19. 共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下一个很好的发展商机.某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品.市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎，一般使用共享电动车的概率为23，使用共享单车的概率为13.该公司为了促进大家消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分.每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立.（1）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）记某一市民已使用该公司共享交通工具的累计得分恰为n 分的概率为n B (比如：1B 表示累计得分为1分的概率，2B 表示累计得分为2分的概率，n *∈N )，试探求n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：5；（2）1213n n B B -=-+，13425153n n B -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.20. 已知抛物线C ：22(0)x py p =>，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于A ､B 两点，且AB 4=. （1）求抛物线C 的方程；（2）若P 是抛物线C 上的点，点M ，N 在x 轴上，圆22(1)1y x +-=内切于PMN ，若PMN 面积等于8，求P 点的坐标.【答案】（1）22x y =；（2）()22,4或()22,4-.21. 已知函数()ln 1()f x x x ax a =+-∈R . （1）讨论()f x 的零点个数；（2）求证：对一切*n ∈N 均有1111111e i i n n i i i i n i n i -==++⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑成立，其中e 为自然对数的底数.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.22. 已知曲线C 的直角坐标方程是221x y +=，把曲线C 上的点横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来E .（1）设曲线C 上任一点为(,)M x yy -的最大值； （2）P ，Q 为曲线E 上两点，O 为坐标原点，若OP OQ ⊥，求2211OPOQ+的值.【答案】（1）最大值为2；（2）34. 23. 已知函数()2f x x x =-+.（1）求不等式()2f x x ≥+的解集.（2）若函数()f x 的最小值为m ，正数a ，b 满足12m a b +=，求222a bb a++的最小值.【答案】（1）(][),04,-∞+∞；（2）最小值为1.。
2021年湘豫名校联考(4月)数学(理科)试题及答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小.给出的四个选项申，只有一项是符合锺
目要求的。 1.己知复数z满足z+z= 8,z •二＝25，则z=
A3土4i
巴士3+4i
C. 4士3i
D.土4+3i
2.已知集合A= { <.r,y) I 3.r y= O} ,B= { <x,y) I x+my+l=O ）.若A门B ＝ 正当，则实数m=
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A 一3
且 －＋
C.÷
D. 3
3自2010年以来， 一 、二、三线城市的房价
成交量时（蕃）
均呈现不同程度的上升趋势，以房养老的
2021届河南省湘豫名校高三上学期1月月考数学理科试题(解析版)
湘豫名校联考（2021年1月）数学（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题1．将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为（ ） A ．1ii+ B ．1ii+- C ．1ii- D ．1ii-- 2．设全集U =R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，{}220B x x x =--<，则()UA B ⋂=（ ）A ．{2,2}-B ．{2,1,2}--C ．{2}-D ．{0,1}3．张先生去某城市参加学术会议，拟选择在会议中心附近的A 、B 两酒店中的一个人住．两酒店条件和价格相当，张先生在网上查看了最近入住两个酒店的客人对两酒店的综合评分，并将评分数据记录为如右的茎叶图．记A 、B 两酒店的宗合评分数据的均值为A x ，B x ，方差为2A S ，2B S ，若以此为依据，下述判断较合理的是（ ）A ．因为AB x x >，22A B S S >，应选择A 酒店B ．因为A B x x >，22A B S S <，应选择A 酒店 C ．因为A B x x <，22A B S S >，应选择B 酒店D ．因为A B x x <，22A B S S <，应选择B 酒店4．已知2log a π=，ln b π=，0.93c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<5．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，6AB =，弦AB 中点P 的横坐标2P x =，则该抛物线的方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =6．《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过，2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定，该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中污染物的数量P （单位：毫克/升） 与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系式为0e kP P -=（k ，0P 均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（ ） A ．12小时 B ．59小时 C ．5小时 D ．10小时7．函数()g x 的图象是由函数()22f x x x =+的图象向右平移4π个单位长度得到的，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数B ．()g x 为偶函数C ．()g x 的图象的一条对称轴为78x π=D ．()g x 的图象的一个对称中心为3,08π⎛⎫⎪⎝⎭8．21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则它的展开式中的常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．159．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与函数()ln(1)f x x =-+的图象相切，则该双曲线离心率为（ ）AB C ．2D 10．在ABC △中，由角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2(cos cos )c a B b A =-，则tan()A B -的最大值为（ ）A B C ．1 D 11．已知矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E ，F 分别为边AB 和CD 上的动点（不与端点重合），且//EF AD ，将四边形ADFE 沿EF 折起，使平面ADFE ⊥平面BCFE ，连接AB ，CD ，当三棱柱ABE DCF -的体积最大时，该三棱柱的外接球体积为（ ）A ．3B ．3C ．6D ．12．函数()y f x =的图象关于点(,)a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．由此结论可求12020()122021x x x f x x x x ++=++⋅⋅⋅++++的对称中心为（ ） A ．(1011,1011)B ．(1011,2021)-C ．1,20211011⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,10112022⎛⎫-⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题13．若单位向量1e ，2e 的夹角为120°，则12e e -=______．14．若sin18︒=sin126︒=______．15．如图，三棱椎P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且PA PB AB ===PC =C 到平面PAB 的距离等于______．16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆221:14y C x +=，双曲线222:124x y C -=，P ，Q 分别为1C ，2C 上的动点，且90POQ ∠=︒，则PQ 的最小值为______． 三、解答题 （一）必考题：17．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在平面直角坐标系xOy 中，记点()111,P a b -，()222,P a b ，…，(),(1)nn n n Pa b -，设1n n P P +所在的直线与x 轴交于点n Q ，12n n T OQ OQ OQ =++⋅⋅⋅+，求n T ．18．为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”．现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到频率分布直方图，如图．（1）求出频率分布直方图中的a 值和这200人的平均年龄；（2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于不同组别的概率；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否属“购买力强人群”与年龄有关? 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，M 为PC 的中点．（1）求证：//AP 平面BDM ；（2）若PB PC ==CD PC ⊥，求二面角C DM B --的余弦值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，点1F ，2F 分别为其左、右焦点，点A ，B 分别为其左、右顶点，点Q 为椭圆上不与A ，B 重合的动点，且1QAF △面积的最大值为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）分别过点A ，B 作直线1l AQ ⊥于点A ，2l BQ ⊥于点B ，设1l 与2l 相交于点P ，求点P 的轨迹方程．21．已知函数()ln f x x =，1()(0)g x x x x=+>． （1）若()()()F x f x g x =+，求()F x 的单调区间； （2）若()2()()G x g x f x =⋅，有()e m G x m m +≤+恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为,212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为2sin 303πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，2l 交极轴于点A ，交直线1l 于B 点．（1）求A ，B 点的极坐标方程；（2）若点P 为椭圆2213y x +=上的一个动点，求PAB △面积的最大值及取最大值时点P 的直角坐标． 23．已知函数()21()f x x x m m =-++∈R ． （1）若1m =，解不等式()6f x ≤；（2）若关于x 的不等式()21f x x ≤+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围．湘豫名校联考（2021年1月）数学（理科）参考答案一、选择题1．A 【解析】由1i i=-在第四象限，故选A ． 2．B 【解析】由{}220B x x x =--<得(1,2)B =-，所以(,1][2,)UB =-∞-⋃+∞，所以(){2,1,2UA B ⋂=--．3．B 【解析】由86.67A x =，85B x =，250.56A S =，276B S =，故选B ．4．C 【解析】易知0.931c -=<，ln 1b π=>，又1log e b π=，1log 2a π=， 而0log 2log e 1ππ<<<，有1ab >>，则c b a <<． 故选C ．5．B 【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，由抛物线定义知：126x x p ++=， 又1222P x x x +==，即2p =，故抛物线方程为24y x =． 6．C 【解析】由题知：当0t =时，0P P =，所以500(190%)e kP P --=⋅，即5e 0.1k -=，由000.01e ktP P -=⋅，即()25ee k kt --=，解得10t =，即还需5小时，故选C ． 7．C 【解析】由题知：()2sin 22sin 2444g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 当78x π=时，3242x ππ-=，易知C 正确． 8．D 【解析】21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，即3C n 最大，所以6n =，所以展开式的通项公式为()621231661C (1)C rrrr r r r T xx x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令1230r -=，得4r =，故展开式中的常数项为446(1)C 15-⋅=． 9．A 【解析】易知切点为原点，又()ln(1)f x x =-+的导函数1()1f x x '=-+， 故1 (0)101f '=-=-+，1b a -=-，1ba=， 又2221c a a-=，则e =A 10．D 【解析】由正弦定理：2sin cos 2sin cos sin sin()A B B A C A B ⋅-⋅==+． 化简得tan 3tan A B =，故2tan tan 2tan 2tan()11tan tan 13tan 33tan tan A B BA B A B BB B--===≤+⋅++．当且仅当tan 3B =，即6B π=，2C π=，3A π=时取“=”故选D ． 11．C 【解析】设AE x =，则4BE x =-，折得的几何体为三棱柱，故1(4)32AEB DFC V x x -=-⋅．当且仅当2x =时，AEB DFC V -的体积最大．此时外接球直径为BD ==故外接球体积3436r V π==球．12．B 【解析】由题知，设()f x 的对称中心为(,)a b ， 则()y f x a b =+-为奇函数．即[()][()]0f x a b f x a b -+-++-=，即()()20f x a f x a b ++-+-=．又11()202112021f x x x ⎛⎫=-+⋅⋅⋅+⎪++⎝⎭， 11()202112021f x a x a x a ⎛⎫+=-+⋅⋅⋅+ ⎪++++⎝⎭，1111()202120211202120211f x a x a x a x a x a ⎛⎫⎛⎫-+=-+⋅⋅⋅+=-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-++-++-++-++⎝⎭⎝⎭，则()()2f x a f x a b ++-+-2202222022404220(1)(2021)(1)(2021)a a b x a x a x a x a ⎛⎫++=-+⋅⋅⋅+-= ⎪++-++-++++⎝⎭恒成立，则2021,1011.b a =⎧⎨=-⎩故选B ．二、填空题1321211121132e e -=++⨯⨯⨯=，故123e e -=． 14【解析】()22sin126sin 9036cos3612sin 1812︒=︒+︒=︒=-︒=-⨯⎝⎭ 12=-==． 15．3【解析】由题意，可将三棱锥P ABC -补全为边长为1的正方体如图所示，PA PB AB ===1AC BC PD ===，设点C 到平面PAB 的距离为h ，则由P ABC C PAB V V --=得1133ABC PAB S PD S h ⋅=⋅△△， 所以1111ABC PAB S PD h S ⨯⨯⨯⋅===△△．16【解析】①当直线OQ 与x 轴重合时，OQ =2OP =， 此时PQ ==②当直线OQ 不与x轴重合时，设为(||y kx k =<，则直线OP 的方程为1y x k=-， ()22222,412124y kx k OQ x y k =⎧+⎪⇒=⎨--=⎪⎩，()222221,414114y x k k OP k y x ⎧=-⎪+⎪⇒=⎨+⎪+=⎪⎩． 则()()222231113||||441k OP OQ k ++==+， 所以()222222241116|||||||||| . 3||||3PQ OP OQ OP OQ OP OQ ⎛⎫=+=++≥ ⎪⎝⎭， 当215k =时等号成立，又1663>，所以PQ最小值为3．三、解答题17．【解析】（1）由题知，{}n a 为等差数列，设其公差为(0)d d ≠．由2214a a a =⋅，得2(1)13d d +=+，解得1d =．故n a n =．又{}n b 的前n 项和112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．1n =时，1112b S ==，2n ≥时，11111222n n nn n n b S S --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 1b 也符合上式，故12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．即：n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（2）由题知，直线1n n P P +过点1,(1)2nn nP n ⎛⎫-⋅⎪⎝⎭和11111,(1)2n n n P n +++⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 故其方程为1111(1)(1)(1)22()2(1)n n nn n ny x n n n++-⋅----=-+-，即11(1)3(1)()22n n n n y x n ++-⋅--=-， 令0y =，即有23x n =+，即2,03n Q n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．23n OQ n =+，故222237123336n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ）+…+（n 十318．【解析】（1）由题意得：(20.010.0150.03)101a ⨯+++⨯=， 所以0.035a =，200人的平均年龄为：200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）由题意得：利用分层抽样的方法从第一组抽取2人，从第二组抽取3人， 记从第一组抽取的2人为A ，B ，从第二组抽取的3人为a ，b ，c则从这5人中随机抽取2人的基本事件有25C 10=，即10种，其中两人恰好属于不同组别的基本事件有23⨯种，即6种， 故所求的概率63105P ==． （3）由题意可得22⨯列联表为：故2K 的观测值2200(100206020)252.083 6.635120801604012k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 故没有99%的把握认为是否属“购买力强人群”与年龄有关． 19．【解析】（1）连接AC 交BD 于E ，连接EM ，则E 为AC 中点， 所以EM 为APC △的中位线，//EM AP ∴， 又EM ⊂平面BDM ，AP ⊄平面BDM ，//AP ∴平面BDM ．（2）2224PB PC BC +==，所以PB PC ⊥，取BC 中点O ，AD 中点F ，连接PO ，OF ，则PO BC ⊥，1PO =，BC CD ⊥，CD PC ⊥，BC 、PC ⊂平面PBC ，BC PC C ⋂=，CD ∴⊥平面PBC ，又PO ⊂平面PBC ，CD PO ∴⊥，PO BC ⊥，BC CD C ⋂=，BC 、CD ⊂平面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ，又因为OF ⊂平面ABCD ，所以PO OF ⊥，所以PO ，OF ，OB 两两垂直；如图，以O 为原点，OF ，OB ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,1,0)D -，(0,0,1)P ，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，所以110,,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 112,,22DM ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，(2,2,0)BD =-，(2,0,0)CD =． 设平面BDM 的法向量为()111,,m x y z =，则0, 0,m BD m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111220,1120,22x y x y z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩取(1,1,3)m =； 设平面CDM 的法向量为()222,,n x y z =，则0,0,n CD n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,1120,22x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩取(0,1,1)n =-，所以cos ,11||||11m n m nm n ⋅〈〉===⋅， 所以二面角C DM B --的余弦值为11． 20．【解析】（1）由题意得12c e a ==，即2a c =． 又11()2QAF Q S a c y =-⋅△，点Q 为椭圆上的动点．故Q y b ≤，则1QAF S △的最大值为1()2a c b -⋅=即()222()3a c a c --=，代入2a c =得1c =，故2a =，b = 即椭圆方程为22143x y +=．（2）设()00,Q x y ，(,)P x y ，则2200143x y +=．① 由题意得：002AQ y k x =+，(2)2AP y k x x =≠-+，0BQ 02y k x =-，(2)2BP y k x x =≠-， 则1AQ AP k k ⋅=-，1BQ BP k k ⋅=-． 且22004AQ BQ y k k x ⋅=-，代入①得34AQ BQ k k ⋅=-， 又1AQ AP BQ BP k k k k ⋅⋅⋅=， 所以43AP BP k k ⋅=-， 即22443y x =--，整理得2211643y x +=． 故221(2)1643y x x +=≠±为所求轨迹方程． 21．【解析】（1）1()ln F x x x x=++，(0)x >． 222111()1x x F x x x x+-'=+-=， 令()0F x '=，解得x =（负值舍去）．所以当10,2x ⎛-∈ ⎝⎭，()0F x '<；当12x ⎛⎫-+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()0F x '>，所以()F x 的单调递减区间为⎛ ⎝⎭，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． （2）由已知，1()2ln G x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由于()e mx G x m m ≤+恒成立，即12ln e mx x x m m x ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭恒成立， 等价于()()()221ln e 1e 1ln e mx mx mx x x mx +≤+=+恒成立， 令()(1)ln t x x x =+，()()2e mx t x t ∴≤， 1()ln 1t x x x'∴=++， 令1()ln 1h x x x=++， 22111()x h x x x x-'∴=-=， 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，()(1)20h x h ∴≥=>，()0g x '∴>，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，2e mx x ∴≤，2ln x mx ∴≤，即2ln x m x≥恒成立， 令ln ()x x x ϕ=，0x >，21ln ()x x x ϕ-'∴=， 令()0x ϕ'=，解得e x =，当0e x <<时，()0x ϕ'>，函数()x ϕ单调递增， 当e x >时，()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减，max 1()(e)e x ϕϕ∴==，2em ∴≥， 故实数m 的取值范围为2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 22．【解析】（1）1l的方程为y x =，化为极坐标方程为()6πθρ=∈R ． 代入2l 的方程得：3ρ=，即3,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 方程2sin 303πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，令0θ=，即ρ=)A ． （2）由（1）知，OA =3OB =，且6BOA π∠=，故AB =，设点P 到直线AB 的距离为d ，故2S =，设点()cos P θθ，2l的一般方程为3y =-，故|3|2224S d θθπθ-⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 当32()4k k πθπ=+∈Z时，max S = 此时，P点坐标为⎛ ⎝⎭．23．【解析】（1）1m =时，()|21||1|f x x x =-++， 即3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ ()6f x ≤，即1,36x x ≤-⎧⎨-≤⎩或11,226x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,236,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得22x -≤≤．即不等式()6f x ≤的解集为{}22x x -≤≤．（2）当3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式|21||||21|x x m x -++≤+ 即||2121x m x x ++-≤+， 即||2x m +≤在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 故22x m -≤+≤，22x m x --≤≤-． 故max (2)m x ≥--，且min (2)m x ≤-，3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故1104m -≤≤． 即实数m 的取值范围为11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。
湘豫名校联考2020-2021学年高三(3月)理科数学试题(含答案解析)
【分析】
根据 为等边三角形，且双曲线 的虚轴为 的中位线，得到 ，则 ，将 的坐标代入双曲线方程求解.
【详解】
如图所示：
设双曲线方程为 ，虛轴长为 ，
则 ， 、 关于 轴对称，不妨设 在双曲线左支，
则其纵坐标为 ，
因为 为等边三角形， ，
所以 ，
故 ，将 的坐标代入双曲线方程有 ，
则 ，
所以渐近线方程为 ．
A． B． C． D．
3．关于 的方程 ，有下列四个命题：
甲： 是方程的一个根；乙： 是方程的一个根；
丙：该方程两根之和为3；丁：该方程两根异号．
如果只有一个假命题，则假命题是（）．
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．在平面直角坐标系中定义点 的“准奇函数点”为 ，若函数 上所有点的“准奇函数点”都在函数 上，则称函数 为“准奇函数”．下列函数不是“准奇函数”的是（）．
【详解】
（1）∵ ， 平面 ， 平面 ，
令 ，∴ ， ．
∴ ，
，即数列 是恒为0的常数列．
∴ ，故错误．
故选：B．
【点睛】
数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
∴ ．
【点睛】
关键点点睛：本题第二问的关键是列举4分所包含的所有事件，否则容易出错.
19．（1）证明见解析；（2） ．
【分析】
（1）首先利用线线平行，即 ，可推出线面平行，再根据线面平行的性质定理，即可证明；（2）由题中垂直关系可知平面 平面 ，取 的中点 ，如图，建立空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，即可求解.