江苏省扬州中学2018-2019学年高一数学10月月考试卷(含解析)
扬州市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
扬州市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．2． 某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m ），则该工程需挖掘的总土方数为（ ）A ．560m 3B ．540m 3C ．520m 3D ．500m 33． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则b a的 取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)-4． 已知函数211,[0,)22()13,[,1]2x x f x x x ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，若存在常数使得方程()f x t =有两个不等的实根12,x x（12x x <），那么12()x f x ∙的取值范围为（ ）A ．3[,1)4 B．1[8 C ．31[,)162 D ．3[,3)85． 若关于的不等式2043x ax x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ）A ．B ．12C ．12- D ．2-6． 已知集合{|0}M x x x =≥∈，R ，2{|1}N x x x =<∈，R ，则M N ＝（ ）A ．[]01， B ．()01， C ．(]01，D ．[)01， 7． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）A ．2B ．3 C.1 D ．48． 函数f （x ）＝sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2≤φ≤π2）的部分图象如图所示，则φω的值为（ ）A.18 B ．14C.12D ．19． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 10．已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动 时，的取值范围是（ ）A ． ()0,1B ．3⎛ ⎝C ．()1,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．(11．已知i 是虚数单位，则复数等于（ ）A ．﹣ +iB ．﹣ +iC ．﹣iD ．﹣i12．O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ）A ．1B ．C ．D ．2二、填空题13．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a x g（x ）（a ＞0且a ≠1），+=．若数列{}的前n 项和大于62，则n 的最小值为 ．14．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．15．方程（x+y﹣1）=0所表示的曲线是．16．已知函数5()sin(0)2f x x a xπ=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a=.三、解答题17．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．18．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点. （1）求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；（2）证明：B1F∥平面A1BE．19．（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1．A1B1C1DD1CBAEF（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．21．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||2|)(+--=x x x f ，x x g -=)(. （1）解不等式)()(x g x f >；（2）对任意的实数，不等式)()(22)(R m m x g x x f ∈+≤-恒成立，求实数m 的最小值.111]22．已知函数．（1）求f （x ）的周期．（2）当时，求f （x ）的最大值、最小值及对应的x 值．23．设不等式的解集为.（1）求集合； （2）若，∈，试比较与的大小。
2018-2019学年江苏省扬州中学高一下学期期中考试 数学
2018-2019学年江苏省扬州中学高一下学期期中考试数学(共8页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-22018-2019学年江苏省扬州中学高一下学期期中考试 数学一、选择题（每小题5分，合计50分）1．若直线过点(3,－3)和点(0,－4),则该直线的方程为（ ★ ） A ．y ＝33x －4 B. y ＝33x ＋4 C . y ＝3x －6 D. y ＝33x ＋2 2. 不等式201xx -<+的解集为（ ★ ） A. {}12>-<x x x 或 B. {}12<<-x x C. {}21>-<x x x 或 D. {}21<<-x x3．如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11)在同一直线上，那么k 的值是（ ★ ）A. －6B. －7C. －8D. －9 4．下列四个命题中错误的是( ★ )A ．若直线a ，b 互相平行，则直线a ，b 确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面5. 在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ★ ）A ．无解B ．一解C ．二解D ．不能确定6．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ；②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥β m ∥α⇒m ⊥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α.其中正确的命题是( ★ )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④7. 在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ★ ）3A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AD 的中点，则异面直线C 1E 与BC 所成的角的 余弦值是( ★ )A. 13 C. 1059．已知b>a >0且a ＋b=1，则有 （ ★ ） A ． a ab b a b >>>+>21222 B ． a ab b a b >>>+>22122 C ． ab a b b a 22122>>>>+ D ． a 2＋b 2＞b ＞a ＞12＞2a b10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且BC AB ⊥，21===AA BC AB ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ★ ）A ．π48B ．π32C ．π12D ．π8二、填空题（每小题5分，合计30分）.11．不等式2680x x -+->的解集为___▲____.12．若圆锥的母线长是5，高是 4，则该圆锥的体积是__▲____.13．过点)1,2(-P ，在x 轴上和y 轴上的截距分别是b a ,且满足b a 3=的直线方程为___▲____.14. 若钝角三角形ABC 三边长分别是,1,2()a a a a N ++∈，则三角形ABC 的周长为__▲___.15．已知直线l :320mx y m -++=()m R ∈,则l 恒过定点___▲____. 16. 在ABC ∆中，若sin 2cos cos C A B =，则22sin sin A B +的最小值为_ ▲ _.4三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）17．(5分+5分)在直三棱柱111C B A ABC -中, AB BC ⊥, D 为棱1CC 上任一点. (1)求证：直线11A B ∥平面ABD ； (2)求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .18. (4分+8分)在锐角ABC △中，已知22sin 3A =. (1) 求cos()B C +的值； (2) 若2a =，2ABC S =△，求b 的值.19. (6分+6分)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD=DB ，点C 为圆O 上一点，且BC=AC ．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD=DB ．（1）求证：PA ⊥CD ；（2）求二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值．20．(4分+8分)直线l 过点)1,2(-P 且斜率为k k (＞)1，将直线l 绕P 点按逆时针方向旋转45°得直线m ，若直线l 和m 分别与y 轴交于Q ，R 两点．（1）5用k 表示直线m 的斜率；（2）当k 为何值时，PQR ∆的面积最小？并求出面积最小时直线l 的方程．21．(4分+8分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC .记∠CBD ＝θ（π3≤θ＜π2）． （1）试用θ表示BD 的长；（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.22. (6分+6分)已知函数21()21x x f x -=+,（1）若存在0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式22(sin sin )(2sin )f f k θθθ-<-有解，求实数k 的 取值范围；（2）若函数()g x 满足[]()()222x xf xg x -⋅+=-，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值．(第21题图)6高一数学期中试卷答案 一选择题:A C D CBCD A B C 二、填空题:11. {}24x x << 12. π12 13. 013=++y x 或02=+y x ； 14. 915. (2,3)- 16.322- 三、解答题:17. (1)证明:由直三棱柱111C B A ABC -,得11//A B AB ………………………………2分11ABD,AB ABD,A B ⊄⊂而面面 11//ABD,A B 所以平面………………………5分(2)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥, 而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B =, 所以AB ⊥面11BCC B ……………8分又AB ABD ⊂面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B …………………………………10分18. 解：（1）因为锐角△ABC 中，22sin 3A =，所以1cos 3A =又A ＋B ＋C ＝π， 所以1cos()cos 3B C A +=-=-. ……….4分（2）1122sin 22ABC S bc A bc ∆==，12222bc ∴=3c b=，……….6分将2a =，1cos 3A =，3c b=代入余弦定理：222a b c 2bccosA ＝＋－得： 42690b b -+=， ……….11分 即b 3. ………..12分19. 解析：（1）连接OC，由AD=BD知，点D为AO的中点，又∵AB为圆的直径，∴AC⊥BC，∵AC=BC，∴∠CAB=60°，∴△ACO为等边三角形，∴CD⊥AO．……….2分∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，∴PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，PD∩AO=D，∴CD⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，∴PA⊥CD．……….6分（2）过点D作DE⊥PB，垂足为E，连接CE，由（1）知CD⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴CD⊥PB，又DE∩CD=D，∴PB⊥平面CDE，又CE⊂平面CDE，∴CE⊥PB，∴∠DEC为二面角C﹣PB﹣A的平面角．……….9分设AB=4,则由（1）可知CD=，PD=BD=3，∴PB=3，则DE==，∴在Rt△CDE中，tan∠DEC==，∴cos∠DEC=155，即二面角C﹣PB﹣A的余弦值为155．……….12分7820. 解：(1)设直线l 的倾斜角为α，则直线m 的倾斜角为︒+45α，kkk m -+=-+=+︒=11tan 1tan 1)45tan(ααα ………4分 (2)直线l 的方程为)2(1+=-x k y ，直线m 的方程为)2(111+-+=-x kky令0=x ，得k k y k y R Q -+=+=13,12，∴||||21P R Q PQR x y y S ⋅-=∆|1)1(2|2-+=k k ……….6分∵1>k ，∴112|1)1(2|22-+⋅=-+=∆k k k k S PQR]212)1[(2+-+-=k k ≥)12(4+………9分由121-=-k k 得21(12-=+=k k 舍去)，∴当12+=k 时，PQR ∆的面积最小，最小值为)12(4+，此时直线l 的方程是0322)12(=++-+y x ． (12)分21. 解：（1）连结DC ．在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3， 所以∠CBA ＝π6，AB ＝4，BC ＝23．因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π2， 所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． ……….4分（2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，BD ＝23cos θ， 所以DF sin(θ＋π6)＝BF sin(π2－θ)＝BDsin ∠BFD，所以DF ＝4cos θsin(π6＋θ)，且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ，……….6分9所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4cos θsin(π6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2 sin(2θ－π6)＋3． ………8分因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6，所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合．………11分答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大……….12分22. 解：（1）()21212121x x xf x -==-++．对任意12,x x ∈R ，12x x <有：12212112222(22)()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++．因为12x x <，所以12220x x -<，所以()()12f x f x <，因此()f x 在R 上递增．………………………………………2分令sin t θ=,则[]0,1t ∈且22()(2)f t t f t k -<-，所以222t t t k -<-，即2k t t <+在[]0,1t ∈时有解．当[]0,1t ∈时，2max ()2t t +=，所以2k <．…………………………6分 (2)因为[]()()222xxf xg x -⋅+=-，所以()22x x g x -=+(0x ≠)， ………7分 所以()222222(22)2x x x x g x --=+=+-．不等式(2)()10g x m g x ⋅-≥恒成立， 即2(22)222)10(x x x x m --+-+-⋅≥，822,2,2.x x r r r r-=+>≤>令则m r+在时恒成立， ………………10分因为2r >，由基本不等式可得：8+r r≥r =成立．所以m ≤m的最大值为12分。
扬州中学高一数学月考试卷答案
高一数学月考试卷 答案 2018.10.61．{}4,5 2．4 3．(1,2] 4. 5a ≥ 5．4 6．14- 7．③ 8．(1,2) 9．221x x -+ 10．1 11．312a a -<≤>或 12. (2,1)- 13．6037214． 3m ≥或1m ≤-15．解：由题意得2313a a --=- ，解得1a =或2a =， -----------4分 当1a =时，{}{}3,4,3,2,3A B =-=-，满足要求；当2a =时，{}{}3,4,3,4,3A B =-=-，不满足要求，综上得：1a = -----------10分 16．解：（1）当1k =-时，由题意得2670x x -++≥，即(1)(7)0x x +-≤，即17x -≤≤∴定义域为 []1,7-。
-----------5分 （2）由题意得2680kx kx k -++≥对一切x R ∈都成立,当0k =时，()f x = -----------8分当0k ≠时，则有00k >⎧⎨∆≤⎩，解得01k <≤， -----------12分综上得：实数k 的取值范围是[]0,1． -----------14分17. 解：（1）由意得A B =，所以1m = -----------4分 （2）因为A B A = ，所以B A ⊆，所以B =Φ或{0}或{4}-或{0,4}- 当B =Φ时，0∆<，解得1m <-； 当B ={0}时，解得1m =-； 当B ={4}-时，m 无解； 当B ={0,4}-时，解得1m =；综上得：1m =或1m ≤- -----------14分 18、解：(1)P ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-∈∈∈∈+*]16,10( 240*]10,5(20*[0,5]210N N N t t t t t t t t 且且且 -----------5分 (2)因每件销售利润＝售价－进价，即L ＝P －Q ，故： 当t ∈[0，5]且t ∈N *时，L ＝10＋2t ＋0.125(t －8)2－12＝81t 2＋6 即当t ＝5时，L max ＝9.125当t ∈(5，10)时t ∈N *时，L ＝0.125t 2－2t ＋16即t ＝6时，L max ＝8.5当t ∈(10，16)时，L ＝0.125t 2－4t ＋36即t ＝11时，L max ＝7.125 -----------12分综上得，该服装第5周每件销售利润L 最大 -----------14分/19. 解：（1）当0=a 时，()2f x x =，定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称此时()()f x f x -= ∴()x f 为偶函数； -----------2分当0≠a 时，()2af x x x=+，定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称 此时()11f a =+，()11f a -=-，故()()11f f -≠，()()11f f -≠-∴()x f 无奇偶性. -----------5分 （2）()22f x x x=+， 任取1201x x <<≤，则()()2212121222f x f x x x x x -=+--()121212122x x x x x x x x -=+-⎡⎤⎣⎦， ∵1201x x <<≤∴0,02121><-x x x x ，()12122x x x x +<，∴()()120f x f x ->，所以()x f 在区间(]0,1上是递减. -----------9分 （3）由题意得()min f x m >由（2）知()x f 在区间(]0,1上是递减，同理可得()x f 在区间[)1,+∞上递增， 所以()()min 13f x f ==， -----------10分所以3m >120m -<，,(t 0)t =≥，则220t t --<，解得12t -<<，故02t ≤<即02≤<，即14m ≤<。
江苏省扬州市2018-2019学年高一下学期期末检测数学试题 含解析
2018-2019学年度第二学期期末检测试题高一数学参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高. 圆锥的侧面积12S d =，其中c 是圆锥底面的周长，l 为母线长.方差()()()222122n x x x x x xs n-+-+⋅⋅⋅+-=.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.310x y ++=的倾斜角为（ ） A.3π B.23π C.6π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率可知tan 3θ=. 【详解】由直线方程可得直线斜率：3k =-设直线倾斜角为θ，则tan 3θ=- 又[)0,θπ∈ 23πθ∴= 本题正确选项：B【点睛】本题考查直线倾斜角的求解，关键是明确直线倾斜角与斜率之间的关系.2.若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（ ） A. 平行 B. 异面C. 相交D. 以上皆有可能【答案】D 【解析】 【分析】通过图形来判断直线的位置关系即可得到结果.【详解】若l αβ=，,a c α⊂，,b d β⊂，位置关系如下图所示：若//a l ，//b l ，则//a b ，可知两条直线可以平行 由图象知，c 与d 相交，可知两条直线可以相交 由图象知，b 与c 异面，可知两条直线可以异面 本题正确选项：D【点睛】本题考查空间中直线的位置关系，属于基础题.3.经过点(1,3)P ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. 0条 B. 1条C. 2条D. 3条【答案】C 【解析】 【分析】若直线过原点，可知满足题意；直线不过原点时，利用直线截距式，代入点的坐标求得方程，从而得到结果.【详解】若直线过原点，则过()1,3P 的直线方程为：3y x =，满足题意 若直线不过原点，设直线为：x y a +=代入()1,3P ，解得：4a = ∴直线方程为：40x y +-=∴满足题意的直线有2条本题正确选项：C【点睛】本题考查在坐标轴截距相等的直线的求解，易错点是忽略直线过原点的情况.4.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 和1BC 所成角的大小为（ ）A.3π B.2π C.23π D.3π或23π 【答案】A 【解析】 【分析】连接1AD ，1CD ，根据平行关系可知所求角为1D AC ∠，易知1ACD ∆为等边三角形，从而可知13D AC π∠=，得到所求结果.【详解】连接1AD ，1CD11//BC AD 1D AC ∴∠即为异面直线AC 与1BC 所成角又11AD AC CD == 13D AC π∴∠=即异面直线AC 与1BC 所成角为：3π本题正确选项：A【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是通过平移直线找到所成角，再放入三角形中进行求解.5.已知圆22:4C x y +=，直线:1(1)l y k x -=+，则直线l 与圆C 的位置关系（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上皆有可能【答案】C 【解析】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，利用点到直线距离公式可用k 表示出圆心到直线的距离d ，分别在0k ≤和0k >两种情况下求解出d r <，从而得到直线与圆相交. 【详解】直线l 方程可整理为：10kx y k -++= 由圆C 方程可知，圆心：()0,0；半径：2r =∴圆心到直线l 的距离：222212121111k k k k d k k k +++===++++若0k ≤，则1d r ≤<，此时直线与圆相交若0k >，则2221111k d k k k=+=+++又12k k+≥（当且仅当1k =时取等号） 2121k k∴+≤+ 则2d r ≤<，此时直线与圆相交综上所述：直线与圆相交 本题正确选项：C【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定，关键是明确直线与圆位置关系的判定是确定圆心到直线的距离与半径的大小关系，从而得到结果.6.在ABC ∆中，三条边分别为,,a b c ，若4,5,6a b c ===，则三角形的形状（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理可求得cos 0C >，可知C 为锐角；根据三角形大边对大角的特点可知C 为三角形最大的内角，从而得到三角形为锐角三角形.【详解】由余弦定理可得：2221625361cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯()0,C π∈且cos 0C > 0,2C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又a b c <<，则A B C << ,,A B C ∴均为锐角，即ABC ∆为锐角三角形 本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形中三角形形状的判断，关键是能够利用余弦定理首先确定最大角所处的范围，涉及到三角形大边对大角的性质的应用.7.,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ） A. 若//a b ，//a α，则//b α B. 若a ⊥b ，b ⊥α，则a ⊥α C. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a b D. 若a ⊥α，b ⊥α，则//a b【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面之间的位置关系依次判断各个选项即可. 【详解】//a b ，//a α，此时//b α或b α⊂，A 错误；b α⊥，a b ⊥r r，此时//a α或a α⊂，B 错误；a c ⊥，bc ⊥，此时,a b 可能平行、异面或相交，C 错误；垂直于同一平面的两直线平行，D 正确.本题正确结果：D 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的相关定理的应用，属于基础题.8.已知ABC ∆中，2,AB AC AB AC ==^，将ABC ∆绕BC 所在直线旋转一周，形成几何体K ,则几何体K 的表面积．．．为（ ） A. 22πB. 2πC.2π3D.2π3【答案】B 【解析】 【分析】首先确定旋转体为两个圆锥构成的组合体，则所求表面积为两个圆锥的侧面积之和，求出侧面积即可得到结果.【详解】由题意可知，所得几何体为以BC 边的高为底面圆半径，AB ，AC 为母线的两个圆锥构成的组合体，可得底面圆半径为：12r BC ===2l AB AC === ∴几何体表面积为：222242S rl πππ===本题正确选项：B【点睛】本题考查旋转体侧面积的相关求解问题，关键是能明确旋转后所得的几何体.9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,2,34A a b π===B =（ ）A. 6πB.3π C.23π D.3π或23π 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理可求得sin B ，根据B 的范围可求得结果.【详解】由正弦定理sin sin a b A B =可得：3sin 34sin 22b A B a π=== ()0,B π∈且B A > 3B π∴=或23π本题正确结果：D【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.10.若点P 在圆22(1)1x y -+=上运动，(,1)Q m m --，则PQ 的最小值为（ ）A.221-212【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程求得圆心和半径；根据Q 点坐标可得其轨迹为一条直线，则所求的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线距离公式求得距离后，代入可得结果.【详解】由圆的方程得：圆心坐标()1,0C ，半径1r =(),1Q m m -- Q ∴点轨迹为：1y x =--，即10x y ++=∴圆心到直线距离：2d ==min 21PQ d r ∴=-=本题正确选项：B【点睛】本题考查圆上的点到直线上的点的距离的最小值的求解问题，关键是能够通过点的坐标得到轨迹方程.11.在ABC ∆中，已知2,1,AB AC A ==∠的平分线1AD =,则ABC ∆的面积（ ）A.34B.374C.38D.378【答案】D 【解析】 【分析】根据BAD CAD ABC S S S ∆∆∆+=和12BAD CAD BAC ∠=∠=∠可求得cos BAD ∠，利用同角三角函数和二倍角公式可求得sin BAC ∠，代入三角形面积公式求得结果.【详解】BAD CAD ABC S S S ∆∆∆+=111sin sin sin 222AB AD BAD AC AD CAD AB AC BAC ∴⋅∠+⋅∠=⋅∠ AD 为角平分线 12BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠3sin sin 22BAD BAD ∴∠=∠，即3sin 2sin cos 2BAD BAD BAD ∠=∠∠3cos 4BAD ∴∠= 3sin 44BAD ∴∠===则sin 2sin cos BAC BAD BAD ∠=∠∠=1sin 2ABC S AB AC BAC ∆∴=⋅∠=本题正确选项：D【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是能够通过面积桥的方式，借助角平分线可构造出关于三角函数值的方程，从而使得问题得以求解.12.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆22:(8)16C x y -+=上运动，(6,0),(6,1),A B 则2PB PA +的最小值为（ ）B. 6C. 5D.22【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的方程、()6,0A 可知12AC PC PC OC ==，从而得到PAC OPC ∆∆，进而根据比例关系得到2OP PA =，将问题转化为求解PB OP +的最小值的问题，可知当P 为线段OB 与圆C 的交点时，取最小值OB ，两点间距离公式求得OB 即为所求最小值.【详解】P 为圆C 上任意一点，圆的圆心()8,0C ，半径4r =，如下图所示，4PC =，8OC =，2AC = 12AC PC PC OC ∴== PAC OPC ∴∆∆12PA OP ∴=，即2OP PA = 2PB PA PB OP ∴+=+又PB OP OB +≥（当且仅当P 为线段OB 与圆C 的交点时取等号）2PB PA OB ∴+≥2PB PA +本题正确选项：A【点睛】本题考查圆的问题中的距离之和的最值问题的求解，关键是能够通过比例关系将2PA 转化为OP ，进而变为两个线段的距离之和的最小值的求解，利用三角形三边关系可知三点共线时取最小值，属于较难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某学校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查，则应抽取的女学生人数为_________． 【答案】60 【解析】 【分析】首先计算出抽样比，再根据分层抽样的原则计算可得结果.【详解】由题意可得抽样比为：15013001500120020=++则抽取的女学生人数为：112006020⨯=人 本题正确结果：60【点睛】本题考查分层抽样相关计算问题，属于基础题.14.如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD 的高度（建筑物CD 垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定,A B 两点，其距离为100米，然后在A 处测得60DAB ∠=，在B 处测得75DBA ∠=，30DBC ∠=，则此建筑物CD 的高度为__________米.【答案】 【解析】【分析】由三角形内角和求得45ADB ∠=，在ABD ∆中利用正弦定理求得BD ；在Rt BCD ∆中，利用正弦的定义可求得结果.【详解】由题意知：180607545ADB ∠=--= 在ABD ∆中，由正弦定理可得：sin sin AB BDBDA DAB=∠∠即：sin 100sin 60506sin sin 45AB DAB BD BDA ∠===∠在Rt BCD ∆中，sin 50630256CD BD DBC =∠== 本题正确结果：256【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的测量高度的问题，涉及到正弦定理的应用问题.15.已知圆22:1O x y +=和直线:2l y =，0(,2)P x 是直线l 上一点，若圆O 上存在,A B 两点，满足PA AB =，则实数0x 的取值范围是________．【答案】5,5⎡-⎣【解析】 【分析】由向量相等可知,,P A B 三点共线且A 为线段BP 中点，则PA AB =；利用勾股定理和弦长为AB 和PA ，从而可建立等式22058x d =-，根据2d 的范围构造不等式可求得结果.【详解】由PA AB =得：,,P A B 三点共线且A 为线段BP 中点 则：PA AB =设圆心()0,0O 到直线AB 的距离为d 则221AB d =-，2222011422PA OP d AB x d AB =-=+-32AB == 22058x d ⇒=-AB Q 为圆的弦 [)20,1d ∴∈ []200,5x ∴∈ 0x ⎡⇒∈⎣本题正确结果：⎡⎣【点睛】本题考查直线与圆的相关知识的应用，涉及到直线被圆截得的弦长、勾股定理、两点间距离公式、直线与圆位置关系的应用，关键是能够利用向量相等得到三点共线和线段长度关系，从而构造方程来建立等量关系.16.如图，棱长为1（单位：cm）的正方体木块经过适当切割，得到几何体K，已知几何体K由两个地面相同的正四棱锥组成，底面ABCD平行于正方体的下底面，且各顶点均在正方体的面上，则几何体K体积的取值范围是__________．（单位：3cm）【答案】11, 63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据图形可知几何体体积由正方形ABCD面积来决定，根据截面正方形可知当,,,A B C D为四边中点时，面积最小；,,,A B C D为正方形四个顶点时，面积最大，从而得到面积的取值范围；利用棱锥的体积公式可求得几何体的体积的取值范围.【详解】由题意知，几何体中两个正四棱锥的高均为12，则几何体体积取值范围由正方形ABCD的面积来决定底面ABCD平行于正方体底面，则可作ABCD所在截面的平面图如下：21122ABCDSAC BD AC =⋅= 由正方形对称性可知，当,,,A B C D 为四边中点时，AC 取最小值；当,,,A B C D 为正方形四个顶点时，AC 取最大值；即min 1AC =；max 2AC =1,12ABCD S⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦∴几何体K 体积：111111,322363ABCD ABCD V S S ⎛⎫⎡⎤=⨯+=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦本题正确结果：11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查棱锥体积的有关计算，关键是将所求几何体变为两个正四棱锥体积之和，确定正四棱锥的高为定值，从而将问题转化为四边形ABCD 面积的求解问题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC =，平面11A BC ⊥平面11BCC B .证明：（1） //AC 平面11A BC ； （2） 平面1AB C ⊥平面11A BC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱特点可知11//AC A C ，根据线面平行判定定理证得结论；（2）由四边形11BCC B 为菱形可得11B C BC ⊥，根据面面垂直的性质可知1B C ⊥平面11A BC ，根据面面垂直的判定定理证得结论.【详解】（1）几何体为三棱柱 ⇒四边形11ACC A 为平行四边形 11//AC A C ⇒ 又11A C ⊂平面11A BC ，AC ⊄平面11A BC //AC ∴平面11A BC （2）1BC CC =且四边形11BCC B 为平行四边形∴四边形11BCC B 为菱形 11B C BC ⊥∴又平面11A BC ⊥平面11BCC B ，平面11A BC ⋂平面111BCC B BC =1B C ∴⊥平面11A BC又1B C ⊂平面1AB C ∴平面1AB C ⊥平面11A BC【点睛】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直关系的证明，涉及到空间几何体的结构、面面垂直性质定理的应用等知识，属于常考题型.18.在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点()1,2A -和(5,4)C ，AB 所在直线的方程为30x y -+=.（1） 求对角线BD 所在直线的方程； （2） 求AD 所在直线的方程.【答案】（1）390x y +-=；（2）7130x y +-=. 【解析】 【分析】（1）根据,A C 坐标求得AC k 和AC 中点()2,3M ；根据菱形特点可知对角线互相垂直且平分，可得直线BD 斜率和M 在直线BD 上，利用点斜式写出直线方程；（2）由直线AB 和BD 的方程解得B 点坐标，从而求得BC k ；由平行关系可知BC AD k k =，利用点斜式写出直线方程. 【详解】（1）由()1,2A -和(5,4)C 得：421513AC k -==+，AC 中点()2,3M 四边形ABCD 为菱形 BD AC ∴⊥，且()2,3M 为BD 中点，3BD k ∴=-∴对角线BD 所在直线方程为：()332y x -=--，即：390x y +-=（2）由39030x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得：39,22B ⎛⎫⎪⎝⎭ 94123752BCk -∴==--//AD BC 17AD k ∴=-∴直线AD 的方程为：()1217y x -=-+，即：7130x y +-= 【点睛】本题考查直线方程的求解问题，关键是能够通过菱形的特点得到所求直线斜率与已知斜率之间的关系，从而运用直线点斜式方程求得结果.19.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,5,2.a b B A ===（1）求cos A ； （2）求c 的值. 【答案】（15（2）12.【解析】 【分析】（1）由正弦定理和二倍角公式可构造方程求得cos A ；（2）由余弦定理构造方程可求得c 的两个解，其中2c =时，验证出与已知条件矛盾，从而得到结果. 【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=得：255sin A ==5cos 4A ∴=（2）在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+- 由52,5,cos 4a b A ===整理可得：22520c c -+= 解得：2c =或12当2c =时，A C =，又2B A = 2B π∴=，4A C π==此时2b a =，与已知矛盾，不合题意，舍去当12c =时，符合要求 综上所述：12c =【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，易错点是求得边长后忽略了已知中的长度和角度关系，造成增根出现.20.某单位开展 “党员在线学习” 活动，统计党员某周周一至周日（共7天）学习得分情况，下表是党员甲和党员乙学习得分情况： 党员甲学习得分情况党员乙学习得分情况（1）求本周党员乙．．．周一至周日（共7天）学习得分的平均数和方差； （2）从本周周一至周日中任选一天，求这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于25分的概率； （3）根据本周某一天的数据，将全单位80名党员的学习得分按照[)10,15，[)15,20,[)20,25，[)25,30，[]30,35进行分组、绘制成频率分布直方图（如图）已知这一天甲和乙学习得分在80名党员中排名分别为第30和第68名，请确定这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图．（直接写结果，不需要过程） 【答案】（1）平均数：24；方差：44；（2）37；（3）周三符合要求. 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的公式直接求解即可；（2）等可能的基本事件共7个，满足题意的共3个，根据古典概型概率公式计算可得结果；（3）分别计算出每个得分区间的人数，根据甲乙的排名确定甲乙所在的区间，综合两人同一天的数据可得结果.【详解】（1）平均数：35261520251730247x ++++++==方差：2222222211294176447s ++++++==（2）共有7个等可能基本事件：“周一甲10乙35；周二甲25乙26；周三甲30乙15；周四甲13乙20；周五甲35乙25；周六甲31乙17；周日甲25乙30”记“从周一至周日中任选一天，这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于25”为事件A . 则事件A 中包含的基本事件有3个：“周二甲25乙26；周五甲35乙25；周日甲25乙30”()37P A ∴=（3）周三．由直方图知，学习得分落在[]30,35，[)25,30，[)20,25，[)15,20，[)10,15区间内的人数依次为：800.1512⨯=人，800.2520⨯=人，800.324⨯=人，800.216⨯=人，800.18⨯=人由甲学习得分排名第30，可知当天甲学习得分在[)25,30，只有周二、周三和周日； 由乙学习得分排名第68，可知当天乙学习得分在[)15,20，只有周三和周六 所以周三符合要求．【点睛】本题考查统计中的平均数和方差的计算、古典概型概率问题的求解、根据频率分布直方图计算频率和频数来解决实际问题，考查学生的运算求解能力.21.如图，已知圆22:4C x y +=与x 轴的左右交点分别为,A B ，与y 轴正半轴的交点为D .（1）若直线l 过点(2,4)并且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若点,M N 是圆C 上第一象限内的点，直线,AM AN 分别与y 轴交于点,P Q ，点P 是线段OQ 的中点，直线//MN BD ，求直线AM 的斜率.【答案】（1）2x =或34100x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）首先验证当直线斜率不存在时，可知满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程，利用d r =构造方程可求得切线斜率，从而得到结果；（2）假设直线AM 方程，与圆的方程联立可求得222224,11k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；求出直线AN 斜率后，可得222288,1414k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，利用//MN BD 可知MN BD k k =，从而构造方程可求得直线AM 的斜率.【详解】（1）当斜率不存在时，直线方程为：2x =，与圆相切，满足题意 当斜率存在时，设切线方程为：()42y k x -=-，即：420kx y k -+-= 由直线与圆相切得：d r =24221k k -=+，解得：34k =∴切线方程为：()3424y x -=-，即：34100x y -+= 综上所述，切线方程为：2x =或34100x y -+= （2）由题意易知直线AM 的斜率存在故设直线AM 的方程为：()2y k x =+，()0k >由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去y 得：()222214440kxk x k +++-=2A x =- 22221M k x k-∴=+，代入()2y k x =+得：241M k y k =+ 222224,11k k M k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭在()2y k x =+中，令0x =得：2P y k =点P 是线段OQ 的中点 4Q y k ∴= ()40202AN AQ k k k k -∴===--222224,11k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭中，用2k 代k 得：222288,1414k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()2222222284412141282212141MNk k k k k k k k k k k k --++∴==----++//MN BD 且1BD k =- ()22412112k k k-∴=--即：22310k k +-=，又0k >，解得：k =【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及圆的切线方程的求解、直线斜率的求解等问题.易错点是在求解切线方程时，忽略了斜率不存在的情况，造成求解错误.22.如图，在平面凸四边形ABCD 中（凸四边形指没有角度数大于180的四边形），2,4,5AB BC CD ===.（1）若120B ∠=，1cos 5D =，求AD ； （2）已知3AD =，记四边形ABCD 的面积为S . ① 求S 的最大值；② 若对于常数λ，不等式S λ≥恒成立，求实数λ的取值范围.（直接写结果，不需要过程） 【答案】（1）3；（2）①30214λ≤. 【解析】分析】（1）在ABC ∆中，利用余弦定理求得AC ；在A C D ∆中利用余弦定理构造关于AD 的方程，解方程求得结果；（2）①在ABC ∆和ACD ∆中利用余弦定理构造等量关系可得15cos 8cos 7D B -=，根据三角形面积公式可得215sin 8sin S D B =+，两式平方后作和可得()26060cos S B D =-+，当()cos 1B D +=-时，可求得S 的最大值；②由S λ≥可知min S λ≤，根据①可知，S 的范围由B D+的范围决定，求解出(),B D πβπα+∈-+且1cos 15α=-，2cos 5β=且α为钝角、β为锐角；根据2S 的单调性可求得最小值，从而求得min S 得到结果. 【详解】（1）在ABC ∆中，2AB =，4BC =，120C ∠=由余弦定理得：AC ==在ACD ∆中，AC =5CD =，1cos 5D =AC ==，解得：3AD =（2）①在ABC ∆和ACD ∆中，由余弦定理得：22016cos 3430cos AC B D =-=- 整理可得：15cos 8cos 7D B -= 面积：()115sin 8sin 2S D B =+，即：215sin 8sin S D B =+ ()()22244915sin 8sin 15cos 8cos S D B D B ∴+=++-()()22564240cos cos sin sin 289240cos B D B D B D =+--=-+即：()26060cos S B D =-+当B D π+=时，即7cos 23D =，7cos 23B =-时，()min cos 1B D +=-⎡⎤⎣⎦ 2120S ∴≤ max 230S ⇒=∴四边形ABCD 面积S 的最大值为：30②214λ≤由①知：()26060cos S B D =-+，则需研究B D +的范围.当D 增大时，AC 增大，从而B 随之增大所以，当,,A B C 趋于共线时，B D +趋于πα+，其中钝角α满足1cos 15α=- 当D 减小时，AC 减小，从而B 随之减小所以，当,,A B D 趋于共线时，B D +趋于πβ-，其中锐角β满足2cos 5β=(),B D πβπα∴+∈-+令()26060cos S f x x ==-，则()f x 在(),πβπ-上递增，在(),ππα+上递减并且()84fπβ-=，()56f πα+=，()120f π=()(]256,120S f x ∴=∈，即(S ∈λ∴≤【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到余弦定理解三角形、三角形面积公式、两角和差余弦公式的应用等知识，难点在于求解函数的最值时，角度的取值范围需要根据极限状态来求得，计算难度较大，属于难题.。
江苏省扬州中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(含答案)
江苏省扬州中学2018——2019学年度第一学期期中考试高一数学（试题满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，计60分．每小题所给的A .B .C .D .四个结论中，只有一个是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑。
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =( )A ．{}12，B ．{}02，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．函数f (x )=x +5的值域为（）A ．(5, +∞)B ．(-∞,5]C ．[5, +∞)D ．R3．函数y =12log (2-1)x 的定义域为（）A ．（21，+∞） B ．［1，+∞)C ．（21，1] D ．（－∞，1）4．下列每组函数是同一函数的是（）A ．f (x )=x -1, g (x )=(x -1)2B ．f (x )=|x -3|, g (x )=(x -3)2C ．f (x )=x 2-4x -2, g (x )=x +2 D ．f (x )=(x -1)(x -3) , g (x )=x -1 ·x -35．已知函数2=log (3)-y ax 在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是（）A . )1,0(B .(1,3)C . )3,1()1,0(⋃D . (0,3)6．函数xx xx ee e e y ---+=的图象大致为( )7．设函数()200，，x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()1，+∞C ．()10-，D ．()0-∞，8．若a >b >0，0<c <1，则（）A ．log c a <log c bB ．c a >c bC ．a c <a bD ．log a c <log b c9．幂函数f (x )=(m 2-m -1)x m ²+2m -3在(0,+∞)上为增函数，则m 的取值是（）A ．m =2或m =-1B ．m =-1C ．m =2D ．-3≤m ≤110．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (1-x )=f (1+x )．若f (1)=2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (10)（）A . -10B . 2C . 0D . 1011．已知函数()0=ln 0，，x e x f x x x ⎧≤⎨>⎩，g (x )=f (x )+x +a ．若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是（）A . [–1，0）B . [0，+∞）C . [–1，+∞）D . [1，+∞）12．若函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f 的值是( )A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卷相应位置．13．若函数f (x )=m +mx ，f (1)=2，则f (2)=__________．14．设25a b m ==，且112a b+=，则m =． 15．已知：函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞上为增函数，(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__________．16．已知函数g (x )=log 2x ,x ∈(0,2)，若关于x 的方程|g (x )|2+m |g (x )|+2m +3=0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是__________________．三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知集合{}2280A x x x =+-≤，133xB x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭， （1）求AB ；（2）求B A C R )(18．已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在R 上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式．（2）用函数单调性的定义证明()f x 在(0,1)上是增函数． （3）判断函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性；（只需写出结论）19．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1)． （1）求a,b 的值；（2）求f (log 2x )的最小值及相应x 的值．20．已知f (x )＝log a1＋x1－x(a >0，a ≠1)． （1）求f (x )的定义域；（2）判断f (x )的奇偶性并给予证明； （3）求使f (x )>0的x 的取值范围．21．对函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若存在R x x ∈21,且21x x <，使得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=211)(1x x B x x A a x f （其中A ，B 为常数），则称)0()(2≠++=a c bx ax x f 为“可分解函数”。
江苏省扬州市扬州中学2018—2019学年度高一第二学期期末检测数学试题
扬州市2018—2019学年度第二学期期末检测试题高 一 数 学参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．圆锥的侧面积12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 为母线长．方差222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.10y ++=的倾斜角为（ ） A.3π B.23π C.6π D.56π 2.若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线（ ） A. 平行B. 异面C. 相交D. 以上皆有可能3.经过点(1,3)P ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条4.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 和1BC 所成角的大小为（ ）A.3π B.2π C.23π D.3π或23π 5.已知圆22:4C x y +=，直线:1(1)l y k x -=+，则直线l 与圆C 的位置关系（ ）A 相离B. 相切C. 相交D. 以上皆有可能6.在ABC ∆中，三条边分别为,,a b c ，若4,5,6a b c ===，则三角形的形状（ ） A. 锐角三角形B. 钝角三角形.C. 直角三角形D. 不能确定7.已知,,a b c 表示直线，α表示平面，则下列命题中正确是（ ）A. 若//,//a b a α，则//b αB. 若,a b b α⊥⊥，则//a αC. 若,a c b c ⊥⊥，则//a bD. 若,a b αα⊥⊥，则//a b 8.已知ABC ∆中，2,AB AC AB AC ==^，将ABC ∆绕BC 所在直线旋转一周，形成几何体K ,则几何体K 的表面积．．．为（ ）A.B.C.3D.39.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,4A a b π===，则B =（ ）A.6πB.3π C.23π D.3π或23π 10.若点P 在圆22(1)1x y -+=上运动，(,1)Q m m --，则PQ 的最小值为（ ）1111.在ABC ∆中，已知2,1,AB AC A==∠平分线1AD =,则ABC ∆的面积（ ）A.B.C.D.12.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆22:(8)16C x y -+=上运动，(6,0),(6,1),A B 则2PB PA +的最小值为（ ）A.B. 6C. D.2二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某学校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查，则应抽取的女学生人数为_________．14.如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD 的高度（建筑物CD 垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定,A B 两点，其距离为100米，然后在A 处测得60DAB ∠=，在B 处测得的的75,30DBA DBC ∠=∠=，则此建筑物CD 的高度为________米．15.已知圆22:1O x y +=和直线:2l y =，0(,2)P x 是直线l 上一点，若圆O 上存在,A B 两点，满足PA AB =，则实数0x 的取值范围是________．16.如图，棱长为1（单位：cm ）的正方体木块经过适当切割，得到几何体K ，已知几何体K 由两个底面相同的正四棱锥组成，底面ABCD 平行于正方体的下底面，且各顶点．．．均在正方体的面上，则几何体K 体积的取值范围是________（单位：3cm ）．三、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC =，平面11A BC ⊥平面11BCC B .证明：（1） //AC 平面11A BC ； （2） 平面1AB C ⊥平面11A BC ．18.在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点()1,2A -和(5,4)C ，AB 所在直线的方程为30x y -+=.（1） 求对角线BD 所在直线的方程； （2） 求AD 所在直线方程.19.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知2,2.a b B A ===（1）求cos A ； （2）求c 的值.20.某单位开展 “党员在线学习” 活动，统计党员某周周一至周日（共7天）学习得分情况，下表是党员甲和党员乙学习得分情况： 党员甲学习得分情况党员乙学习得分情况（1）求本周党员乙．．．周一至周日（共7天）学习得分的平均数和方差； （2）从本周周一至周日中任选一天，求这一天党员甲和党员乙学习得分都不低于25分的概率； （3）根据本周某一天的数据，将全单位80名党员的学习得分按照[)10,15，[)15,20,[)20,25，[)25,30，[]30,35进行分组、绘制成频率分布直方图（如图）已知这一天甲和乙学习得分在80名党员中排名分别为第30和第68名，请确定这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图．（直接写结果，不需要过程）21.如图，已知圆22:4C x y +=与x 轴的左右交点分别为,A B ，与y 轴正半轴的交点为D .（1）若直线l 过点(2,4)并且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若点,M N 是圆C 上第一象限内的点，直线,AM AN 分别与y 轴交于点,P Q ，点P 是线段OQ 的中点，直线//MN BD ，求直线AM 的斜率.22.如图，在平面凸四边形ABCD 中（凸四边形指没有角度数大于180四边形），2,4,5AB BC CD ===.（1）若120B ∠=，1cos 5D =，求AD ； （2）已知3AD =，记四边形ABCD 的面积为S . ① 求S 的最大值；② 若对于常数λ，不等式S λ≥恒成立，求实数λ的取值范围.（直接写结果，不需要过程）的。
江苏省扬州中学2018学年高一(上)月考数学试卷(解析版)
2021-2021 学年江苏省扬州中学高一〔上〕10 月月考数学试卷一、填空题：〔本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分．答案写在答题卡上〕1．集合 { x| 0＜ x＜ 3 且 x∈Z} 的非空子集个数为．2．函数 y=+的定义域是．3．定义在 R 上的奇函数 f 〔x〕，当 x＜0 时，，那么=．4．假设函数 f〔x〕=〔p﹣ 2〕x2+〔 p﹣ 1〕x+2 是偶函数，那么实数p 的值为．5．函数 f 〔x〕=﹣图象的对称中心横坐标为3，那么 a=．6．A={ x| 2a≤x≤ a+3} ，B=〔5，+∞〕，假设A∩B=?，那么实数 a 的取值范围为．7．集合 A={ ﹣1，1} ，B={ x| mx=1} ，且 A∩B=B，那么实数 m 的值为．8．函数 f 〔x〕是奇函数， g〔x〕是偶函数且 f 〔x〕 +g〔x〕=〔x≠± 1〕，那么f〔﹣ 3〕=．9．函数，假设f〔x〕＜f〔﹣1〕，那么实数x的取值范围是．10．偶函数 f〔x〕在 [ 0，+∞〕单调递减， f〔 2〕 =0，假设 f〔x﹣1〕＞ 0，那么 x的取值范围是．11．定义在 R 上的函数 f〔x〕在[ ﹣4，+∞〕上为增函数，且y=f〔 x﹣4〕是偶函数，那么 f〔﹣ 6〕，f 〔﹣ 4〕，f〔 0〕的大小关系为〔从小到大用“＜〞连接〕22x a 和函数，对任意 x1，总存在 x2使 g12．函数 f〔x〕=x + +〔 x1〕=f〔x2〕成立，那么实数 a 的取值范围是．13．设函数 f〔x〕=〔其中|m＞ 1〕，区间 M=a，b〔a＜b〕，集合 N= y y=f |[]{ |〔 x〕，x∈M〕} ，那么使 M=N 成立的实对数〔a，b〕有对．﹣ 1，假设对任意实数 x，都有〔fx+a〕＜〔fx〕成立，那么实数 a 的取值范围是．第 1 页〔共 17 页〕二、解答题：〔本大题共 6 小题，共 90 分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．答案写在答题卡上〕15．集合 A={ x|| x﹣a| ＜4} ， B={ x| x2﹣ 4x﹣ 5＞ 0} ．（1〕假设 a=1，求 A∩B；（2〕假设 A∪B=R，求实数 a 的取值范围．16．定义在 R 上的奇函数 f〔x〕，当 x＞ 0 时， f 〔x〕 =﹣ x2 +2x〔Ⅰ〕求函数 f 〔x〕在 R 上的解析式；〔Ⅱ〕假设函数 f 〔x〕在区间 [ ﹣1，a﹣2] 上单调递增，求实数 a 的取值范围．17．函数 f 〔x〕=| x2﹣ 1|+ x2+kx．（1〕当 k=2 时，求方程 f〔x〕=0 的解；（2〕假设关于 x 的方程 f 〔x〕 =0 在〔 0，2〕上有两个实数解 x1， x2，求实数 k 的取值范围．18．学校欲在甲、乙两店采购某款投影仪，该款投影仪原价为每台2000 元，甲店用如下方法促销：买一台价格为1950 元，买两台价格为1900 元，每多买台，每多买一台，那么所买各台单价均再减50 元，但最低不能低于 1200 元；乙店一律按原售价的 80%促销．学校需要购置x 台投影仪，假设在甲店购置费用记为f〔x〕元，假设在乙店购置费用记为g〔x〕元．（1〕分别求出 f 〔x〕和 g〔x〕的解析式；（2〕当购置 x 台时，在哪家店买更省钱？19．设函数〔其中a∈ R〕．（1〕讨论函数 f 〔x〕的奇偶性，并证明你的结论；（2〕假设函数 f〔 x〕在区间 [ 1，+∞〕上为增函数，求 a 的取值范围．20．二次函数 f 〔x〕 =ax2+bx+c〔其中 a≠0〕满足以下 3 个条件：① f〔x〕的图象过坐标原点；②对于任意 x∈R 都有成立；③方程 f〔x〕=x 有两个相等的实数根，令g〔x〕=f〔x〕﹣| λx﹣1| 〔其中λ＞ 0〕，（1〕求函数 f〔 x〕的表达式；（2〕求函数 g〔 x〕的单调区间〔直接写出结果即可〕；（3〕研究函数 g〔x〕在区间〔 0，1〕上的零点个数．2021-2021 学年江苏省扬州中学高一〔上〕10 月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：〔本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分．答案写在答题卡上〕1．集合 { x| 0＜ x＜ 3 且 x∈Z} 的非空子集个数为3．【考点】 16：子集与真子集．【分析】根据题意，用列举法表示集合A，可得集合 A 中元素的个数，进而由集合的元素数目与非空子集数目的关系，计算可得答案．【解答】解：集合 A={ x| 0＜x＜3，x∈Z} ={ 1， 2} ，有 2 个元素，那么其非空子集有22﹣1=3 个；故答案为： 3．2．函数 y=+的定义域是x x≥﹣ 3 且 x≠2．{ |}【考点】 33：函数的定义域及其求法．【分析】由题意可得，解不等式可求函数的定义域【解答】解：由题意可得∴x≥﹣ 3 且 x≠2故答案为： { x| x≥﹣ 3 且 x≠2}3．定义在 R 上的奇函数 f 〔x〕，当 x＜0 时，，那么=．【考点】 3L：函数奇偶性的性质； 3T：函数的值．【分析】利用函数奇偶性的定义和性质，先求f〔﹣〕，然后求f〔〕即可．【解答】解：∵ f〔x〕是奇函数，且当x＜0 时，，∴ f〔﹣〕=，又 f〔﹣〕=﹣f〔〕，∴f〔〕 =﹣ f〔﹣〕=﹣〔〕= ．故答案为：．4．假设函数 f〔x〕=〔p﹣2〕x2+〔p﹣1〕x+2 是偶函数，那么实数p 的值为1．【考点】 3L：函数奇偶性的性质．【分析】当 p=2 时，函数 f〔x〕显然不是偶函数．当 p≠2 时，函数是二次函数，对称轴为 x=，由=0，求得 p 的值．【解答】解：当 p=2 时，函数 f〔x〕=x+2，显然不是偶函数．当 p≠2 时，函数是二次函数，对称轴为x=，要使函数为偶函数，必须满足=0，即 p=1，故答案为1．5．函数 f 〔x〕=﹣图象的对称中心横坐标为3，那么 a=﹣4．【考点】 3O：函数的图象．【分析】别离变量，将解析式变为反比例函数式的形式，利用反比例函数的对称中心求 a．【解答】解： f〔x〕 =﹣=﹣1+，变形为f〔x〕+1=，∵ y= 的对称中心为〔 0，0〕，∴ f〔x〕+1=的对称中心坐标为〔﹣a﹣1，﹣1〕，∴﹣ a﹣1=3，解得 a=﹣ 4；故答案为：﹣ 4．6． A={ x| 2a≤x≤a+3} ，B=〔 5， +∞〕，假设 A∩B=?，那么实数 a 的取值范围为〔﹣∞，2∪〔 3，∞〕．]+第 5 页〔共 17 页〕【分析】当 A=?时， 2a＞a+3，解得 a 的取值范围．当 A≠?时，有 2a≤a+3，且a+3≤ 5，解得 a 的取值范围．再把这两个 a 的取值范围取并集，即得所求．【解答】解：∵ A={ x| 2a≤x≤a+3} ，B=〔5， +∞〕，假设 A∩B=?，当A=?时， 2a＞a+3，解得 a＞3．当A≠?时，有 2a≤a+3，且 a+3≤5，解得 a≤2．综上可得，实数 a 的取值范围为a≤2 或 a＞3，故答案为〔﹣∞，2]∪〔3，+∞〕．7．集合 A=﹣1，1}，B= x mx=1，且 A∩ B=B，那么实数 m 的值为1，0，{{ |}﹣1 ．【考点】 1C：集合关系中的参数取值问题．【分析】由集合 A={ ﹣1，1} ，B={ x| mx=1} ={} ，且 A∩ B=B，知 B={ 1} ，或 B={ ﹣1，或 B= ，故，或，或不存在，由此能求出实数 m 的值．}?【解答】解：∵集合 A=﹣1， 1，B= x mx=1 =}，且 A∩B=B，{}{ |} {∴B={ 1} ，或 B={ ﹣1} ，或 B=?，∴，或，或不存在，解得 m=1，或 m=﹣ 1，或 m=0．故答案为： 1，0，﹣ 1．8．函数 f 〔x〕是奇函数， g〔x〕是偶函数且 f 〔x〕 +g〔x〕=〔x≠± 1〕，那么f〔﹣ 3〕=﹣．【考点】 3L：函数奇偶性的性质．【分析】先由 f〔x〕+g〔x〕 =①得f〔﹣x〕+g〔﹣x〕=，再利用〔x〕是奇函数， g〔 x〕是偶函数得到﹣ f〔x〕+g〔 x〕 =②；①②相结合求出函数f〔x〕的解析式，把﹣ 3 代入即可求出结果．【解答】解：因为 f 〔x〕 +g〔x〕=①，所以f〔﹣x〕+g〔﹣x〕=，又因为 f〔x〕是奇函数， g〔 x〕是偶函数，故可转化为﹣ f〔x〕 +g〔x〕=②①﹣②整理得： f〔x〕=〔〕．所以f〔﹣ 3〕=〔〕=﹣．故答案为﹣．9．函数，假设f〔x〕＜f〔﹣1〕，那么实数x的取值范围是x＞﹣ 1 ．【考点】 75：一元二次不等式的应用； 3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】由，先计算出 f〔﹣ 1〕=11，根据分段函数的意义，逐段求解，最后合并即可．【解答】解： f〔﹣ 1〕=11，当 x≤0 时，由 x2﹣4x+6＜11，得出 x2﹣4x﹣ 5＜ 0，解得﹣ 1＜x＜5，所以﹣ 1＜x≤0①当 x＞0 时，由﹣ x+6＜11，得出 x＞﹣ 5，所以 x＞0②①②两局部合并得出数 x 的取值范围是 x＞﹣ 1故答案为： x＞﹣ 1．10．偶函数 f〔x〕在 [ 0，+∞〕单调递减， f〔 2〕 =0，假设 f〔x﹣1〕＞ 0，那么 x的取值范围是〔﹣ 1，3〕．【考点】 3L：函数奇偶性的性质； 3F：函数单调性的性质．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f〔 | x﹣1| 〕＞ f〔2〕，即可得到结论．【解答】解：∵偶函数 f〔x〕在 [ 0，+∞〕单调递减， f〔 2〕 =0，∴不等式 f〔 x﹣1〕＞ 0 等价为 f〔 x﹣ 1〕＞ f〔 2〕，即 f〔 | x﹣1| 〕＞ f〔2〕，∴| x﹣1| ＜ 2，解得﹣ 1＜x＜3，故答案为：〔﹣ 1，3〕11．定义在 R 上的函数 f〔x〕在[ ﹣4，+∞〕上为增函数，且y=f〔 x﹣4〕是偶函数，那么 f〔﹣ 6〕，f〔﹣ 4〕，f〔 0〕的大小关系为f〔﹣ 4〕＜ f〔﹣ 6〕＜f〔0〕〔从小到大用“＜〞连接〕【考点】 3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】根据 y=f〔 x﹣ 4〕为偶函数，可得函数 y=f〔x〕的图象关于直线 x=﹣4对称，故 f〔 0〕，f〔﹣4〕，f〔﹣ 6〕大小关系可转化为判断 f〔﹣ 8〕，f〔﹣ 4〕，f 〔﹣6〕大小关系，由函数y=f〔x〕在[ ﹣4，+∞〕上为增函数，可得函数y=f〔x〕在〔﹣∞，﹣ 4] 上是减函数，进而得到答案．【解答】解：∵ y=f〔x﹣4〕为偶函数，即有f〔﹣ x﹣ 4〕 =f〔x﹣4〕，∴函数 y=f〔 x〕的图象关于直线x=﹣4 对称，∴ f〔0〕=f〔﹣ 8〕，又由函数 y=f〔x〕在 [ ﹣4，+∞〕上为增函数，故函数 y=f〔 x〕在〔﹣∞，﹣ 4] 上是减函数，故f〔﹣ 8〕＞ f〔﹣ 6〕＞ f〔﹣ 4〕，即 f〔 0〕＞ f〔﹣ 6〕＞ f 〔﹣ 4〕，故答案为： f〔﹣ 4〕＜ f 〔﹣ 6〕＜ f〔0〕．12．函数 f〔x〕=x2+2x+a 和函数，对任意x1，总存在x2使g 〔 x1〕=f〔x2〕成立，那么实数 a 的取值范围是〔﹣∞，﹣1]．【考点】 3W：二次函数的性质； 3R：函数恒成立问题．【分析】对于任意的x1，总存在 x2使 g〔x1〕 =f〔x2〕成立成立，只需函数y=g 〔 x〕的值域为函数y=f〔 x〕的值域的子集即可．【解答】解：假设对任意的 x1，总存在 x2使 g〔x1〕 =f〔x2〕成立，只需函数 y=g〔x〕的值域为函数y=f〔x〕的值域的子集．∵在[ ﹣1，+∞〕上单调递增∴ g〔 x〕≥﹣ 2∵f〔x〕=x2+2x+a=〔x+1〕2+a﹣1∴f〔x〕≥ a﹣1∴a﹣ 1≤﹣ 2∴a≤﹣ 1故答案为：〔﹣∞，﹣ 1]13．设函数 f〔x〕=〔其中| m|＞1〕，区间M=[ a，b]〔a＜b〕，集合N={ y| y=f 〔 x〕，x∈M〕} ，那么使 M=N 成立的实对数〔 a，b〕有 1 或 3 对．【考点】 19：集合的相等．【分析】先判断函数 f〔x〕是奇函数，进而从认知集合切入．这里的集合N 为函数 f〔x〕，〔x∈M〕的值域．注意到 f〔 x〕的表达式中含有 | x| ，为求f〔x〕的值域，先将 f〔 x〕化为分段函数的形式，以便于化整为零，逐段分析．最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：由函数 f 〔x〕=〔x∈R〕，可得 f 〔﹣ x〕==﹣=﹣ f〔x〕，故函数 f〔x〕是奇函数．当x=0 时， f〔0〕=0，当 x≠0 时， f 〔x〕=，当 m＜﹣ 1 时，假设 x＞0， f〔 x〕=为减函数，假设x＜0，f〔x〕=为减函数，故函数 f〔x〕在区间 [ a， b] 上为减函数，若M=N，那么 f〔a〕=b，且 f〔b〕=a，由点〔 a，b〕与点〔 b，a〕关于 y=x 对称，那么 a＜ 0＜ b，∴ f〔﹣ a〕 =﹣ f〔a〕=﹣b，若b＜﹣ a，那么 f〔 b〕＞ f〔﹣ a〕，a＞﹣ b，﹣ a＜b 矛盾，若b＞﹣ a，那么 f〔 b〕＜ f〔﹣ a〕，a＜﹣ b，﹣ a＞b 矛盾，故b=﹣ a，x＞0 时， f〔 x〕=﹣x，即=﹣x，解得 x=﹣ 1﹣ m＞0，x＜0 时， f〔 x〕=﹣x，即=﹣x，解得 x=1+m＜ 0，故M=[ 1+m，﹣ 1﹣m] ，当 m＞1 时，假设 x＞0， f〔 x〕=为增函数，假设x＜0，f〔x〕=为增函数，故函数 f〔x〕在区间 [ a， b] 上为增函数，若M=N，那么 f〔a〕=a，且 f〔b〕=b，x＞0 时， f〔 x〕=x，即=x，解得 x=﹣1 m，+x＜0 时， f〔 x〕=x，即=x，解得 x=1﹣m，x=0 时， f 〔0〕=0，故M=[ 1﹣m， 0] ，或 M=[ 1﹣m， m﹣1] ，或 M=[ 0， m﹣1] ．综上所述，当 m＜﹣ 1 时，使 M=N 成立的实对数〔 a，b〕有 1 对，当 m＞1 时，使 M=N 成立的实对数〔 a， b〕有 3 对．故答案为： 1 或 3．14．函数 f 〔x〕满足 f〔 x+1〕=f〔x〕+1，当 x∈[ 0，1] 时， f〔 x〕 =| 3x﹣1|﹣ 1，假设对任意实数 x，都有 f〔 x+a〕＜f〔x〕成立，那么实数 a 的取值范围是〔﹣∞，﹣〕∪〔﹣，﹣〕．【考点】 3P：抽象函数及其应用．【分析】先把绝对值函数化为分段函数，再根据图象的平移得到函数f〔x〕的图象，观察函数的图象，即可求出 a 的范围．【解答】解：∵ x∈[ 0，1] 时， f〔 x〕 =| 3x﹣1| ﹣1，∴当 x∈[ 0，] 时， f〔 x〕 =﹣ 3x，x∈〔，1]时，f〔x〕=3x﹣2，由f〔 x+1〕=f〔x〕+1，可得到 f〔 x〕大致图形为，如下图由图可以看出，当 x= 时，即 D 点．若a≥0，那么 f 〔 +a〕≥ f〔〕，不满足题意．所以 a＜0．由图中知，比 D 小的为 C 左边的区域，且不能为 A 点．C 点为 f 〔﹣〕，此时a=﹣．所以 a 的范围是〔﹣∞，﹣〕∪〔﹣，﹣〕故答案为：〔﹣∞，﹣〕∪〔﹣，﹣〕二、解答题：〔本大题共 6 小题，共 90 分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．答案写在答题卡上〕15．集合 A={ x|| x﹣a| ＜4} ， B={ x| x2﹣ 4x﹣ 5＞ 0} ．（1〕假设 a=1，求 A∩B；（2〕假设 A∪B=R，求实数 a 的取值范围．【考点】 18：集合的包含关系判断及应用．【分析】〔1〕a=1 时，集合 A={ x| ﹣ 3＜ x＜ 5} ，B={ x| ＜﹣ 1 或 x＞ 5} ，由此能求出 A∩B．（2〕由集合 A={ x| a﹣4＜x＜a+4} ，B={ x| ＜﹣ 1 或 x＞5} ，A∪ B=R，列出不等第 11 页〔共 17 页〕【解答】解：〔1〕∵ a=1 时，集合 A={ x|| x﹣ 1| ＜4} ={ x| ﹣ 3＜ x＜5} ， B={ x| x2﹣4x﹣5＞0} ={ x| ＜﹣ 1 或 x＞5} ．∴A∩ B={ x| ﹣3＜x＜﹣ 1} ．（2〕∵集合 A={ x|| x﹣ a| ＜4} ={ x| a﹣4＜x＜a+4} ，B={ x| x2﹣4x﹣5＞0} ={ x| ＜﹣ 1 或 x＞5} ．A∪B=R，∴，解得 1＜a＜3．∴实数 a 的取值范围是〔 1， 3〕．16．定义在 R 上的奇函数 f〔x〕，当 x＞ 0 时， f 〔x〕 =﹣ x2 +2x〔Ⅰ〕求函数 f 〔x〕在 R 上的解析式；〔Ⅱ〕假设函数 f 〔x〕在区间 [ ﹣1，a﹣2] 上单调递增，求实数 a 的取值范围．【考点】 3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】〔Ⅰ〕根据函数奇偶性的对称性，即可求函数 f 〔x〕在 R 上的解析式；〔Ⅱ〕根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出 a 的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕设x＜0，那么﹣ x＞ 0， f〔﹣ x〕 =﹣〔﹣ x〕2+2〔﹣ x〕=﹣x2﹣2x．又f〔 x〕为奇函数，所以 f〔﹣ x〕=﹣f〔 x〕且 f 〔0〕=0．于是 x＜0 时 f〔 x〕=x2+2x．所以 f 〔x〕 =．〔Ⅱ〕作出函数f〔 x〕=的图象如图：那么由图象可知函数的单调递增区间为[ ﹣1，1]要使 f 〔x〕在 [ ﹣1，a﹣2] 上单调递增，〔画出图象得 2 分〕结合 f 〔x〕的图象知，所以 1＜a≤3，故实数 a 的取值范围是〔 1， 3] ．17．函数 f 〔x〕=| x21|+ x2+kx．（1〕当 k=2 ，求方程 f〔x〕=0 的解；（2〕假设关于 x 的方程 f 〔x〕 =0 在〔 0，2〕上有两个数解 x1， x2，求数 k 的取范．【考点】 54：根的存在性及根的个数判断．【分析】〔1〕当 k=2 ， f 〔x〕=| x2 1|+ x2+2x=0，下面分两种情况：①当 x2 1＞ 0，②当 x2 1≤ 0，分解出方程 f〔 x〕 =0 的解即可；〔 2〕不妨 0＜ x1＜x2＜2，可得x1∈〔0，1]，x2∈〔 1，2〕．由 f〔x1〕=0，得 k=，k≤ 1；由f〔x2〕=0，得k=2× 2，＜k＜1即可．【解答】解：〔1〕当 k=2 ，〔f x〕=| x21|+ x2+2x=0，∴解得 x=，或x=（2〕不妨 0＜ x1＜x2＜2，因所以 f 〔x〕在〔 0，1] 上是函数，故 f〔x〕=0 在〔 0，1] 上至多一个解，⋯假设 x1，x2∈〔 1，2〕， x1x2= ＜0，故不符合意，因此 x1∈〔 0，1] ，x2∈〔 1，2〕．⋯由 f〔 x1〕=0，得 k=﹣，所以k≤﹣1；由 f〔 x2〕=0，得 k=﹣﹣2×2，所以﹣＜k＜﹣1故当﹣＜ k＜﹣ 1 时，方程 f 〔x〕=0 在〔 0，2〕上有两个解．18．学校欲在甲、乙两店采购某款投影仪，该款投影仪原价为每台2000 元，甲店用如下方法促销：买一台价格为1950 元，买两台价格为1900 元，每多买台，每多买一台，那么所买各台单价均再减50 元，但最低不能低于 1200 元；乙店一律按原售价的 80%促销．学校需要购置x 台投影仪，假设在甲店购置费用记为f〔x〕元，假设在乙店购置费用记为g〔x〕元．（1〕分别求出 f 〔x〕和 g〔x〕的解析式；（2〕当购置 x 台时，在哪家店买更省钱？【考点】 5D：函数模型的选择与应用；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】〔1〕由 2000﹣50x=1200，可得 x=16，再分类讨论，即可求出f〔x〕和g〔x〕的解析式；（2〕 1≤ x≤16 时，由 f〔x〕=g〔 x〕，可得 x=8，再分类讨论，即可得出结论．【解答】解：〔1〕由 2000﹣50x=1200，可得 x=16，1≤x≤16 时， f 〔x〕=x；x＞16 时， f 〔x〕=1200x，∴ f〔x〕=，g〔x〕=2000×80%x=1600x；（2〕 1≤ x≤16 时，由 f〔x〕=g〔 x〕，可得 x=8∴ 1≤ x≤8 时， f 〔x〕﹣ g〔x〕 =x＞0，f〔x〕＞ g〔x〕； x=8 时， f 〔x〕 =g〔x〕；8≤x≤16 时， f 〔x〕﹣g〔x〕=x＜ 0， f〔x〕＜ g〔x〕；x≥16 时， f 〔x〕﹣ g〔x〕=﹣400x＜0，f〔 x〕＜ g〔x〕；综上所述，当购置大于8 台时，在甲店买省钱；当购置小于8 台时，在乙店买省钱；当购置等于8 台时，在甲、乙店买一样．19．设函数〔其中a∈ R〕．（1〕讨论函数 f 〔x〕的奇偶性，并证明你的结论；（2〕假设函数 f〔 x〕在区间 [ 1，+∞〕上为增函数，求 a 的取值范围．【考点】 3E：函数单调性的判断与证明； 3K：函数奇偶性的判断．【分析】〔1〕分 a=0，a≠0 两种情况讨论，利用奇偶性的定义可判断；〔 2〕函数 f〔x〕在区间 [ 1， +∞〕上为增函数，等价于 f ′〔x〕≥ 0 在 [ 1，+∞〕上恒成立，别离出参数化为函数的最值即可．【解答】解：〔 1〕当 a=0 时 f〔x〕为奇函数；当 a≠ 0 时 f〔x〕为非奇非偶函数．证明如下：∵f〔x〕=ax2+ ，∴ f〔﹣ x〕 =ax2﹣，当a=0 时， f〔﹣ x〕 =﹣ f〔x〕=﹣， f〔x〕为奇函数；当a≠0 时， f 〔﹣ x〕≠ f〔x〕，且 f〔﹣ x〕≠﹣ f〔 x〕，此时 f 〔x〕为非奇非偶函数．〔 2〕 f 〔′ x〕=2ax﹣，∵ f〔x〕在区间 [ 1， +∞〕上为增函数，∴ f 〔′ x〕≥ 0 在[ 1， +∞〕上恒成立，即2a≥在[ 1，+∞〕上恒成立，而在 [ 1，+∞〕上单调递减，∴≤1，∴ 2a≥1，解得 a≥．20．二次函数 f 〔x〕 =ax2+bx+c〔其中 a≠0〕满足以下 3 个条件：① f〔x〕的图象过坐标原点；②对于任意 x∈R 都有成立；③方程 f〔x〕=x 有两个相等的实数根，令g〔x〕=f〔x〕﹣| λx﹣1| 〔其中λ＞ 0〕，（1〕求函数 f〔 x〕的表达式；（2〕求函数 g〔 x〕的单调区间〔直接写出结果即可〕；第 15 页〔共 17 页〕〔 3〕研究函数 g〔x〕在区〔 0，1〕上的零点个数．【考点】 57：函数与方程的合运用； &2：的函数； 3E：函数性的判断与明； 3W：二次函数的性； 54：根的存在性及根的个数判断．【分析】〔1〕利用 f 〔0〕=0 求出 c．通函数的称，得到a=b，通方程 f 〔 x〕=x 有两个相等的数根，即可求函数f〔 x〕的表达式；〔 2〕化函数 g〔 x〕的表达式分段函数，通，合函数g〔x〕=x2+〔 1λ〕x+1的称求出求解，当似求解函数区．〔 3〕合〔 2〕的函数的性，即可研究函数g〔 x〕在区〔 0， 1〕上的零点个数．【解答】解：〔1〕由意得 f 〔0〕=0，即 c=0．⋯∵ 于任意 x∈R 都有，∴ 称，即，即a=b．∴f〔x〕=ax2+ax，2∵方程 f〔x〕=x 有一根，即方程ax +〔a 1〕x=0 有一根，∴f〔x〕=x2+x．⋯（2〕 g〔x〕=f〔 x〕 | λx1| =①当，函数 g〔x〕=x2〔 1 λ〕 x 1的称，++假设，即 0＜λ≤ 2，函数 g〔 x〕在上增；假设，即λ＞2，函数 g〔x〕在上增，在上减．②当，函数 g〔x〕=x2+〔 1+λ〕x 1 的称，函数 g〔x〕在上增，在上减．上所述，江苏省扬州中学2018学年高一(上)月考数学试卷(解析版)当 0＜λ≤ 2 ，函数 g〔x〕增区，减区；当λ＞2 ，函数g〔 x〕增区、，减区、．⋯〔 3〕①当 0＜λ≤2 ，由〔 2〕知函数 g〔 x〕在区〔 0，1〕上增，又g〔0〕= 1＜ 0， g〔1〕 =2 | λ 1| ＞0，故函数 g〔x〕在区〔 0， 1〕上只有一个零点．⋯②当λ＞2，，而 g〔0〕= 1＜0，，g〔1〕=2λ 1|，|〔ⅰ〕假设 2＜λ≤ 3，由于，且=，此，函数 g〔x〕在区〔 0，1〕上只有一个零点；〔ⅱ〕假设λ＞ 3，由于且g〔1〕=2| λ 1| ＜ 0，此 g〔x〕在区〔 0，1〕上有两个不同的零点．上所述，当 0＜λ≤ 3 ，函数 g〔x〕在区〔 0，1〕上只有一个零点；当λ＞3 ，函数 g〔x〕在区〔 0，1〕上有两个不同的零点．⋯第 17 页〔共 17 页〕。
江苏省扬州市2018-2019学年高一下学期数学期末试卷Word版含答案.pdf
1 2．已知 cos = ，则 cos2 =
3
▲．
3．在 ABC 中，已知 b 2, c 1, B 45 ，则角 C
▲ ．
xy2 4．已知变量 x, y满足 x 0 ，则 z x y 的最小值为
y0
▲ ．
5．已知等比数列 an 的前 n 项和 Sn 3n a ，则 a
▲ ．
6．已知正四棱锥的底面边长是 6 ，高为 7 ，则该正四棱锥的侧面积为
16⑴在三棱柱 ABC A1B1C1中， D 是 BC 的中点， E 为 B1C1 的中点， 所以 BD//EC1 ，所以四边形 BDC1E 为平行四边形， 所以 BE // DC1 ， 又 BE 平面 AC1D ， DC1 平面 AC1D 所以 BE // 平面 AC1D ；
⑵因为在 ABC 中， D 是 BC 的中点，且 AB AC ， 所以 AD BC ， 因为平面 B1BCC1 平面 ABC ， AD 平面 ABC ， 平面 B1BCC1 平面 ABC BC ， 所以 AD 平面 B1BCC1 ， 又 AD 平面 AC1D ，所以平面 AC1D 平面 B1BCC1 ．
17．（本小题满分 14 分）
已知 0
， tan 2
⑴求 sin 2 的值；
⑵求 的大小．
4 3 ， cos(
13
)
．
14
18．（本小题满分 16 分）
已知 V ABC 的三个内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ， b ， c ， B 是钝角， 且 3a 2bsin A ． ⑴求 B 的大小；
f (m)
f (n) ，
f (m n p) f (m) f (n) f ( p) ，则 p 的最大值是
▲ ．
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江苏省扬州中学2018-2019学年高一数学10月月考试卷（含解析）一、填空题（每小题5分，共70分）1.若全集，集合，则=_______．【答案】【解析】试题分析：因为，则．考点：集合的运算．2.集合的子集个数为_______．【答案】4【解析】【分析】由题意用列举法写出集合，然后推出子集的个数【详解】集合，集合的子集个数为：【点睛】本题主要考查了子集的个数问题，属于基础题。
3.函数定义域为________．【答案】【解析】【分析】由，解得的范围即可得出答案【详解】由解得函数定义域为【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求法，找出其限制条件，列出不等式即可求出结果，属于基础题。
4.若函数在上递减，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据二次函数图像和性质，可得，从而得出结论【详解】由题意可得：解得故实数的取值范围是【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，讨论对称轴与区间的关系即可得到结果，属于基础题。
5.若，则_____．【答案】4【解析】【分析】直接利用分段函数求解函数值即可【详解】由已知得，故【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，求复合函数的值，属于基础题。
6.已知函数，若，则_______．【答案】【解析】【分析】根据题意首先构造奇函数，然后利用奇函数的性质求解函数值即可【详解】因为，则，故函数为奇函数，则【点睛】本题主要考查了函数的值的求法，属于基础题。
解题时要认真审题，注意函数的奇偶性的运用。
7.下列各组函数中，表示相同函数的是_______①与② 与③与④ 与【答案】③【解析】【分析】对四个结论逐个进行分析即可得出答案【详解】①函数的定义域为，值域为，而函数的定义域为，值域为，故不是相同函数②函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，故不是相同函数③两个函数的定义域为，值域为，对应法则也相同，故是相同函数④函数的定义域为，值域为，而函数的定义域为，值域为，故不是相同函数综上所述，故答案为③【点睛】本题主要考查了函数的定义的应用，熟练掌握相同函数必须满足函数的三要素都相同，即定义域，对应法则，值域都相同，考查了分析问题解决问题的能力。
8.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意两个不等的实数，总有，则满足的实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】结合函数的单调性与奇偶性求出不等式的解集【详解】由题意中对任意两个不等的实数，总有，故函数在区间上是单调增函数，又函数为偶函数，则在上单调递减，故即，解得，故实数的取值范围是【点睛】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性，在解题时运用函数的性质，尤其是偶函数，其单调性在对称轴两边不同，在解不等式时引入绝对值，这样就不用分类讨论了。
9.已知函数是二次函数，且满足，则= _______．【答案】【解析】【分析】设出二次函数的解析式，进一步利用对应关系求出系数，从而求出结果【详解】设二次函数已知二次函数满足即：可得：，解得则【点睛】本题考查的知识点有：二次函数解析式的求法，待定系数法的应用，考查了计算能力，属于基础题。
10.函数的最小值为_______．【答案】1【解析】【分析】去掉绝对值后将函数写成分段函数的形式，然后求出最小值【详解】不难发现当时函数有最小值【点睛】本题考查了函数的最值问题，在含有绝对值的题目时要先去掉绝对值然后进行根据函数的单调性求出最小值，本题较为基础。
11.已知函数的图象与轴恰有2个不同的交点，则实数的取值范围是_______．【答案】或【解析】【分析】结合函数图像讨论在不同情况下的取值范围【详解】如图：函数和轴有3个不同的交点，为满足题意与轴恰有2个不同的交点，(1)当抛物线与直线各有一个交点时的取值范围是，(2)当抛物线有两个交点而直线没有交点时的取值范围是，故综上实数的取值范围是或【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，结合函数图像分别求出满足题意的参量取值范围，考查了数形结合的思想。
12.已知函数，若，则实数a的取值范围是____【答案】【解析】【分析】构造新函数，讨论新函数的奇偶性和单调性，然后求出结果【详解】由，令，则，所以函数为奇函数，当时，，在区间内单调递增，故可化为，即，则，解得，故实数的取值范围为【点睛】本题考查了函数性质运用，观察题目条件中的函数表达式和问题，在解题时先构造新函数，探究新函数的奇偶性和单调性，然后运用性质解不等式的结果，本题有一定难度。
13.已知，则的值为____【答案】【解析】【分析】由已知条件求出的表达式，探究出的值，找出规律求出结果【详解】因为，则，所以【点睛】本题考查了函数的解析式的特征，在解答此类题目时可以先观察问题中前后两个函数值之间的数量关系，然后探究一般形式的结果，得出规律后求出结果。
14.已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是____【答案】或【解析】【分析】由题意求出的最小值大于或等于的最小值即可【详解】由函数可得函数的最小值为，则对任意，总存在，使得，故要满足当时，，即当时，，解得或，无解，舍去当时，，解得综上实数的取值范围是或【点睛】本题考查了函数的最值问题，在题目中满足任意与存在性时一定要弄明白求函数的最大（小）值，这样就将问题进行转化，然后求解不等式问题，考查了转化的思想，还是要掌握此类题目的解答方法。
二、解答题 (本大题共6小题，共80分)15.已知集合，，求实数的值.【答案】【解析】【分析】由，则可得，计算出结果，进行验证【详解】由题意得，解得或，当时，，满足要求；当时，，不满足要求，综上得：【点睛】本题考查了集合的交集，由已知条件，代入求出参量的值，注意代回的检验尤为重要。
16.设函数，（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．【答案】⑴；⑵【解析】【分析】(1)将，然后解一元二次不等式，求出定义域(2)含有参量的定义域为，则分类讨论和的两种情况【详解】⑴当时，由题意得，即，即∴定义域为。
⑵由题意得对一切都成立,当时，，满足要求；当时，则有，解得，综上得：实数的取值范围是【点睛】本题考查了含有参量的定义域求法，在解答题目时需要注意分类讨论，当参量作为最高次项的系数时讨论为零时和不等于零时两种情况，然后求出结果。
17.已知集合，，（1）若，求实数的值．（2）若，求实数的取值范围．【答案】⑴；⑵或【解析】【分析】(1)由，则得，求出实数的值(2)由，则，然后分类讨论求出结果【详解】⑴由意得，所以⑵因为，所以，所以或或或当时，，解得；当时，解得；当时，无解；当时，解得；综上得：或【点睛】本题考查了集合的并集和交集的转化，将题目中的语句转化为子集问题然后求出结果，在求解过程中不要漏掉空集情况的讨论。
18.某季节性服装当季节来临时，价格呈上升趋势，设服装开始时定价为10元，下面每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周末，该服装已不再销售。
（1）写出价格与周次之间的函数关系式；（2）若每件服装的进价与周次之间的关系为且，试问该服装第几周每件销售利润最大? （注：每件销售利润＝售价－进价）【答案】(1)见解析；(2) 第5周每件销售利润L最大【解析】试题分析：（Ⅰ）（Ⅱ）1.当实际问题中的变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成时，应构建分段函数模型求解．2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．3．求分段函数的最大(小)值时，应先在每段上求其最大(小)值，然后再取其中的最大(小)值即可．试题解析：（Ⅰ）6分（Ⅱ）二次函数最值3种情况分别求当t=5时，=9.125元 8分当，t=6或10时，=8.5元 10分当，t=11时，=-12.875元 12分第五周每件销售利润最大，最大值为9.125元 13分考点：分段函数模型的实际应用19.已知函数，（1）判断的奇偶性，并给出理由；（2）当时，①判断在上的单调性并用定义证明；②若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)无奇偶性；(2)①在区间上是递减；②【解析】【分析】(1)分类讨论时和时的奇偶性(2) ①代入，然后运用定义法证明函数的单调性②不等式恒成立则转化为，先求出最小值，然后求出结果【详解】(1)当时，，定义域为，关于原点对称此时∴为偶函数；当时，，定义域为，关于原点对称此时，，故，∴无奇偶性.(2) ①，任取，则，∵∴，，∴，所以在区间上是递减.②由题意得，由（2）知在区间上是递减，同理可得在区间上递增，所以，所以，即，令，则，解得，故即，即。
【点睛】本题考查了函数的综合知识：函数的奇偶性、单调性及不等式的求解，在解答综合性题目时分别运用相关知识求解，最后一问中恒成立问题中将其转化为最值问题，然后求出结果。
20.已知二次函数及一次函数，并且，（1）证明：函数、的图象有两个不同交点（2）若，①求的取值范围；②记上面的两个交点在轴上的射影为两点，求长度的取值范围.【答案】⑴见证明；⑵①；②【解析】【分析】(1)代入，得，令，判定的取值范围(2)①由(1)得，结合，得，代入化简求出范围②先表示出，运用两根之和与两根之积进行化简，求出关于的函数问题，求出结果【详解】⑴由得，设，即则若则，与已知矛盾所以，所以命题得证⑵，又，由得到，即∵⑶∵设的两根∴∴∴【点睛】本题考查了函数图像的交点问题以及参量的范围问题，在求解过程中注意参量之间的转化，将三元问题转化为二元问题，借助函数思想来求出结果，本题有一定难度，需要掌握解题方法。