考点39双曲线-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过Word版含解析
2019高考数学考点突破——圆锥曲线双曲线学案
双曲线【考点梳理】1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝ 2. 【考点突破】考点一、双曲线的定义及应用【例1】(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.(2)已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6 [答案] (1) x 2－y 28＝1(x ≤－1) (2) B[解析] (1)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).(2)由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.【类题通法】1．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF 1|－|PF 2||＝2a 平方，建立|PF 1|·|PF 2|间的联系． 【对点训练】1．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A ．14B ．13C ．24D ．23[答案] A[解析] 由e ＝c a＝2得c ＝2a ，如图，由双曲线的定义得|F 1A |－|F 2A |＝2a . 又|F 1A |＝2|F 2A |，故|F 1A |＝4a ，|F 2A |＝2a ， ∴cos ∠AF 2F 1＝4a2＋2a 2－4a 22×4a ×2a＝14.2．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________.[答案] 17[解析] 由题意知|PF 1|＝9<a ＋c ＝10，所以P 点在双曲线的左支，则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.考点二、双曲线的标准方程【例2】(1)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________.(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．3x 220－3y25＝1D ．3x 25－3y220＝1[答案] (1) y 24－x 25＝1 (2) A[解析] (1)法一 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，根据定义知2a ＝|（15－0）2＋（4－3）2－（15－0）2＋（4＋3）2|＝4， 故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5， 故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.法二 椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3).设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.法三 设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)， 由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1， 解得λ1＝32，λ2＝0(舍去).故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.(2)由焦距为25得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1， 所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.【类题通法】求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0).(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值. 【对点训练】1．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为_______．[答案] x 216－y 29＝1[解析] 由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8. 由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3.故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1，即x 216－y 29＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A ．x 29－y 213＝1 B ．x 213－y 29＝1C ．x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1[答案] D[解析] 由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，因为双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，所以|2b |a 2＋b2＝3，由双曲线的一个焦点为F (2，0)可得a2＋b 2＝4，所以|b |＝3，即b 2＝3，所以a 2＝1，故双曲线的方程为x 2－y 23＝1.考点三、双曲线的简单几何性质【例3】(1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________.(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________.[答案] (1) 233 (2) y ＝±22x[解析] (1)如图，点M ，N 所在的渐近线为ay －bx ＝0，圆A 的圆心A (a ，0)到渐近线的距离d ＝|0－ab |a 2＋b2，又M ，N 均为圆A 上的点，∴|AM |＝|AN |＝b ，又∠MAN ＝60°，∴△MAN 为等边三角形，在△MAN 内，A 到边MN 的距离为d ＝|AM |·cos 30°＝32b ，即|0－ab |a 2＋b 2＝32b ，解得a 2＝3b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b2a2p ，又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2b2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12⇒b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x . 【类题通法】1.双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.2.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c a转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围. 【对点训练】1．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2 [答案] D[解析] 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，∴M 点的坐标为()2a ， 3a .∵M 点在双曲线上，∴4a 2a 2－3a2b2＝1，a ＝b ，∴c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D.2．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线为_____.[答案] x ±y ＝0[解析] 由题设易知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 因为A 1B ⊥A 2C ，所以b 2ac ＋a ·－b 2ac －a＝－1，整理得a ＝b .因此该双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，即x ±y ＝0.。
双曲线高考知识点及题型总结
双曲线高考知识点及题型总结—(最新最全)目录双曲线知识点 (2)1双曲线定义： (2)2.双曲线的标准方程： (2)3.双曲线的标准方程判别方法是： (2)4.求双曲线的标准方程 (2)5.曲线的简单几何性质 (2)6曲线的内外部 (3)7曲线的方程与渐近线方程的关系 (3)8双曲线的切线方程 (3)9线与椭圆相交的弦长公式 (4)高考知识点解析 ..................................................................................................................... 错误！未定义书签。
知识点一：双曲线定义问题 ......................................................................................... 错误！未定义书签。
知识点二：双曲线标准方程问题 ................................................................................. 错误！未定义书签。
知识点三：双曲线在实际中的应用 ............................................................................. 错误！未定义书签。
知识点四：双曲线的简单几何性质的应用 ................................................................. 错误！未定义书签。
知识点五：双曲线的离心率 ......................................................................................... 错误！未定义书签。
2019年高考数学(文)考点一遍过 考点39 直线与圆锥曲线的位置关系(含解析)
2019年高考数学（文）考点一遍过（1）了解圆锥曲线的简单应用. （2）理解数形结合的思想.一、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y C g x y ==，求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x yg x y =⎧⎨=⎩的实数解.方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点. 2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=.（1）当0a ≠时，0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点； 0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； 0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.（2）当a =0时，方程为一次方程，若b ≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；若b =0,c ≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点. 3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切；直线与椭圆没有交点⇔相离. （2）直线与双曲线有两个交点⇔相交.当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行.直线与双曲线没有交点⇔相离. （3）直线与抛物线有两个交点⇔相交.当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 直线与抛物线没有交点⇔相离. 二、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y两个不同的点，则弦长1212||(0)＝AB x x y y k =-=-≠. （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长. 2．中点弦问题（1）AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =-，弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值22b a -.（2）AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点M (x 0，y 0)，则AB 所在直线的斜率为2020b x k a y =，弦AB 的斜率与弦中点M 和双曲线中心O 的连线的斜率之积为定值22b a .（3）在抛物线22(0)y px p =>中，以M (x 0，y 0) 为中点的弦所在直线的斜率0p k y =.考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项系数是否为0,若为0,则方程为一次方程；若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.典例1 已知椭圆，直线:y ＝x ＋m ．(1)若与椭圆有一个公共点，求的值；(2)若与椭圆相交于P ,Q 两点，且|PQ |等于椭圆的短轴长，求m 的值．【解析】(1)联立直线与椭圆的方程，得2244x y y x m +==+⎧⎨⎩，即，由于直线与椭圆有一个公共点，则所以.典例2 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ． （1）若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程；（2）若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求OAB △的面积．【解析】（1）由题意知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ，抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为M ，所以2p =，(0,1)M ，则抛物线C 的方程为24y x =，抛物线E 的方程为24x y =.若直线l 的斜率不存在，则易知直线l 的方程为0x =； 若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为1y kx =+，联立24y x =，可得22(24)10k x k x +-+=，当0k =时，14x =，满足题意，此时直线l 的方程为1y =； 当0k ≠时，22(24)40k k ∆=--=，解得1k =， 此时直线l 的方程为1y x =+.综上，直线l 的方程为0x =，或1y =，或1y x =+.1．已知直线y kx =与双曲线22416x y -=．当k 为何值时，直线与双曲线： （1）有两个公共点； （2）有一个公共点； （3）没有公共点．考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.典例3 已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．（1）求抛物线的方程； （2）若，求x AB的最小值．（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，∵，即22111214y y y y +=-， ∴，即，∴，∴，，，()2222121101212121244x x y yx y y y y m++⎡⎤===+-=+⎣⎦，∴2xAB=令，，则04xAB==≥，当且仅当1t=时等号成立．故0xAB.典例4 已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同的两点，，且，若点满足，求的值．（2）由221124y x mx y⎧=++=⎪⎨⎪⎩得①.∵直线与椭圆交于不同的两点、，∴，得，设的中点为，则，，当时，， 此时，线段的中垂线方程为，即，令，得．当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．2．直线1y ax =+与双曲线2231x y -=相交于A ，B 两点． （1）当2a =时，求线段AB 的长；（2）若以AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数a 的值．考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.典例5 如图，已知点E (m,0)(m ＞0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．（1）若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； （2）若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点． 【解析】（1）当时，为抛物线的焦点，∵，∴.设直线的方程为，， 由得，，.则211221,M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理，，∴2121112222EMN S EM EN k k ==△， 化简得2111122242EMNk S EM EN k +==⨯≥⨯=△， 当且仅当时等号成立.故的面积取得最小值，为4.典例6 已知椭圆E:22221(0)x ya ba b+=>>与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且12△MF F是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2与椭圆E交于不同的两点A,B.（1）直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；（2）求△ABM的面积的最大值.【解析】（1）因为12△MF F是边长为2的等边三角形,所以2c=2,b =c,a=2,所以a=2,b =,所以椭圆E :+=1,点M (0,).将直线l:y=kx+2代入椭圆E的方程,整理得(3+4k2)x2+16kx+36=0.(*) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则由(*)式可得Δ=(16k)2-4(3+4k2)×36=48(4k2-9)>0,所以k∈(-∞,-)∪(,+∞),x1+x2=234k-+,x1x2=23634k+.则直线MA,MB的斜率之积为k MA·k MB=(12121212kx kxy yx x x x++=()122123x xkx x++=+2 222393613636434kk kk⋅+-⎝⎭=+=+=+, 所以直线MA,MB的斜率之积是定值14.3．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率2e=2.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线:l y kx m=+与双曲线C相交于,A B两点（,A B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标.4．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.1．直线=与椭圆=的位置关系为A．相交B．相切C．相离D．不确定2．已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为A．B．C．D．3．设为抛物线：的焦点，过作倾斜角为30°的直线交于、两点，则A．B．16C．32 D．4．若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率A．B．C．D．5．过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点A作倾斜角为135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若22AB BC=,则双曲线的渐近线方程为A．(+1)x+y=0 B．(+1)y-x=0C．(+1)x±y=0 D．(+1)y±x=06．已知O是坐标原点，F是椭圆+=1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M,N两点，则cos∠MON 的值为A．513B．513-C D．7．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是A．10 B．9C．8 D．78．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交椭圆于,A B两点．若AB的中点坐标为(1,1)-，则E的方程为A ．221189x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．2214536x y +=9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为A ．B ．C ．D ．10．过抛物线上的焦点，作直线与抛物线交于，两点，已知，则A ．2B ．3C ．D ．11．若椭圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是 A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如图,过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ,交其准线于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为A ．29y x = B ．26y x = C ．23y x =D ．y 2=x13．已知椭圆C :+=1,过点M (1,0)的直线l 与椭圆C 交于点A ,B ,若=2,则直线l 的斜率为A ．114±B ．114C ．14±D ．1414．若直线y =kx -1与抛物线y 2=4x 有且只有一个公共点,则k 的值为_________.15．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆C ：22184y x +=的下焦点，交椭圆C 于A ，B 两点，则弦AB 的长等于__________．16．如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为___________.17．直线与椭圆分别交于点，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则的值为__________．18．过抛物线C :y 2=x 上一点A (1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于P ,Q (异于点A )两点,则直线PQ 恒过定点_________.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率3e =，焦距是．（1）求椭圆的方程；（2）若直线2(0)y kx k =+≠与椭圆交于C 、D 两点，5CD =，求k 的值．20．已知抛物线上的点P 到点的距离与到直线的距离之差为，过点的直线交抛物线于两点.（1）求抛物线的方程； （2）若的面积为，求直线的方程.21．设A 、B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右项点，双曲线的实轴长为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线23y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D 使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标．22．已知抛物线22(0)y px p =>上的点(3,)T t 到焦点F 的距离为4．（1）求t ，p 的值；（2）设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=，其中O 为坐标原点．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．23．221y b=（0a >，0b >）上，0y +=．（1）求双曲线C 的方程；（2）若过点(0,1)且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（3）设（2）中直线l 与双曲线C 交于A B 、两个不同的点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．24．已知椭圆以，为焦点，且离心率.（1）求椭圆的方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、，求的取值范围；（3）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在直线，满足（2）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出的方程；如果不存在，请说明理由.25．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 在圆22:1O x y +=上．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 不同的两点，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，求证：12λλ+为定值．26:0l x y -+=与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，设两直线的斜率分别为k 1、k 2，且124k k +=，证明：直线AB 过定点1(,1)2--．1．（2017新课标全国II 文科）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （M 在x 的轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为A B ．C ．D ．2．（2018北京文科）已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________________．3．（2018新课标全国Ⅰ文科）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠．4．（2018新课标全国Ⅱ文科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．5．（2018新课标全国Ⅲ文科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．6．（2018北京文科）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点71(,)44Q -共线，求k ．7．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为7，求直线l 的方程．8．（2018天津文科）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为，||AB =（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．9．（2017新课标全国Ⅰ文科）设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．1．【解析】由22416x y y kx -==⎧⎨⎩消去y 得22(4)160k x --= ①， 当240k -=，即2k =±时，方程①无解；当240k -≠时，2204(4)(16)64(4)k k ∆=---=-， 当0∆>，即22k -<<时，方程①有两解； 当0∆<，即2k <-或2k >时，方程①无解； 当0∆=，且240k -≠时，这样的k 值不存在．综上所述，（1）当22k -<<时，直线与双曲线有两个公共点； （2）不存在使直线与双曲线有一个公共点的k 值； （3）当2k ≤-或2k ≥时，直线与双曲线没有公共点．3．【解析】（1）设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由已知得22,c b a ==又222a b c +=，解得2,1a b ==，所以双曲线的标准方程为2214x y -=.4．【解析】（1）由题意知，右焦点，即，且，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，易知，所以直线.令，可知：,此时.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，直线直线令，可知，联立()2213412y k x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩，消去整理得，∴221212228412,3434k k x x x x k k-+==++. 此时()()()()21212121212121363636362224k x x x x y y PM PN x x x x x x ⎡⎤-++⋅⎣⎦⋅=+=++++++22(9363627)36k k -=+=.综上所述，为定值，且27PM PN ⋅=.1．【答案】A2．【答案】D【解析】∵双曲线的渐近线方程为y x =±，∴当﹣1＜k ≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点； 当k ≤﹣1时，直线与双曲线的右支没有交点. 把1y kx =-代入得22(1)250k x kx -+-=，令22420(1)0k k ∆=+-=，解得k =或k =﹣（舍去）．∴直线与双曲线的右支有两个交点时，1＜k ＜．故选D ．3．【答案】C【解析】设直线的方程为，，，利用椭圆与平行四边形的对称性可得：.联立22142y x t x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，消去y ，得，由，即22(4)43(24)0t t -⨯⨯->，解得（时不能构成平行四边形），且， 则直线的斜率12122121212222111423y y x x t t t k t x x x x x x +++===+=+=-+++-.故选B.5．【答案】C【解析】由题意知直线过点A (a ,0),且斜率k =tan 135°=-1, 则直线的方程为x+y-a =0.将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得B (,),C (,-),则有22222222(,)a b a bBC a b a b=---,(,)ab ab AB a b a b =++-. 因为,所以222ab ba b a b-=+-, 化简得+1,则双曲线的渐近线方程为(+1)x ±y =0.故选C.6．【答案】B【解析】由题意,a 2=4,b 2=3,故c ===1.不妨设M (1,y 0),N (1,-y 0),所以+=1,解得y 0=±32, 所以|MN |=3,|OM |=|ON.由余弦定理知22222235cos 21322OM ON MNMON OM ON+-+-∠===-,故选B.8．【答案】A【解析】由题意设()()1122,,,A x y B x y ，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得12121222120x x y y y y a x x b +-++⨯=-；因为AB 的中点坐标为()1,1-，所以12122,2x x y y +=+=-； 因为1212101132AB y y k x x ---===--，所以2221202a b-+⨯=，所以222a b =；因为3c ==2218,9a b ==．所以E 的方程为221189x y +=．故选A ．9．【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线不妨设为：，则220 14bx ay x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得x y ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩. 一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得222244443a b a b +=+，即，解得．故选B ． 10．【答案】B11．【答案】B【解析】联立方程得，消去y 化简得，由题意得.故该椭圆离心率的取值范围是，故选B ．12．【答案】C【解析】过点B 作准线的垂线,垂足为B 1,记准线与x 轴的交点为F 1,则依题意得1123BB BC FF CF==,所以|BB 1|=|FF 1|=23p ,由抛物线的定义得|BF |=|BB 1|=23p .令A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),依题意知F (,0),可设直线l 的方程为y =k (x -2p ).联立方程222y pxp y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩,消去y 得k 2x 2-p (k 2+2)x +=0,则x 1+x 2=,x 1·x 2=.又由抛物线的定义知|AF |=x 1+2p ,|BF |=x 2+2p,则可得+=,于是有+=,解得2p =3,所以此抛物线的方程是23y x =,选C. 13．【答案】C14．【答案】-1或0【解析】当k =0时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点; 当k ≠0时,将直线方程与抛物线方程联立得214y kx y x=-⎧⎨=⎩,得y 2-y -=0,因而Δ=+=0,即k =-1. 从而k =-1或0.16．【答案】【解析】已知双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程，整理得，∵渐近线与抛物线相切， ，即.故答案为. 17．【答案】【解析】设，中点，则，把点代入椭圆的方程，整理得，两式相减得()2222121202x x y y -+-=，整理得()()()()221212122212121212y y y y y y x x x x x x -+-==---+， 即.18．【答案】(2,-1)【解析】由题意可得,这两条直线的斜率均存在,且不为0,设AP :y-1=k (x-1),与抛物线C :y 2=x 联立,消去x ,得ky 2-y+1-k =0,由根与系数的关系可得,1P ky k-= ,即P (()2,),同理可得Q ((k+1)2,-k-1),所以直线PQ 的斜率k PQ =212k k k--,所以直线PQ :(1-k 2-2k )y =kx+k 2-1.通过对比可知,x =2,y =-1满足条件,即直线PQ 恒过定点(2,-1).（2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，将2y kx =+代入2213x y +=，整理得22(13)1290k x kx +++=，所以22(12)36(13)0k k ∆=-+> ①，1221213k x x k +=-+，122913x x k ⋅=+，又CD =1212()y y k x x -=-，所以5=， 又22221212122221236()()4(13)13k x x x x x x k k -=+-=-++，代入上式，整理得42712270k k --=，即22(79)(3)0k k +-=，解得297k =-（舍去）或23k =，即k =经验证，k =故k =． 20．【解析】（1）设，由定义知，，，故抛物线的方程为.21．【解析】（1）由实轴长为a =y x =，即0bx ±=，=又2222,3c b a b =+∴=，所以双曲线的方程为221123x y -=．（2）设112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ， 则120120,x x tx y y ty +=+=，由2122228401123y x x x x x y ⎧=-⎪⎪⇒-+=⇒+=⎨⎪-=⎪⎩所以1212)412y y x x+=+-=，所以0xy=又22001123x y-=，所以03xy⎧=⎪⎨=⎪⎩所以4t=，所以D．22．【解析】（1）由抛物线的定义得，342p+=，解得2p=，所以抛物线的方程为24yx=，代入点(3,)T t，可解得t=±．23．【解析】（1）由题意知，22121a bba⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得22131ab⎧=⎪⎨⎪=⎩．因此，所求双曲线C的方程是，即2231x y-=．（2）∵直线l过点(0,1)且斜率为k，∴直线l的方程为1y kx=+．由22311x yy kx⎧-=⎨=+⎩得22(3)220k x kx---=．∵直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，∴22230(2)4(3)(2)0k k k ∆⎧-≠⎪⎨=---->⎪⎩，解得((3,3)(3,6)k ∈-．（3）设直线l 与双曲线C 的交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，由（2）可得1221222323k x x k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，又以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，因此，(OA OB O ⊥为坐标原点）， 于是，0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，即21212(1)()10k x x k x x ++++=，即22222(1)21033k k k k-+++=--， 解得1k =±．又1k =±满足230k -≠，且0∆>， 所以，所求实数k 的值为1±．（2）过点，斜率为的直线：，即：.与椭圆的方程联立，消去得①，由与椭圆有两个不同的交点，知，解得k <或k >∴k 的取值范围是2,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （3）设()11,P x y 、()22,Q x y ，可知1x 、2x 是①的两根，则12221x x k +=-+，从而()1212221y y k x x k +=++=+， 则()121222,,2121OP OQ x x y y k k ⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪++⎝⎭，由题设知()2,0A、()0,1B，∴()AB =.若()OP OQ AB +⊥，则()22802121k OP OQ AB k k +⋅=+=++，得222,,k ⎛⎫⎛⎫=-∉-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴不存在满足题设条件的.（2）设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则(0,)N k -．由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩消去y ，得2222(24)0k x k x k -++=， 则216160k ∆=+>，21212224,1k x x x x k++==. 由1NA AF λ=，2NB BF λ=，得111(1)x x λ-=，222(1)x x λ-=， 整理得121212,11x xx x λλ==--， 故12121212121212()21111()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++.故12λλ+为定值1-.（2）由（1）可知(0,1)M ．①若直线AB 的斜率不存在，设方程为0x x =，则0000(,),(,)A x y B x y -． 由已知得0000114y y x x ---+=，解得012x =-， 此时直线AB 的方程为12x =-，显然过点1(,1)2--． ②若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，易知1m ≠±．设1122(,),(,)A x y B x y ，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(12)4220k x kmx m +++-=， 则122412kmx x k+=-+，21222212m x x k -=+.（1） ∵124k k +=，∴1212114y y x x --+=， 即1212114kx m kx m x x +-+-+=，即12122(1)4x x k m x x ++-=.把（1）代入得21km k m -=+，则2(1)k m =+，故12km =-. 则直线AB 的方程为12k y kx =+-，即1()12y k x =+-， 故直线AB 过定点1(,1)2--．1．【答案】C【解析】由题知:1)MF y x =-，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得121,33x x ==，所以(3,M ，因为MN l ⊥，所以(1,N -，因为(1,0)F ，所以:1)NF y x =-．所以M 到直线NF =C ．2．【答案】(1,0)【解析】由题意可得，点(1,2)P 在抛物线上，将(1,2)P 代入24y ax =中，解得1a =，所以24y x =，由抛物线方程可得24p =，2p =，12p=，所以焦点坐标为(1,0)． 3．【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．4．【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=．所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．5．【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=． 由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-， 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA ==-uu r ，同理2||=22x FB -uu r ，所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ，故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．6．【解析】（1）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+， 所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++． 故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．7．【解析】（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =．因此点P的坐标为．8．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==，从而3,2a b ==，所以椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =．由215x x =，5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以k 的值为12-．（2）由24x y =，得2xy'=．设M （x 3，y 3），由题设知312x =，解得32x =，于是M （2，1）． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题、弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．。
高考双曲线知识点大全
高考双曲线知识点大全高考是每位学生所面临的一次重要考试，而数学是其中一道十分重要的科目。
在数学中，高考考察的范围很广，其中一个重要的知识点就是双曲线。
掌握双曲线的相关知识，不仅能够帮助学生更好地解题，还能提高数学思维和分析问题的能力。
本文将为大家整理双曲线的相关知识点，提供一个全面的学习参考。
一、双曲线的定义和基本性质双曲线是平面上与两个给定直线有关的曲线。
它的定义是两个焦点到该曲线上的每一点的距离之差等于一个常数。
双曲线的基本性质包括：对称轴、顶点、焦点、准线等概念。
掌握这些基本概念是理解双曲线的首要步骤。
二、双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别是椭圆的极坐标方程和参数方程。
前者是由焦点到曲线上任一点的半焦距和半准距之比等于常数，而后者是由双曲线上任一点的坐标值与参数关系式的方程。
掌握这两种标准方程形式，能够帮助学生更好地解题。
三、双曲线的基本图形和特点根据双曲线的标准方程，可以绘制出双曲线的图形。
双曲线可以分成三种类型：椭圆型、双曲线型和抛物线型。
每一种类型都有着自己独特的图形特点。
通过观察双曲线的图形，可以了解其形状和性质。
四、双曲线的性质与应用双曲线在实际应用中有着广泛的应用。
比如在物理学、工程学等领域，常常需要利用双曲线的性质来解决实际问题。
例如，双曲线的离心率可以用于描述椭圆轨道和抛物线轨道的偏心程度。
掌握这些性质和应用，对于解答相关试题具有重要的指导作用。
五、双曲线与其他数学知识的关联双曲线与其他数学知识有着密切的关联。
比如，双曲线与函数、微积分、极限等内容有着紧密的联系。
掌握双曲线与其他数学知识的关联，可以帮助学生更深入地理解数学的整体结构和知识体系。
六、双曲线解题技巧与策略在高考中，双曲线的问题通常是考察学生对知识点运用的掌握程度。
因此，提高解题的技巧和策略是非常重要的。
比如，可以通过简化方程、利用对称性、借助性质等方法解决比较复杂的双曲线问题。
综上所述，双曲线作为高中数学的一个重要知识点，掌握了双曲线的相关知识可以帮助学生更好地解题，提高数学思维能力。
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题39双曲线(教学案)含解析
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)。
2．了解双曲线的简单应用。
3．理解数形结合的思想。
热点题型一双曲线的定义及其标准方程例1、（2018年浙江卷）双曲线的焦点坐标是A. (-，0)，(，0)B. (-2，0)，(2，0)C. (0，-)，(0，)D. (0，-2)，(0，2)【答案】B【变式探究】【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为F，离心率为2.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）22144x y（B）22188x y（C）22148x y（D）22184x y【答案】B【解析】由题意得，选B.【变式探究】(1)设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于() A．4 2 B．8 3 C．24 D．48(2)已知F1，F2为双曲线x25－y24＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为()A.37＋4B.37－4C.37－2 5D.37＋2 5(3)已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________。
【解析】(1)双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10。
据题意和双曲线的定义知：2＝|PF1|－|PF2|【提分秘籍】“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用。
(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系。
【举一反三】已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则|sinA－sinB|sin P的值等于()A.45 B.74 C.54 D.7【解析】在△ABP中，由正弦定理知|sinA－sinB|sinP＝||PB|－|PA|||AB|＝2a2c＝810＝45。
考点40抛物线高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过
（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. 一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程（1）顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =>； （2）顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)y px p =->； （3）顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =>； （4）顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为22(0)x py p =->.注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质标准方程图 形几 何范 围对称性关于x 轴对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于y 轴对称性 质焦点准线方程顶 点 坐标原点(0，0)离心率2．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：抛物线方程焦半径公式3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则抛物线方程焦点弦公式其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径． 对于抛物线22(0)y px p =>，由(,)2p A p ，(,)2pB p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ． 4．必记结论直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图： （1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.（2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥122x x p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . （3）1|AF |＋1|BF |为定值2p.（4）弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．（5）以AB 为直径的圆与准线相切．（6）焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°.考向一 抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ，一个定点F （抛物线的焦点），一条定直线l （抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF p x =+或2PF py =+，使问题简化． 典例 1 平面内动点P 到点()0,2F 的距离和到直线l ：2y =-的距离相等，则动点P 的轨迹方程为是_____________. 【答案】28x y =【解析】由题意知，该点轨迹是以()0,2F 为焦点，2y =-为准线的抛物线，其中4p =，所以方程为28x y =.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. 典例2 抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p = A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p 的值即可.1．已知F 是抛物线24y x =的焦点，,M N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 的中点到准线的距离为 A ．32B ．2C ．3D ．4考向二 求抛物线的标准方程1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. 典例3 若点A ,B 在抛物线y 2=2px (p >0)上,O 是坐标原点,若正三角形OAB 的面积为4,则该抛物线的方程是 A ．y 2=23x B ．y 2=xC ．y 2=2xD ．y 23x 【答案】A典例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程． （1）过点(32)-，；（2）焦点在直线240x y --=上．2．顶点在原点，且过点()44-，的抛物线的标准方程是 A ．24y x =-B ．24x y =C ．24y x =-或24x y =D ．24y x =或24x y =-考向三 抛物线的简单几何性质及其应用确定及应用抛物线性质的关键与技巧：(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.典例5 已知等腰三角形OPM 中，OP ⊥MP ，O 为抛物线2y =2px (p >0)的顶点，点M 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，则点P 与抛物线的焦点F 之间的距离是A ．22pB ．52p C ．2pD ．2p【答案】B【解析】由题意得222,P P P P P y x x px x p =∴=∴=因此点P 与抛物线的焦点F 之间的距离为522P p px +=，选B. 【名师点睛】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）解答本题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．3．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点()01,M y 在抛物线C 上，054y MF =，则tan FAM ∠= A ．25 B ．52 C ．45D ．54考向四 焦点弦问题与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键.典例6 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1,y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |=7，求AB 的中点M 到抛物线准线的距离.典例7 已知过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9.（1）求该抛物线的方程;（2）O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.4．过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于A B ，两点，以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，则p =A ．1B ．2C ．3D ．4考向五 抛物线中的最值问题1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解.2.有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E （E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.典例8 如图,已知点及抛物线24x y =上的动点,则的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．【答案】A典例9 已知抛物线的方程为x 2=8y ,F 是焦点,点 A (-2,4),在此抛物线上求一点P ,使|PF |+|PA |的值最小. 【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A (-2,4)在抛物线x 2=8y 的内部.如图所示,设抛物线的准线为l ,过点P 作PQ ⊥l 于点Q ,过点A 作AB ⊥l 于点B ,连接AQ .5．已知抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于点A ，B ，设AF m =∣∣，BF n =∣∣，则m n +的最小值为 A ．2B ．3C 3D ．41．抛物线214y x =的准线方程是 A ．1y =- B ．1y = C ．1x =-D ．1x =2．已知,m n ∈R ，则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．以x 轴为对称轴,通径长为8,顶点为坐标原点的抛物线方程是 A ．y 2=8xB ．y 2=-8xC ．y 2=8x 或y 2=-8xD ．x 2=8y 或x 2=-8y4．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝ A ．0 B ．3 C ．2D ．45．已知点M (-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线y 2=2x 的焦点为F ,点Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是A ．72 B ．3 C ．52D ．26．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，M 为抛物线C 上的一点，O 为原点，若OFM △为等腰三角形，则OFM △的周长为 A ．4B ．251+C ．52+或4D ．51+或47．F 是抛物线22y x =的焦点，以F 为端点的射线与抛物线相交于点A ，与抛物线的准线相交于点B ，若4FB FA =，则FA FB ⋅= A ．1 B ．32 C ．2D ．948．曲线22y x =上两点()()1122,,A x y B x y 、关于直线y x m =+对称，且1212x x ⋅=-，则m 的值为 A ．32 B ．2 C ．52D ．39．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,抛物线上的两个动点A ,B 始终满足∠AFB =60°,过弦AB 的中点H 作抛物线的准线的垂线HN ,垂足为N ,则HNAB的取值范围为A ．(0,3] B ．[3,+∞) C ．[1,+∞)D ．(0,1]10．若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线﹣y 2=1的右顶点重合，则p =_________.11．已知点()()121,,9,A y B y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，210y y >>，点F 是它的焦点，若5BF AF =，则212y y +的值为__________．12．已知等腰梯形ABCD 的顶点都在抛物线22(0)y px p =>上，且∥AB CD ，2,4,AB CD ==60ADC ∠=︒，则点A 到抛物线的焦点的距离是_________．13．已知抛物线C :y 2=ax (a >0)的焦点为F ,点A (0,1),射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,若|FM |∶|MN |=1∶3,则实数a 的值为_________. 14．已知抛物线的焦点为,准线方程是.(1)求此抛物线的方程; (2)设点在此抛物线上,且,若为坐标原点,求△OFM 的面积.15．已知M ,N 是焦点为F 的抛物线()220y px p =>上两个不同的点,线段MN 的中点A 的横坐标为42p -. (1)求|MF |+|NF |的值;(2)若p =2,直线MN 与x 轴交于点B ,求点B 的横坐标的取值范围. 16．设A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两点,且满足OA ⊥OB (O 为坐标原点).求证:(1)A ,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值; (2)直线AB 经过一个定点.17．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴上，且抛物线上有一点(),5P m 到焦点的距离为6.(1)求该抛物线C 的方程；(2)已知抛物线上一点()4,M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点，并说明理由.1．（2018新课标I 理）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．82．（2016新课标全国I 理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42|DE|=5C 的焦点到准线的距离为 A ．2B ．4C ．6D ．83．（2017新课标全国I 理科）已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．104．（2016浙江理科）若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______________． 5．（2017新课标全国II 理科）已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________．6．（2018新课标Ⅲ理）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．7．（2017浙江）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24，-，39()24，B ，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ． （1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值．8．（2016新课标全国III 理科）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点． （1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．9．（2018新课标Ⅱ理）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．10．（2018北京理）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．1．【答案】C【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程的应用，其中熟记抛物线的定义、标准方程，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离是解答的关键，着重考查了转化思想的应用，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，再利用抛物线的定义，列出方程求出,M N 的中点的横坐标，再求出线段MN 的中点到抛物线的准线的距离． 2．【答案】C【解析】∵抛物线的顶点在原点，且过点()44-，，∴设抛物线的标准方程为22x py =（0p >）或22y px =-（0p >），【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题．依题意，设抛物线的标准方程为22x py =（0p >）或22y px =-（0p >），将点()44-，的坐标代入抛物线的标准方程，求得p 即可．注意，本题也可用排除法，因为抛物线经过点()44-，，且该点在第三象限，所以抛物线的开口朝上或朝左，观察各选项知选项C 符合题意. 3．【答案】C【解析】由抛物线的定义知00524p MF y y =+=，解得02y p =， 又点()01,M y 在抛物线C 上，代入22x py =解得011,2y p ==.过点M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为E ,则tan tan FAM AME ∠=∠=14554AE ME==. 故选C.【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.先利用抛物线的定义和已知条件求出011,2y p ==，再过点M 作抛物线的准线的垂线，设垂足为E ,最后解直角三角形AME 得tan FAM ∠的值. 4．【答案】B【解析】设过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于()()1122,,A x y B x y ，两点，则变式拓展12AB x x p =++，又因为以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，所以1268AB x x p p =++=+=，解得2p =.故选B.【名师点睛】涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量. 5．【答案】D【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.1．【答案】A 【解析】抛物线的标准方程为24x y =，焦点在y 轴上，24p ∴=，即2p =，12p∴=，则准线方程为1y =-.故选A.【名师点睛】本题主要考查了抛物线的基本性质，先将其转换为标准方程，然后求出准线方程，属于基础题. 2．【答案】C【解析】若“0mn <”，则2n x y m =-中的0nm->，所以“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”，则2n x y m=-中的0nm->，即0mn <，则“0mn <”成立，故是充分必要条件.故答案为C.【名师点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断. 3．【答案】C【解析】依题意设抛物线方程为y 2=±2px (p >0),则2p =8,所以抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-8x .故选C. 4．【答案】B考点冲关【解析】抛物线y 2＝4x ，2p ∴=，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，4MF ∴=，即有42M px +=，3M x ∴=. 故选B.【名师点睛】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法，抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解. 5．【答案】C【解析】抛物线的准线方程为x =12-，当MQ ∥x 轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+12|=52. 6．【答案】D【名师点睛】本题考查抛物线的性质.由题意可知，满足要求的点有两个，所以进行分类讨论.本题的关键就是求出M 的坐标，求出周长，所以只需设出M 的坐标，结合各自的等量关系，求坐标，得到周长. 7．【答案】D【解析】由题意得1(,0)2F ，设点A 的横坐标为m ，则由抛物线的定义，可得13214m +=，则14m =，所以3,34FA FB ==，所以9cos04FA FB FA FB ⋅==．故本题选D . 8．【答案】A【名师点睛】这是属于圆锥曲线中的中点弦问题，可以联立，由根与系数的关系得到中点坐标，代入已知直线.还有解决中点弦问题和对称问题，可以利用点差法，由两式作差直接得中点坐标和直线斜率的关系. 9．【答案】D【解析】过A ,B 分别作抛物线准线的垂线AQ ,BP ,垂足分别为Q ,P ,设|AF|=a ,|BF|=b ，则由抛物线的定义，得|AQ|=a ,|BP|=b ,所以|HN|=.在△ABF 中，由余弦定理得|AB|2=a 2+b 2-2ab cos 60°=a 2+b 2-ab ，所以()()22222212322321a bHN a b a bAB aba b ab a b ab a b aba b +++====+-+-+--+,因为a+b ≥2,所以()211321aba b ≤-+,当且仅当a =b 时等号成立,故HNAB的取值范围为(0,1].故选D. 10．【答案】4【解析】由双曲线﹣y 2=1可得a=2,则双曲线的右顶点为(2,0),则22p=,所以p=4. 11．【答案】10【解析】由抛物线的定义可得1,922p p AF BF =+=+，依据题设可得595222p p p +=+⇒=，则22122414,49366y y y =⨯==⨯=⇒=（舍去负值），故21210y y +=，应填10.12．【答案】7312【解析】由题意可设()(),1,3,2A m D m +，因此()42333,2312p m p m pm⎧⎪⎨⇒=⎪⎩=+==，因此点A到抛物线的焦点的距离是337323412p m +=+=. 13．【答案】【解析】依题意得焦点F 的坐标为(,0),设M 在抛物线的准线上的射影为K ,连接MK ,由抛物线的定义知|MF |=|MK |,因为|FM |∶|MN |=1∶3,所以|KN |∶|KM |=2∶1,又01404FN k a a --==-,k FN =-=-2,所以4a=2,解得a =.14．【解析】(1)因为抛物线的准线方程为，15．【解析】(1)设()()1122,,,M x y N x y ,则128x x p +=-,而12p MF x =+,22pNF x =+, ∴128MF NF x x p +=++=.(2)当p =2时,抛物线方程为24y x =. ①若直线MN 的斜率不存在,则B (3,0).②若直线MN 的斜率存在,设A (3,t )(t ≠0),则由(1)知21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，整理得()2212124y x y x =--,∴()1212124y x y x y y +--=⋅,即2MN k t=,∴直线()2:3MN y t x t-=-, ∴B 点的横坐标为232t -,由22(3)4y t x t y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2222120y ty t -+-=,由Δ>0得0<t 2<12,∴232t -∈(−3,3).综上,点B 的横坐标的取值范围为(]3,3-.【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解能力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题的能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键. 16．【解析】(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则=2px 1,=2px 2.则直线AB 的方程为()11122py y x x y y -=⋅-+,∴y =·x -·+y 1=·x +.又y 1y 2=-4p 2, ∴y =·x -(x -2p ).∴直线AB 过定点(2p ,0).17．【解析】(1)由题意设抛物线方程为22(0)x py p =>，其准线方程为2py =-， 1121k k k k k k⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+()44x k -+=()1244k x k k ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭，化简得12y k x k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭4142k k k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭()48x ++. ∴直线DE 过定点()4,8-.【名师点睛】（1）本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题. （2）定点问题：对满足一定条件曲线上两点连接所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，证明直线过定点，一般有两种方法：①特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.②分离参数法：一般可以根据需要选定参数λ∈R ，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式()()()2123,,,0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，()(),1,2,3i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组()()()123,0,0,0f x y f x y f x y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，从而求得该定点.1．【答案】D【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出()()1,2,4,4M N ，之后借助于抛物线的方程求得()1,0F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果. 2．【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为22y px =(p >0)，圆的半径为r ,,AB DE 分别交x 轴于,C F 点，则||22AC =A 点纵坐标为22A 点横坐标为4p ，即4||OC p=，由勾股定理知直通高考2222||||||DF OF DO r +==，2222||||||AC OC AO r +==，即22224(5)()2)()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因. 3．【答案】A【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=． 4．【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=.【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般都会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离． 5．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则||2,||4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线||||||32AN FF'BM +==，由抛物线的定义有：||||3MF MB ==，结合题意，有||||3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 6．【答案】2【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法得到1212124y y k x x y y -==-+，取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，由抛物线的性质得到()12MM AA BB '=''+，进而得到斜率. 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达||PA 与||PQ 的长度，通过函数3()(1)(1)f k k k =--+求解||||PA PQ ⋅的最大值．8．【解析】由题可知)0,21(F ．设1:l y a =，2:l y b =，则0≠ab ，且2(,)2a A a ，2(,)2b B b ，1(,)2P a -，1(,)2Q b -，1(,)22a b R +-． 记过A ，B 两点的直线为l ，则直线l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ． （1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab ．记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ， 9．【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =． 因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 10．【解析】（1）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．。
考点39 曲线与方程-备战2019年浙江新高考数学考点一遍过 Word版含解析
考点39 曲线与方程1．了解方程的曲线与曲线的对应关系.2．会求简单的曲线方程.一、曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二f x y=的实数解建立了如下的关系：元方程(,)0（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合；f x y=；（3）用坐标表示条件p(M)，列出方程(,)0f x y=为最简形式；（4）化方程(,)0（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程．三、两曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．（2）两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.考向一 考查曲线与方程的概念判断曲线与方程的关系时，把握两个对应关系： （1）曲线上的每个点都符合某种条件；（2）每个符合条件的点都在这条曲线上.若要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程.典例1 方程表示的曲线是 A ．两条直线 B ．两条射线 C ．两条线段D ．一条直线和一条射线【答案】D 【解析】由，得2x +3y −1=0或.即2x +3y −1=0(x ⩾3)为一条射线，或x =4为一条直线. ∴方程表示的曲线是一条直线和一条射线.故选D.【名师点睛】在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程0(),f x y 的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 在求解方程时要注意变量的范围. 典例2 方程y =-对应的曲线是【答案】A【解析】将y =-平方得x 2+y 2=4(y ≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A.1．方程x 2＋y 2－2x +4y +5＝0表示的图形是 A ．一个点 B ．两条直线 C ．一个圆D ．一条直线与一个圆考向二 直接法求轨迹方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．典例3 在平面直角坐标系中，()1,0M ，()4,0N ，动点R 满足．（1）求点R 的轨迹方程C ；（2）过点()0,1P 的直线l 与（1）中的轨迹方程C 交于点A ，B ，与x 轴交于点Q ，设QA P A λ=，QB PB μ=，求证：λμ+为定值．【解析】（1）设动点(),R x y ，则，整理，得点R 的轨迹方程C 为：224x y +=．（2）由题意得直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为；()1x t y =-，联立，整理，得：，设()11,A x y 、()22,B x y ，，，令0y =，可得x t =-，即(),0Q t -，，QB PB μ=，，，111y y λ∴=-，221y y μ=-，∴，λμ∴+为定值83．【名师点睛】本题考查曲线方程的求法，考查两数和为定值的证明，考查椭圆、直线方程、两点间距离公式、根与系数的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．2．在平面直角坐标系中，已知定点()0,2A -，()0,2B ，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-4，则动点P 的轨迹方程为A ．B ．2214y x += C ．2214y x -= D ．3．设,x y ∈R ，且2y 是1x +和1x -的等比中项，则动点(),P x y 的轨迹为除去x 轴上点的 A ．一条直线 B ．一个圆 C ．双曲线的一支D ．一个椭圆考向三 定义法求轨迹方程求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．典例4 设O 为坐标原点，动圆P 过定点()4,0M , 且被y 轴截得的弦长是8. （1）求圆心P 的轨迹C 的方程；（2）设,A B 是轨迹C 上的动点，直线,OA OB 的倾斜角之和为4π，求证：直线AB 过定点. 【解析】（1）设(),P x y 动圆半径为由动圆被y 轴截得的弦长是8得消去r 得28,y x =故圆心P 的轨迹C 的方程为28y x =； （2）设直线，， 联立方程得28x my ny x =+⎧⎨=⎩，消去x 得，．则，．设直线,OA OB 的倾斜角分别是,αβ∵，同理，∴∴∴．AB 方程为：，故直线AB 过定点()8,8-．【名师点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的综合问题，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，属于较难题目.4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为A ．B ．C ．D ．5．如果点(),M x y 在运动过程中总满足关系式.（1）说明点M 的轨迹是什么曲线，并求出它的轨迹方程；（2）若O 是坐标原点，直线l ：2y kx =+交点M 的轨迹于不同的两点,A B ，求A O B △面积的最大值.考向四 相关点法求轨迹方程动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点,()P x y 却随另一动点(),Q x y ''的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x '，y '表示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程．典例5 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4，过圆C 上的一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量，求动点Q 的轨迹方程.【解析】设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0≠0)，则点N 的坐标为(0，y 0). 因为，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0，2y 0)，则x 0＝x ，y 0＝2y. 又点M 在圆C 上，所以，即，所以动点Q 的轨迹方程为.典例6 已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆的方程;(2)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,OPOM=e (e 为椭圆C 的离心率),求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.【解析】(1)设椭圆C 的方程为+=1(a >b >0),由题设得71a c a c +=⎧⎨-=⎩,解得.由此得b 2=7, 故椭圆C 的方程为+=1.(2)由(1)得e =34, 设M (x ,y ),P (x ,y 0),x ∈[-4,4].由OPOM=e 得=e 2=,故16(x 2+)=9(x 2+y 2) (*).由点P 在椭圆C 上得,代入(*)式并化简得9y 2=112.故点M 的轨迹方程为y =±3(-4≤x ≤4),轨迹是两条平行于x 轴的线段.6．若动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，则点的轨迹方程为A ．B ．C ．D ．7．如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A ，B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.考向五 参数法求轨迹方程若动点,()P x y 坐标之间的关系不易直接找到，且无法判断动点,()P x y 的轨迹，也没有明显的相关动点可用，但较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动受到另一个变量的制约，即动点,()P x y 中的x ，y 分别随另一变量的变化而变化，我们可称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.参数法求轨迹方程的步骤：（1）选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标．（2）得出动点M 的参数方程()()x f k y g k =⎧⎨=⎩.（3）消去参数k ，得m 的轨迹方程． （4）由k 的范围确定x ，y 的范围．典例7 如图,在正方形OABC 中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(10,0),点C 的坐标为(0,10).分别将线段OA 和AB 十等分,分点分别记为A 1,A 2,…,A 9和B 1,B 2,…,B 9.连接OB i ,过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9).（1）求证:点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E 的方程;（2）过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ,N ,若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1,求直线l 的方程.【解析】解法一：（1）依题意,过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x =i ,B i 的坐标为(10,i ),所以直线OB i 的方程为y =x .设P i 的坐标为(x ,y ),由10x ii y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得y =x 2,即x 2=10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E 的方程为x 2=10y . （2）依题意,直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y =kx +10.由得,此时Δ=100k 2+400>0,直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ,N .设,则，因为S △OCM =4S △OCN ,所以|x 1|=4|x 2|. 又x 1·x 2<0,所以x 1=-4x 2, 分别代入①和②,得，解得k =±.所以直线l 的方程为y =±x +10,即3x -2y +20=0或3x +2y -20=0. 解法二：（1）点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2=10y 上. 证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x =i ,B i 的坐标为(10,i ),所以直线OB i 的方程为y =x .由10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得P i 的坐标为(i ,).因为点P i 的坐标都满足方程x 2=10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2=10y .（2）同解法一.8．过点P 1(1,5)作一条直线交x 轴于点A ,过点P 2(2,7)作直线P 1A 的垂线,交y 轴于点B ,点M 在线段AB 上,且|BM |∶|MA |=1∶2,则动点M 的轨迹方程为 .考向六 圆锥曲线中的对称问题圆锥曲线上两点关于直线对称的问题是高考命题的一个热点问题，该问题集垂直、中点弦、直线与圆锥曲线的位置关系、点与圆锥曲线的位置关系、方程、函数、不等式、点差法等重要数学知识和思想方法于一体，符合在知识网络交汇处、思想方法的交织线上和能力层次的交叉区内设置问题的命题特点，此类试题综合性强，但难度适中,对数学知识和能力的考查具有一定的深度,具有很好的选拔功能.圆锥曲线上两点关于直线对称的问题主要有联立方程和点差法两种解法.典例8 若在抛物线y 2=2x 上存在相异的两点关于直线l :y =m (x-2)对称,求m 的取值范围. 【解析】解法一：如图,当m =0时,直线l :y =0恰好是抛物线的对称轴,满足题设条件.当m ≠0时,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)是抛物线上关于直线l 对称的两点,则PQ 的中点是M (122x x +,122y y +). 设直线PQ 的方程是y =1m-x+b .由消去x ,得y 2+2my-2mb =0 (*).∵方程(*)有两个不相等的实数根,∴Δ=4m 2+8mb >0,即m 2+2mb >0 ①. 又y 1+y 2=-2m ,x 1+x 2=2mb-m (y 1+y 2)=2mb+2m 2,∴M (mb+m 2,-m ).由点M 在直线l 上,得-m =m (mb+m 2-2),即b =21m m- ②.把②代入①,得m 2<2,即-<m <,且m ≠0. 综上可知,所求m 的取值范围为(-,).解法二(点差法)：当m =0时,同解法一.当m ≠0时,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)是抛物线y 2=2x 上关于直线l 对称的两点,线段PQ 的中点M 的坐标为(x 0,y 0). ∵点P ,Q 在抛物线上,∴=2x 1,=2x 2,两式相减,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=2(x 1-x 2),即2y 0(y 1-y 2)=2(x 1-x 2),∴ (x 1≠x 2).∵直线PQ ⊥l ,∴k PQ ·k l =-1,∴1y ·m =-1,即m+y 0=0 ①. 又点M 在直线l 上,∴y 0=m (x 0-2) ②. 由①②,得点M 的坐标为(1,-m ).∵P ,Q 为抛物线上的两点,∴点M 在抛物线的内部,∴m 2<2,解得-<m <,且m ≠0.综上可知,所求m 的取值范围是(-,).9．已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由；（3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：直线过定点.1．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹为A ．椭圆B ．两条射线C ．双曲线D ．线段2．设P 为椭圆C ：22173x y +=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1F P 至点Q ，使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为 A ． B ． C ．D ．3．已知动圆C 经过点()2,0A ，且截y 轴所得的弦长为4，则圆心C 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4．平面内一点M 到两定点()10,5F -，()20,5F 的距离之和为10，则M 的轨迹是A ．椭圆B ．圆C ．直线D ．线段5．平面直角坐标系xOy 中，已知两点()21A ，，()45B ，，点C 满足，其中λμ∈R 、，且λ1μ+=．则点C 的轨迹方程为 A ．23y x =- B ．1y x =+C ．29x y +=D ．6．设动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)的距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是A ．221916x y -= B ．221916y x -= C ． D ．7．设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为 A ． B ．C ．D ．8．已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 满足，则点P 的轨迹方程为__________.9．由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，若，则动点P 的轨迹方程为__________． 10．已知双曲线的一支C :y =和直线l :y =kx ,若l 与C 有两个不同的交点A ,B ,则线段AB 的中点的轨迹方程为__________.11．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程.12．如图所示，已知(3,0)A-，,B C两点分别在y轴和x轴上运动，点P为BC延长线上一点，并且满足AB BP⊥，12BC CP=，试求动点P的轨迹方程．13．已知圆，直线，m∈R.（1）求证：对于m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A B、；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线.14．已知动点与，两点连线的斜率之积为，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点. （1）求曲线的方程；（2）若直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.15．已知椭圆的长轴长与短轴长之和为6，椭圆上任一点到两焦点1F ，2F 的距离之和为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线AB ：y x m =+与椭圆交于A ，B 两点，C ，D 在椭圆上，且C ，D 两点关于直线AB 对称，问：是否存在实数m ，使，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.16．已知动圆M 恒过()1,0F 且与直线1x =-相切，动圆圆心M 的轨迹记为C ；直线1x =-与x 轴的交点为N ，过点N 且斜率为k 的直线l 与轨迹C 有两个不同的公共点A ，B ，O 为坐标原点． （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程，并求直线l 的斜率k 的取值范围；（2）点D 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，直线DA ，DB 分别与过()1,0F 且垂直于x 轴的直线交于P ，Q ，证明：OP OQ ⋅为定值，并求出该定值．17．已知焦点在，短轴长为，为坐标原点，定点，点在已知椭圆上，动点满足.（1）求动点的轨迹方程；（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点，求△AMN 的面积的最大值．1．（2011北京理科）曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212a ． 其中，所有正确结论的序号是______________．2．（2017新课标全国II 文理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．1．【答案】A 【解析】由题意得，则，∴方程表示的图形是点．故选A ．2．【答案】A【解析】设动点P 的坐标为(,)x y ，则由条件得，即．所以动点P 的轨迹方程为．故选A ．3．【答案】D【解析】因为2y 是1x +和1x -的等比中项，所以.整理得，即为除去x 轴上点的一个椭圆.故选D ．4．【答案】B【解析】本题主要考查轨迹方程的求解.结合线段的中垂线的性质可知，|MA |=|MQ |,且|MC |+|MQ |=5，故有|MA |+|MC |=5，则可知动点到两个定点的距离和为定值5>|AC |=2，则可知点M 的轨迹就是椭圆，且2a =5，2c =2，结合椭圆的性质可知b 2=214,故其方程为.5．【解析】（1）可表示(),x y 与的距离之和等于常数由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，且，故轨迹方程为2213x y +=. （2）由消去y ，得，∵,∴21k >，，，令，则221k t =+，∴，当且仅当t =，即3k =±时，S 取得最大值.故AOB △面积的最大值为2. 6．【答案】B【解析】设点的坐标为，∵点是动点和定点连线的中点，∴， ∵在曲线上，∴，∴，即，此为点的轨迹方程.7．【解析】设AB 的中点为R ,坐标为(x ,y ),则在Rt △ABP 中,｜AR ｜=｜PR ｜,又因为R是弦AB的中点,依垂径定理，在Rt△OAR中, , 又,所以有,即,因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),R(x1,y1),因为R是PQ的中点,所以,代入方程,得,整理得x2+y2=56,这就是所求的点Q的轨迹方程.8．【答案】12x+15y-74=0【解析】设过点P2的直线方程为y-7=k(x-2)(k≠0),则过点P1的直线方程为y -5=-(x-1),所以A(5k+1,0)，B(0,-2k+7).设M(x,y),则由|BM|∶|MA|=1∶2,得,消去k,整理得12x+15y-74=0.当k=0时,易得A(1,0),B(0,7),则M (,),也满足上述方程.故点M的轨迹方程为12x+15y-74=0.9．【解析】（1）结合椭圆的几何特征，可得、、在椭圆上，所以b =1, ,则24a=.故椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，线段的中点为，根据椭圆中点弦的性质，得，联立，解得4313xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则中点，将代入，得. 故直线的方程为.（3）设，联立，消去y ，得，设，则.则. 直线，所以+1= k(x+2),则x+2=0且+1=0,所以,故直线经过定点.1．【答案】B【解析】∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6，而|F1F2|＝6，∴满足条件的点的轨迹为两条射线．故选B．【名师点睛】本题考查了点的轨迹问题，涉及双曲线定义的辨析，考查了推理能力，属于基础题．2．【答案】C【解析】P为椭圆C：22173x y+=上一动点，1F，2F分别为左、右焦点，延长1F P至点Q，使得2PQ PF=，，2PQ PF=，，Q∴的轨迹是以()12,0F-为圆心，∴动点Q的轨迹方程为．故选C．【名师点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 3．【答案】D【解析】设圆心C （x ，y ），弦为BD ，过点C 作CE ⊥y 轴，垂足为E ，则|BE |＝2， ∴|CA |2＝|CB |2＝|CE |2+|BE |2， ∴（x ﹣2）2+y 2＝22+x 2，化为y 2＝4x ． 故选D ．【名师点睛】本题综合考查了抛物线的标准方程，考查了垂径定理、两点间的距离公式，考查计算能力，属于中档题． 4．【答案】D【解析】根据题意，两定点()10,5F -，()20,5F 则1210F F =， 而动点M 到两定点()10,5F -和()20,5F 的距离之和为10， 则M 的轨迹为线段12F F ， 故选：D ． 5．【答案】A 【解析】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即λBC BA =，则C 、A 、B 三点共线．设C （x ，y ），则C 在AB 所在的直线上， ∵A （2，1）、B （4，5）， ∴AB 所在直线方程为，整理得：23y x =-．故点P 的轨迹方程为23y x =-． 故选A.【名师点睛】本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题． 6．【答案】D【解析】由题意得动点P 到A (－5，0)的距离与它到B (5，0)的距离的差等于6，知轨迹是双曲线的一支，根据定义得到：c ＝5，a ＝3，∴b ＝4，∴点P 的轨迹方程是.故选D ．7．【答案】B 【解析】为椭圆上任意一点,且A ,B 为焦点， ，又，，故点的轨迹方程为.8．【答案】x 2＋y 2＝16 【解析】设P (x ，y )，则，于是＝(－2－x )(2－x )＋y 2＝12，化简得x 2＋y 2＝16，此即为所求点P 的轨迹方程. 9．【答案】2243x y +=【解析】∵，∴，，∵，∴OAB △是等边三角形，，为定值，∴点P 的轨迹方程为．10．【答案】(x-)2-y 2=(x >2)【解析】设AB 的中点为M (x 0,y 0),联立,得(k 2-1)y 2+2ky-2k 2=0,则y 0=,x 0=,消去k 得-=x 0,因为2220201201kk k k ∆⎧⎪>⎪-⎪>⎨-⎪⎪->⎪-⎩,所以<k <1,得x 0>2,所以AB 的中点的轨迹方程是(x-)2-y 2=(x >2).11．【解析】（1）圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则＝(x ，y －4)，＝(2－x,2－y ).由题设知·＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.（2）由（1）可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－， 故l 的方程为x ＋3y －8＝0.12．【解析】设(,)P x y ，(0,)B y '，(,0)C x '，则，，由12BC CP =，得，即3x x '=，2y y '=-，∴(0,)2y B -，(,0)3xC ． 又(3,0)A -，∴，．由AB BP ⊥，得0AB BP ⋅=，∴，得24y x =，故动点P 的轨迹方程为24y x =．13．【解析】（1）圆的圆心为()2,0C -所以圆心C 到直线的距离为.所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点. （2）设中点为(),M x y ， 直线恒过定点()2,1-，当直线CM 的斜率存在时，2MC yk x =+， 又12AB y k x -=+，，∴，化简得；当直线CM 的斜率不存在时，2x =-， 此时中点为()2,1M -，也满足上述方程.所以M 的轨迹方程是，它是一个以12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆. 14．【解析】（1）设点，由题知，，整理，得，故曲线的方程为.（2）由题意，知直线的斜率不为0，故可设：，，，设直线的斜率为，由题知，，，由，消去，得，所以，所以 .又因为点在椭圆上，所以，所以，为定值.15．【解析】（1）由题意，得24a =，226a b +=，∴2a =，1b =.∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （2）∵C ，D 关于直线AB 对称，∴可设直线CD 的方程为y x t =-+，联立，消去y ，得，由，解得25t <，设C ，D 两点的坐标分别为()11,C x y ，()22,D x y ，则1285t x x +=，，设CD 的中点为()00,M x y ，∴，∴4,55t t M ⎛⎫⎪⎝⎭， 又点M 也在直线y x m =+上，则455t t m =+，∴53t m =-，∵25t <，∴295m <.则.同理.∵，∴，∴，∴，∴存在实数m ，使，此时m 的值为. 16．【解析】（1）因为动圆M 恒过()1,0F 且与直线1x =-相切，所以点M 到()1,0F 与到直线1x =-的距离相等，所以圆心M 的轨迹C 的方程为24y x =，联立，可得，当0k =时，一次方程只有一个根，不符合题意， 所以0k ≠且0∆>，解得．（2）设00(),D x y ，11(),A x y ，22(),B x y ，直线DA l ：，即，其与1x =的交点，同理DB l 与1x =的交点，所以，由（1）可知121x x =，则，代入上式得，所以OP OQ ⋅145=+=，为定值，该定值为5．17．【解析】（1）设椭圆的标准方程为，由题意可知，即22211c a b c a ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得故椭圆的标准方程为.设， 因为，所以，所以.又∵点在已知椭圆上，故为动点的轨迹方程．（2）椭圆的右焦点，设直线的方程是，与联立，可得，设，则，，由题意，满足方程，∴，由方程的根与系数的关系可得：，∴，又==，∴，点到直线的距离，于是△AMN的面积为，当且仅当，即时取到等号．故△AMN的面积的最大值是2.1．【答案】②③【解析】因为原点O到两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积是1，而a＞1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1，0)，F2(1，0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为，即面积不大于212a，所以③正确．故填②③．2．【解析】（1）设，(,0)N x，则．由得．因为00(,)M x y在C上，所以22122x y+=．因此点P的轨迹方程为222x y+=．（2）由题意知(1,0)F-．设，则，．由1OP PQ ⋅=得，又由（1）知222m n +=，故．所以，即OQ PF ⊥．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．。
2019年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.5双曲线
2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.5双曲线三、双曲线（一）双曲线的定义与标准方程 ※相关链接※1．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。
2．求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上； ②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：221(0)mx ny mn +=<。
※例题解析※〖例〗已知动圆M 与圆221:(4)2C x y ++=外切，与圆222:(4)2C x y -+=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程。
思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。
解答：设动圆M 的半径为r则由已知1212|||||||MC r MC r MC MC =+=∴-=。
又1C （-4，0），2C （4，0），∴|1C 2C |=8，∴1C 2C |。
根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以1C （-4，0）、2C （4，0）为焦点的双曲线的右支。
222224,141(214a cbc a x y M x ==∴=-=∴-=≥ 点的轨迹方程是（二）双曲线的几何性质 ※相关链接※1．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。
2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。
同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它的渐近线 （2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的斜率与离心率的关系。
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（1）了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. （3）了解双曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想.
一、双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
（2）符号语言：1212202，
MF MF a a F F =<-<. （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支； 当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程有两种形式：
（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，
0)，焦距为2c ，且222c a b =+，如图1所示；
（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22
221y x a b
-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，
c )，焦距为2c ，且222c a b =+，如图2所示．
图1 图2
注：双曲线方程中a ，b 的大小关系是不确定的，但必有c ＞a ＞0，c ＞b ＞0． 3．必记结论
（1）焦点到渐近线的距离为b .
（2）与双曲线22
221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为
22
2
2(0,0,0)x y a b a b
λλ-=>>≠． （3）若双曲线的渐近线方程为n y x m =±，则双曲线方程可设为22
22(0,0,0)x y m n m n
λλ-=>>≠或
2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．
（4）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22
221(0,0,x y a b a k b k
-=>>-+
22)b k a <-<．
（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2
2
10mx ny mn +=<．
（6）与椭圆22
221x y a b +=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为
22
2
21(0,x y a b a b λλ
+=>>--22)b a λ<<．
二、双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质
2．等轴双曲线的概念和性质
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；
（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于2a ，离心率e
=
考向一 双曲线的定义和标准方程
1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
2．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混
.
典例1 已知F 1,F 2为双曲线C :x 2
-y 2
=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2= A ．
14 B ．
35 C ．34
D ．
45
【答案】
C
∴cos ∠F 1PF 2=
222
121212
||||2PF PF F F PF PF +-
3
4
=.
典例2 已知F为双曲线的左焦点，为上的点．若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________．
【答案】44
【解析】易知双曲线的左焦点为，
点是双曲线的右焦点，虚轴长为，
双曲线的图象如图：。