圆锥曲线必考知识点总结及答案
(完整版)圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理).docx
圆锥曲线一、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（大于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表示椭圆；2a | F1F2|表示线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离心率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2ec(0 e 1) （离心率越大，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常用结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |二、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表示双曲线的一支。
2a | F1 F2|表示两条射线； 2a| F1F2 |没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 x 轴上中心在原点，焦点在 y 轴上标准x2y21( a 0,b 0)y2x21(a 0, b 0) 22方程 a 2 b 2a bP y2 F图形P y B2x xF1 A 1O A 2F2O B1F1顶点对称轴焦点焦距离心率渐近线A1 ( a,0), A2 ( a,0)B1(0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2aF1 ( c,0), F2 ( c,0)F1 (0,c), F2 (0, c) | F1F2 | 2c(c 0) c 2 a 2b2ec(e 1)（离心率越大，开口越大）aybx y a xa b通径2b2a （3）双曲线的渐近线：①求双曲线 x 2y21的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得x2y 20 ，因式分解得到xy0。
高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析
x0 x a2
y0 y b2
1.
7.
x2
椭圆
a2
y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2
，则椭圆的焦点角形的面积
S 为 F1PF2
b2
tan 2
.
-4-
8.
椭圆 x2 y2 a2 b2
1（a＞b＞0）的焦半径公式 | MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1(c, 0)
x0
中心 顶点 对称轴
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0) x 轴，y 轴;
实轴长 2a, 虚轴长 2b.
(0,0) x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
e=1
a
a
-2-
【备注 1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线 x 2 y 2 a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率 e 2 .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. x 2 y 2 与 a2 b2
x 2 y 2 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： x 2 y 2 0 .
e 的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的 轨迹.
-1-
轨迹条件
点集： ({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F
高二数学选修2-1第二章圆锥曲线_知识点+习题+答案讲述
第二章圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点F1， F 2的距离之和等于常数（大于F1 F 2）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位焦点在 y 轴上焦点在 x 轴上置图形标准方程x2 y2 1 a b 0 y2 x2 1 a b 0a2 b2 a2 b2范围 a x a 且 b y b b x b 且 a y a极点 1a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a0, b 、 2 0,b b,0 、 2 b,01 1轴长短轴的长2b 长轴的长2a焦点F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,c焦距F1 F2 2c c2 a2 b2对称性对于 x 轴、y轴、原点对称离心率准线方程c 1b 2e 2 0 e 1a aa2 a2 x yc c3、设是椭圆上任一点，点到 F1对应准线的距离为d1，点到 F2对应准线的距离为d2，则F1 F2 e．d1 d24、平面内与两个定点F1， F 2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1 F 2）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．5、双曲线的几何性质：焦点的位置图形标准方程范围极点轴长焦点焦距对称性离心率准线方程渐近线方程焦点在 x 轴上焦点在y轴上x2 y21 a 0, b 0y2 x21 a 0, b 0 a2 b2 a2 b2x a 或 x a ， y R y a 或 y a ， x R1 a,0、2 a,01 0,a 、 2 0,a虚轴的长2b 实轴的长2aF1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,cF1 F2 2c c2 a2 b2对于 x 轴、y轴对称，对于原点中心对称ec b211a2eaxa2ya2c cy b x y a xa b6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．7、设是双曲线上任一点，点到 F1对应准线的距离为d1，点到 F2 对应准线的距离为 d2，则F1 F2 e．d1 d28、平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点 F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p ．10、焦半径公式：若点若点若点若点x0 , y0x0 , y0x0 , y0x0 , y0在抛物线在抛物线在抛物线在抛物线y 2 2px p 0 上，焦点为 F ，则 F x0 p ；2y 2 2 px p 0 上，焦点为 F ，则 F x0 p ；2x2 2py p 0 上，焦点为 F ，则 F y0 p ；2x2 2 py p 0 上，焦点为 F ，则 F y0 p ．211、抛物线的几何性质：标准方程图形极点对称轴焦点准线方程y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x 2 2 py p 0p0p 0p00,0x 轴y 轴Fp, 0 Fp, 0 F 0,pF 0, p2 2 2 2 xp p pyp 2x y22 2离心率 e 1范围x 0 x 0 y 0 y 0圆锥曲线测试题一、选择题：1．已知动点 M 的坐标知足方程 13x 2y 2 | 12x5 y 12 | ，则动点 M 的轨迹是（ ）A. 抛物线B. 双曲线C.椭圆D.以上都不对2．设 P 是双曲线x 2 y 2 上一点，双曲线的一条渐近线方程为a 2193x 2y 0, F 1 、 F 2 分别是双曲线的左、右焦点，若 |PF 1 | 5，则 |PF 2 |（ ）A. 1或 5B. 1 或 9C. 1D. 93、设椭圆的两个焦点分别为 F 1、、 F 2，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若△ 12 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.P F PFA.2 B.2 1C.2 2D.2 1224．过点 (2,-1) 引直线与抛物线 y x 2 只有一个公共点 , 这样的直线共有 ( ) 条 A. 1B.2C.3D.45．已知点 A( 2,0) 、 B(3,0) ，动点 P( x, y)知足 PA PBy 2 ，则点 P 的轨迹是( )A．圆 B ．椭圆C．双曲线D．抛物线6．假如椭圆x2 y 2 1的弦被点(4，2)均分，则这条弦所在的直线方36 9程是（） A x 2 y 0 B x 2 y 4 0 C 2x 3 y 12 0 D x 2 y 8 07、不论为什么值，方程x2 2 sin y 2 1所表示的曲线必不是（）A. 双曲线B. 抛物线C. 椭圆D. 以上都不对8．方程mx ny2 0 与 mx2 ny2 1 ( m n 0) 的曲线在同一坐标系中的示企图应是（）A B C D二、填空题：9．对于椭圆x2 y 2 1和双曲线x2 y2 1有以下命题：16 9 7 9①椭圆的焦点恰巧是双曲线的极点; ②双曲线的焦点恰巧是椭圆的极点;③双曲线与椭圆共焦点;④椭圆与双曲线有两个极点同样 .此中正确命题的序号是.10．若直线11、抛物线(1 a)x y 1 0 与圆x2 y 2 2 x 0 相切，则 a 的值为y x 2上的点到直线4x 3y 8 0 的距离的最小值是12、抛物线 C: y 2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标 。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结第一篇：圆锥曲线基础知识圆锥曲线是一类重要的几何图形，它由一固定点（焦点）和一条直线（直母线）确定。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
1. 椭圆椭圆是所有圆锥曲线中最简单的一种。
当一个圆锥截面与其直母线平行时，得到的图形就是一个椭圆。
椭圆具有如下性质：(1) 椭圆中心：椭圆的中心是其两个焦点的中垂线的交点。
(2) 焦点：椭圆上有两个焦点，它们在椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离相等。
(3) 长轴和短轴：椭圆上的两个焦点和中心共线，中心到焦点的距离称为焦距，长轴是椭圆上离焦点最远的两个点之间的距离，短轴是椭圆上离焦点最近的两个点之间的距离，长轴和短轴的长度之间的比值称为离心率。
(4) 方程：椭圆的标准方程为(x/a)^2+(y/b)^2=1, 其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
(5) 旋转：如果椭圆不是以坐标轴为轴旋转的，则称其为斜椭圆，斜椭圆可以通过平移和旋转把它转变为标准方程的椭圆。
2. 双曲线双曲线是圆锥曲线中另一个重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线的夹角小于圆锥的母线夹角时，得到的图形就是双曲线。
双曲线具有如下性质：(1) 中心：双曲线的中心是对称轴与渐近线的交点。
(2) 焦点：双曲线有两个焦点，它们位于对称轴上，且到中心的距离相等。
(3) 渐近线：一条直线是双曲线的渐近线，当直线与双曲线的距离接近于零时，该直线就称为双曲线的渐近线。
(4) 方程：双曲线的标准方程为(x/a)^2-(y/b)^2=1，其中a和b分别为双曲线上的两个焦点之间的距离的一半和中心到直线y=0的距离。
(5) 分类：双曲线可以分为右开口和左开口的两种，短轴在x轴的正半轴上的为右开口，反之为左开口。
3. 抛物线抛物线是圆锥曲线中另一种重要的图形，当一个圆锥截面与其直母线垂直时，得到的图形就是抛物线。
抛物线具有如下性质：(1) 焦点和直线：抛物线有一个焦点F和一条直线L，直线L称为准线。
对于抛物线上的任意一点P，它到焦点F的距离等于它到准线L的距离。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。
2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
师：高中数学圆锥曲线所有知识点总结、图表总结、圆锥曲线基础练习及答案
高中数学第八章-圆锥曲线方程§08.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程.1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222 b a by ax=+. ii.中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay=+.②一般方程：)0,0(122B A By Ax =+.③椭圆的标准参数方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）.⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2221,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2±=或c a y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a by ax =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a ay bx =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -==，方程t t by a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b .二、双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PFasin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a bx ay b a by ax =-=-. 一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b ya x 或02222=-by a xii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2±=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-bx a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率ace =. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a b 22.⑤参数关系a ce b a c =+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程12222=-by a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则： aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） aey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'-='+'-='+=-=02010201⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222by a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . ⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-y a x 如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb ya x.例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x，代入)21,3(-得12822=-y x ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条； 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P 在双曲线12222=-by ax ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m = n ，则P 到两准线的距离比为m ︰n.简证：ePF e PF d d 2121= =n m. 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程.3. 设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①x c by ay =++2顶点)244(2aba b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2P y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.④px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）. 四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线； 当0=e 时，轨迹为圆（ace =，当b a c ==,0时）. 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可. 注：1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质.2.等轴双曲线3. 共轭双曲线5. 方程y 2=ax 与x 2=ay 的焦点坐标及准线方程.6.共渐近线的双曲线系方程.一、椭圆知识总结表格：项目 内容第一定义 平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫椭圆。
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八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程 （1）椭圆：（1）已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22---U ）； （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___2） （2）双曲线：（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）； （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：3.圆锥曲线焦点位置的判断：椭圆：已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)23,1()1,(Y --∞）4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）（2）双曲线（1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______（答：2或3）；（2）双曲线221ax by -=:a b =（答：4或14）； （3）设双曲线12222=-by a x （a>0,b>0）中，离心率e ∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：[,]32ππ）； （3）抛物线；设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161,0(a）；5．直线与圆锥曲线的位置关系：（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______（答：(-315,-1)）； （2）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______ （答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；（2）过双曲线2222by a x -＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；（2）过点(0,2)与双曲线116922=-y x 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______（答：4,33⎧⎪±±⎨⎪⎪⎩⎭）； （3）过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若=AB 4，则满足条件的直线l 有____条（答：3）；（4）对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______（答：相离）；（5）过抛物线x y 42=的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11_______（答：1）；（6）设双曲线191622=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于)（答：等于）；（7）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离（答：13）； （8）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点。
①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？（答：①(；②1a =±）； 7、焦半径（1）已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：353）； （2）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（3）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）；（4）点P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______（答：2512）； （5）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（答：2）；（6）椭圆13422=+y x 内有一点)1,1(-P ，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使MF MP 2+ 之值最小，则点M 的坐标为_______（答：)1,362(-）； 8、焦点三角形（1）短轴长为5，离心率32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________（答：6）；（2）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=⋅F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 （答：224x y -=）； （3）椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→ <0时，点P 的横坐标的取值范围是 （答：(）； （4）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝26，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________（答：；（5）已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且ο6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程（答：221412x y -=）； 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：讲过了，不再重复 10、弦长公式：（1）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______（答：8）； （2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC 重心的横坐标为_______（答：3）； 11、圆锥曲线的中点弦问题：（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）； （2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：2）；（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13422=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称（答：⎛ ⎝⎭）；特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！13．动点轨迹方程：已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22y x =）；(1)由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为（答：224x y +=）；（2）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______ （答：216y x =）；(3) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分−→−PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为__________（答：3162-=x y ）；（1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹。
（答：22||x y a y +=）；（2）若点),(11y x P 在圆122=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是____（答：2121(||)2y x x =+≤）；（3）过抛物线y x 42=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是________（答：222x y =-）；已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（1）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （2）求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.（答：（1）略；（2）222x y a +=；（3）当2b a c >时不存在；当2b a c≤时存在，此时∠F 1MF 2＝2）。