序轴标根法

序轴标根法
序轴标根法法的原理是初中学过的实数乘（除）法的符号法则：几个因数相乘，如果负因子的个数为奇数，则积为负号；如果负因子的个数为偶数，则积有正号。

下举例说明：
一般地，设有一元n次不等式，(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-x n)＞0，其中x1＜x2＜…＜x n，下面用“序轴标根法”来求它的解集：
第一步：找到它的n个根x1,x2,…,x n；
第二步：按以小到大次序从左到右在数轴上标上这n个根；
第三步：画线穿根——从x n的右边自x轴上方起画——曲线穿过x n到x轴下方，再穿过x n-1回到x轴上方，再穿过x n-2到x轴下方，这样依次穿下穿上，直至穿过最后一个根x1；
第四步：根据图象得到(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-x n)＞0的解集：曲线在x轴上方的弧段对应的x轴上相应区间的并集。

顺便地，曲线在x轴下方的弧段对应的x轴上的相应区间的并集，就是不等式(x-x1)(x-x2)(x-x3)…(x-x n)＜0的解集。

“序轴标根法”，它的精髓和根本之处却只是实数乘法的符号法则的应用，形数结合的数学思想的应用。

“序轴标根法”是一种“机械化”的或曰“程序化”的解一元不等式的方法，对于一元有理不等式，包括一元一次，一元二次，一元高次不等式，有理分式不等式，它都是一把利剑，一件攻无不克，战无不胜的利器。

如果因式分解和不等式性质掌握得好，用“序轴标根法”解一元有理不等式，简直是“削铁如泥”。

例1.求一元三次不等式x(x+3)(x-1)＞0的解集。

【巧解】：第一步：找到x(x+3)(x-1)=0的根，0，-3，1。

第二步：按从小到大次序从左到右在数轴上标上这三个根。

第三步：画线穿根——从1的右边自x轴上方起画一曲线穿过1到x轴下方，再穿过0回到x轴上方，再穿过-3到x轴下方。

第四步：根据图象得到x(x+3)(x-1)＞0的解集为{x∣-3＜x＜0或x＞1 。

下面用表格来具体地阐释一个一元五次不等式的数轴标根法解法原理：
例2：解不等式(x2-1)(x2-4x-12)(x-4)＞0
【巧解】：整理不等式（因式分解，并按根从小到大，从左到右排列诸因式）得：(x+2)(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)＞0
“序轴标根”：
1
}
所求解集为{x∣-2＜x＜-1或1＜x＜4或x＞6
上表说明如下：
①最左边一列按照根从小到大从上到下依次排列5个因式，最下边是它们的连乘积，也就是原不等式左边的分解式；
②第二行右侧将根从小到大从左到右依次标在数轴上，5个根将数轴划分为6个区间，从左到右依次是：（-∞，-2），（-2，-1），（-1，1），（1，4），（4，6），（6，+∞）
③从最右边一列开始，从下往上看：在（6，+∞）上，5个因式的值均取正号，故在区间上，
(x+2)(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)取正号；
在区间（4，6）上，除x-6取“－”号外，其它四个因式取“＋”号，(x+2)(x+1)(x-1)(x-4)(x-6)取“－”号；
在区间（1，4）上，(x-6)(x-4)两个因式取“－”号；其他三个因式取“＋”号，故五个因式之积取“＋”号；
在（-1，1）上，x-6,x-4,x-1三个因式取“－”号，其余两个因式取“＋”号，故五个因式之积取“－”号；
在(-∞,-1)上，x-6,x-4,x-1,x+1四个因式取“一”号，其余一个因式取“＋”号，故五个因式之积取“＋”号；
在(-∞,-2)上，五个因式均取“一”号，故其积取“一”号。

如果从右到左考察多个区间，可发现规律如下：
最右边一个区间上，诸因式符号全“＋”；从右到左每向左一个区间，负因子依次增加1个，因此各因式之积的符号，在最右边区间上取“＋”号，而由右到左多区间内，依次取“＋”、“－”、“＋”、“一”，…，正负相间，极有规律。

这就是为什么“穿线”要从最右边的根的右上方向左下方穿起，而各在x轴上方的曲线弧段对应的区间并集就是(x-x1)(x-x2)…(x-x n)＞0的解集的道理。

例3．解不等式x(x-3)(x+1)(x-2)＜0
【巧解】：整理不等式得(x+1)x(x-2)(x-3)＜0
“序轴标根”：
}
所求解集为{x∣-1＜x＜0或2＜x＜3
2。