2021高考数学一轮复习第二章函数第5节指数与指数函数练习
第5节 指数与指数函数--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第五节指数与指数函数1．根式(1)如果x n ＝a ，那么01x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做02根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝03a．当n 为奇数时，na n ＝04a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，a－m n ＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于050，0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝06a r ＋s ；(a r )s ＝07a rs ；(ab )r ＝08a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a>10<a <1图象定义域R 值域09(0，＋∞)性质图象过定点10(0，1)，即当x＝0时，y ＝1当x >0时，11y >1；当x <0时，120<y <1当x <0时，13y >1；当x >0时，140<y <1在(－∞，＋∞)上是15增函数在(－∞，＋∞)上是16减函数(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．(2)画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)1(3)如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象越高，底数越大．(4)指数函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4.()(2)2a·2b＝2ab.()(3)na n＝(na)n＝a.()(4)6(－3)2＝(－3)13.()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2．小题热身(1)(人教A必修第一册习题4.1T1改编)下列运算中正确的是()A.(2－π)2＝2－πB．a－1a＝－aC．(m 14n-38)8＝m2n3D．(x3－2)3＋2＝x9答案C解析对于A，因为2－π<0，所以(2－π)2＝π－2，故A错误；对于B，因为－1a>0，所以a<0，则a－1a＝－(－a)·1－a＝－－a，故B错误；对于C，因为(m14n-38)8＝(m14)8·(n-38)8＝m2n3，故C正确；对于D，因为(x3－2)3＋2＝x9－2＝x7，故D错误．(2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点()21C．(1，2)答案D(3)函数y＝2x＋1的图象是()答案A(4)若函数y＝a x(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________．答案2考点探究——提素养考点一指数幂的运算例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>03x-34y12－14x14y－1y__________．答案－10y解析原式＝3x -34y12－3 10 x -34y-12＝－10y.(2)－0.752＋6－2－23＝________．答案1解析＋136×－23＝32－＋136×2＝32－916＋136×94＝1.【通性通法】【巩固迁移】－12·(4ab－1)3(0.1)－1·(a3·b－3)12(a>0，b>0)＝________．答案85解析原式＝2·432a 32b -3210a 32b-32＝85.2．若x 12＋x -12＝3，则x 2＋x －2＝________．答案47解析由x 12＋x -12＝3，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47.考点二指数函数的图象及其应用例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是()A.54，3，13，12 B.3，54，13，12C.12，13，3，54 D.13，12，54，3答案C解析由题图，直线x ＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而3>54>12>13，故选C.(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为________．答案解析当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1所示，由已知得0<3a <1，∴0<a <13；当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a <1，∴0<a <13，结合a >1可得a 无解．综上可知，a【通性通法】(1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．【巩固迁移】3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y ＝e －|x |(e 是自然对数的底数)的大致图象是()答案C解析y ＝e －|x |，x ≥0，x <0，易得函数y ＝e －|x |为偶函数，且图象过(0，1)，y ＝e －|x |>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C 符合题意．故选C.4．(多选)若实数x ，y 满足4x ＋5x ＝5y ＋4y ，则下列关系式中可能成立的是()A ．1<x <yB ．x ＝yC ．0<x <y <1D ．y <x <0答案BCD解析设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，则f (x )，g (x )都是增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9，依题意，不妨设f (x )＝g (y )＝t ，则x ，y 分别是直线y ＝t 与函数y ＝f (x )，y ＝g (x )图象的交点的横坐标．当t >9时，若f (x )＝g (y )，则x >y >1，故A 不正确；当t ＝9或t ＝1时，若f (x )＝g (y )，则x ＝y ＝1或x ＝y ＝0，故B 正确；当1<t <9时，若f (x )＝g (y )，则0<x <y <1，故C 正确；当t <1时，若f (x )＝g (y )，则y <x <0，故D 正确．故选BCD.考点三指数函数的性质及其应用(多考向探究)考向1比较指数式的大小例3(2023·天津高考)若a ＝1.010.5，b ＝1.010.6，c ＝0.60.5，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >b >cD ．b >a >c答案D解析解法一：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b >a >1.因为函数φ(x )＝0.6x 是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c <1.综上，b >a >c .故选D.解法二：因为函数f (x )＝1.01x 是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b >a .因为函数h (x )＝x 0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a >c .综上，b >a >c .故选D.【通性通法】比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．【巩固迁移】5．(2023·福建泉州高三质检)已知a －13，b －23，c ()A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．b >a >c答案C解析－13－23，y 在R 上是增函数，－13－23，即c >a >b .考向2解简单的指数方程或不等式例4(1)(多选)若4x －4y <5－x －5－y ，则下列关系式正确的是()A ．x <yB ．y －3>x －3C.x >y <3－x答案AD解析由4x －4y <5－x －5－y ，得4x －5－x <4y －5－y ，令f (x )＝4x －5－x ，则f (x )<f (y )．因为g (x )＝4x ，h (x )＝－5－x 在R 上都是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G (x )＝x －3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x <y <0时，x －3>y －3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y 在R 上是减函数，且x <y ，，<3－x ，故D 正确．故选AD.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )x ，x ≥0，a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．答案12解析当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，2a －(1－a )＝4a －1，无解．故a 的值为12.【通性通法】(1)解指数方程的依据：a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．(2)解指数不等式的思路方法：对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．【巩固迁移】6．函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为________．答案(－∞，－3)解析因为y ＝(0.5x －8)-12＝10.5x －8，所以0.5x －8>0，则2－x >23，即－x >3，解得x <－3，故函数y ＝(0.5x－8)-12的定义域为(－∞，－3)．7．当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0，且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析依题意，当x ，y ＝a x 与y ＝1x 的图象有交点，作出y ＝1x的部分图象，如图所示，>1，12>2，解得a>4.考向3与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________．答案(0，3]解析设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]．(2)函数yx－＋17的单调递增区间为________．答案[－2，＋∞)解析设t>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．≤4，得x≥－2，>4，得x<－2，而函数t在R上单调递减，所以函数yx－＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)．【通性通法】涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【巩固迁移】8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是() A．f(x)的单调递减区间是[0，1]B．f(x)的单调递增区间是[－1，1]C．f(x)的最大值是f(0)＝2D．f(x)的最小值是f(1)＝－6答案ACD解析设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈13，3，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在13，1上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝109，f(1)＝－6，因此f (x )的最小值是f (1)＝－6，故D 正确．故选ACD.9．若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是________．答案(－∞，－1]解析∵y 是减函数，且f (x )，19，∴t ＝ax 2＋2x ＋3有最小值2，则a >0且12a －224a ＝2，解得a ＝1，因此t ＝x 2＋2x ＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]．课时作业一、单项选择题1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A ＝{x |32x －1≥1}，B ＝{x |6x 2－x －2<0}，则A ∪B ＝()A.12，－12，12－12，＋∞答案D解析集合A ＝{x |32x －1≥1}＝12，＋B ＝{x |6x 2－x －2<0}＝{x |(3x －2)(2x ＋1)<0}＝－12，所以A ∪B －12，＋故选D.2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y ＝a x 的图象如图所示，则y ＝ax 2＋x 的图象顶点横坐标的取值范围是()－12，－12，＋∞答案A解析由图可知，a ∈(0，1)，而y ＝ax 2＋x ＝－14a (a ≠0)，其顶点横坐标为x ＝－12a，所以－12a∈∞，故选A.3．已知函数f (x )＝11＋2x ，则对任意实数x ，有()A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝0C ．f (－x )＋f (x )＝1D ．f (－x )－f (x )＝13答案C解析f (－x )＋f (x )＝11＋2－x ＋11＋2x ＝2x 1＋2x ＋11＋2x ＝1，故A 错误，C 正确；f (－x )－f (x )＝11＋2－x－11＋2x ＝2x 1＋2x －11＋2x ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，不是常数，故B ，D 错误．故选C.4．已知a ＝243，b ＝425，c ＝513，则()A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <a <cD ．c <a <b答案A 解析因为a ＝243＝423，b ＝425，所以a ＝423>425＝b ，因为b ＝425＝(46)115＝4096115，c ＝513＝(55)115＝3125115，所以b >c .综上所述，a >b >c .故选A.5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，则实数m 的值为()A.12B.1142C.116D.12或116答案D解析当a >1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递增，则f (x )max ＝f (2)＝a 2＝4，解得a ＝2，此时f (x )＝2x ，m ＝f (x )min ＝2－1＝12；当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝4，解得a ＝14，此时f (x )，m ＝f (x )min ＝f (2)＝116.综上所述，实数m 的值为12或116.故选D.6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2，0)C ．(0，2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上单调递增，而函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0，1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．故选D.7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f (x )满足f (x )x －2，x >0，－2－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案B解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－2x ＝－(2x －2)＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x－2＝－(2－2－x )＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数，所以f (a )>f (－a )＝－f (a )，即f (a )>0，作出函数f (x )的图象，如图所示，由图象可得，实数a 的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B.8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a ，b ，c 满足2a －1＝4，3b －1＝6，4c －1＝8，则下列判断正确的是()A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b答案A解析由已知可得a ＝2，b ＝2，c ＝2，则a ，b ，c 可分别看作直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的图象的交点的横坐标，画出直线y ＝2－x 和y ，y ，y 的大致图象，如图所示，由图象可知a <b <c .故选A.二、多项选择题9．下列各式中成立的是()＝n 7m 17(n >0，m >0)B ．－1234＝3－3C.39＝33D ．[(a 3)2(b 2)3]－13＝a －2b －2(a >0，b >0)答案BCD解析＝n 7m7＝n 7m －7(n >0，m >0)，故A 错误；－1234＝－3412＝－313＝3－3，故B 正确；39＝332＝332＝33，故C 正确；[(a 3)2(b 2)3]-13＝(a 6b 6)-13＝a －2b －2(a >0，b >0)，故D 正确．故选BCD.10．已知函数f (x )＝3x －13x ＋1，下列说法正确的是()A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称C ．f (x )的值域为(－1，1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0答案AC解析由f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝－3x －13x ＋1＝－f (x )，可得函数f (x )为奇函数，所以A 正确；因为f (0)＝0，f (2)＝45，f (0)≠f (2)，所以B 错误；设y ＝3x －13x ＋1，可得3x ＝1＋y 1－y ，所以1＋y 1－y >0，即1＋y y －1<0，解得－1<y <1，即函数f (x )的值域为(－1，1)，所以C 正确；f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1为增函数，所以D 错误．故选AC.三、填空题11．0.25-12－(－2×160)2×(2-23)3＋32×(4-13)－1＝________．答案3解析原式＝[(0.5)2]-12－(－2×1)2×2－2＋213×2231－4×14＋2＝2－1＋2＝3.12．不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，≤1.令f (x )，因为y ＝，y ，y 均为R 上的减函数，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，所以x ≥1，故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．13．若函数f (x )＝|2x －a |－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a 的取值范围为________．答案(0，＋∞)解析令g (x )＝|2x －a |，由题意得g (x )的值域为[0，＋∞)，又y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，所以－a <0，解得a >0.14．已知函数f (x )x －a ，x ≤0，x ＋a ，x >0，关于x 的不等式f (x )≤f (2)的解集为I ，若I(－∞，2]，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析当a ≥0时，结合图象可得f (x )≤f (2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a <0时，2－a>2a ，由于f (x )在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f (x )≤f (2)的解集I 满足I(－∞，2]，则2－a >f (2)＝22＋a ，解得a <－1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1)．四、解答题15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求不等式f (x )≥34的解集．解(1)∵g (x )＝f (x )＋e x 是定义在R 上的偶函数，∴g (－x )＝g (x )，即f (－x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＋e －x ＝f (x )＋e x ，∴f (x )＝e －x －e x2.(2)由(1)，知e －x －e x 2≥34，得2e －x －2e x －3≥0，即2(e x )2＋3e x －2≤0，令t ＝e x ，t >0，则2t 2＋3t －2≤0，解得0<t ≤12，∴0<e x ≤12，∴x ≤－ln 2，∴不等式f (x )≥34的解集为(－∞，－ln 2]．16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f (x )3＋x.(1)解关于x 的不等式f (x 3＋ax ＋1，a ∈R ；(2)若∃x ∈(1，3)，∀m ∈(1，2)，f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0，求实数n 的取值范围．解(1)3＋x3＋ax ＋1，得x 3＋x <x 3＋ax ＋1，即(1－a )x <1.当1－a ＝0，即a ＝1时，不等式恒成立，则f (x 3＋ax ＋1的解集为R ；当1－a >0，即a <1时，x <11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 当1－a <0，即a >1时，x >11－a，则f (x 3＋ax ＋1|x 综上所述，当a ＝1时，不等式的解集是R ；当a <1时，|x当a >1时，|x (2)因为y ＝x 3和y ＝x 均为增函数，所以y ＝x 3＋x 是增函数，因为y 是减函数，所以f (x )是减函数，则g (x )＝f (x )－x 是减函数．由f (2mnx －4)－f (x 2＋nx )＋x 2＋nx －2mnx ＋4≤0可得，g (2mnx －4)＝f (2mnx －4)－(2mnx －4)≤f (x 2＋nx )－(x 2＋nx )＝g (x 2＋nx )，所以2mnx －4≥x 2＋nx ，所以2mn －n ≥x ＋4x ，又x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，不等式取等号，即∀m ∈(1，2)，2mn －n ≥4恒成立，由一次函数性质可知n －n ≥4，n －n ≥4，解得n ≥4，所以实数n 的取值范围是[4，＋∞)．17．(多选)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象经过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x <y <0，则f (x )<f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，即b ＝－a ，则f (x )＝a |－a ，又f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，∴b ＝2，a ＝－2，f (x )＝－|＋2，故A 正确；由于f (x )为偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，即x ＋y ＝0，故B 正确；由于f (x )＝2－|在(－∞，0)上单调递减，故若x <y <0，则f (x )>f (y )，故C 错误；|∈(0，1]，∴f (x )＝－|＋2∈[0，2)，故D 正确．故选ABD.18．(多选)已知实数a ，b 满足3a ＝6b ，则下列关系式可能成立的是()A ．a ＝bB ．0<b <aC ．a <b <0D ．1<a <b答案ABC解析由题意，在同一坐标系内分别画出函数y ＝3x 和y ＝6x 的图象，如图所示，由图象知，当a ＝b ＝0时，3a ＝6b ＝1，所以A 可能成立；作出直线y ＝k ，当k >1时，若3a ＝6b ＝k ，则0<b <a ，所以B 可能成立；当0<k <1时，若3a ＝6b ＝k ，则a <b <0，所以C 可能成立．故选ABC.19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f (x )，若其定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“准奇函数”．若函数f (x )＝e x －2e x ＋1，则f (x )________(是，不是)“准奇函数”；若g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m 的取值范围为________．答案不是－54，－1解析假设f (x )为“准奇函数”，则存在x 满足f (－x )＝－f (x )，∴e －x －2e －x ＋1＝－e x －2e x ＋1有解，整理得e x ＝－1，显然无解，∴f (x )不是“准奇函数”．∵g (x )＝2x ＋m 为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m ＝－2x －m 在[－1，1]上有解，∴2m ＝－(2x ＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x ＝t ∈12，2，∴2m t ∈12，2上有解，又函数y ＝t ＋1t在12，，在(1，2]上单调递增，且t ＝12时，y ＝52，t ＝2时，y ＝52，∴y min ＝1＋1＝2，y max ＝52，∴y ＝t ＋1t 的值域为2，52，∴2m ∈－52，－2，解得m ∈－54，－1.。
高三数学(文)一轮复习夯基提能作业本：第二章 函数 第五节 指数与指数函数 Word版含解析
第五节指数与指数函数A组基础题组1.若a=(2+)-1,b=(2-)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是( )A.1B.C.D.2.已知a=,b=,c=2,则( )A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.2,+∞)C.-2,+∞)D.(-∞,-2]4.函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是( )A.f(-4)>f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)<f(1)D.不能确定5.定义区间x1,x2]的长度为x2-x1,已知函数f(x)=3|x|的定义域为a,b],值域为1,9],则区间a,b]的长度的最大值为,最小值为.6.若指数函数y=a x在-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a= .7.(2016安徽江淮十校第一次联考)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为.8.已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.9.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈-3,0]上的值域;(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.B组提升题组10.已知奇函数y=如果f(x)=a x(a>0,且a≠1)对应的图象如图所示,那么g(x)=( )A. B.- C.2-x D.-2x11.已知函数f(x)=e x,如果x1,x2∈R,且x1≠x2,则下列关于f(x)的性质:①(x1-x2)f(x1)-f(x2)]>0;②y=f(x)不存在反函数;③f(x1)+f(x2)<2f;④方程f(x)=x2在(0,+∞)上没有实数根,其中正确的是( )A.①②B.①④C.①③D.③④12.设f(x)=|3x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系中一定成立的是( )A.3c>3aB.3c>3bC.3c+3a>2D.3c+3a<213.若函数f(x)=a x-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是0,2],则实数a= .14.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)在-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在0,+∞)上是增函数,则a= .15.已知函数f(x)=e x-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.答案全解全析A组基础题组1.Da=(2+)-1=2-,b=(2-)-1=2+,∴(a+1)-2+(b+1)-2=(3-)-2+(3+)-2=+=. 2.A 因为a==,c=2=,函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<,即a<c,又因为函数y=4x在R上单调递增,所以<,即b<a,所以b<a<c,故选A.3.B 由f(1)=得a2=,又a>0,所以a=,因此f(x)=.根据复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间是2,+∞).4.A 由题意知a>1,所以f(-4)=a3,f(1)=a2,由y=a x(a>1)的单调性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).5.答案4;2解析由3|x|=1得x=0,由3|x|=9得x=±2,故满足题意的定义域可以为-2,m](0≤m≤2)或n,2](-2≤n≤0),故区间a,b]的最大长度为4,最小长度为2.6.答案解析若0<a<1,则a-1-a=1,即a2+a-1=0,解得a=或a=(舍去).若a>1,则a-a-1=1,即a2-a-1=0,解得a=或a=(舍去).综上所述,a=.7.答案e解析由于f(x)=max{e|x|,e|x-2|}=当x≥1时,f(x)≥e,且当x=1时,取得最小值e;当x<1时,f(x)>e.故f(x)的最小值为f(1)=e.8.解析(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以解得a2=4,又a>0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在x∈(-∞,1]时恒成立.因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+在(-∞,1]上取得最小值,且最小值为.所以m≤,即m的取值范围是.9.解析(1)当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,令t=2x,则t∈.故y=2t2-t-1=2-,t∈,故y∈.即f(x)在x∈-3,0]上的值域为.(2)令m=2x,则m∈(0,+∞).关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.记g(m)=2am2-m-1,当a=0时,m=-1<0,不符合题意.当a<0时,g(m)图象的开口向下,对称轴m=<0,过点(0,-1),不符合题意.当a>0时,g(m)图象的开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以a>0.综上所述,a的取值范围是(0,+∞).B组提升题组10.D 由题图知f(1)=,∴a=,则f(x)=,由题意得g(x)=-f(-x)=-=-2x,故选D.11.B 因为e>1,所以f(x)=e x为定义域内的增函数,故①正确;函数f(x)=e x的反函数为y=lnx(x>0),故②错误;f(x 1)+f(x2)=+>2=2=2f,故③错误;作出函数f(x)=e x和y=x2的图象(图略)可知,两函数图象在(0,+∞)内无交点,故④正确.选B.12.D 画出f(x)=|3x-1|的图象,如图所示,要使c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b)成立,则有c<0,且a>0.∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,又f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即3a+3c<2.13.答案解析当a>1时,f(x)=a x-1在0,2]上为增函数,则a2-1=2,∴a=±.又∵a>1,∴a=.当0<a<1时,f(x)=a x-1在0,2]上为减函数,又∵f(0)=0≠2,∴不满足条件.综上可知,a=.14.答案解析g(x)=(1-4m)在0,+∞)上是增函数,应有1-4m>0,即m<.当a>1时,f(x)=a x为增函数,由题意知⇒m=,与m<矛盾.当0<a<1时,f(x)=a x为减函数,由题意知⇒m=,满足m<.故a=.15.解析(1)∵f(x)=e x-,∴f'(x)=e x+,∴f'(x)>0对任意x∈R都成立,∴f(x)在R上是增函数.∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-e x=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立⇔t2+t≤x2+x=-对一切x∈R都成立⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+=≤0,又≥0,∴=0,∴t=-,∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.。
2021年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第五节指数与指数函数课后作业理
2021年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 第五节指数与指数函数课后作业理一、选择题1．(xx·长沙模拟)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．f (x )＝3x2．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C D3．(xx·株洲模拟) 已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.2，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a4．对于函数f (x )＝4x ＋12x 的图象，下列说法正确的是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称5．若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0,2) D ．(0,1) 二、填空题6．求值：(0.064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－590＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋(0.01)12＝________.7．已知函数f (x )＝a 2x －4＋n (a >0且a ≠1)的图象恒过定点P (m ，2)，则m ＋n ＝________.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0x 12，x >0在区间[－1，m ]上的最大值是1，则m 的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．10．已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数．(1)求a 的值和函数f (x )的定义域； (2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)<0.[冲击名校]1．(xx·长春模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)2．已知x ，y ∈R ，且2x ＋3y >2－y ＋3－x ，则下列各式中正确的是( ) A ．x －y >0 B ．x ＋y <0 C ．x －y <0 D ．x ＋y >03．已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．4．关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＝2＋3a5－a有负数根，则实数a 的取值范围为________．5．已知函数f (x )＝2a ·4 x －2 x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围．答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选D 根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )．又f (x )＝3x 是增函数，所以D 正确．2．解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0， 所以函数y ＝a x －a 的图象过定点(1,0)， 结合选项可知选C.3．解析：选A a ＝21.2>21＝2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.2＝215<21＝2,215>20＝1，故1<b <2，c ＝log 54<log 55＝1.故c <b <a .4．解析：选A f (x )＝4x ＋12x ＝2x ＋2－x，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称．5．解析：选C 在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．二、填空题6．解析：原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380.答案：143807．解析：当2x －4＝0，即x ＝2时，y ＝1＋n ，即函数图象恒过点(2,1＋n )，又函数图象恒过定点P (m,2)，所以m ＝2,1＋n ＝2，即m ＝2，n ＝1，所以m ＋n ＝3.答案：3 8．解析：作出函数f (x )的图象，可知当－1<m ≤1时，f (x )在[－1，m ]上的最大值是1. 答案：(－1,1] 三、解答题9．解：把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎨⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 在x ∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.所以只需m ≤56即可．即m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.10．解：(1)因为函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x－1＋a ＝11－2x －a ，即1－a 2x ＋a 1－2x ＝a ·2x ＋1－a 1－2x，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12.又2x －1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)<0得，f (－m 2＋2m －1)<－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)<f (－m 2－3)．由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m 2＋2m －1<0，－m 2－3<0，所以－m 2＋2m －1>－m 2－3，解得m >－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞)．[冲击名校]1．解析：选D 不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.2．解析：选D 因为2x ＋3y >2－y ＋3－x ，所以2x －3－x >2－y －3y .f (x )＝2x －3－x ＝2x －13x 为单调递增函数，f (x )>f (－y )，所以x >－y ，即x ＋y >0.3．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1| (a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1)4．解析：由题意，得x <0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫32 x <1，从而0<2＋3a 5－a <1，解得－23<a <34.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，345．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4 x －2 x －1＝2(2 x )2－2 x －1，令t ＝2 x ，x ∈[－3,0]，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1.故y ＝2t 2－t －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－98，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，1，故值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－98，0.(2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解．记g(m)＝2am2－m－1，当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．当a<0时，开口向下，对称轴m＝14a<0，过点(0，－1)，不成立．当a>0时，开口向上，对称轴m＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，所以，a>0.综上所述，a的取值范围是(0，＋∞)．。
2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件苏教版
第五节 指数与指数函数
最新考纲
考情分析
1.了解指数函数模型的实际背景． 1.直接考查指数函数的图
象及其性质或以指数与指
2．理解有理数指数幂的含义，了解
数函数为知识载体，考查
实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
指数幂的运算和函数图象
3．理解指数函数的概念，理解指数
的应用或以指数函数为载
C．4x2y
D．－2x2y
(2)已知 系是( D )
A．a<b<c C．b<a<c
B．a<c<b D．c<b<a
，则 a，b，c 的大小关
(3)若 x＋x－1＝3，则 x2－x－2＝_____±_3__5__.
(4)若函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点 A2，13，则 f(－1)＝_____3____.
2．有理数指数幂的性质
(1)aras＝___a_r_＋_s__ (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝___a_rs___ (a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝___a_r_b_r__ (a>0，b>0，r∈Q)．
知识点二
指数函数的图象与性质
(1)指数函数的图象与底数大小的比较
在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大． (2)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特 别注意应分 a>1 与 0<a<1 来研究．
n (
a)n＝a.
(3)由指数函数的形式定义知应满足的条件：①系数为 1，②
2021新高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章第5节 指数与指数函数
第5节 指数与指数函数考试要求 1.通过对有理数指数幂a mn (a >0，且a ≠1；m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x (a >0，且a ≠1；x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.知 识 梳 理1.根式的概念及性质(1)n 次方根：如果一个实数x 满足x n ＝a (n ＞1，n ∈N *)，那么称x 为a 的n 次实数方根.当n 为奇数时，a 的n 次方根只有一个，记为x ＝na ；当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，记为x ＝±na (a ＞0).(2)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(3)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n 均为正整数)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝(a >0，m ，n 均为正整数)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质：a s a t ＝a s ＋t ；(a s )t ＝a st ；(ab )t ＝a t b t ，其中s 、t ∈Q ，a ＞0，b ＞0.4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . 2.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究.3.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大.诊 断 自 测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”) (1)4（－4）4＝－4.( )(2)分数指数幂a mn 可以理解为mn 个a 相乘.( )(3)函数y ＝2x －1是指数函数.( )(4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )解析 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)当mn<1时，不可以，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y＝a x(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(教材必修1P67T6改编)若函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)的图象经过⎝⎛⎭⎪⎫2，13，则f(－1)＝()A.1B.2C. 3D.3解析依题意可知a2＝13，解得a＝33，所以f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫33x，所以f(－1)＝⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝ 3.答案 C3.(新教材必修第一册P119习题4.2T6改编)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a解析根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c＝1.50.6>1，∴b<a<c.答案 C4.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－⎝⎛⎭⎪⎫13x，则f(x)()A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数 解析 函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－3x ＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数.又y ＝3x 在R 上是增函数，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数.答案 B5.(2020·南京、盐城一模)函数f (x )＝a x －2 020＋2 020(a >0且a ≠1)的图象过定点A ，则点A 的坐标为________.解析 令x －2 020＝0，得x ＝2 020，则y ＝2 021， 故点A 的坐标为(2 020，2 021). 答案 (2 020，2 021)6.(2020·菏泽一中月考)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 2考点一 指数幂的运算 【例1】 化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝______；(2)a 3b23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)＝________.解析 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2＋50012－10（5＋2）（5－2）（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝a b. 答案 (1)－1679 (2)ab规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；(2)56a 13·b －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a －12b －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 解 (1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝－52a －16b －3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12·b －32 ＝－54·1ab3＝－5ab 4ab 2.考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)(组合选择题)已知实数a ，b 满足等式2 020a ＝2 021b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A.①②③B.③④C.②③④D.④⑤(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. 解析 (1)如图，观察易知a ，b 的关系为a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.(2)在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.∴当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点. ∴b 的取值范围是(0，2). 答案 (1)B (2)(0，2)规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【训练2】(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0(2)如果函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________.解析(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|3x－1|与y＝－m的图象，如图所示.由函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则y＝|3x－1|与y＝－m在第二象限没有交点，由图象知m≤－1.答案(1)D(2)(－∞，－1]考点三解决与指数函数性质有关的问题多维探究角度1比较指数式的大小【例3－1】下列各式比较大小正确的是()A.1.72.5>1.73B.0.6－1>0.62C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1解析A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误. 答案 B规律方法 比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 角度2 解简单的指数方程或不等式【例3－2】 (1)(2020·南京、盐城模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______.(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12； 当a >1时，代入不成立.故a 的值为12. (2)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7<1，则2－a <8，解得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1，0≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是(－3，1). 答案 (1)12 (2)(－3，1)规律方法 (1)a f (x )＝a g (x )(a >0且a ≠1)⇔f (x )＝g (x ).(2)a f (x )>a g (x )，当a >1时，等价于f (x )>g (x )；当0<a <1时，等价于f (x )<g (x ).(3)有些含参数的指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题.角度3 指数函数性质的综合应用【例3－3】 (1)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)(2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.解析 (1)不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，如图在同一平面直角坐标系中作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，由题意知，在(0，＋∞)内，直线有一部分在y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象的下方，由图可知，－a <1，所以a >－1.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13. 答案 (1)D (2)3或13规律方法 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练3】 (1)(角度1)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >c >a(2)(多填题)(角度3)若f (x )＝a （2x ＋1）－22x ＋1是R 上的奇函数，则实数a 的值为________，f (x )的值域为________.(3)(角度2)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________.(4)(角度3)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24).若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数m 的最大值为________.解析 (1)因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，c ＝0.40.6<1，所以a >b ，a >c .又y ＝0.4x 是以0.4为底的指数函数，且在R 上单调递减，所以0.40.2>0.40.6，即b >c ，所以a >b >c . (2)∵函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∴2a －22＝0，解得a ＝1，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1.∵2x＋1>1，∴0<22x ＋1<2，∴－1<1－22x ＋1<1，∴f (x )的值域为(－1，1).(3)原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2.当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.(4)把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3，结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在区间(－∞，1]上的最小值不小于m 即可.因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.所以只需m ≤56即可.所以m 的最大值为56.答案 (1)A (2)1 (－1，1) (3)(－1，2) (4)56A 级 基础巩固一、选择题1.(2019·南通、扬州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝x 3 C.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.y ＝log 2x解析 y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数.y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意； y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数，符合题意. 答案 B2.函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( ) A.y ＝1－x B.y ＝|x －2| C.y ＝2x －1D.y ＝log 2(2x )解析 f (x )过定点A (1，1)，将点A (1，1)代入四个选项，y ＝1－x 的图象不过点A(1，1).答案 A3.(2020·无锡期中)已知0<b<a<1，则a b，b a，a a，b b中最大的是()A.b aB.a aC.a bD.b b解析∵0<b<a<1，∴y＝a x与y＝b x均为减函数，∴a b>a a，b a<b b.又y＝x b在(0，＋∞)上递增，∴a b>b b.综上，a b最大.答案 C4.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()解析设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则z＝b(1＋10.4%)x，故y＝zb＝(1＋10.4%)x，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D.答案 D5.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析由f(1)＝19，得a2＝19，所以a＝13或a＝－13(舍去)，即f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.答案 B 二、填空题6.化简（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5＝________.解析 原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a .答案 1a 7.若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3有最大值3，则a ＝________.解析 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 答案 18.设偶函数g (x )＝a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递增，则g (a )与g (b －1)的大小关系是________.解析 由于g (x )＝a |x ＋b |是偶函数，知b ＝0， 又g (x )＝a |x |在(0，＋∞)上单调递增，得a >1. 则g (b －1)＝g (－1)＝g (1)， 故g (a )>g (1)＝g (b －1). 答案 g (a )>g (b －1)三、解答题9.已知函数f (x )＝3x ＋a3x ＋1为奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并加以证明.解 (1)因为函数f (x )是奇函数，且f (x )的定义域为R ；所以f (0)＝1＋a1＋1＝0，所以a＝－1(经检验，a ＝－1时f (x )为奇函数，满足题意).(2)由(1)知f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，函数f (x )在定义域R 上单调递增.证明如下：设x 1<x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝2（3x 1－3x 2）（3x 1＋1）（3x 2＋1）.因为x 1<x 2，所以3x 1<3x 2，所以3x 1－3x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在定义域R 上单调递增. 10.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)，其中a ，b 均为实数.(1)若函数f (x )的图象经过点A (0，2)，B (1，3)，求函数y ＝1f （x ）的值域；(2)如果函数f (x )的定义域和值域都是[－1，0]，求a ＋b 的值. 解 (1)因为函数f (x )的图象经过点A (0，2)，B (1，3)， ∴⎩⎨⎧1＋b ＝2，a ＋b ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，∴函数f (x )＝2x＋1>1，函数y ＝1f （x ）＝12x ＋1<1.又1f （x ）＝12x ＋1>0，故函数y ＝1f （x ）的值域为(0，1). (2)如果函数f (x )的定义域和值域都是[－1，0]， 若a >1，则函数f (x )＝a x ＋b 为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b ＝－1，1＋b ＝0，无解. 若0<a <1，则函数f (x )＝a x ＋b 为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b ＝0，1＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－32.B 级 能力提升11.设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1的大小关系是( )A.M ＝NB.M ≤NC.M <ND.M >N解析 因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 0.1<1，所以M >N .答案 D12.(2020·苏州调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－x 23且满足f (2a －1)>f (3)，则a 的取值范围为( ) A.a >2 B.a <2C.－1<a <2D.a <－1或a >2解析 易知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－x 23是R 上的偶函数，又当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x－x 23单调递减.由f (2a －1)>f (3)⇔f (|2a －1|)>f (3)， ∴|2a －1|<3，解得－1<a <2. 答案 C13.(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________.解析 因为f (x )＝2x2x ＋ax ＝11＋ax2x，且其图象经过点P ，Q ， 则f (p )＝11＋ap 2p＝65，即ap 2p ＝－16，① f (q )＝11＋aq 2q＝－15，即aq 2q ＝－6，②①×②得a 2pq2p ＋q ＝1，则2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，所以a 2＝36，解得a ＝±6，因为a >0，所以a ＝6. 答案 614.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对任意t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 将上式看成关于2x 的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x >0，所以2x ＝2，所以x ＝1.(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为22t －1>0， 所以m ≥－(22t ＋1)，又y ＝－22t －1，t ∈[1，2]为减函数， ∴y max ＝－22－1＝－5，故m ≥－5.C 级 创新猜想15.(多选题)已知3a ＝5b ＝15，则a ，b 不可能满足的关系是( ) A.a ＋b ＞4 B.ab ＞4C.(a －1)2＋(b －1)2＞2D.a 2＋b 2＜8解析 ∵3a ＝5b ＝15，∴(3a )b ＝15b ，(5b )a ＝15a .∴3ab ＝15b ，5ba ＝15a ，∴3ab ·5ba ＝15b ·15a ，∴15ab ＝15a ＋b ，∴ab ＝a ＋b ，则ab ＝a ＋b ≥2ab ，∵a ≠b ，∴ab ＞2ab ，∴a ＋b ＝ab ＞4，∴(a －1)2＋(b －1)2＝a 2＋b 2－2(a ＋b )＋2＞2ab －2(a ＋b )＋2＝2，∴a 2＋b 2＞2ab ＞8，故选ABC. 答案 ABC16.(多填题)已知函数f (x )＝2x 1＋a ·2x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12对称，则a ＝________，f (x )的值域为________.解析 依题设f (x )＋f (－x )＝1， 则2x1＋a ·2x ＋2－x 1＋a ·2－x ＝1， 整理得(a －1)[4x ＋(a －1)·2x ＋1]＝0. 所以a －1＝0，则a ＝1. 因此f (x )＝2x 1＋2x ＝1－11＋2x. 由于1＋2x >1，∴0<11＋2x<1，∴0<f (x )<1. 故f (x )的值域为(0，1). 答案 1 (0，1)。
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第5节指数与指数函数教师用书
第五节 指数与指数函数考试要求：1．了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．2．了解指数函数的实际意义，了解指数函数的概念．3．能画具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．一、教材概念·结论·性质重现1．n 次方根(1)根式的概念一般地，如果x n ＝ a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当有意义时，叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的性质①()n ＝a ．②当n 为奇数时，＝a ．当n 为偶数时，＝|a |＝2．有理数指数幂幂的有关概念正数的正分数指数幂：a ＝()m ＝ (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)正数的负分数指数幂：a ＝＝(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指数幂的运算性质,a r a s ＝a r ＋ s (a ＞0，r ，s ∈Q)；(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )；(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )3．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ．形如y ＝ka x (k ≠1)，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象与性质定义域R 值域(0 ，＋∞ )性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1 ；当x >0时，0< y <1 当x >0时，y >1 ；当x <0时，0< y <1减函数增函数二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)＝()n ＝a ．( × )(2)(－1)＝(－1)＝．( × )(3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( × )(4)函数y ＝2x 是指数函数．( √ )(5)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n ．( × )2．计算[(－2)6]－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9B 解析：原式＝2－1＝23－1＝7．故选B ．3．函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1B 解析：由指数函数的定义知a 2－4a ＋4＝1且a ≠1，解得a ＝3．4．若函数f (x)＝ax (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ，则f (－1)＝________． 解析：由题意知＝a 2，所以a ＝，所以f (x )＝，所以f (－1)＝＝．5．若函数y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是________．a >或a <－ 解析：由y ＝(a 2－1)x 在R 上为增函数，得a 2－1>1，解得a >或a <－．考点1 指数幂的化简与求值——基础性1．若实数a>0，则下列等式成立的是( )A．(－2)－2＝4B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．(a)4＝D 解析：对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B,2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．2．(多选题)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝18C．a＋a＝±D．a＋＝2ABD 解析：在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a ＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a ＋a)2＝a＋a－1＋2＝5，且a>0，所以a＋a＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．3．已知a＞0，b＞0，化简：·＝________． 解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝．4．计算：＋(0.002)－10(－2)－1＋π0＝__________．－ 解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－．1．解决这类问题要优先考虑将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计考点2 指数函数的图象及应用——综合性(1) (2021·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2a x－1(a>1且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是( )A．(1,6)B．(1,5)C．(0,5)D．(5,0)A 解析：当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2a x－1的图象恒过点P(1,6)．故选A．(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________ __．(0,1) 解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0,1)．在本例(2)中，若将条件中的“有两个公共点”，改为“有一个公共点”，则结果如何？b≥1或b＝0 解析：作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是b≥1或b＝0．1．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y＝3x与y＝的图象的说法正确的是( ) A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．都在x轴的上方D．都过点(0,1)ACD 解析：在同一坐标系中，作出y＝3x与y＝的图象(略)，知两函数的图象关于y 轴对称，A项正确．由指数函数的性质，知选项CD正确．2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[－1,1] 解析：作出曲线|y|＝2x＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1．3．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b．其中可能成立的有________．(填序号)①②⑤ 解析：函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0．故①②⑤可能成立，③④不可能成立．考点3 指数函数的性质及应用——应用性考向1 比较大小(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA 解析：因为a＝2＝4>4＝b，c＝25＝5>4＝a，所以b<a<c．(2)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则( )A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0A 解析：因为2x－2y＜3－x－3－y，所以2x－3－x＜2y－3－y．因为y＝2x－3－x＝2x－在R上单调递增，所以x＜y，所以y－x＋1＞1，所以ln(y－x＋1)＞ln 1＝0．考向2 解指数不等式若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为．{x|x＞4或x＜0} 解析：当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4．所以f(x)＝当f(x－2)＞0时，有或解得x＞4或x＜0．所以不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．考向3 指数型函数的单调性函数f(x)＝的单调递减区间为________．(－∞，1] 解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝在R上为减函数，所以函数f(x)＝的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1]．在例4中，若函数f(x)＝改为f(x)＝2－x2＋2x＋1，结果如何？[1，＋∞) 解析：设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝2u在R上为增函数，所以函数f(x)＝2－x2＋2x＋1的单调递减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间．又u＝－x2＋2x＋1的单调递减区间为[1，＋∞)，所以f(x)的单调递减区间为[1，＋∞)．考向4 指数型函数的最值(1)已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________．－ 解析：当a>1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递增，则即无解．当0<a<1时，易知f(x)在[－1,0]上单调递减，则即解得所以a＋b＝－．(2)若函数f(x)＝有最大值3，则a＝________．1 解析：令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝．因为f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此有解得a＝1．1．研究指数函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．2．研究复合函数的单调性，要明确复合函数的构成，借助“同增异减”，将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．1．已知a＝()，b＝2，c＝9，则( )A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<bA 解析：a＝()＝2＝2，b＝2，c＝9＝3．由2<3，得a<c．由>，得a>b，所以c>a>b．故选A．2．(2021·柳州高三月考)已知函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，对任意x1，x2，当x1>x2≥1时，f(x)单调递增，则关于a的不等式f(9a＋1)<f(3a－5)的解集为( )A．(－∞，1)B．(－∞，log32)C．(log32,1)D．(1，＋∞)B 解析：因为函数y＝f(x)的定义域为R，y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以函数y＝f(x)关于x＝1对称．因为函数y＝f(x)在[1，＋∞)为增函数，所以函数y＝f(x)在(－∞，1]为减函数．不等式f(9a＋1)<f(3a－5)等价于|9a＋1－1|<|3a－5－1|，即|3a－6|>9a⇒3a－6>9a或3a－6<－9a，令3a＝t(t>0)得到：t2－t＋6<0或t2＋t －6<0．当t2－t＋6<0时，无解．当t2＋t－6<0时，(t＋3)(t－2)<0，解得t<2，即3a<2，a<log32．3．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( ) A．[9,81]B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞)C 解析：由f(x)的图象过定点(2,1)可知b＝2．因为f(x)＝3x－2在[2,4]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝32－2＝1，f(x)max＝f(4)＝34－2＝9．故选C．4．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________；又f(x)在R 上是减函数，则实数a的取值范围是________．(3，－1) 解析：对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，得x＝3，则f(x)＝(2a－1)0－2＝1－2＝－1，可得y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1)．又∵函数f(x) ＝(2a－1)x－3－2 在R上是减函数，故有0<2a－1<1，求得 <a<1．故答案为(3，－1)；．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a[四字程序]读想算思比较大小比较大小的方法是什么？式子变换转化与化归a, b, c均为幂值的形式1．利用函数单调性．2．通过中间量比较大小．3．作差或商比较1．构造函数．2．统一幂指数．3．化为根式形式注意分数指数幂的等价变形以及运算法则思路参考：构造指数函数，利用单调性求解．A 解析：先比较b与c的大小，构造函数y＝．因为0<<1，所以函数y＝为减函数．又因为>，所以b＝<＝c．再比较a与c，因为＝>＝1，且a，c均大于0，所以a>c，所以a>c>b．故选A．思路参考：统一幂指数，利用幂函数单调性比较大小．A 解析：因为a，b，c为正实数，且a5＝＝，b5＝＝，c5＝＝，所以a5>c5>b5，即a>c>b．故选A．思路参考：将三个数转化为同次根式的形式比较大小．A 解析：因为a＝，b＝，c＝，所以a>c>b．故选A．1．本题给出了三种比较指数幂大小的方法，解法1是构造函数法，利用指数函数性质比较大小，利用这种方法应注意底数是否大于1；解法2与解法3比较类似，都是对a，b，c进行简单变形，转化为同次根式的形式，由被开方数的大小可得出a，b，c的大小．特别是解法3，结构较为简洁，转化为同次根式迅速求解．2．基于新课程标准，解决比较大小的问题，要熟练掌握基本初等函数的性质，尤其是单调性，同时也要熟练掌握指数式与对数式的互化，指数幂的运算法则等知识．解决比较大小问题体现了逻辑推理、数学运算的数学素养．函数y＝F(x)的图象如图所示，该图象由指数函数f(x)＝a x与幂函数g(x)＝x b“拼接”而成．(1)求F(x)的解析式；(2)比较a b与b a的大小；(3)若(m＋4)－b＜(3－2m)－b，求m的取值范围．解：(1)依题意得解得所以F(x)＝(2)因为a b＝＝，b a＝，指数函数y＝在R上单调递减，所以＜，即a b＜b a．(3)由(m＋4)＜(3－2m)，得解得－＜m＜，所以m的取值范围是．。
12 第二章 第五节 指数与指数函数
(2)当底数是负数时，先确定结果的符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
第五节
指数与指数函数
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
指数函数的图象及应用
【例1】(1)函数f (x)＝1－e|x|的图象大致是(
)
√
3 －3
1 －1
x2+x 2－3
2
2
2．若x +x
＝3，则 2 －2
＝________．
x +x
－2
1
3
1 －1
解析：由x2 +x 2 ＝3，两边平方，得x＋x-1＝7，再平方得x2＋x-2＝47，所以
3 －3
x2＋x-2－2＝45.因为x2 +x 2 ＝
3 －3
x2+x 2 －3 1
1)＝18，所以 2 －2
第五节
指数与指数函数
必备知识
落实“四基”
核心考点
提升“四能”
课时质量评价
简单的指数方程或不等式的求解方法
解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必
要时进行分类讨论．
第五节
考向3
指数与指数函数
必备知识
核心考点
落实“四基”
提升“四能”
课时质量评价
指数型函数的单调性及应用
【例4】(1)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，2)上单调递减，则实数a的取值范围是
1
2
3
6
3
2
6
解：原式＝
＝a
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第五节指数与指数函数课件理
第五节 指数(zhǐshù)与指数(zhǐsh
第一页，共19页。
化简：(1)（a14ba123）b243a－ab132 b13(a＞0，b＞0)； (2)－287－23＋(0.002)－21－10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0.
第二页，共19页。
12 1 解析：(1)原式＝（aab3b2a2a－3b133b）13 2＝a32＋16－1＋13b1＋13－2－13＝ ab－1. (2)原式＝－287－23＋5100－12－ 51－0 2＋1 ＝－28723＋50012－10( 5＋2)＋1 ＝49＋10 5－10 5－20＋1＝－1697.
第九页，共19页。
(1)(2016·福 建 五 校 联 考 ) 定 义 运 算
a⊕b＝
a，a≤b，
则函数
b，a＞b，
f(x)＝1⊕2x 的图象是( )
第十页，共19页。
解析：因为当 x≤0 时，2x≤1； 当 x＞0 时，2x＞1. 则 f(x)＝1⊕2x＝21x，，xx＞≤00，，图象 A 满足． 答案：A
第三页，共19页。
1．这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数 幂，以便利用法则计算，但应注意：
(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又 含有负指数．
第四页，共19页。Fra bibliotekA．(－∞，＋∞)
B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－1，＋∞)
第七页，共19页。
解析：(1)当 x＝1 时，y＝a1－a＝0， ∴函数 y＝ax－a 的图象过定点(1，0)，C 项满足． (2)因为 2x＞0，所以由 2x(x－a)＜1 得 a＞x－12x， 令 f(x)＝x－12x，则函数 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以 f(x) ＞f(0)＝0－120＝－1，所以 a＞－1. 答案：(1)C (2)D
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第5节 指数与指数函数[A 级 基础巩固]1．下列函数中，与函数y ＝2x －2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( ) A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝log 2x解析：y ＝2x－2－x是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是非奇非偶函数，不符合题意； y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意．答案：B2．(多选题)在同一坐标系中，关于函数y ＝3x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象的说法正确的是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．都在x 轴的上方 D ．都过点(0，1)解析：在同一坐标系中，作出y ＝3x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x图象(略)， 知两函数的图象关于y 轴对称，A 项正确． 由指数函数的性质，知选项C 、D 正确． 答案：ACD3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：设原有荒漠化土地面积为b ，经过x 年后荒漠化面积为z ，则z ＝b (1＋10.4%)x，故y ＝z b＝(1＋10.4%)x，其是底数大于1的指数函数．其图象应为选项D.答案：D4．若0<a <1，b >0，且a b＋a －b＝22，则a b －a －b等于( )A. 6B ．－2或2C ．－2D ．2解析：因为a b＋a －b＝22，所以a 2b＋a －2b＝8－2＝6，所以(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b－2＝4.因为0<a <1，b >0.所以a b<a －b，从而a b －a －b＝－2. 答案：C5．(2020·惠州调研)若0<b <a <1，则a b ，b a ，a a ，b b中最大的是( ) A ．b aB ．a aC ．a bD ．b b解析：因为0<b <a <1，y ＝a x与y ＝b x均为减函数， 所以a b >a a ，b a <b b，又y ＝x b 在(0，＋∞)上递增，所以a b >b b， 综上a b为最大的值． 答案：C6．(多选题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则下列关于函数f (x )的说法正确的是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．单调递增D ．单调递减解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＝2－x－1＝－f (x )， 当x <0时，－x >0，f (－x )＝1－2x＝－f (x )． 又f (0)＝1－20＝0， 所以f (x )在R 上为奇函数， 易知f (x )为R 上的增函数． 答案：AC7．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3有最大值3，则a ＝___________.解析：令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. 答案：18．(2018·上海卷)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65、Q ⎝⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________．解析：依题设知f (p )＝65，且f (q )＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p2p＋ap ＝65， ①2q 2q＋aq ＝－15， ②①＋②得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p＋ap ）（2p ＋ap ）（2q＋aq ）＝1， 整理得2p ＋q＝a 2pq .又2p ＋q＝36pq ，所以a 2pq ＝36pq .由于pq ≠0，得a 2＝36(a >0)，则a ＝6. 答案：69．设偶函数g (x )＝a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递增，则g (a )与g (b －1)的大小关系是________．解析：由于g (x )＝a|x ＋b |是偶函数，知b ＝0，又g (x )＝a |x |在(0，＋∞)上单调递增，得a >1. 则g (b －1)＝g (－1)＝g (1)， 故g (a )>g (1)＝g (b －1)． 答案：g (a )>g (b －1) 10．设函数f (x )＝ax ＋1－2(a >0，且a ≠1)，若y ＝f (x )的图象过点(1，7)．(1)求a 的值及y ＝f (x )的零点． (2)求不等式f (x )≥－53的解集．解：(1)因为y ＝f (x )的图象经过点(1，7)， 所以f (1)＝a 2－2＝7，则a 2＝9. 又因为a >0，所以a ＝3， 所以f (x )＝3x ＋1－2.令f (x )＝0，解得x ＝log 323，所以y ＝f (x )的零点为x ＝log 323.(2)因为f (x )≥－53，所以3x ＋1－2≥－53，所以3x ＋1≥3－1，所以x ＋1≥－1，所以x ≥－2，所以原不等式的解集为[－2，＋∞)．[B 级 能力提升]11．(2020·济南一中检测)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－x 23且满足f (2a －1)>f (3)，则a 的取值范围为( )A ．a >2B ．a <2C ．－1<a <2D ．a <－1或a >2解析：易知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－x 23是R 上的偶函数， 又当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －x 23单调递减， 由f (2a －1)>f (3)⇔f (|2a －1|)>f (3)， 所以|2a －1|<3，解之得－1<a <2. 答案：C12．已知函数f (x )＝2x 1＋a ·2x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12对称，则a ＝________，f (x )的值域为________．解析：依题设f (x )＋f (－x )＝1， 则2x1＋a ·2x ＋2－x1＋a ·2－x ＝1， 整理得(a －1)[4x＋(a －1)·2x＋1]＝0. 所以a －1＝0，则a ＝1. 因此f (x )＝2x 1＋2x ＝1－11＋2x ，由于1＋2x>1，知0<11＋2x <1，所以0<f (x )<1.故f (x )的值域为(0，1)． 答案：1 (0，1)13．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)求f (x )的解析式，并判断f (x )的单调性；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的最大值． 解：(1)把A (1，6)，B (3，24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3.又a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x.由指数函数性质，f (x )＝3·2x在R 上是增函数． (2)由(1)知a ＝2，b ＝3，当x ∈(－∞，1]，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 恒成立．因为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上是减函数， 所以x ＝1时，t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56. 所以只需m ≤56，则m 的最大值为56.[C 级 素养升华]14．(2020·潍坊质检)已知f (x )＝9x－t ·3x，g (x )＝2x－12x ＋1，若存在实数a ，b 同时满足g (a )＋g (b )＝0和f (a )＋f (b )＝0，则a ＋b ＝________，实数t 的取值范围是________．解析：因为g (－x )＝2－x－12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－g (x )， 所以函数g (x )为奇函数，又g (x )＝2x－12x ＋1＝1－22x ＋1，所以g (x )在R 上为增函数．因为g (a )＋g (b )＝0，所以a ＝－b ，所以a ＋b ＝0. 因为f (a )＋f (b )＝f (a )＋f (－a )＝0有解，则9a－t ·3a＋9－a－t ·3－a ＝0有解，即t ＝9a ＋9－a3a ＋3－a 有解．令m ＝3a＋3－a(m ≥2)，则9a ＋9－a 3a ＋3－a ＝m 2－2m ＝m －2m，因为φ(m )＝m －2m在[2，＋∞)上单调递增，所以φ(m )≥φ(2)＝1，所以t ≥1，故实数t 的取值范围是[1，＋∞)． 答案：0 [1，＋∞)。