初三上期寒假作业之选做题 2

.寒假作业之选做题1、（2009年重庆綦江县）如图，已知抛物线)0(33)1(2≠+-=a x a y 经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．2、（2009年河北省）如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．图163、(2009年湖南省益阳市)阅读材料： 如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.图12-2 xCOyABD11图12-1图（1）图（2） 4、（2009年安徽省）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．【解】（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．【解】（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果， 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案， 【解】）5、（2009年山东省日照）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD 交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）D图①DE图②图③6、(2009年山东省济宁市)在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；（3）设M B N ∆的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.x7、（2009年四川南充市）如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使凸四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：123S S ？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．8、（2009年四川凉山州）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）将OAB △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．答案：1、解：（1）抛物线2(1)0)y a x a=-+≠经过点(20)A-，，093a a∴=+=-∴二次函数的解析式为：2333y x x=-++（2）D为抛物线的顶点(1D∴过D作DN OB⊥于N，则DN=3660AN AD DAO=∴==∴∠=，°OM AD∥①当AD OP=时，四边形DAOP是平行四边形66(s)OP t∴=∴=②当DP OM⊥时，四边形DAOP是直角梯形过O作OH AD⊥于H，2AO=，则1AH=（如果没求出60DAO∠=°可由Rt RtOHA DNA△∽△求1AH=）55(s)OP DH t∴===③当PD OA=时，四边形DAOP是等腰梯形26244(s)OP AD AH t∴=-=-=∴=综上所述：当6t=、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB∠==°，，△是等边三角形则6262(03) OB OC AD OP t BQ t OQ t t=====∴=-<<，，，过P作PE OQ⊥于E，则PE=116(62)222BCPQS t∴=⨯⨯⨯-⨯=2322t⎛⎫-⎪⎝⎭当32t=时，BCPQS∴此时3339332444OQ OP OE QE PE==∴=-==，=，2PQ∴===2．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴由△AQF ∽△ABC ，4BC =， 得45QF t=．∴45QF t =． ∴14(3)25St t =-⋅，即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 此时∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得 AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =．3、解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y把A （3,0）代入解析式求得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0(把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k所以32+-=x y(2)因为C 点坐标为(１,4)P图4图3F图5）所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2 所以CD ＝4-2＝232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ， 则x x x x x y y h3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △P AB =89S △CAB得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x解得，23=x 将23=x代入3221++-=x x y 中， 解得P 点坐标为415,23(4、（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（由图可知资金金额满足240＜w ≤300多数量的该种水果．（3）设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =-当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ， 当日可获得最大利润160元．5、解：（1）证明：在Rt △FCD 中， ∵G 为DF 的中点，∴ CG= FD ． 同理，在Rt △DEF 中， EG= FD ．∴ CG=EG ．（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG ．连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵ AD=CD ，∠ADG=∠CDG ，DG=DG ， ∴ △DAG ≌△DCG ．∴ AG=CG ．在△DMG 与△FNG 中，∵ ∠DGM=∠FGN ，FG=DG ，∠MDG=∠NFG ， ∴ △DMG ≌△FNG ．∴ MG=NG 在矩形AENM 中，AM=EN ． 在Rt △AMG 与Rt △ENG 中， ∵ AM=EN ， MG=NG ， ∴ △AMG ≌△ENG ． ∴ AG=EG ． ∴ EG=CG ．（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG ．其他的结论还有:EG ⊥CG ．……10分6.（1）解：∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，∴OA 旋转了045.∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=. （2）解：∵MN ∥AC ，∴45BMN BAC ∠=∠=︒,45BNM BCA ∠=∠=︒. ∴BMN BNM ∠=∠.∴BM BN =. 又∵BA BC =，∴AM CN =.又∵OA OC =,OAM OCN ∠=∠,∴OAM OCN ∆≅∆. ∴AOM CON ∠=∠.∴1(90452AOM ∠=︒-︒)=22.5︒. ∴旋转过程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45︒-22.5︒=22.5︒. （3）答：p 值无变化.证明：延长BA 交y 轴于E 点，则045AOE AOM ∠=-∠，000904545CON AOM AOM ∠=--∠=-∠，∴AOE CON ∠=∠.又∵OA OC =，0001809090OAE OCN ∠=-==∠. ∴OAE OCN ∆≅∆.∴,OE ON AE CN ==. 又∵045MOE MON ∠=∠=,OM OM =, ∴OME OMN ∆≅∆.∴MN ME AM AE ==+. ∴MN AM CN =+，∴4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+=. ∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化.7、解：（1）设正比例函数的解析式为11(0)y k x k =≠， 因为1y k x =的图象过点(33)A ，，所以133k =，解得11k =． 这个正比例函数的解析式为y x =．设反比例函数的解析式为22(0)k y k x=≠． 因为2k y x =的图象过点(33)A ，，所以233k=，解得29k =．这个反比例函数的解析式为9y x=．（2）因为点(6)B m ，在9y x =的图象上，所以9362m ==，则点362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设一次函数解析式为33(0)y k x b k =+≠．因为3y k x b =+的图象是由y x =平移得到的，所以31k =，即y x b =+． 又因为y x b =+的图象过点362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以362b =+，解得92b =-，x∴一次函数的解析式为92y x =-．（3）因为92y x =-的图象交y 轴于点D ，所以D 的坐标为902⎛⎫- ⎪⎝⎭，．设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．因为2y ax bx c =++的图象过点(33)A ，、362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、和D 902⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 所以933336629.2a b c a b c c ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩，， 解得1249.2a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，，这个二次函数的解析式为219422y x x =-+-． （4）92y x =-交x 轴于点C ，∴点C 的坐标是902⎛⎫⎪⎝⎭，，如图所示，15113166633322222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯99451842=---814=．假设存在点00()E x y ，，使12812273432S S ==⨯=． 四边形CDOE 的顶点E 只能在x 轴上方，∴00y >，1OCD OCE S S S ∴=+△△01991922222y =⨯⨯+⨯ 081984y =+．081927842y ∴+=，032y ∴=． 00()E x y ，在二次函数的图象上，2001934222x x ∴-+-=．解得02x =或06x =．当06x =时，点362E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与点B 重合，这时CDOE 不是四边形，故06x =舍去，∴点E 的坐标为322⎛⎫⎪⎝⎭，．8、解：（1）已知抛物线2y x bx c =++经过(10)(02)A B ，，，，01200b c c=++⎧∴⎨=++⎩ 解得32b c =-⎧⎨=⎩∴所求抛物线的解析式为232y x x =-+．（2）(10)A ，，(02)B ，，12OA OB ∴==， 可得旋转后C 点的坐标为(31)，当3x =时，由232y x x =-+得2y =， 可知抛物线232y x x =-+过点(32)，∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C ．∴平移后的抛物线解析式为：231y x x =-+．（3） 点N 在231y x x =-+上，可设N 点坐标为2000(31)x x x -+，将231y x x =-+配方得23524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴其对称轴为32x =． ································· 6分①当0302x <<时，如图①，112NBB NDD S S = △△00113121222x x ⎛⎫∴⨯⨯=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭ 01x = 此时20311x x -+=-N ∴点的坐标为(11)-，． ②当032x >时，如图② 同理可得0011312222x x ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭03x ∴=此时20311x x -+= ∴点N 的坐标为(31)，． 综上，点N 的坐标为(11)-，或(31)，．图①图②。