§7.1平面向量的概念(2)
平面向量的概念
平面向量的概念平面向量是数学中的一个重要概念，是指由两个矢量组成的有向线段。
平面向量通常用加粗的小写字母来表示，例如a、b等。
平面向量具有长度和方向两个基本属性，同时也具有加法、减法、数乘等运算，可用于求解各种几何和物理问题。
平面向量的表示方法有两种，一种是初末点法。
即用平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)来表示平面向量AB。
向量AB的表示方法为AB=(x2-x1,y2-y1)。
另一种是分量表示法，即将平面向量投影到坐标轴上，用坐标表示向量的长度和方向。
例如，向量AB在x 轴上的投影为x轴方向上的分量a，y轴方向上的投影为y轴方向上的分量b，则向量AB 可以表示为AB=a+b。
平面向量的长度可以用勾股定理求解，即向量AB的长度为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
方向可以用夹角cos求解，即两个向量的夹角cosθ=AB·CD/|AB|·|CD|，其中·表示点乘，|AB|和|CD|分别表示向量AB和CD的长度。
平面向量具有加法和减法运算，其运算方法为：对应坐标相加或相减。
例如向量AB 和向量CD的和为向量AC，其坐标为AC=(x2-x1+x4-x3,y2-y1+y4-y3)。
减法也是同样的方法。
数乘则是将向量的长度与方向进行分解，再将其乘以一个实数k，具体计算方法为：向量kAB=k(x2-x1,y2-y1)=(kx2-kx1,ky2-ky1)。
平面向量的重要应用之一是向量叉乘，即将两个向量进行叉乘，得到的结果是一个新的向量，并且该向量垂直于原来的向量。
例如向量AB和向量CD的叉乘为向量n，其坐标为n=AB×CD=[(y2-y1)(z4-z3)-(z2-z1)(y4-y3),(z2-z1)(x4-x3)-(x2-x1)(z4-z3),(x2-x1)(y4-y3)-(y2-y1)(x4-x3)]。
向量叉乘在计算平面和空间中的向量积、平面的法线、对称线等问题中都有着广泛的应用。
平面向量的概念与性质
平面向量的概念与性质平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中被广泛应用。
平面向量具有一些独特的性质，其概念和性质对于我们理解和解决许多实际问题至关重要。
一、平面向量的定义平面向量表示平面上的一个有向线段，可以用带箭头的直线段来表示。
平面向量常用字母加箭头上方加粗体来表示，例如向量a表示为→a。
平面向量有大小和方向两个基本属性。
二、平面向量的表示方法1. 分量表示法：平面向量可以由两个分量表示，分别是在x轴和y 轴上的投影。
设平面向量→a的分量分别为a1和a2，那么→a = a1i + a2j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
2. 基点表示法：平面向量还可以通过起点和终点来表示。
以A为起点，B为终点的向量→AB可以简写为→AB。
三、平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种基本的运算方式。
1. 加法运算：向量的加法满足平行四边形法则。
设向量→a的起点为A，终点为B，向量→b的起点为B，终点为C，则向量→a + →b的起点为A，终点为C。
2. 数乘运算：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设实数k，向量→a的起点为A，终点为B，则k→a的起点仍为A，终点为D，且AB与AD在同一直线上，且向量BD与向量AB方向相同（k>0）或相反（k<0）。
四、平面向量的性质1. 平行性：如果两个向量的方向相同或相反，即平行或反平行，那么这两个向量是平行的。
2. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，不具备明确的方向。
3. 模长：向量的模长表示向量的大小，用|→a|来表示。
根据勾股定理，模长可以通过向量的分量计算得到，|→a| = √(a1² + a2²)。
4. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量。
可以通过将向量除以它的模长得到单位向量，→a/|→a|。
5. 共线性：如果两个向量的方向相同、相反或平行，即它们可被放大或缩小到重合或相反方向，那么这两个向量是共线的。
平面向量的概念与运算
平面向量的概念与运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一，它具有方向和大小两个基本特征。
本文将介绍平面向量的概念以及其常见的运算。
一、平面向量的概念平面向量是由起点和终点确定的有向线段，一般用小写字母加上→来表示。
例如，向量AB可以表示为→AB。
平面向量的起点在原点O，终点在坐标系中的某一点P，那么向量OP可以用字母加上向上的箭头来表示。
二、平面向量的大小平面向量的大小又称作模或长度，用两点之间的距离来表示。
设有向线段→AB的起点为A(x1, y1)，终点为B(x2, y2)，那么向量→AB的大小可以用以下公式来计算：|→AB| = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)三、平面向量的运算1. 平面向量的加法：设有向线段→AB和→CD，那么它们的和向量→AD可以通过将两个向量首尾相连来得到。
具体计算如下：→AD = →AB + →CD = (x2-x1, y2-y1) + (x4-x3, y4-y3)2. 平面向量的减法：设有向线段→AB和→CD，那么它们的差向量→AC可以通过将第二个向量取负后再进行加法运算得到。
具体计算如下：→AC = →AB - →CD = (x2-x1, y2-y1) - (x4-x3, y4-y3)3. 平面向量的数量积：平面向量的数量积又叫点积或内积，它是两个向量的数量乘积与夹角余弦的乘积。
设有向线段→AB和→CD，夹角为θ，那么它们的数量积A·B可以通过以下公式来计算：A·B = |A| |B| cosθ4. 平面向量的向量积：平面向量的向量积又叫叉积或外积，它是两个向量的数量乘积与夹角正弦的乘积。
设有向线段→AB和→CD，夹角为θ，那么它们的向量积A×B可以通过以下公式来计算：A×B = |A| |B| sinθ四、平面向量的运算性质1. 加法的交换律和结合律：设有向线段→AB，→CD和→EF，那么有：→AB + →CD = →CD + →AB(→AB + →CD) + →EF = →AB + (→CD + →EF)2. 数量积的交换律和结合律：设有向线段→AB和→CD，那么有：A·B = B·A(A·B)·C = A·(B·C)3. 向量积的交换律和结合律：设有向线段→AB和→CD，那么有：A×B = -B×A(A×B)×C = A×(B×C)五、应用举例平面向量的概念与运算在几何、力学等学科中有着广泛的应用。
平面向量的定义
平面向量的定义平面向量是数学中重要的概念，它在几何学和物理学等领域有广泛的应用。
通过定义，我们可以清晰地了解平面向量的特点、性质和运算规则。
本文将介绍平面向量的定义以及相关的基本概念和运算规则，以帮助读者更好地理解和应用平面向量。
一、平面向量是由大小和方向共同决定的有向线段，用于表示平面上的位移、力、速度等物理量。
它由起点和终点组成，起点表示向量作用的起始位置，终点表示向量作用的终止位置，而有向线段则表示了向量的方向和大小。
在平面向量中，方向由箭头表示，箭头的末端表示向量的终点。
大小通常使用向量的模或长度来表示，记作 |AB| 或 ||AB||，其中 A 和 B分别表示向量的起点和终点。
二、平面向量的性质1. 平面向量具有位移性质：平面向量可以描述物体的位移，在空间中沿着特定的方向移动。
位移的大小和方向由向量的模和方向决定。
2. 平面向量具有等价性质：两个向量如果具有相同的模和方向，则它们是等价的。
即使起点和终点的位置不同，只要向量的模和方向相同，我们可以认为它们是相等的。
3. 平面向量具有相反性质：对于任意向量 A，在平面上存在一个唯一的向量 -A，它们有相同的模但方向相反。
即 A 和 -A 是相互抵消的力或相反方向的位移。
4. 平面向量具有平移性质：对于平面上任意两点 A 和 B，我们可以通过平移将 A 移动到原点 O，同时将 B 移动到 P，得到表示向量 AB 的平移向量 OP。
在平面向量表示中，起点和终点的具体位置可以任意选择。
三、平面向量的运算1. 平面向量的加法：向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
对于任意向量 A 和 B，它们的和记作 A + B，其起点与 A 的起点相同，终点与 B 的终点相同。
2. 平面向量的数乘：数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
对于任意向量 A 和实数 k，它们的数乘记作 kA，其起点与 A 的起点相同，终点位于向量 A 上，且与 A 的终点的距离是 A 的模乘以k 的绝对值。
平面向量的定义与性质
平面向量的定义与性质在数学中，平面向量是研究平面上的运动和力学问题时常用的工具之一。
它延伸了我们对于点和线的概念，能够以有序的数对或线段的方式来表示。
一、平面向量的定义平面向量可以用很多不同的方式来定义，其中一种常见的定义是基于向量的长度和方向。
具体来说，对于平面上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以定义向量AB为一个有序数对 (x2 - x1, y2 - y1)，其中x2 - x1表示向量的横坐标分量，y2 - y1表示向量的纵坐标分量。
这种定义方式可以帮助我们直观地理解平面向量。
例如，如果我们要从点A到点B的位移向量，我们可以将这个向量表示为AB。
二、平面向量的性质1. 向量的相等性：两个平面向量相等当且仅当它们的横坐标分量和纵坐标分量分别相等。
2. 零向量：零向量是一个特殊的向量，所有的横坐标和纵坐标都为0。
它表示没有大小和方向的向量。
3. 平行向量：如果两个向量方向相同或相反，那么它们是平行的。
我们可以通过比较它们的横坐标分量和纵坐标分量来确定其平行性。
4. 相反向量：两个向量方向相反且大小相等时，它们是相反向量。
我们可以通过改变一个向量的横坐标分量和纵坐标分量的符号来得到其相反向量。
5. 与标量的乘法：平面向量可以与标量相乘。
标量乘法可以改变向量的大小，但不会改变其方向。
例如，向量v乘以标量k，表示为kv，它的横坐标和纵坐标分量分别等于kv。
三、平面向量的运算法则1. 向量加法：向量加法满足交换律和结合律。
即对于任意向量u、v 和w，有：u + v = v + u （交换律）(u + v) + w = u + (v + w) （结合律）向量加法可以通过将对应的横坐标和纵坐标分量相加来进行。
2. 向量减法：向量减法等于将减数取相反向量再与被减数相加。
即对于任意向量u和v，有：u - v = u + (-v)向量减法可以通过将被减数的横坐标和纵坐标分量分别减去减数的横坐标和纵坐标分量来进行。
平面向量的基本概念与运算法则
平面向量的基本概念与运算法则平面向量是解决几何问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面内的方向和大小，能够进行加减乘除等基本运算，为我们解决问题提供了很大的便利。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，帮助读者理解和运用平面向量。
1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用线段AB来表示，方向由起点A指向终点B，记作→AB或者AB。
2. 平面向量的表示和坐标平面向量可以使用坐标来表示。
设向量AB的起点为原点O，终点为点P(x,y)，则向量→AB可以表示为(x,y)。
其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
3. 平面向量的运算法则平面向量有多种基本运算法则，下面依次介绍：(1) 向量的加法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB + →CD的终点为R(x1+x2 , y1+y2)。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相加，得到新的向量的坐标。
(2) 向量的减法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则向量→AB - →CD的终点为R(x1-x2 , y1-y2)。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相减，得到新的向量的坐标。
(3) 向量的数量乘法：设向量→AB的终点为P(x,y)，数k为实数，则k × →AB的终点为R(kx, ky)。
也就是说，将向量的每个分量分别乘以实数k，得到新的向量的坐标。
(4) 向量的点乘法：设向量→AB的终点为P(x1,y1)，向量→CD的终点为Q(x2,y2)，则→AB · →CD = x1 x2 + y1 y2。
也就是说，将两个向量的x轴和y轴分量分别相乘，再将结果相加，得到点乘法的结果。
4. 平面向量的性质平面向量有一些重要的性质，下面列举几个常用的性质：(1) 平行向量的性质：如果两个向量→AB和→CD平行，则它们可以表示为→AB = k × →CD，其中k为实数。
中职数学 下册 课件-第七章 平面向量
7.1平面向量的概念及线性运算 7.1.1向量的概念 7.1.2平面向量的加法 7.1.3平面向量的减法 7.1.4平面向量的数乘运算
7.2平面向量的坐标表示 7.2.1平面向量的坐标 7.2.2向量线性运算的坐标表示 7.2.3共线向量的坐标表示
7.3平面向量的内积 7.2.1平面向量的内积 7.2.2内积的坐标表示
a
b
B
a
b
A a+b
C
一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A
依次作 AB a，BC b，则向量AC 叫做向量a与向量b的和，
距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度.
数量
向量
距离、身高、 质量、时间、 面积、温度
位移、力、 速度
【新知识】向量的表示
用有向线段表示(规定了起点、方向、长度的 线段)
a 始点
终点
始点
终点
A
B
a 用字母表示 AB, 或
始点
终点
1【.向(模新量)表知的示大识：小】(模向| A)量B: | 的向或有量| a关A|B概或念a 的大小
向量是不能比较大小的,但
向量的模是可以进行大小比较的.
a
| a || b | √
b
a b
×
2.两个基本向量：
零向量: 模 为零的 向量(方向不确定). 表示： 0, | 0 | 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量.
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km， 另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架 飞机的位移．
7.1平面向量的概念及线性运算 7.1.1向量的概念 7.1.2平面向量的加法 7.1.3平面向量的减法 7.1.4平面向量的数乘运算
平面向量的概念与运算
平面向量的概念与运算平面向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将从平面向量的定义开始，介绍平面向量的概念以及基本运算，包括向量的加法、减法、数乘等，以便读者对平面向量有更深入的理解。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，常用有向线段表示。
在平面直角坐标系中，平移一个向量的有向线段，可以得到一个与原始向量大小和方向相同的向量。
平面向量通常用小写粗体字母表示，如a、b。
二、平面向量的表示平面向量可以用其在平面直角坐标系下的坐标表示。
设向量a的终点坐标为(x₁, y₁)，起点坐标为(0, 0)，则向量a可以表示为a = x₁i +y₁j，其中i和j分别表示x轴和y轴的单位向量。
三、平面向量的加法平面向量的加法遵循平行四边形法则。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a + b。
其数学表示为a + b = (x₁ + x₂)i + (y₁ + y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂, y₂)为向量b的坐标。
四、平面向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取反并进行加法运算得到。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b的负向量，连接向量a的起点与向量b的终点，该有向线段表示向量a - b。
其数学表示为a - b = (x₁ - x₂)i + (y₁ - y₂)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标，(x₂,y₂)为向量b的坐标。
五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度进行缩放。
设k为一个实数，向量a乘以k后得到的向量记为ka，则ka = k(x₁i + y₁j) = (kx₁)i +(ky₁)j，其中(x₁, y₁)为向量a的坐标。
六、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为内积或点积，用符号·表示。
设有向线段AB表示向量a，有向线段BC表示向量b，则a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的长度，θ是向量a和向量b之间的夹角。
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都是平行向量，平行向量方向要么相同，要么相反。相等的向量、相反的向量都属于共线向量。
２、向量与线段的区别是什么？
向量既有大小又有方向，而线段只有大小没有方向。
例１：判断下列命题是否正确？
解：⑴×⑵×⑶×⑷√⑸×
例2：如图,设O是边长为1的正六边形ABCDEF的中心，
①写出以O为起点和以E为终点的向量并求它们的模；
（6）两个非零向量相等的条件是什么？
（7）共线向量一定在同一直线上．
书P３7练习1、2、3
本节课主要学习了平面向量的相等、相反、共线的三种关系。要清楚平行（共线）的向量方向可能相同也可能是相反的；共线向量也不一定都在一条直线上；注意零向量与任何向量都平行。
课本０３８页习题1、2、4、5
教学重点
相等向量、相反向量、平行向量的条件及识别
教学难点
相等、相反、平行向量的区分；共线向量的理解
更新、补充、删节内容
课外作业
教学反思
授课主要内容或板书设计
７.１平面向量的概念(２)
五、向量的关系
１、相等：
２、相反：
３、平行：
规定：零向量与任何向量都平行
平行向量也叫共线向量的由来
课堂教学安排
教学过程
②写出与向量 ， 相等的向量；
③写出与向量 ， 共线的向量.
解：①以o为起点的向量有： ；以E为终点的向量有： ；
② ；
③ ；
判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同．
（2）不相等的向量一定不平行．
（3）与零向量相等的向量是什么向量？
（4）存在与任何向量都平行的向量吗？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
２、相反：长度相等且方向相反的向量称作相反向量.
向量 与 相反，记作
３、平行（共线）：如果两个非零向量方向相同或方向相反，我们就说这两个向量互相平行.把这两个向量叫做平行向量或共线向量.
向量 与 平行，记作
规定：零向量与任何向量平行，即
平行向量也叫共线向量的由来：
任一组平行向量都可以平移到同一直线上，如图所示：
主要教学内容及步骤
一、温故知新、情境导入
二、讲授新课
（巩固练习）
三、例题精讲：
四、巩固练习
五、课堂小结：
六、作业布置：
１、向量的定义是什么
我们把既有大小，又有方向的量称为向量。
2、向量的两个要素是什么？零向量和单位向量是否有方向？
（五）向量的关系：
１、相等：长度相等且方向相同的向量称作相等向量.
向量 与 相等，记作
授课章节
名称
７．１平面向量概念（２）
授课课时
2
授课形式
数形结合Байду номын сангаас
使用教具
多媒体
教学目的
知识目标：
(1)识记相等向量、相反向量、平行向量的定义，并会用字母和有向线段表示。
(2)能根据给定的条件，判定相等向量、相反向量、平行向量
能力目标：通过学习平面向量培养学生观察能力、逻辑思维能力、计算能力。
情感目标：通过学习平面向量感受数学应用的广泛性和重要性。