高等数学(1)

三、函数微分 1、定义：对于自变量在点x处的改变量 可表示为 A 0( )( 0)
其中A为不依赖于的常数，则称函数y=f(x)在点x处 可微，称A为函数y=f(x)在点x处的微分，记为dy， 即dy=A x
。

y

x

x
x
规定自变量的微分就是它的改变量：dx=△x

2、函数可微的充要条件，函数y=f(x)在 点x处可微的充分必要条件是它在该点处 可导，且dy= f ' (x)dx

6、高阶导数。函数y=f(x)的导数一般仍 是x的函数，它的导数称为此函数的二阶 导数，记为，或，即
y' ' ( y' )'
( n 1)
d
d
2
y
2

一般地，函数y=f(x)的n-1阶导（函）数的导数称 为f(x)的n阶导数，即 )]' y ［(y （n=2,3,4,…）
( n)
x
d dy ( ) dx dx
五、罗彼塔法则


1、掌握罗彼塔法则的条件，会熟练准 确地运用罗彼塔法则求“”、“”型未 定式的极限。 2、会将“0﹒”，“”，“1”，“”， “0”等未定式化为“”或“”型，再用 罗彼塔法则求极限。
六、函数的单调性和极值


1、掌握利用导数判别函数单调区间的方法。 2、知道如何运用函数单调性证明不等式。 3、理解函数的极值和极值点的概念，掌握求 函数极值和极值点的方法和步骤，会熟练地求 解。 4、会解决简单的最大（小）值实际问题。
Lim
f’(x)=
Δx→0
f(x+Δx0)-f(x)／Δx
分段函数在分段点处的导数的求法是：用导数定义求出 分段点的左、右导数后确定。

6、可导与连续的关系，若函数f(x)在点 处可导，则它在点处必连续；若函数f(x) 在点处连续，但在该点未必可导，也就 是说，函数连续是可导的必要条件，但 不是充分条件。

f(x) g(x)=
（
f ( x) 1 g ( x)
g ( x) 或 1 f ( x)
lim
3、其他类型的未定式，如 0型都可以采取一定方 法通过恒等变形转化成两种基本类型，再用罗彼塔法则求解。
, ,1 , 0 ,
0
0


（3）若u（x）v(x)是幂指函数型，如等未定式的极限。一般可用 取对数法先转化成0 型，再转化成二种基本类型，用罗彼塔 法则求解。 0
结论：必有
lim xa
f ( x)
lim xa
g ( x)
（2）在点a的某个邻域内； （点a可以除外）可导，且 g ' ( x) 0 （3）
lim f ' ( x) A(或) x a g ' ( x)
结论：必有
lim f ' ( x) f ( x) A(或) x a g ( x) x a g ' ( x)
x a n
三、函数的微分



1、理解微分的定义，明确可导与微之 间的关系。 2、理解一阶微分形式的不变性，会熟 练地求出函数的微分。 3、记住利用微分近似计算函数改变量 和函数近似值的公式，会用微分计算函 数的近似值
四、中值定理


1、会叙述罗尔定理，拉格朗日中值定 理和柯西定理，掌握三定理的条件和结 论。 2、了解三定理之间的关系、作用，罗 尔定理和拉格朗日中值定理的几何意义。

d F ( x f ( x)) 0 dx
求得，即隐函数求导法则是：把方程两边对x 求导，注意y是x的函数，然后从求导后得到的 等式中解出。5、对数求导法则。若u(x)、v(u) 分别可导，则幂指函数y=u可用对数求导法求 出。对数求导法则是：先将函数两边取对数， 然后化成隐函数求导数，它适用于幂指函数和 含有多个因子等较复杂的函数。
四、中值定理 1、罗尔定理、条件：如果函数f(x)满足 ；（1）在闭区间[a,b] 上连续；（2） 在开区间（a,b） 内可导；（3）且两端 点函数值相等，即f(a)=f(b)
5、微分在近似计算中的应用 （1）求函数增量的近似值公式 （2）求函数在某点附近的函数值的近 似公式： f(x) f ( x0) ( x x0)
二、初等函数求导数



1、熟记求导的四则运算法则，导数的基本公 式，熟练掌握利用四则运算和导数基本公式求 导数。 2、熟练掌握复合函数求导法则，会求隐函数 和反函数的导数，会利用对数求导法则求导数。 3、理解高阶导数的定义，掌握求二阶导数的 p 方法，会求一些简单函数（如 (x), e , sin x, ln(1 x), (1 x) 等） 的n阶导数。
因此求微分dy，只要求出导数（x），再 乘以dx即可。从而根据导数的基本公式 和四则运算法则，可以得到函数微分的 基本公式及其运算法则。


f'
3、微分形式的不变性，对函数y=f(u)来 说，不论u是自变量还是中间变量。函数 微分dy=(u)du的形式是完全一样的，这 就叫微分形式的不变性。 利用一阶微分形式的不变性，可以计 算复合函数的微分，进而得到函数的导 数。 4、微分的几何意义，函数y=f(x)的微 分dy，在几何上就是过点M（x,y）的切 线的纵坐标的改变量。


(9)(secx) =secxtenx , (10)csc(x) =-csc x cot x (11)(arcsinx) =1/√ 1-x (-1<x<1)
2 ,
,
_
(12)(arccosx) =1/√ 1-x (-1<x<1)
2
,
_


(13)(arctamx) =1/1+x , 2 (14)(arc cotx) =-1/1+x
Байду номын сангаас
结论：在（a,b）内至少存在一点，使得 f ' ( ) =0 罗尔定理在确定方程的根中的作用： 若f(x)满足定理条件，则方程f(x) =0的两 个根之间必有方程 f ' ( x) 0 的一个根。 2、拉格朗日中定值定理，条件：如 果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b] 上连续；（2）在开区间（a,b）内可 导。
,
2

对导数基本公式的记忆要准确熟练，它 是求导数的基础，并由它们可推导出微 分公式和积分公式，公式中带“余”字 的三角函数、反三角函数均有负号
[c u( x)]' cu' ( x)

(u v)' u'v'
(u v)' u' v uv'
u u ' v uv' ( )' (v 0) 2 v v
高等数学（1）学习方法指导 （二） [内容] 第三章 导数与微分； 第四
章 导数的应用





[基本要求] 一、导数概念 1、理解导数由具体的变化率问题抽象而产生 的概念，知道导数值与导数的联系与区别。 2、理解函数的导数与变化率的关系，导数的 几何意义，掌握求曲线在一点的切线的方法。 3、理解函数可导与连续之间的关系。 4、能利用定义求函数在一点处导数的方法， 会求分段函数在分段点处的导数。
[内容提要] 一、导数概念

导数是由具体的变化率问题（变速直线 运动的瞬时速度和曲线的切线的斜率） 抽象而产生的，它以极限为基础，是极 限概念的具体应用。


1、定义：设函数y=f(x)在点的某个邻域 内有定义，当自变量在处取得改变量， 函数f(x)取得相应的改变量=f(+)-f()，如 果当0时，极限存在. 存在，则称此极限值为函数f(x)在点处的 导数，并称函数f(x)在点处可导.
y x x
0Δ lim→0△y／Δx=∞ 1 χ lim lim 0 Δx 2 →0+Δy／Δx与Δx →Δy／Δx存在

lim
x

0

y x
。 2、左导数和右导数



若=存在，称之为f(x)在点处的左导数， 记作； 若=存在，称之为函数f(x)在点处的右 导数，记作。 函数y=f(x)在点处可导的充分必要条 件是f(x)在点处的左、右导数都存在且相 等。
（1）
（2）
在点a的某个邻域内（点 a可以除外）可导，且
f ' ( x) （3） x a g ' ( x) A(或) lim
g ' ( x) 0
；
结论：必有
f ( x) x a g ( x)
lim
f ' ( x) A(或) x a g ' ( x)
lim
x a改成x 法则也有效



3、复合函数求导法则，若函数y=f(u)及 u=均可导，则 , dy/dx=f (u) 即复合函数的导数等于复合函数对中间 变量的导数乘以中间变量对自变量的导 数。 法则适用于有限次复合的函数。



即复合函数的导数等于复合函数对中间 变量的导数乘以中间变量对自变量的导 数。 法则适用于有限次复合的函数。 4、隐函数求导法则。若y=f(x)是由方 程F（x.,y）=0确定的可导函数，则其导 数可由方程

（ a< b 成 立 ， 或 ） f(b)=f(a)+ f ' ( )(b a) （称中值公式）。 说明：罗尔定理和拉格朗日中值定 理的条件是严格的，条件不满足， 结论就不一定成立；但条件仅是充 分条件，即若定理条件不满足，结 论也有可能成立
f ' ( ) f (b) f (a) ba