法向量在高中立体几何题中的几点应用
法向量在立体几何中的应用分类解析
法向量在立体几何中的应用分类解析一、法向量在解决立体几何问题方面用着广泛的应用，下面我们就来详细总结下法向量在立体几何方面的各种应用吧。
1.用法向量证明空间几何中的平行关系⑴线线平行。
设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈.⑵线面平行。
设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=.⑶面面平行。
若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=.2. 用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。
设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=. ⑵线面垂直设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若0,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则 ⑶面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=.3. 利用向量求空间角。
⑴求异面直线所成的角已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BDθ⋅=⑵求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ， 则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a uϕθ⋅==⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角.如图：求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： 如果θ是锐角，则cos cos m n m nθϕ⋅==， 即arccosm n m nθ⋅=；如果θ是钝角，则cos cos m nm nθϕ⋅=-=-， 即arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=-⎪⎝⎭. 4. 利用向量求空间距离点A 到平面α的距离（1）.若点P 为平面α外一点，点M 为平面α内任一点，平面α的法向量为n ，则P 到平面α的距离就等于MP 在法向量n 方向上的投影的绝对值.即cos ,d MP n MP=n MP MP n MP⋅=⋅n MP n⋅=(2). 直线a 与平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。
法向量在立体几何中的应用总
法向量在立体几何中的应用（一）
1．向量法求夹角
直线a 与直线b 所成的角就是直线a 与b 的方向向量的夹角或补角。
2．向量法求线面角
如图，PA 是平面α的斜线，n
为平面α的法向量，设PA 与平面α所成的角是θ，
则sin AP n
AP n
θ=
3．法向量证明线面平行、面面平行和面面垂直
（1）已知n 为平面α的法向量，a 为平面α外直线a 的方向向量，若a n ⊥
，则//a α； （2）已知1n 、2n 分别为平面α、β的法向量，若12//n n ，则//αβ；若12n n ⊥
，则αβ⊥
法向量在立几中的应用（三）——求二面角的平面角
1．法向量求二面角的平面角
如图，平面α、β的法向量分别为1n 、2n
，则二面角的平面角θ与两个法向量的夹角12,n n α=<>
之间的关系为θα=或θπα=-
法向量在立体几何中的应用（二）
1．法向量求点面距
如图，PA 为平面α的一条斜线，n
为平面α的法向量，则 ()
cos 0AP n AO OP n OP n OP n OP n =+===
⇒ A P n OP n =
即点P 到平面α的距离公式为AP n d n
=
θ
3．异面直线的距离
如图，异面直线a 、b 的距离可以转化为两平行平面α、β的距离，n
为同时与a 、
b 的方向向量垂直的向量（即法向量）
，因此异面直线a 、b 的距离为 EF n d n =
其中，E 、F 分别为异面直线a 、b 上的任意点。
法向量的应用
法向量在立几中的应用随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。
利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算问题，尤其在求二面角和点到面的距离时，法向量有着它独有的优势−−不用作图而直接计算。
以下举例说明法向量在立几中的一些应用。
一 法向量的有关概念如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量。
二 法向量的主要作用 1 证明线面平行取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的点积是否为零。
2 证明面面垂直验证两个平面的法向量的点积是否为零。
3 求直线和直线所成的角利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。
4 求直线和平面所成的角如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则∠PAO 为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得|2sin(|sin -=πθ|cos ||cos ||cos |====5 求点到平面的距离如图点P 为平面外一点，点A一点，平面的法向量为n,过点P 作平面线PO ，记PA 和平面α所成的角为θ到平面的距离||||||sin ||||PA n PA n PA PA PO d ∙=∙===θ6 求二面角的大小如图在二面角βα--l 中n 1和n 2分别为 平面α和β的法向量若二面角βα--l记二面角βα--l 的大小为θ，若该二面角为锐二面角则=θ或-=πθ(依据两平面法向量的方向而定)，但总有|cos ||cos |=θ=||2121n n ∙所以此时||arccos 2121n n ∙=θ若二面角βα--l 为钝二面角则=θ或-=πθ(依据两平面法向量的方向而定)，但总有|||cos |=θ=2121所以此时||arccos2121n n ∙-=πθ三 法向量的求法如图，在正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F 分别为AA 1、AB 、BC 的中点，求平面GEF 的法向量。
法向量在立体几何解题中的应用
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法向量在立体几何解题中的应用
作者：魏庆鼎
来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期
高中数学教材引进了向量知识以后，为我们解决数学问题提供了一套全新的方法——向量法.向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中，是行之有效的方法，它解决了以前旧版教
材立几中的这两个难点.在旧版教材中，运用几何法解决这两类问题，要通过“作”、“证”、“求”，既要有较强的空间想象能力，又要求学生对空间中，线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用，对学生，特别是中下水平的学生是一大难点.而现在向量法则很好解决
了这个难点，所以它对人们研究立几问题有着普及的意义.同时向量法对立几中的线面平行和
线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明，也非常简便.
空间向量的引入使立体几何的解题变得直观、易懂.而“法向量”的灵活应用，给解决空间问题提供了一个很方便、实用的工具，会使我们在高考中快捷地解决立体几何问题.以下是本人
在教学过程中总结出来的关于“法向量”在立体几何中的一些应用.现把教学中得到的这些方法进行归类，供同行参考.
4.用法向量求二面角平面角的大小
求二面角的平面角的大小可先求出两个平面的法向量；则两法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补.此时，观察二面角的平面角为锐角还是钝角，视情况而定.
（注：在证明面面平行或面面垂直时，也可采用此法.如两面的法向量共线，即两平面平行；如两平面的法向量垂直，即两平面垂直）从以上的一些例题中，我们不难看出“法向量”这一特殊工具在立体几何的解题中的优越性.但在具体做题中，我们还应对不同的题型选择更便
捷的方法去做，视自己对知识掌握的情况而定.。
向量在立体几何中的几点应用
向量在立体几何中的几点应用向量在立体几何中的几点应用在数学中，向量是一个有大小和方向的量，它在几何中的应用非常广泛。
在立体几何中，向量也有着重要的应用，下面就来谈谈它的一些应用。
1.向量的叉积向量的叉积在立体几何中有着广泛的应用。
它定义了一个向量和一个法向量，这使得它适用于区分面积和体积，这是立体几何中很重要的概念。
在计算立体几何的体积时，有时需要利用向量的叉积。
例如，在计算一个四棱锥的体积时，可以用其底面上的两个向量构成一个平面向量，然后将这个平面向量与第五个顶点所在的向量做叉积，便可以得到该四棱锥的体积。
这个方法非常简单，而且不需要用到具体的高度或底面积这样的参数，因此，在计算体积时十分方便。
另一个例子是，在求解两条直线的交点时可以使用向量的叉积。
如果已知两个直线所在的平面，可以将它们所在的向量取叉积，便可以得到一个垂直于两条直线所在平面的向量，从而可以得到它们的交点。
这个方法也非常简单，而且不需要求解方程组，因此在计算交点时比较方便。
2.向量的点积向量的点积在立体几何中也有着很重要的应用。
它可以用来计算向量的夹角，从而在计算三角形的面积或四面体的体积等问题时十分方便。
例如，在计算三角形的面积时，可以用两个边向量之间的夹角及其对顶点到该边的距离来计算。
这就用到了向量的点积。
在计算四面体的体积时，我们可以用面积乘以高度来计算，而面积可以使用向量的叉积计算，高度可以用向量的点积计算。
这种方法比基本的平行六面体法更直观，更方便。
3.平面与直线的向量表示在立体几何中，我们经常需要对平面和直线进行求交、平移、旋转等处理。
而这些处理都可以使用向量的表示法来简化。
例如，在求解平面与直线的交点时，如果已知平面和直线的法向量，我们就可以用向量的点积求出它们之间的夹角，从而计算出交点。
这个方法比纯粹的代数方法更加便捷、直观。
再例如，在计算平面和直线的平移时，可以用向量的加减法来表示平移后的位置。
这种向量的表示法非常简单、直观，因此在计算中能够提高效率。
数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积，得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅g l ，所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，侧棱AA 1＝2，D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；D D A 1C 1B 1z E解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。
法向量在高考数学中的应用
法向量在高考数学中的应用在全日制普通高级中学教科书—数学中，平面向量这一章的引言是：“向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学，物理等学科中的许多问题”。
从而引起对向量的重视。
向量在研究几何问题中更显示出其优越性，为和国际数学接轨，在中学数学中增加了向量的有关知识，但是应用的还不充分。
特别是法向量在数量关系的求解中的应用没有得到应有的重视。
作为一个导向，在以后的立体几何中将会加大法向量所占的比重。
法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，在利用法向量后变的思路清晰且规范。
随着课程的进行，向量的应用将会更加广泛。
这在年高考中教育部和实行分省命题所命制的高考数学试题中得到了充分的体现。
法向量在求角与距离中有以下几种应用。
1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补。
2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面β的斜线L与平面β所的角为α1，斜线L与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余。
3、法向量在求异面直线间的距离中应用：原理：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a，与这两条异面直线都垂直的向量为n，则两异面直线间的距离是a在n方向上的正射影向量的模。
4、法向量在求点到平面的距离中的应用：原理：设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为a，平面的法向量为n，则P到平面的距离d等于a在n方向上正射影向量的模。
例1、（全国高考湖北省高考题）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，CB与CB1交于点F.（I）求证：A1C⊥平BDC1；（II）求二面角B—EF—C的大小（结果用反三角函数值表示）.解析：（Ⅰ）以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0).D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1).,,.011,011).1,0,1(),0,1,1(),,1,1,1(11111111111BDC C A D DC BD DC CA BD CA DC CA BD CA DC BD CA 平面又即⊥∴=⋂⊥⊥=+-=⋅=-=⋅∴-=-==∴（Ⅱ）同（I ）可证，BD 1⊥平面AB 1C..31arccos .31331||||,cos ),1,1,1(),1,1,1(.,1111111111---=⨯=⋅⋅>=<∴--=---=><π的大小为故二面角的平面角补角的大小就是所求二面角则C EF B B D C A B D C A B D C A B D C A B D D A例2、（全国高考）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M.（Ⅰ）求证CD ⊥平面BDM ；（Ⅱ）求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小.解析：如图，以C 为原点建立坐标系.（Ⅰ）B （2，0，0），B 1（2，1，0），A 1（0，1，1）， D （)21,21,22，M （22，1，0），),21,21,0(),1,1,2(),21,21,22(1-=--==DM B A CD则,0,01=⋅=⋅DM CD B A CD ∴CD ⊥A 1B ，CD ⊥DM.因为A 1B 、DM 为平面BDM 内两条相交直线，所以CD ⊥平面BDM. （Ⅱ）设BD 中点为G ，连结B 1G ，则 G （41,41,423），22(-=BD 、21、21），),41,4342(1--=G B .,.,0111面角等于所求的二面角的平的夹角与又θG B BD BD CD G B BD G B BD ∴⊥⊥∴=⋅∴.33||||cos 11-=⋅⋅=∴C B CD C B CD θDPB ACE所以所求的二面角等于.33arccos -π例3、（全国高考湖南卷）如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1. （I ）证明PA ⊥平面ABCD ；（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.解析：证明 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD. （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ， 由PA ⊥平面ABCD.知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连结EH ， 则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角.又PE : ED=2 : 1，所以.3360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒=== 从而 ,33tan ==GH EG θ .30︒=θ （Ⅲ）解： 以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为).0,21,23(),0,21,23(),0,0,0(a a C a a B A - ).31,32,0(),,0,0(),0,,0(a a E a P a D所以 ).0,21,23(),31,32,0(a a AC a a AE == ).,21,23(),,0,0(a a a PC a AP -==).,21,23(a a a BP -=设点F 是棱PC 上的点，,10),,21,23(<<-==λλλλλ其中a a a PC PF 则 ),21,23(),21,23(λλλa a a a a a PF BP BF -+-=+=)).1(),1(21),1(23(λλλ-+-=a a a 令 AE AC BF 21λλ+= 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-.311,341,1.31)1(,3221)1(21,23)1(2322112211λλλλλλλλλλλλλλ即a a a a a a a解得 .23,21,2121=-==λλλ 即 21=λ时，.2321AE AC BF +-= 亦即，F 是PC 的中点时，BF 、AC 、AE 共面.又 BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC.例4、 (全国高考河南，山西、山东等省高考题)如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.解析： （I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA BC PB GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角， 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos -π .。
3.2立体几何中的向量方法——法向量
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
例1： 已 知 A(0,2,3), B( 2,0， - 1), C ( 3， - 4,0) 求平面 ABC的 法 向 量 。
问题：如何运用向量法求法向量呢？
2014年11月7日星期五
法向量在立体几何中的妙用
1
前面，我们把
平面向量
推广到
空间向量
立体几何问题 研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成 的空间图形 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
如何确定一个点、一条直线、一个平面 思考：
在空间的位置？
一、点的确定：
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中 任意一点P的位置就可以用向量OP来表示。我们把 向量OP称为点P的位置向量。
对于平面 上的任一点 P , 存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在
直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ⊥ n，如果 么 向 量 叫做 ,记作 ⊥ n ，那 n 平面 的法向量 .
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z )
则 n ^ AB, n ^ AC .
祆 ( x , y , z )(2, - 2, - 4) = 0 镲 镲 \ 眄 镲 ( x , y , z )(3, - 6, - 3) = 0 镲 铑
AB = (2,- 2,- 4), AC = (3,- 6,- 3)
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74向量在高中立体几何中的几点应用昭通一中 毛孝宗高中立体几何中经常需要计算有关距离（点到线的距离、点到平面的距离、异面直线间的距离）和空间角（线线夹角、线面夹角、面面夹角）即“三大距离”与“三大角”， 传统方法解决这些问题时，应遵循“一作（或找）、二证、三求解”这一步骤，关键是作出垂线段和角。
用向量法求解“三大距离”，其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线（或面）的一个法（或公垂）向量上的投影，也即数量积的直接应用。
“三大角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，学生太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！特别是近几年高考中这些问题频繁出现，为了更好地理解和解决上述问题。
现将常用的与向量有关知识点列举如下：⑴ ><=∙b a b a b a ,cos⑵ 0=∙⇔⊥b a b a⑶平面的法向量的定义：直线 l α⊥，取直线l 的方向向量n ，那么向量n 叫做平面α的一个法向量。
⑷射影的定义：已知向量aAB=和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A第75页在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影。
可以证明：A B AB cos ,e α''=<>同样，设n 是l 同方向的向量，则可以证明AB 在n 上的射影：AB n A B n∙''=。
（※）⑸设n A B a A，，∈∈是平面α的一个法向量，设直线a 与平面α所成的角为θ，则sin cos ,AB n AB n AB nθ∙=<>=，所以arcsinAB n AB nθ∙=基于以上事实，运用法向量来解决一些距离和空间角的问题，有以下几个结论可以应用:⑹定义：12,l l 是两条异面直线，向量n 所在的直线同时垂直于12,l l ，那么向量n 叫做12,l l 的公垂向量。
结论1：12,l l 是两条异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离，则||||CD n d n ∙=。
（※） 空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然！这给“立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！【例1】已知M ，N 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的棱1BB 和11B C 的中点，求：异面直线MN 与1CD 间的距离。
【分析及解】本题需要找出异面直线MN 与1CD 的公垂线段,比较麻烦,可以考虑用法向量来解答：以D 为原点,DA,DC,DD 1分别为X 、Y 、Z 轴建立如图1的空间直角坐标系，则76(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,0)A B C D ，1111(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)A B C D由于M 、N 是111,BB B C 的中点，则11(1,1,(,1,1)22M N ， 从而111(,0,),(0,1,1)22MN CD =-=-，1C (1,0,)2M =--，设与1MN CD 与都垂直的方向向量为(,,)n x y z =，则100MN n CD n ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩即110220x z y z ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩即x y z ==，不妨设(1,1,1)n =， 所以异面直线MN与CD 1间的距离3MC n 2d 23n∙===结论2：设n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条到平面α的距离||||AB n d n ∙=。
【例2】如图2，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂，求三棱锥11EFD B -的体积V 。
【分析及解】 该题需要求点1B 到平面EF D 1的距离，按传统方法，需要过点1B 作平面EF D 1的垂线段，比较麻烦,可以考虑用法向量来解答：以D 为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则)4,22,22(1B ，)4,0,0(1D ，)0,2,22(E ，)0,22,2(F ，∴)4,2,22(1-=D ，)4,22,2(1-=D ， )0,22,22(11=B D ， ∴1312262624||||,cos 111111=⋅=⋅>=<F D E D F D E D ， ∴135,sin 11>=<F D E D ，第77页所以5135262621,sin ||||211=⨯⨯⨯>=<⋅⋅=∆S EF D ， 设平面 EF D 1的法向量为),,(z y xn =，由11D E n 0D F n 0⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩得4z 0⎧⎪+-=， x y,z ∴== )243,1,1(=，∴点1B 到平面EF D 1的距离51611==d ， ∴31651653131111=⨯⨯=⋅⋅=∆-d S V EFD EFD B ，即为所求。
结论3：直线AB 是平面α的一条斜线，m 为平面α的法向量，则直线AB 与平面α所成角sin||||AB m arc AB m β⋅=或arccos 2||||AB mAB m πβ⋅=-。
【例3】如图3，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G 。
求B A 1与平面ABD 所成角的大小。
（结果用反三角函数表示）【分析及解】本题按传统方法，需要作B A 1 在平面ABD 上的射影，比较复杂，若用法向量来解，则可简化问题：以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设a CB CA ==，则）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ∴）（1,2,2a a E ，（31,3,3a a G ，）（32,6,6a a =，）（1,,0a -=， ∵ 点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ， ∴ ⊥平面ABD ，∴0=⋅，解得 2=a ，78∴）（32,31,31=GE ，）（2,2,21-=， ∵ ⊥GE 平面ABD ，∴GE 为平面ABD 的一个法向量； 由32323634||||,cos 11=⋅=⋅<BA GE BA ， 得32arccos,1>=<BA ， ∴B A 1与平面ABD 所成的角为32arccos2-π，即 37arccos 。
评析：因规定直线与平面所成角]20[πθ，∈，两向量所成角]0[πα，∈，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|απθ-=。
结论4：若m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ∙=或cos ||||m narc m n π∙-。
【例4】如图4，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是CB 延长线上一点，且BC BD =，求二面角B AD B --1的大小。
【分析及解】依题意，需要在平面1B AD 与平面BAD 各取一条直线与AD 垂直且相交，从而找出二面角B AD B --1的平面角，比较麻烦，若取BC 的中点O ，连AO ，由题意平面⊥ABC 平面11B BCC ，BC AO ⊥，∴⊥AO 平面11B BCC ，以O 为原点，建立如图4所示空间直角坐标系，则）（323,0,0A ，）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）（0,323,231B ， ∴9AD ,0,2=（，13,B D =（），BB =（），第79页由题意⊥1BB 平面ABD ，∴）（0,323,01=BB 为平面ABD 的法向量。
设平面D AB 1的法向量为),,(2z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥B n AD n 122，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122B n AD n ，∴⎪⎩⎪⎨⎧329x x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧==xz y x 3323，不妨设23,1,23(2=n 由212323323||||,cos 212121=⨯=⋅>=<n BB n BB ， 得 60,21>=<n 。
故所求二面角B AD B --1的大小为60。
评析：此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取23,1,23(2---=n 时，会算得21,cos 21->=<n BB ，从而误认为所求二面角为120，其实不然，二面角仍为60。
因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。
所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，或通过判断法向量的方向来确定取“相等角”或取“补角”。
通过上面例题可以看出：法向量的灵活应用，将使得原本很繁琐的推理，在利用法向量后变得思路清晰且规范；在立体几何的问题解决中越来越显示出它的优越性和灵活性，也越来越广泛地被广大师生所青睐和重视。
随着新课程改革的进行，向量的应用将会更加广泛，特别是在高考中，用向量法来解立体几何题，更能显示出它的作用。
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