用向量方法解立体几何题

用向量方法求空间角和距离前言：在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a ba b（２）求线面角设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，α所成的角α=arcsin ||||||l nl n 则斜线l 与平面（３）求二面角方法一：在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos||||a ba b 12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的方法二：设法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二的平面角α=1212arccos||||n n n n面角l αβ--2.求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ．（２）求异面直线的距离方法一：找平面β使b β⊂且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离．方法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）．例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点．（Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α，则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角，图建立空间坐标系D xyz -，（II ）如11||||111111cos ||()()||||||222||,arccosDE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴=则(1,0,2)DE =，(2,2,0)DB =设面EFBD 的法向量为(,,1)n x y = 由0DE n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =- 记1BC 和面EFBD 所成的角为θ 则 1112sin |cos ,|||2||||BC n BC n BC n θ⋅=〈〉== ∴1BC 和面EFBD 所成的角为4π． （III ）点1B 到面EFBD 的距离ｄ等于向量1BB 在面EFBD 的法向量上的投影的绝对值，1||||BB n d n ∴==23 点评：1.作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解．2.解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）．3.完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决，向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A ''是矩形，。

平面平面ABCD B B A A ⊥'' （Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'DAC 的距离．（II ） 试问：当A A '的长度为多少时，二面角 A C A D -'-的大小为？60 解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系A xyz -， 则 '(1,0,)DA a =-(0,1,0)DC =设面'DAC 的法向量为1(,,1)n x y = 则'110DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1(,0,1)n a =直线AB 到面'DAC 的距离ｄ就等于点Ａ到面'DAC 的距离，也等于向量AD 在面'DAC 的法向量上的投影的绝对值，11||22||AD n d n ∴== （II ）易得面'AAC 的法向量2(1,1,0)n =-∴向量12,n n 的夹角为60由12122121cos ,2||||12n n n n n n a ⋅〈〉===+⋅ 得 1a =∴ 当A A '＝１时，二面角A C A D -'-的大小为60．点评：１．通过（Ⅰ），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法． ２．通过（II ），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．例3．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点． （Ⅰ）求证： 直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直； （II ）当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的大小． 证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系O xyz -，设AP a = 则1,,,A C B P 的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a --1(0,2,0),(3,1,2)AC B P a ∴==--- 120AC B P =-≠，1B P ∴不垂直AC∴直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直．（II）1(,2)BC =-，由11BC B P ⊥，得110BC B P = 即22(2)0a +-=1a ∴= 又11BC B C ⊥11BC CB P ∴⊥面∴1(,2)BC =-是面1CB P 的法向量设面11C B P 的法向量为(1,,)n y z =，由1110B P n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,3,n =-,设二面角11C B P C --的大小为α 则116cos 4||||BC n BC n α== ∴二面角11C B P C --的大小为arccos4． 点评：１．前面选择的两个题，可有现成的坐标轴，但本题ｘ、ｚ轴需要自己添加（也可不这样建立）．２．第（１）小题是证明题，同样可用向量方法解答，是特殊情况；本小题也可证明这条直线与这个面的法向量不平行．例4（安徽卷）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

解：作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N ,(1)2222(1,,1),(0,,2),(MN OP OD =--=-=--设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z=,则0,0n OP n OD ==即2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取z =解得(0,n =22(1,,1)(0,4,2)0MN n =--=∵ MN OCD ∴平面‖(2)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)AB MD ==--∵ 1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴ ,AB 与MD 所成角的大小为3π(3)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB 在向量(0,n =上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得23OB n d n⋅==.所以点B 到平面OCD 的距离为23例5（福建•理•18题）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。

（Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离； 解：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A ，(00A ，1(12B ，1(12AB ∴=，，(210)BD =-，，，1(12BA =-．12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=，1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =-，，，1(020)AA =，，．AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，nn 020x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．令1z =得(1)=，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n，11133222AB AB AB -->===n n ．∴二面角1AA DB --的大小为arccos4（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB 为平面1A BD 法向量，1(200)(12BC AB =-=，，，，． ∴点C 到平面1A BD 的距离11222BC AB d AB -===． 总结：通过上面的例子，我们看到向量方法（更确切地讲，是用公式： ||||cos a b a b θ=）解决空间角和距离的作用，当然，以上所举例子，用传统方法去做，也是可行的，甚至有的（例２）还较为简单，用向量法的好处在于克服传统立几以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性．向量法可操作性强―――运算过程公式化、程序化，有效地突破了立体几何教学和学习中的难点，是解决立体几何问题的重要工具．充分体现出新教材新思想、新方法的优越性．这是继解析几何后用又一次用代数的方法研究几何形体的一块好内容，数形结合，在这里得到淋漓尽致地体现．1.计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角计算2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理，12cos cos cos θθθ=)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等⇒斜线在平面上射影为角的平分线.3.计算二面角的大小主要有：定义法(先作其平面角后计算大小)、公式法(cos S S θ=影原)、向量法(两平面法向量的夹角)、等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角)、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线))、垂面法.4.计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换(平行换点、换面)等.5.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是：线线关系线面关系面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范.特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化.②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题，并获得去解决. ③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.6.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.练习：１．在正四面体S ABC -中，棱长为a ，E,Ｆ分别为SA 和BC 的中点，求异面直线BE 和SF所成的角．（2arccos 3）２．在边长为１的菱形ABCD 中，60ABC ︒∠=，将菱形沿对角线AC 折起，使 折起后BD ＝１，求二面角B AC D --的余弦值．（13） ３．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面，且PD AD a ==，问平面PBA 与平面PBC 能否垂直？试说明理由．（不垂直）４．在直三棱柱111ABC A B C -中，90A ︒∠=，1,,O O G 分别为111,,BC B C AA 的中点，且12AB AC AA ===．（１） 求1O 到面11ACB 的距离；（22） DACBP（２） 求BC 到面11GB C 的距离．）５.如图，在几何体ABCDE 中，△ABC 是等腰直角三角形， ∠ABC ＝900，BE 和CD 都垂直于平面ABC ，且BE ＝AB ＝2， CD ＝1，点F 是AE 的中点.（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ；（Ⅱ）求AB 与平面BDF 所成角的大小. （arcsin 23）。