3.连续介质力学

2 变形和运动
( X , t)
在初始域和当前 域 域之间的映射
初始构形 当前构形
X X iei X iei
i 1
n SD
材料点的位置矢量
x xi e i xi e i
i 1
n SD
ei 直角坐标系的单位基矢量，xi 位置矢量的分量。
2 变形和运动
运动描述
空间坐标
x Φ X , t 或 x i i X , t
t
2 t 2
, ,
y 2 t 21 at sin y 3 t 1 bt cos
t
2
(1)
t
2
求解变形梯度和Jacobian行列式为时间的函数， 当Jacobian行列式保持常数时求出a和b的值。
2 变形和运动
解：
三角形3节点线性位移单元的构形
x ξ , t x I t I x1 t 1 x2 t 2 x3 t 3 y ξ , t y I t I y1 t 1 y 2 t 2 y3 t 3
f x, t d

0
f ΦX, t , t Jd 0
或


fd
0
fJd 0
二维域
f x, y dxdy

0
f X , Y JdXdY
Jacobian行列式的材料时间导数给出为
DJ Jdiv v J vi J Dt xi
sin r x cos r y
空间坐标
v x R R T x xT xT Ω x xT xT
Ω R RT
二维问题
0 Ω 12
角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量
ΦX , t
满足以下连续性条件： 连续可微，一对一（F可逆），J > 0
这些条件保证函数足够平滑以至于满足协调性，即在变形物体 中不存在缝隙和重叠。然而，运动及其导数可以是非连续或者在零 尺度集合上具有非连续的导数（如裂纹），所以它是分段连续可微 的。附加上不包括零尺度集合的条件以考虑到裂纹形成的可能性。 在形成裂纹的表面上，上述条件不满足。零尺度集合在一维情况中 是点，在二维中是线，三维中是平面，因为一个点具有零长度，一 条线具有零面积，一个表面具有零体积。
u i xi X i
速度
vX , t Φ X , t t
u i i X j , t X i
u X , t t u
速度是材料点的位置矢量的变化率－材料时间导数
加速度
a X , t
v X , t t
பைடு நூலகம்

2 u X , t t 2
还有许多其它的度量，过多的应力和应变度量是理 解非线性连续介质力学的障碍之一。一旦理解了这一领 域，就会意识到这么多的度量没有增加基础的东西，也 许只是学术过量的一种显示。 我们只用一种应力和应变度量的方式进行讲授，也 涉及到其它的方式，以便能够理解文献和软件。
1 引言
守恒方程，通常也称为平衡方程，包括质量、动 量和能量守恒方程。平衡方程是在动量方程中当加速 度为零时的特殊情况。守恒方程既从空间域也从材料 域中推导出来。
Fij i X j xi X j 或 F Φ X x X 0Φ
T
Fij 第一个指标代表运动，第二个指标代表偏导数
dx F dX 或 dxi Fij dX j
x1 X F 1 x 2 X 1
材料坐标左 梯度的转置
2 变形和运动
运动描述
空间变量 x 和时间 t 的任何函数的材料时间导数可以 通过链规则得到 对于标量函数 和张量函数
f x, t
ij x, t
f xi f t f t
其材料时间导数给出为
Df Dt f t vi v f v grad f
空间时间导数
vi x j vj
Dv x, t Dt

v x, t t
v v
v t
对流项、迁移项
v grad v
矢量场的左梯度
f f f grad f f i x j y k z
2 变形和运动
运动描述
在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的， 并且没有必要。在固体力学中，应力一般依赖于变形和它的历史， 所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立 变量是材料坐标X 和时间t。
位移
u X , t Φ X , t Φ X , 0 Φ X , t X x X
第二个条件，即运动为一对一的，要求对于在参考构形上的 每一点，在当前构形上有唯一的点与之对应，反之亦然。这是F规 则 的 必 要 充 分 条 件 ， 即 F是 可 逆 的 。 当 变 形 梯 度 F 是 正 常 的 ， 则 J 0 ，因为当且仅当 J 0 时F的逆才存在。因此，第二个条 件和第三个条件是有联系的。更强的条件是J 必须为正而不仅是 非零，在第3.5.4节可以看到这遵循了质量守恒。这个条件在零尺 度集合上也可能违背，例如，在一个裂纹的表面上，每一个点都 成为了两个点。
2 变形和运动
二维问题 角速度
x X, t R t X xT t 或 xi X, t Rij t X j xTi t
rx R x x R ry y x R cos x y r x R sin y y r y
运动条件
一个刚体的运动包括平动和绕原点的转动，刚体转动与坐标 转换的关系为
x X, t R t X x T t xi X, t Rij t X j xTi t
T Rij 1 Rij Rij
RT R I
R 1 R T ,
12 0 0 3 3 0
动力学教材中的刚体运动方程
v x ω x xT v T
2 变形和运动
例3.1
3节点三角形有限元，设节点的运动为
x 1 t y1 t 0 x 2 t 21 at cos x 3 t 1 bt sin
直角坐标系下二维的变形梯度给出为
x1 x X 2 X x 2 y X X 2
x Y y Y
F 的行列式用J 表示，称作Jacobian行列式或变形梯度行列式
J det F
2 变形和运动
变形梯度
将当前构形和参考构形上的积分联系起来
(2)
面积坐标
1 y 23 1 ξ 2 y 31 2A y12 3 x 23 x13 x 21 x 2 y3 x3 y 2 x 3 y 1 x1 y 3 x1 y 2 x 2 y1 x y 1
xI J xI xJ
yI J yI yJ
2 A ( x 32 y 21 x12 y 32 )
在初始构形中，t = 0
X x ( ,0) X 1 1 X 2 2 X 3 3 Y y ( ,0) Y1 1 Y 2 2 Y 3 3
v
2 变形和运动
运动描述
独立变量是空间坐标x 和时间t，称为空间或Eulerian描述
v v ( x, t ) v Φ X, t , t
通过链规则得到材料时间导数
Dv i x, t Dt v i x , t t v i x , t j X , t x j t vi t
转动是正交变换的一个例子，R是正交矩阵。如图所示一个 矩形单元的Lagrangian网格的刚体转动，可以看出在刚体转动 中单元的边发生转动，但是边与边之间的夹角保持不变。单元 的边是 X 或 Y 坐标为常数的直线，所以在变形构形中观察时， 当物体转动时材料坐标也转动。
一个L网格的刚体转 动，显示在参考(未变形) 构形和当前(变形)构形中 观察到的材料坐标。
学中扮演了中心的角色，许多更加困难和复杂
的非线性连续介质力学问题都是源于转动。
1 引言
非线性连续介质力学中的应力和应变，有多种方式 定义。在非线性有限元程序中应用最频繁的是： 应变度量：Green应变张量和变形率。 应力度量：Cauchy应力、名义应力和第二Piola－ Kirchhoff应力，简称为PK2应力。
当参考构形与初始构形一致时，在 t＝0 时刻任意点处 的位置矢量 x 与其材料坐标一致
X x X,0 ΦX,0
一致映射
ΦX , t
材料坐标 X i 为 常 数 值 的 线 被 蚀 刻 在 材 料 中 ， 恰 似 Lagrangian网格；它们随着物体变形，当在变形构形中观察时， 这些线就不再是Cartesian型。这种观察方式下的材料坐标被 称为流动坐标。但是，当我们在参考构形中观察材料坐标时， 它们不随时间改变。建立的方程，是在参考构形上观察材料坐 标，因此以固定的Cartesian坐标系推导方程。
2 变形和运动
运动条件
连续可微，一对一（F可逆），J > 0 变形梯度通常在材料的界面上是非连续的。在某些现象中， 例如扩展裂纹，运动本身也是非连续的。要求在运动及其导数中 非连续的数量是有限的。实际发现，有些非线性解答可能拥有无 限数量的非连续。然而，这些解答非常罕见，不能被有限元有效 地处理，所以将不关注这些解答。
颗粒或者晶体结构。晶体结构的特性有时也通过本构方程出
现在连续介质模型中，但是假定其响应和属性是平滑的，只 具有有限个不连续点。