第4讲算法初步、复数
小学数学十年级认识复数的加减乘除运算
小学数学十年级认识复数的加减乘除运算复数在数学中是一个非常重要的概念，它扩展了实数概念，使得数学的运算更加广泛和灵活。
小学数学十年级，学生需要开始认识复数以及复数的加减乘除运算。
本文将详细介绍小学数学十年级认识复数的加减乘除运算。
1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
在复数中，a 称为实部，b称为虚部。
2. 复数的加减运算复数的加减运算与实数的加减运算类似。
当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加；当两个复数相减时，实部与实部相减，虚部与虚部相减。
例如，(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i，(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
3. 复数的乘法运算复数的乘法运算也可以采用分配律来进行计算。
当两个复数相乘时，实部与实部相乘减去虚部与虚部相乘的结果，再加上实部与虚部相乘的结果。
例如，(a+bi) * (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
4. 复数的除法运算复数的除法运算和乘法运算类似，也可以用分配律进行计算。
首先，将被除数和除数都乘以除数的共轭复数，然后按照乘法运算的规则进行计算。
最后，用除数的实部的平方加上虚部的平方作为分母进行约分。
例如，(a+bi) / (c+di) = ((ac+bd) / (c^2+d^2)) + ((bc-ad) / (c^2+d^2))i。
在小学数学十年级，学生需要掌握复数的加减乘除运算，并能熟练地应用到各种实际问题中。
通过多做练习，学生可以逐渐提高对复数运算的理解和运用能力，进一步拓宽数学思维和解决问题的能力。
总结起来，小学数学十年级认识复数的加减乘除运算，包括复数的定义、加减运算、乘法运算和除法运算。
掌握这些运算规则，并能够熟练地应用到实际问题中，对学生的数学学习和发展都具有重要的促进作用。
复数的知识点总结
复数的知识点总结一、复数概述复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分组成。
虚数单位i定义为i² = -1，其中i是一个虚数。
复数可表示为a + bi的形式，其中a是实数部分，bi 是虚数部分。
二、复数运算1. 复数加法和减法复数的加法和减法按照实部和虚部分别进行运算，即将实部相加或相减，并将虚部相加或相减。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的和可以表示为z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i，差可以表示为z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。
2. 复数乘法复数乘法采用分配律和虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的乘积可以表示为z₁ * z₂ = (a₁ * a₂ - b₁ * b₂) + (a₁ * b₂ + a₂ * b₁)i。
3. 复数除法复数除法是将分子和分母同乘以分母的共轭，并利用虚数单位的平方等于-1的性质进行计算。
例如，给定复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i，它们的除法可以表示为z₁ / z₂ = ((a₁ * a₂ + b₁ * b₂) / (a₂² + b₂²)) + ((a₂ * b₁ - a₁ * b₂) / (a₂² + b₂²))i。
三、复数的共轭和模1. 复数的共轭复数的共轭是保持实部相同而虚部变号的操作。
复数a + bi的共轭可以表示为a - bi，其中a是实部，b是虚部。
2. 复数的模复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数a + bi的模可以表示为√(a² + b²)。
四、复数的指数形式和三角形式1. 复数的指数形式复数可以用指数形式表示为re^(iθ)，其中r是模，θ是辐角。
2. 复数的三角形式复数的三角形式是指使用三角函数表示复数。
中学数学认识复数与复数运算
中学数学认识复数与复数运算复数是数学中一种重要的概念，学习和掌握复数及其运算对于中学数学的学习至关重要。
在本文中，我们将介绍和探讨中学数学中关于复数的认识与复数运算。
一、认识复数复数是由实数和虚数构成的数，它可以表示为 a + bi 的形式，其中a和b都是实数，i表示虚数单位。
实数部分a代表复数的实部，虚数部分b乘以虚数单位i代表了复数的虚部。
例如，5 + 3i就是一个复数，其中实部是5，虚部是3。
复数域相当于实数域的扩充，它能够解决一些实数下无解的问题，比如求方程x^2 = -1的解。
这时，利用复数单位i，我们可以得到x的两个解±i。
二、复数运算1. 复数的加法和减法复数的加法和减法运算与实数的加法和减法运算类似，将实部和虚部分别相加或相减即可。
例如，(2 + 3i) + (5 - 2i) = 7 + i 和 (2 + 3i) - (5 -2i) = -3 + 5i。
2. 复数的乘法复数的乘法是根据分配律和虚数单位i的平方等于-1来定义的。
例如，(2 + 3i) * (5 - 2i) = 10 + 15i - 4i - 6 = 4 + 11i。
3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式进行计算。
例如，(5 + 2i) ÷ (2 + 3i)可以转化为(5 + 2i) * (2 - 3i) ÷ (2 + 3i) * (2 - 3i)，然后按照乘法运算规则进行计算，最后化简得到结果。
三、复数的性质1. 共轭复数对于复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。
两个共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。
例如，对于复数3 + 2i，它的共轭复数是3 -2i。
2. 模和幅角复数a + bi的模定义为√(a^2 + b^2)，表示复数到原点的距离。
复数a + bi的幅角定义为与正实轴之间的夹角，可以使用反正切函数进行计算。
3. 欧拉公式欧拉公式是关于复数的一个重要公式，它将自然对数的底e、虚数单位i以及三角函数联系起来。
复数的概念及其运算法则
复数的概念及其运算法则复数是数学中的一个重要概念，它由实数部分和虚数部分构成。
在本文中，我们将介绍复数的概念、表示方法以及复数的运算法则。
一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，形如 a+bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。
虚数单位 i 是定义为√-1，虚数部分b 可以是任意实数。
复数的实部和虚部分别表示为 Re(z) 和 Im(z)，其中 z 是一个复数。
如果复数 z=a+bi 中实数部分 a=0，则该复数被称为纯虚数；如果虚数部分 b=0，则该复数被称为实数。
复数的模表示为 |z|，即复数 z 的绝对值。
复数的表示方法有多种形式，常见的包括代数形式、三角形式和指数形式。
代数形式即复数的标准表示形式 a+bi；三角形式通过模和幅角来表示复数，形如|z|cosθ+|z|sinθi，其中θ 是复数的辐角；指数形式则是使用指数函数表示复数，形如|z|e^(iθ)。
二、复数的运算法则1. 复数的加法与减法复数的加法与减法可以通过实部和虚部分别进行运算。
设z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，则它们的加法和减法如下：- 加法：z1+z2=(a+c)+(b+d)i- 减法：z1-z2=(a-c)+(b-d)i2. 复数的乘法复数的乘法可以通过实部和虚部进行计算。
设 z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，则它们的乘法运算如下：z1*z2=(a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i3. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的形式来实现。
设 z1=a+bi，z2=c+di 为两个复数，z2 ≠ 0，则它们的除法运算如下：z1/z2=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i需要注意的是，对于复数的运算，虚数单位 i 具有如下性质：- i^2=-1- i^3=-i- i^4=1这些性质在复数运算过程中应用广泛。
高考数学二轮复习 专题 算法初步、复数课件文 新人教版
题型二 循环结构 例2 (2010年高考山东卷)执 行如图所示的程序框图，若 输入x＝10，则输出y的值为 __________．
【解析】 输入 x＝10，则 y＝12×10－1＝4， ∵|4－10|＜1 不成立，所以进入循环 y＝4→x，y＝12×4 －1＝1，|1－4|＜1 不成立，y＝1→x，y＝12×1－1＝－12， |－12－1|＜1 不成立，y＝－12→x，y＝12×(－12)－1＝－54， 因为|－54－(－12)|＜1，所以退出循环，输出 y＝－54.
的点是( )
A．E
B．F
C．G
D．H
解析：选 D.由图知复数 z＝3＋i， ∴1＋z i＝31＋ ＋ii＝31＋＋ii11－－ii＝ 4－2 2i＝2－i. ∴表示复数1＋z i的点为 H.
答案：729
题型三 复数的运算
例3 (本题满分 5 分)设 a，b 为实数，若复数1a＋ ＋2bii
＝1＋i，则( )
A．a＝23，b＝12
B．a＝3，b＝1
C．a＝21，b＝32
D．a＝1，b＝3
【规范解答】 选 A.∵1a＋ ＋2bii＝1＋i， ∴a＋bi＝11＋＋2ii＝11＋＋2ii11－－ii＝3＋2 i， ∴a＝32，b＝12…..5 分
方法突破 例 给出一个如图所示的程序框图，若 要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的 x值的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 当 x≤2 时，y＝x2＝x，解得 x1＝0， x2＝1； 当 2＜x≤5 时，y＝2x－3＝x，解得 x3＝3； 当 x＞5 时，y＝1x＝x，解得 x＝±1(舍去)， 故 x 可为 0,1,3.
算法初步、复数
要点知识整合
第14篇 算法初步、推理与证明、复数(DOC)
第十四篇算法初步、推理与证明、复数第1讲算法的含义及流程图知识梳理1．算法与流程图(1)算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．(2)流程图是由一些图框和流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序．2．三种基本逻辑结构(1)顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为(2)选择结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式，也称为分支结构．其结构形式为(3)循环结构是指在算法中，需要重复执行同一操作的结构．反复执行的处理步骤称为循环体．循环结构又分为当型和直到型．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和，累乘求积等问题常常需要用循环结构来设计算法．其结构形式为3．赋值语句、输入语句、输出语句赋值语句用符号“←”表示，其一般格式是变量←表达式(或变量)，其作用是对程序中的变量赋值；输入语句“Read a，b”表示输入的数据依次送给a，b，输出语句“Print x”表示输出运算结果x.4．算法的选择结构由条件语句来表达，条件语句有两种，一种是If－Then－Else语句，其格式是5．算法中的循环结构，可以运用循环语句来实现．(1)当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示“For”语句的一般形式为说明：上面“For”和“End for”之间缩进的步骤称为循环体，如果省略“Step步长”，那么重复循环时，I每次增加1.(2)不论循环次数是否确定都可以用下面循环语句来实现当型和直到型两种语句结构．当型语句的一般格式是直到型语句的一般格式是学生用书第188页1．对算法概念的认识(1)任何算法必有条件结构．(×)(2)算法可以无限操作下去．(×)2．对程序框图的认识(3)▱是赋值框，有计算功能．(×)(4)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．(×)(5)(2012·江西卷改编)下图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果是3.(√)3．对算法语句的理解(6)5＝x是赋值语句．(×)(7)输入语句可以同时给多个变量赋值．(√)[感悟·提升]三点提醒一是利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；二是注意输入框、处理框、判断框的功能，不能混用，如(3)；三是赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式.考点一基本逻辑结构【例1】(1)(2013·山东卷改编)执行两次如图1所示的流程图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为________．图1图2(2)(2013·广东卷改编)执行如图2所示的流程图，若输入n的值为3，则输出s的值是________．解析(1)执行流程图，第一次输入a＝－1.2＜0，a＝－0.2＜0，a＝0.8＞0且0.8＜1，故输出a＝0.8；第二次输入a＝1.2＞0且1.2＞1，a＝0.2＜1，故输出a＝0.2.(2)第1次执行循环：s＝1，i＝2(2≤3成立)；第2次执行循环：s＝2，i＝3(3≤3成立)；第三次执行循环：s＝4，i＝4(4≤3不成立)，结束循环，故输出的s＝4.答案(1)0.8,0.2(2)4规律方法此类问题的一般解法是严格按照流程图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．【训练1】(2013·天津卷改编)阅读下边的流程图，运行相应的程序，则输出n的值为________．解析第1次，S＝－1，不满足判断框内的条件；第2次，n＝2，S＝1，不满足判断框内的条件；第3次，n＝3，S＝－2，不满足判断框内的条件；第4次，n＝4，S ＝2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n ＝4.答案 4考点二 流程图的识别与应用问题【例2】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)执行如图1的流程图，如果输入的N ＝4，那么输出的S ＝________.图1 图2 学生用书第189页①1＋12＋13＋14；②1＋12＋13×2＋14×3×2；③1＋12＋13＋14＋15；④1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×2(2)(2013·重庆卷改编)执行如图2所示的流程图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是________．①k ≤6；②k ≤7；③k ≤8；④k ≤9解析 (1)由框图知循环情况为：T ＝1，S ＝1，k ＝2；T ＝12，S ＝1＋12，k ＝3；T ＝12×3，S ＝1＋12＋12×3，k ＝4；T ＝12×3×4，S ＝1＋12＋12×3＋12×3×4，k ＝5＞4，故输出S .(2)首次进入循环体，s ＝1×log 23，k ＝3；第二次进入循环体，s ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3＝2，k＝4；依次循环，第六次进入循环体，s＝3，k＝8，此时终止循环，则判断框内填k≤7.答案(1)②(2)②规律方法识别、运行流程图和完善流程图的思路(1)要明确流程图的顺序结构、选择结构和循环结构．(2)要识别、运行流程图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．【训练2】(2013·福建卷改编)阅读如图所示的流程图，若输入的k＝10，则该算法的功能是________．①计算数列{2n－1}的前10项和；②计算数列{2n－1}的前9项和；③计算数列{2n－1}的前10项和；④计算数列{2n－1}的前9项和．解析由流程图可知：输出S＝1＋2＋22＋…＋29，所以该算法的功能是计算数列{2n－1}的前10项的和．答案①考点三基本算法语句【例3】(2014·南京调研)写出下列伪代码的运行结果．(1)图1的运行结果为________；(2)图2的运行结果为________．解析(1)图1的伪代码是先执行S←S＋i，后执行i←i＋1∴S＝0＋1＋2＋…＋(i－1)＝(i－1)i2>20，∴i的最小值为7.(2)图2的伪代码是先执行i←i＋1，后执行S←S＋i，∴S＝0＋1＋2＋…＋i＝i(i＋1)2>20.∴i的最小值为6.答案(1)7(2)6规律方法编写伪代码的关键在于搞清问题的算法，特别是算法结构，然后确定采取哪一种算法语句．【训练3】下面是一个算法的伪代码，如果输入的x的值是20，则输出的y的值是________．解析∵x＝20>5，∴执行赋值语句y＝7.5x＝7.5×20＝150.答案1501．在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性．2．算法的思想与数学知识的融合会是新高考命题的方向，要注意此方面知识的积累．3．条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定的两个数的大小等问题都要用到条件语句．4．循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决遇到需要反复执行的任务时，用循环语句编写伪代码．学生用书第190页教你审题12——算法语句的识别与读取【典例】 (2013·陕西卷改编)根据如图所示的伪代码，当输入x 为60时，输出y 的值为________．[审题] 一审图：本题是一个含条件语句的伪代码．二审过程：实际是一个分段函数求值问题．三审结论：要求y 值，应根据x 的取值找对应的解析式．解析 通过阅读理解知，算法语句是一个分段函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6(x －50)，x ＞50，∴y ＝f (60)＝25＋0.6×(60－50)＝31.答案 31[反思感悟] 计算机在执行条件语句时，首先对If后的条件进行判断，如果条件符合，就执行Then后的语句1，若条件不符合，对于If—Then—Else语句就执行Else 后的语句2，然后结束这一条件语句．对于If—Then语句，则直接结束该条件语句．【自主体验】为了在运行下面的伪代码后输出y＝16，应输入的整数x的值是________．解析当x<0时，由(x＋1)2＝16得x＝－5；当x≥0时，由1－x2＝16得x2＝－15，矛盾．答案－5基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)执行如图所示的流程图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s的范围为________．解析 作出分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，－1≤t ＜1，－t 2＋4t ，1≤t ≤3的图象(图略)，可知函数s 在[－1,2]上单调递增，在[2,3)上单调递减，s (－1)＝－3，s (2)＝4，s (3)＝3，∴t ∈[－1,3]时，s ∈[－3,4]．答案 [－3,4]2. (2013·北京卷)执行如图所示的流程图，输出的S 值为________．解析 初始条件i ＝0，S ＝1，逐次计算结果是S ＝23，i ＝1；S ＝1321，i ＝2，此时满足输出条件，故输出S ＝1321.答案13 213．按照下面的算法进行操作：S1x←2.35S2y←Int(x)S3Print y最后输出的结果是________．解析Int(x)表示不大于x的最大整数．答案 24．下面伪代码的结果为________．解析计算1＋2＋3＋4＋5的值．该伪代码是1＋2＋3＋4＋5＝15.答案155．(2013·福建卷改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的算法，如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10,20)，那么n的值为________．解析第一次运行，S＝1，k＝2；第二次运行，S＝3，k＝3；第三次运行，S＝7，k＝4；第四次运行，S＝15，k＝4.答案 4第5题图第6题图6．(2013·湖南卷改编)执行如图所示的流程图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a 的值为________．解析第一次循环，a＝1＋2＝3，第二次循环，a＝3＋2＝5，第三次循环，a＝5＋2＝7，第四次循环，a＝7＋2＝9＞8，满足条件，输出a＝9.答案97．(2013·江苏卷) 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．解析第一次循环：a＝8，n＝2；第二次循环：a＝26，n＝3.答案 38．如下给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是________．答案求下列函数当自变量输入值为x 时的函数值f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x <32，x ＝3x 2－1，x >39．(2014·临沂一模)某流程图如图所示，该算法运行后输出的k 的值是________．解析 第一次循环，S ＝20＝1，k ＝1；第二次循环，S ＝1＋21＝3，k ＝2；第三次循环，S ＝3＋23＝11，k ＝3；第四次循环，S ＝11＋211，k ＝4；第五次循环S ＝11＋211≤100不成立，输出k ＝4. 答案 410．(2014·枣庄模拟) 如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M 的值是________．解析 本算法计算的是S ＝1＋2＋22＋…＋2A ，即S ＝1－2A ＋11－2＝2A ＋1－1，由2A ＋1－1＝31得2A ＋1＝32，解得A ＝4，则A ＋1＝5时，条件不成立，所以M ＝4. 答案 4能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·南通调研)根据如图的算法，输出的结果是________．解析 S ＝1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55. 答案 552．(2014·泰州调研)如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________．解析 流程图的执行如下：当I ＝8时，b ＝34，退出循环． 答案 343．(2013·辽宁卷)执行如图所示的流程图，若输入n ＝8，则输出S ＝________. 解析 S ＝S ＋1i 2－1的意义在于对1i 2－1求和．因为1i 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1i －1－1i ＋1，同时注意i ＝i ＋2，所以所求的S ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＝49. 答案 49第3题图第4题图4．(2013·湖北卷)阅读如图所示的流程图，运行相应的算法．若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.解析i＝1，A＝2，B＝1→i＝2，A＝4，B＝2→i＝3，A＝8，B＝6→i＝4，A＝16，B＝24，满足A＜B，输出i＝4.答案 45．(2014·淄博二模) 执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则输入的数是________．解析由a≥b得x2≥x3，解得x≤1.所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b＝x3.所以当x≤1时，由a＝x2＝8，解得x＝－8＝－2 2.若x＞1，由b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－2 2.答案2或－2 26．(2014·丽水模拟) 依据小区管理条例，小区编制了如图所示的住户每月应缴纳卫生管理费的流程图，并编写了相应的算法．已知小张家共有4口人，则他家每个月应缴纳的卫生管理费(单位：元)是________．解析当n＝4时，S＝5＋1.2×(4－3)＝6.2.答案 6.2学生用书第191页知识梳理1．归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理．或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)归纳推理的特点①归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；②归纳推理的结论不一定为真；③归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠．2．类比推理(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理，称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理．(2)类比推理的特点①类比推理是由特殊到特殊的推理；②类比推理属于合情推理，其结论具有或然性，可能为真，也可能为假；③类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，类比得出的命题就越可靠．3．演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2)演绎推理的特点①演绎推理是由一般到特殊的推理；②当前提为真时，结论必然为真．(3)演绎推理的主要形式是三段论，其一般模式为：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．辨析感悟1．对合情推理的认识(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n ∈N*)．(×)(5)(2014·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.(√)2．对演绎推理的认识(6)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)[感悟·提升]三点提醒一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)．三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．如(7).学生用书第192页考点一归纳推理【例1】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为n(n＋1)2＝12n2＋12n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ， 六边形数N (n,6)＝2n 2－n……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 解析 由N (n,3)＝12n 2＋12n ， N (n,4)＝22n 2＋02n ， N (n,5)＝32n 2＋－12n ， N (n,6)＝42n 2＋－22n ，推测N (n ，k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －22n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－k 2n ，k ≥3. 从而N (n,24)＝11n 2－10n ，N (10,24)＝1 000. 答案 1 000规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 【训练1】 (1)(2014·佛山质检)观察下列不等式： ①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜ 3. 则第5个不等式为________． (2)(2013·陕西卷)观察下列等式 (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析 (2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×5×…×(2n －1)．答案 (1)12＋16＋112＋120＋130＜ 5 (2)(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)考点二 类比推理【例2】 在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”．审题路线 三角形面积类比为四面体的体积⇒三角形的边长类比为四面体四个面的面积⇒内切圆半径类比为内切球的半径⇒二维图形中12类比为三维图形中的13⇒得出结论．答案 V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r规律方法 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．【训练2】 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的四维测度W ＝2πr 4，猜想其三维测度V ＝________.解析 由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V ＝W ′＝(2πr 4)′＝8πr 3.答案 8πr 3考点三 演绎推理【例3】 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列； (2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n ＋1n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提)∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件) 学生用书第193页规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．【训练3】 “因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 14x 是对数函数(小前提)，所以y＝log1x是增函数(结论)”，以上推理的错误是________．4①大前提错误导致结论错误；②小前提错误导致结论错误；③推理形式错误导致结论错误；④大前提和小前提错误导致结论错误．解析当a＞1时，函数y＝log a x是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝log a x是减函数．故大前提错误导致结论错误．答案①1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．创新突破12——新定义下的归纳推理【典例】(2013·湖南卷)对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，ai k}，(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于______；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．突破1：读懂信息❶，对于集合X＝{ai1，ai2，…，ai k}来说，定义X的“特征数列”为x1，x2，…，x100是一个新的数列，该数列的xi1＝xi2＝…＝xi k＝1，其余项均为0.突破2：通过例子❷：“子集{a 2，a 3}的特征数列为0,1,1,0，0，…，0”来理解“特征数列”的特征；第2项，第3项为1，其余项为0.突破3：根据p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1可写出子集P 的“特征数列”为：1,0,1,0,1,0，…，1,0，归纳出子集P ；同理，子集Q 的特征数列为1,0,0,1,0,0，…，1,0,0，归纳出子集Q .突破4：由P 与Q 的前几项的规律，找出子集P 与子集Q 的公共元素即可． 解析 (1)根据题意可知子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0，…，0，此数列前3项和为2.(2)根据题意可写出子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1，0，…，1,0，则P ＝{a 1，a 3，…，a 2n －1，…，a 99}(1≤n ≤50)，子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，则Q ＝{a 1，a 4，…，a 3k －2，…，a 100}(1≤k ≤34)，则P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，…，a 97}，共有17项．答案 (1)2 (2)17[反思感悟] 此类问题一定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合， 细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力．【自主体验】若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n 总满足1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析 已知1n [f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )]≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，(大前提)因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，(小前提)所以f (A )＋f (B )＋f (C )≤3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3，(结论) 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案 332基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理________．①结论正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④全不正确．解析 f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确． 答案 ③2．(2014·西安五校联考)观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出第n 个式子的结论：________.解析 各等式的左边是第n 个自然数到第3n －2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2. 答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)23．若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，且通项为S n n ＝a 1＋(n －1)·d 2，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，前n 项的积为T n ，则________．答案 数列{n T n }为等比数列，且通项为n T n ＝b 1(q )n －14．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________. 解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．答案 －g (x )5．(2012·江西卷改编)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于________．解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 答案 1236．(2014·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a ＞0，且a ≠1，下面正确的运算公式是________． ①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．解析 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，因此有2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．答案 ③④7．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”．以上式子中，类比得到的结论正确的是________．解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．答案 ①②8．(2014·南京一模)给出下列等式：2＝2cos π4，2＋2＝2cos π8，2＋2＋2＝2cos π16，请从中归纳出第n 个等式：2＋…＋2＋2＝________. 答案 2cosπ2n ＋1 二、解答题9．给出下面的数表序列：表1 表2 表31 1 3 1 3 54 4 812 …其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．解 表4为 1 3 5 74 8 1212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．10．f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝3 3.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋131－x＋3＝13x＋3＋3x3＋3·3x＝13x＋3＋3x3(3＋3x)＝3＋3x3(3＋3x)＝33.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2012·江西卷改编)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．解析由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.答案802．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．解析9－1＝(1＋2)2－12＝4(1＋1)，16－4＝(2＋2)2－22＝4(2＋1)，25－9＝(3＋2)2－32＝4(4＋1)，36－16＝(4＋2)2－42＝4×(5＋1)，…，一般地，有(n＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*)．答案(n＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*)3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．解析(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(2＋22)×2×1 2＝3，N＝1，L＝6.(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.S△ABC＝4b＋c＝1.在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝12.c＝－1.∴S＝N＋12L－1，∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝71＋12×18－1＝79.答案(1)3,1,6(2)79二、解答题4．(2012·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－1 4＝3 4.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sinα·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.学生用书第194页知识梳理1．直接证明(1)综合法定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．这样的思维方法称为综合法．(2)(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(3)分析法定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法．(4)2．间接证明(1)反证法定义：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一．我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．(2)反证法的证题步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．辨析感悟对三种证明方法的认识(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(×)(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(√)(4)证明不等式2＋7＜3＋6最合适的方法是分析法．(√)[感悟·提升]两点提醒一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这。
高三数学二轮复习 专题六第四讲算法初步、复数
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第四讲
算法初步、复数
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1．程序框图的三种逻辑结构：
顺序结构、条件结构、循环结构．
2．复数的相关概念及运算法则
(1)共轭复数
a－bi
复 数 z ＝ a ＋ bi(a 、 b∈R) 的 共 轭 复 数 z
＝
.
a2＋b2
则 z－z －z－1＝
A．－2i
B．－i
C．i
D．2i
解析 ∵z＝1＋i，∴－z ＝1－i， ∴z·－z ＝|z|2＝2， ∴z·－z －z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.
答案 B
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3．(2011·课标全国卷)执行如图所示的
程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
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A．120
B．720
C．1 440 D．5 040
解析 当输入的N是6时，由于k＝1，p＝1，因此p＝ p·k＝1.此时k＝1，满足k＜6，故k＝k＋1＝2.
当k＝2时，p＝1×2，此时满足k＜6，故k＝k＋1＝3.
当k＝3时，p＝1×2×3，此时满足k＜6，故k＝k＋1＝
4.
当k＝4时，p＝1×2×3×4，此时满足k＜6，故k＝k＋
加 减 法 ： (a ＋ bi)±(c ＋ di)
＝
acc2＋ ＋.bdd2 ＋bcc2－＋add2 i
乘 法 ： (a ＋ bi)(c ＋ di)
＝
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.
1．(2011·四川)复数－i＋1i ＝ A．－2i C．0
B.12i D．2i
解析 －i＋1i ＝－i－i＝－2i.
答案 A
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复数的基本性质与运算法则
复数的运算法则
复数的基本性质
复数的模
定义：复数z的模定义为√(a²+b²)，其中a是实部，b是虚部
几何意义：表示复数在复平面上的点到原点的距离
性质：非负性，即复数的模总是非负的；共轭复数的模相等；若两个复数相等，则它 们的模也相等
运算性质：复数的加、减、乘、除运算对模有相应的运算性质，如模的加法满足三角 不等式等
三角形式：r(cosθ + isinθ)，其中r是 模长，θ是辐角
指数形式： re^(iθ)，其中r是 模长，θ是辐角
极坐标形式： ρ(cosθ + isinθ)， 其中ρ是模长，θ是 辐角
复数的几何意义
复数在平面上的表示：实部和虚部 复数的模：表示复数的大小 复数的辐角：表示复数的角度 复数平面的极坐标：与直角坐标的转换
复数在数学中的 应用
在解析几何中的应用
复数用于计算向量的模
复数用于表示平面上的点
复数用于求解平面曲线方程
复数用于计算平面图形的面 积和周长
在物理学中的应用
交流电：复数用于表示交流电 的电压、电流和阻抗
信号处理：复数用于频谱分析 和滤波器设计
控制系统：复数用于描述系统 的传递函数和稳定性
量子力学：复数用于描述波函 数和算符
复数可以表示为平面坐标系中的点 或向量，实部为横坐标，虚部为纵 坐标。
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、
复 答案：729
数
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专 题
题型三 复数的运算
七
概
率
例3 (本题满分 5 分)设 a，b 为实数，若复数
与 统 计
1a＋ ＋2bii＝1＋i，则(
)
上 页
、 算 法 初 步
A．a＝32，b＝12
B．a＝3，b＝1
下 页
C．a＝12，b＝32 D．a＝1，b＝3
与 统
常常用在一些有规律的科学计算中，如：累加求和，
上 页
计 累乘求积，多次输入等.循环结构可以分为当型循环
、
算 结构和直到型循环结构. 法
下 页
初
步
、
复
数
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专 2．复数 题 七 (1)复数是实数的充要条件．
概 率
①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)．
与 ②z＝a＋bi∈R⇔z＝(a，b∈R)． 统
专
题
七
概
【思维拓展】 (1)熟练掌握复数的加减乘除四
率
则运算法则是解决此类问题的关键．
与 统
上
(2)在有关复数 z 的等式中，可设出 z＝a＋bi(a， 页
计
b∈R)，用待定系数法求解，也可把 z 看作自变量
、 算 法
直接求解．
下
(3)熟记一些常见的运算结果可提高运算速度， 页
初 步 、
(1±i)2＝±2i，11＋ －ii＝i，11－ ＋ii＝－i.
、 讨论思想，由于x取值不同，则对应关系不同，
复 数
分别在不同的对应关系下求出相应的x的取值．
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专
高考动态聚焦
题
七
考情分析
概
率 从近几年高考情况来看，本讲高考命题具有以下特
与 统
点：
上 页
计 1．以选择题、填空题的形式考查对算法的含义、
、 算
程序框图以及复数的概念与运算、复数的几何意义
专
题 七
【解析】 输入 x＝10，则 y＝12×10－1＝4，
概 率
∵|4－10|＜1 不成立，所以进入循环 y＝4→x，y＝12×4
与 统
－1＝1，|1－4|＜1 不成立，y＝1→x，y＝12×1－1＝－12，
上 页
计 、 算 法 初
|－12－1|＜1 不成立，y＝－12→x，y＝12×(－12)－1＝－54， 因为|－54－(－12)|＜1，所以退出循环，输出 y＝－54.
专
题
变式训练
七
概 2．阅读下列流程图，该程序输出的结果是
率 __________．
与
上
统
页
计
、
算 法
下 页
初
步
、
复
数
要点知识整合表示的一个循环结构，当a≥4时，才退
七 出循环体输出s的值．
概 由流程图可知，该程序先将1的值分别赋给了变量a，s，
率 与
专
热点突破探究
题 七
典例精析
概 题型一 条件结构
率 与 统 计
例1 设计一个算法，给出A(x1，y1)、B(x2，y2) 两点坐标，求直线AB的斜率，并画出程序 框图． 【解】 算法设计：
上 页
、
算 法
第一步，输入点的坐标 x1，y1，x2，y2.
下 页
初
第二步，判断 x1＝x2 是否成立；
步
、
若是，则输出“斜率不存在”，并结束．
复
数
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
变式训练 专
题 七
3．若复数z同时满足z－＝2i，＝iz(i为虚数单位)，
概 则|z|＝________
率 与
解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
上
统 计 、
则依题意得xx－＋yyi＝i－ixx＋－yyii，＝2i，
页
算 法 初
即x2－yi＝yi＝2i，xi－y， 解得yx＝＝1－. 1， 故 z
下 页
步
、 复 数
【答案】 －54
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专
题
七
概
【题后点评】本题考查程序框图中的循环结
率 与
构等知识，求解这类问题的关键是分清是当
上
统
型循环结构，还是直到型循环结构，再结合
页
计
、
具体条件确定程序框图的算法功能，最后求
算
法
出结果．
下 页
初
步
、
复
数
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
然后进入循环体，由于此时a＝1，则程序将s×9的值
上
统 赋给变量s，将a＋1的值赋给变量a，此时s的值为9，a 页
计 、
的值为2<4，则继续执行循环体，再一次将s×9的值赋
算 法 初
给变量s，将a＋1的值赋给变量a，此时s的值为92，a的
下 页
值为3<4，当程序第三次执行循环体时，s的值为93，a
步 的值为4＝4，此时程序退出循环输出s的值为93＝729.
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专 题 七
概
率
与
上
统 计
第4讲 算法初步、复数
页
、
算 法
下 页
初
步
、
复
数
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专 题
要点知识整合
七
概 率
1.程序（算法）框图的三个基本结构
与 （1）顺序结构：描述的是最简单的算法结构，是 统
上 页
计 任何一个算法中必不可少的结构，它表示语句与语
与
A．E
B．F
上
统 计
C．G
D．H
页
、 解析：选 D.由图知复数 z＝3＋i，
算 法 初
∴1＋z i＝31＋ ＋ii＝31＋＋ii11－－ii＝
下 页
步 、 复 数
4－2 2i＝2－i. ∴表示复数1＋z i的点为 H.
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专 题
3.(2010 年 高 考 北 京 卷 ) 已 知 函 数 y ＝
法 等．属于容易题和中档题，其中重点是考查算法的
下 页
初 步
逻辑结构．
、 2．复数是每年必考内容，多数是加减乘除运算，
复 数
以选择题或填空题形式出现，多为低难度题目．
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专
真题聚焦
题
七
1．(2010 年高考天津卷)i 是虚数单位，复数
概 率 与
－1＋1＋2i3i＝(
)
上
统
A．1＋i
B．5＋5i
页
计
C．－5－5i
D．－1－i
、
算 法 初 步
下
解析：选 A.－11＋＋2i3i＝－11＋＋23ii11－－2i2i＝5＋5 5i
页
、
＝1＋i.
复
数
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专 题 七 概 率
2．(2010 年高考湖北卷)若 i 为虚数单位， 图中复平面内点 Z 表示复数 z，则表示复数1＋z i 的点是( )
专
题
【解析】 当 x≤2 时，y＝x2＝x，解得 x1＝0，
七
x2＝1；
概 率 与 统
当 2＜x≤5 时，y＝2x－3＝x，解得 x3＝3； 当 x＞5 时，y＝1x＝x，解得 x＝±1(舍去)，
上 页
计
故 x 可为 0,1,3.
、
算 法
【答案】 C
下 页
初 步
【题后点评】本题是条件结构，当然要用到分类
专
变式训练
题
七
1.(2010年高考湖南卷)如图是求实数x的绝对值的算
概
率
法程序框图，则判断框①中可填
与 统
____________________．
上 页
计
、
算 法
下 页
初
步
、
复
数
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专
题
解析：本题主要考查条件分支结构的程序框图，
七
概
答案不惟一．
率
根据框图即可得出答案．
下 页
步
＝－1＋i.
、 复
∴|z|＝ 2.
数 答案： 2
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专
方法突破
题
七
例 给出一个如图所示的程序框图，若
概 率
要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的
与 统
x值的个数是(
)
上 页
计
、
算 法 初
A．1 B．2 C．3 D．4
下 页
步
、
复
数
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
率
围对应程序框图中的判断条件，填 x＜2；解析
与 统
式对应赋值框的内容，填 y＝log2x.
上 页
计
、
算 法
下 页
初
步 、
答案：x＜2 y＝log2x
复
数
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
专 题 4．(2010年高考安徽卷)如图所示，程序框图(算法
七
流程图)的输出值x＝__________.
概
率
与
上
统
页
计
、
算 法
下 页
初
步
、
复