3.连续介质力学
合集下载
连续介质力学
矢量与张量
连续介质力学基础
克罗内克符号(Kronecker delta)
ij
1 0
i i
j j
1mam 1a 1 11a 2 21a 3 3 a 1
a a 2mam 2a 12a 2 22a 3 a 2 im m
i
3mam3a 13a 2 23a 3 3 a 3
如果e 1 ，e 2，e 3 是相互正交的单位矢量，则有 ei e j ij
变到 x1, x2 , x3 时，它们又是如何变换的。
如果变量系在变量xi中只有一个分量Φ，在变量 x 中i 只有一
个分量 ，并且在对应点，Φ 和 相等，则称为数量场。
(x1,x2,x3) (x1,x2,x3)
矢量与张量
连续介质力学基础
数量、向量和张量的解析定义
如果变量系在变量xi中有三个分量 i ，在变量x i 中有三个分
/
ei )
xi/ ijxj
矢量与张量
连续介质力学基础
一般坐标变换
一组独立的变量x1, x2, x3 可以一点在某一参考标架中的坐标。
通过方程 xi fi(x1,x2,x3) 把变量x1, x2, x3 变成一组新的变
量 x1, x2 , x3 这就规定了一个坐标变换。
逆变换 xi gi(x1,x2,x3)
绪论
连续介质力学基础
连续介质力学中的“基元”
时空系：
时间和空间是运动物体的客观存在形式。空间 表示物体的形状、大小和相互位置关系；时间 表示物体运动过程的顺序。
为描述物体的运动，需要在时间和空间中选取一特 定的标架，作为描述物体运动的的基准，这种标架 称为时空系。
绪论
连续介质力学基础
连续介质力学中的“基元”
连续介质力学(固体力学)讲解
力以及它们与固体、液体及气体 的平衡、变形或 运动的关系。
连续介质力学 连续介质力学（Continuum mechanics）是物
理学（特别的，是力学）当中的一个分支，是处 理包括固体和流体的在内的所谓“连续介质”宏
观 性质的力学。
3
固体：固体不受外力时，具有确定的形状。固体包括不可变形的 刚体 和可变形固体。刚体在 一般力学 中的 刚体力学 研究；连续介 质力学中的 固体力学 则研究可变形固体，在应力，应变等外在因素 作用下的变化规律，主要包括 弹性 和 塑性 问题。
9
二、现代力学的发展及其特点
1、现代力学的发展
材料与对象： 金属、土木石等 新型复合材料、 高分子材料、 结构陶瓷、功能材料。
尺 度：宏观、连续体 含缺陷体，细、微观、 纳米尺度。
实验技术： 电、光测试实验技术 全息、超声、 光纤测量，及实验装置的大型化。
10
应用领域：航空、土木、机械、材料生命、微电 子技术等。
使工程结构分析技术；（结合CAD技术） 监测、控制技术（如振动监测、故障诊断）； 工程系统动态过程的计算机数值仿真技术； 广泛应用至各工程领域。
材料设计：按所要求的性能设计材料。(90年代)
13
智能结构： 90年代开始，力学与材料、控制（包括 传感与激励）、计算机相结合，研究发展面向21世纪 的、具有“活”的功能的智能结构。
塑性 ：应力作用后，不能恢复到原来的形状，发生永久形变。 弹性 ：应力作用后，可恢复到原来的形状。 流体 ：流体包括 液体 和 气体 ，无确定形状，可流动。流体最重 要的性质是 粘性 （viscosity，流体对由剪切力引起的形状的抵抗 力，无粘性的 理想气体 ，不属于流体力学的研究范围）。从理论研 究的角度，流体常被分为 牛顿流体 和 非牛顿流体 牛顿流体 ：满足 牛顿粘性定律 的流体，比如水和空气。 非牛顿流体 ：不满足 牛顿粘性定律 的流体，介乎于固体和牛顿 流体之间砄物质形态。
连续介质力学 连续介质力学（Continuum mechanics）是物
理学（特别的，是力学）当中的一个分支，是处 理包括固体和流体的在内的所谓“连续介质”宏
观 性质的力学。
3
固体：固体不受外力时，具有确定的形状。固体包括不可变形的 刚体 和可变形固体。刚体在 一般力学 中的 刚体力学 研究；连续介 质力学中的 固体力学 则研究可变形固体，在应力，应变等外在因素 作用下的变化规律，主要包括 弹性 和 塑性 问题。
9
二、现代力学的发展及其特点
1、现代力学的发展
材料与对象： 金属、土木石等 新型复合材料、 高分子材料、 结构陶瓷、功能材料。
尺 度：宏观、连续体 含缺陷体，细、微观、 纳米尺度。
实验技术： 电、光测试实验技术 全息、超声、 光纤测量，及实验装置的大型化。
10
应用领域：航空、土木、机械、材料生命、微电 子技术等。
使工程结构分析技术；（结合CAD技术） 监测、控制技术（如振动监测、故障诊断）； 工程系统动态过程的计算机数值仿真技术； 广泛应用至各工程领域。
材料设计：按所要求的性能设计材料。(90年代)
13
智能结构： 90年代开始，力学与材料、控制（包括 传感与激励）、计算机相结合，研究发展面向21世纪 的、具有“活”的功能的智能结构。
塑性 ：应力作用后，不能恢复到原来的形状，发生永久形变。 弹性 ：应力作用后，可恢复到原来的形状。 流体 ：流体包括 液体 和 气体 ，无确定形状，可流动。流体最重 要的性质是 粘性 （viscosity，流体对由剪切力引起的形状的抵抗 力，无粘性的 理想气体 ，不属于流体力学的研究范围）。从理论研 究的角度，流体常被分为 牛顿流体 和 非牛顿流体 牛顿流体 ：满足 牛顿粘性定律 的流体，比如水和空气。 非牛顿流体 ：不满足 牛顿粘性定律 的流体，介乎于固体和牛顿 流体之间砄物质形态。
连续介质力学
连续介质力学的应用领域包括：工 程力学、流体力学、固体力学、生 物力学等。
连续性假设：假设介质是连续的没 有空隙或裂缝
各向同性假设：假设介质在各个方 向上都是相同的
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
均匀性假设：假设介质在各个方向 上都是均匀的
小变形假设：假设介质的变形很小 不会影响其物理性质
流体：不可压缩、连续、无固定形状的 物质如空气、水等
多尺度连续介质力学：研究不同尺度下的连续介质力学问题如分子动力学、介观力学等
跨学科连续介质力学：与其他学科交叉如生物力学、环境力学等
计算连续介质力学：发展高效的计算方法和软件解决复杂问题如流体动力学、固体力学 等
PRT SIX
连续介质力学是研究流体和固体力学 的重要学科
连续介质力学的特点包括：连续性、 守恒性、对称性等
研究方法：数学模型、数值 模拟、实验验证等
研究对象：连续介质如液体、 气体、固体等
基本概念：应力、应变、位 移、速度、加速度等
应用领域：工程力学、流体 力学、固体力学等
PRT THREE
弹性力学的定义：研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科 弹性力学的基本假设：连续性假设、小变形假设、均匀性假设、各向同性假设 弹性力学的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程 弹性力学的应用：工程结构设计、地震工程、材料科学等
,
汇报人：
CONTENTS
PRT ONE
PRT TWO
连续介质力学是研究连续介质（如 液体、气体、固体等）在力作用下 的变形、流动和应力分布的学科。
连续介质力学的研究内容包括：应 力、应变、变形、流动、热传导等。
添加标题
添加标题
添加标题
连续介质力学基础第三章
or vi xi t
速度定义
加速度
2 2 v u x w(a , t ) 2 2 t t t
6
物质导数:即随体导数,给定质点上函数对时间的变化率.
t F (a , t ) f ( x , t ) f ( x , t ) f x t a t a t x x t t a
9
例1: 已知位移场 u1 m2t 2a1 , u2 u3 0 (Lagrange)
m 2t 2 u1 x , u2 u3 0 2 2 1 1 m t
(Euler)
w 求速度场 v 和加速度场
解:
v1 u1 2m 2ta1 , v2 v3 0 t v w1 1 2m 2 a1 , w2 w3 0 t
1) 速度(Lagrange形式)
2) 速度(Euler形式) Du u v (v )u Dt t Dui ui u vi ( x , t ) vk i Dt t xk
v v ( x, t ) v ( x1 , x2 , x3 , t ) 为瞬时速度场. vi ( x, t ) vi ( x1 , x2 , x3 , t )
分量形式:
曲面
f1 ( x1, x2 , x3 , a) 0 f2 ( x1 , x2 , x3 , a) 0
a 迹线
15
消去时间 t
欧拉描述的迹线:
Dx x (a, t ) 轨迹与速度的联系: v ( x, t ) Dt t a
dx1 v1 ( x , t ) v1 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt dx2 v2 ( x , t ) v2 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt dx3 v3 ( x , t ) v3 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt
速度定义
加速度
2 2 v u x w(a , t ) 2 2 t t t
6
物质导数:即随体导数,给定质点上函数对时间的变化率.
t F (a , t ) f ( x , t ) f ( x , t ) f x t a t a t x x t t a
9
例1: 已知位移场 u1 m2t 2a1 , u2 u3 0 (Lagrange)
m 2t 2 u1 x , u2 u3 0 2 2 1 1 m t
(Euler)
w 求速度场 v 和加速度场
解:
v1 u1 2m 2ta1 , v2 v3 0 t v w1 1 2m 2 a1 , w2 w3 0 t
1) 速度(Lagrange形式)
2) 速度(Euler形式) Du u v (v )u Dt t Dui ui u vi ( x , t ) vk i Dt t xk
v v ( x, t ) v ( x1 , x2 , x3 , t ) 为瞬时速度场. vi ( x, t ) vi ( x1 , x2 , x3 , t )
分量形式:
曲面
f1 ( x1, x2 , x3 , a) 0 f2 ( x1 , x2 , x3 , a) 0
a 迹线
15
消去时间 t
欧拉描述的迹线:
Dx x (a, t ) 轨迹与速度的联系: v ( x, t ) Dt t a
dx1 v1 ( x , t ) v1 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt dx2 v2 ( x , t ) v2 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt dx3 v3 ( x , t ) v3 ( x1 , x2 , x3 , t ) dt
连续介质力学
b1
=
1 H1
g1
bi
=
1 Hi
gi
b2
=
1 H2
g2
b3
=
1 H3
g3
则 bi 为正交曲线坐标系的标准化正交基。
因此，显然有
ei
⋅ej
=
bi
⋅bj
= δij
=
⎧1 ⎨⎩0
i= j i≠ j
（2.1.4） （2.1.5）
质量守恒定律（非相对论，牛顿力学观点）； 能量守恒（热力学定律）； 有限变形及连续性条件（几何方程）。 2）材料本构方程 不同材料具有不同特性是材料属性，这属性称为本构属性。本构属性的描述为本构方 程。在本课程中，只讨论本构方程的框架（形式）。 具体本构方程只有通过实验得出，本构方程包含：①应力、应变关系；②材料常数。 本课程中，研究本构方程框架所应用的基本理论为： ① 基本连续介质热力学的内变量理论； ② 基于理性化公理的本构方程原理。 所得到的本构方程框架具有本构方程的指导原则。 非线性方面在下面两个方面反映： ① 有限变形—称为几何非线性。 ② 本构方程非线性—称为物理（材料）非线性。 若同时考虑以上两个方面的非线性因素，则称为双非线性问题。
2．空间的维数
设α i 为 m 个标量，若能选取α i ，使得
m
∑αiai = 0
i =1
（2.1.1）
且α i 不全为零，则称此 m 个矢量线性相关，否则，称为线性无关。
例 1 位于同一平面内的两个矢量 a1 和 a2 （如图
2.1.1）是线性无关的，即
a1
α1a1 + α2a2 ≠ 0 （α1 和α 2 可为任意值，
3．本课程的特点
① 普遍性； ② 严密性（只有一个基本假设，物理定律和公理作为依据）； ③ 溶入于连续介质热力学； ④ 对连续介质的本构方程作框架的理论研究。
3.连续介质力学
sin r x cos r y
空间坐标
v x R R T x xT xT Ω x xT xT
Ω R RT
二维问题
0 Ω 12
角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量
2 变形和运动
运动描述
在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的， 并且没有必要。在固体力学中，应力一般依赖于变形和它的历史， 所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立 变量是材料坐标X 和时间t。
位移
u X , t Φ X , t Φ X , 0 Φ X , t X x X
2 变形和运动
( X , t)
在初始域和当前 域 域之间的映射
初始构形 当前构形
X X iei X iei
i 1
n SD
材料点的位置矢量
x xi e i xi e i
i 1
n SD
ei 直角坐标系的单位基矢量，xi 位置矢量的分量。
2 变形和运动
运动描述
空间坐标
x Φ X , t 或 x i i X , t
f x, t d
0
f ΦX, t , t Jd 0
或
fd
0
fJd 0
二维域
f x, y dxdy
0
f X , Y JdXdY
Jacobian行列式的材料时间导数给出为
DJ Jdiv v J vi J Dt xi
左散度
div v v i x j y k z v1i v 2 j v3 k v v v 1 2 3 x y z
空间坐标
v x R R T x xT xT Ω x xT xT
Ω R RT
二维问题
0 Ω 12
角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量
2 变形和运动
运动描述
在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的， 并且没有必要。在固体力学中，应力一般依赖于变形和它的历史， 所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立 变量是材料坐标X 和时间t。
位移
u X , t Φ X , t Φ X , 0 Φ X , t X x X
2 变形和运动
( X , t)
在初始域和当前 域 域之间的映射
初始构形 当前构形
X X iei X iei
i 1
n SD
材料点的位置矢量
x xi e i xi e i
i 1
n SD
ei 直角坐标系的单位基矢量，xi 位置矢量的分量。
2 变形和运动
运动描述
空间坐标
x Φ X , t 或 x i i X , t
f x, t d
0
f ΦX, t , t Jd 0
或
fd
0
fJd 0
二维域
f x, y dxdy
0
f X , Y JdXdY
Jacobian行列式的材料时间导数给出为
DJ Jdiv v J vi J Dt xi
左散度
div v v i x j y k z v1i v 2 j v3 k v v v 1 2 3 x y z
第三连续介质力学之张量分析
2 fxx 0 x 2 y 2 fy y 0 y 2 x 2 0 xy xy
（3）考察边界条件：无体力、无面力，
（4）结论：线性函数对应于无荷载的情况，应力函数 Ф 的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。
2. 二次函数
考察其能解决的问题。 （1）检查Φ 是否满足 4 0
4
1) ax
2
4
x
2
4 2
2
x y
4
4
y
0
能被满足
（2）根据（2—23）求出应力分量{；
2 fxx 0 x 2 y 2 f y y 2a y 2 x 2 0 xy xy
x
4
2
4
x y
v y
u y
xy
3、物理方程
x
E
2
(
x
y
)
y
1
E
2
(
y
x
)
应力用 位移表示
xy
2 (1 )
E u ( x 2 1 x E v ( y 2 1 y E v xy ( 2(1 ) x
u y u y
)] s f x )] s f y
(
( S S )
us u ( S S u ) vs v
未知函数—应力、 应变、位移
位移分量
u,v
（3）考察边界条件：无体力、无面力，
（4）结论：线性函数对应于无荷载的情况，应力函数 Ф 的线性项不影响应力分布，研究问题时可舍去。
2. 二次函数
考察其能解决的问题。 （1）检查Φ 是否满足 4 0
4
1) ax
2
4
x
2
4 2
2
x y
4
4
y
0
能被满足
（2）根据（2—23）求出应力分量{；
2 fxx 0 x 2 y 2 f y y 2a y 2 x 2 0 xy xy
x
4
2
4
x y
v y
u y
xy
3、物理方程
x
E
2
(
x
y
)
y
1
E
2
(
y
x
)
应力用 位移表示
xy
2 (1 )
E u ( x 2 1 x E v ( y 2 1 y E v xy ( 2(1 ) x
u y u y
)] s f x )] s f y
(
( S S )
us u ( S S u ) vs v
未知函数—应力、 应变、位移
位移分量
u,v
《连续介质力学》课件
动量矩守恒定律
描述物质系统动量矩变化规律的定律。
动量矩守恒定律也是连续介质力学中的基本定律之一。它指出在一个没有外力矩作用的封闭系统中，系统的总动量矩保持不 变。动量矩是系统动量和位置矢量的乘积，因此这个定律说明系统的旋转运动状态只与系统的初始状态有关，而与时间无关 。
能量守恒定律
描述物质系统能量变化规律的定律。
金属材料的疲劳和断裂 研究
01
02
03
复合材料的细观结构和 力学行为分析
04
无损检测和结构健康监 测技术
环境科学
01
土壤和岩石的力学性质研究
02
地质工程和地震工程中的稳定性分析
03
生态系统和自然资源的可持续性发展研究
04
环境流体力学的模拟和分析
06
连续介质力学的未来发展
新材料与新结构的挑战
新材料特性
能量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它在连续介质力学中也有重要应用。这个定律指出在一个 封闭系统中，系统的总能量保持不变。能量的形式可以包括动能、势能、内能等，但不论能量的形式 如何转化，总量始终保持不变。
熵增原理
描述系统无序程度变化规律的定律。
熵增原理是热力学中的基本定律之一，它指出在一个 封闭的热力学系统中，系统的熵（表示系统无序程度 的物理量）总是趋向于增加。也就是说，系统总是倾 向于向更加混乱和无序的状态发展，而不是向更加有 序和有组织的状态发展。这个原理在连续介质力学中 也有重要的应用，例如在研究流体和热传导等问题时 需要考虑熵增原理的影响。
THANKS
感谢观看
《连续介质力学》ppt课 件
• 连续介质力学概述 • 连续介质力学的基本概念 • 连续介质力学的物理定律 • 连续介质力学的数学模型 • 连续介质力学的应用领域 • 连续介质力学的未来发展
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变形梯度 （重要应用之一） 将当前构形和参考构形上的积分联系起来
f x, t d f ΦX, t , t Jd
0
0
或
fd fJd0
0
二维域
f x, y dxdy f X , Y JdXdY
0
Jacobian行列式的材料时间导数给出为
数学
+
力学
+
第3章 连续介质力学 1. 引言 2. 变形和运动 3. 应变度量 4. 应力度量 5. 应变率及框架不变性 6. 守恒方程 7. Lagrangian守恒方程
1. 引 言
1 引言
连续介质力学的目的就是提供有关流体、固体和组织结 构的宏观行为的模型。 它们的属性和响应可以用空间变量的平滑函数来表征，至 多具有有限个不连续点。 它忽略了非均匀性，诸如分子、颗粒或者晶体结构。
2. 变形和运动
2 变形和运动
本课程只考虑正交 直角坐标系，不区 分协变、逆变基矢
x ( X , t)
在初始域和当前域 之间的映射
初始构形 当前构形
Hale Waihona Puke X X i ei X i ei
i 1
nSD
材料点的位置矢量
x xi ei xi ei
i 1
nSD
ei -直角坐标系的单位基矢量，xi -位置矢量的分量。
位移
uX, t ΦX, t ΦX,0 ΦX, t X x X
ui xi X i
速度
v X , t
ui i X j , t X i
Φ X , t u X , t u t t
速度是材料点的位置矢量的变化率－材料时间导数
矢量场的左梯度
f f f gradf f i x j y k z
2 变形和运动
运动描述
空间变量 x 和时间 t 的任何函数的材料时间导数可以 通过链规则得到 对于标量函数 和张量函数
f x, t
ij x, t
2 变形和运动
运动条件
连续可微，一对一（F可逆），J > 0 第一个条件，变形梯度通常在材料的界面上是非连续的。在 某些现象中，例如扩展裂纹，运动本身也是非连续的。要求在运 动及其导数中非连续的数量是有限的。实际发现，有些非线性解 答可能拥有无限数量的非连续。然而，这些解答非常罕见，不能 被有限元有效地处理，所以不关注这些解答。 第二个条件，即运动为一对一的，要求在参考构形上的每一 点，在当前构形上有唯一的点与之对应，反之亦然。这是 F 规则 的必要充分条件，即F是可逆的。当变形梯度F是正常的， 则 J 0 ，因为当且仅当 J 0 时F的逆才存在。因此，第二个和 第三个条件是有联系的，后者更强。 第三个条件，更强的条件， J 必须为正而不仅非零，在第 3.5.4节看到这遵循了质量守恒。这个条件在零尺度集合上也可能 违背，例如在一个裂纹的表面上，每一个点都成为了两个点。
材料坐标左 梯度的转置
直角坐标系下二维的变形梯度给出为
x1 x X 2 X x2 y X 2 X
x Y y Y
F 的行列式用J 表示，称作Jacobian行列式或变形梯度行列式
J det F
2 变形和运动
sin r x cos r y
t X x X, t R T t x
或
t X x i X, t R Ti t x ij j
空间坐标
RT x x x R T Ω x xT x T vx T
vi DJ J Jdivv J Dt xi
左散度
divv v i x j y k z v1i v2 j v3k v v v 1 2 3 x y z
2 变形和运动
其材料时间导数给出为
Df f f f f vi v f v grad f Dt t xi t t
D ij Dt
ij t
vk
ij xk
σ σ v σ v grad σ t t
v x , x v grad v vx , y vy,x vy, y
2 变形和运动
运动描述
空间坐标
x Φ X , t 或 xi i X , t
当参考构形与初始构形一致时，在 t ＝ 0 时刻任意点处 的位置矢量 x 与其材料坐标一致
X xX,0 ΦX,0
一致映射
ΦX, t
材料坐标 X i 为 常 数 值 的 线 被 蚀 刻 在 材 料 中 ， 恰 似 Lagrangian网格；它们随着物体变形，当在变形构形中观察时， 这些线就不再是 Cartesian 型。这种观察方式下的材料坐标被 称为流动坐标。但是，当我们在参考构形中观察材料坐标时， 它们不随时间改变。建立的方程是在参考构形上观察材料坐标， 因此以固定的Cartesian坐标系推导方程。
运动条件
一个刚体的运动包括平动和绕原点的转动，刚体转动与坐标转 换的关系为
xX, t Rt X xT t xi X, t Rij t X j xTi t
1 T Rij Rij Rij
RT R I
R1 RT ,
转动是正交变换的一个例子，R是正交矩阵。图示一个矩形单 元的Lagrangian网格的刚体转动，可以看出单元的边发生转动，但 是边与边之间的夹角保持不变。单元的边是X 或Y 坐标为常数的直 线，所以在变形构形中观察时，当物体转动时材料坐标也转动。
Good for material laws
x x X ,t
EULERIAN
Relation between observer and ‘spatial unit’ fixed in time Good for laboratory measurements
Material volume material point
非线性有限元
第3章 连续介质力学
庄 茁 柳占立
2016年10月13日
绪论 连续介质力学 （Ch.3) 完全的Lagrangian有限元格式（Ch.4) 更新的Lagrangian有限元格式（Ch.4)
应力率及应力更新（Ch.3、5)
本构关系 （Ch.5) 显式求解方法和稳定性 （Ch.6) 隐式求解方法和稳定性 （Ch.6) 数值 方法
Dvi x, t vi x, t vi x, t j X, t vi vi vj Dt t x j t t x j
Dvx, t vx, t v v v v grad v Dt t t
对流项、迁移项
角速度
RT Ω R
二维问题
0 Ω 12
角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量
12 0 0 3 3 0
动力学教材中的刚体运动方程
ω x xT vT vx
例3.1
3节点三角形有限元，设节点的运动为
x 1 t y1 t 0 x 2 t 21 at cos
t
2 t x3 t 1 btsin , 2
,
2 t y 3 t 1 bt cos 2
y 2 t 21 atsin
t
(1)
求解变形梯度F和Jacobian行列式为时间的函数， J det F 当Jacobian行列式保持常数时求出a和b的值。
Control volume Spatial point
2 变形和运动
运动描述：（几个基本量，两种导数）
在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的， 并且没有必要。在固体力学中，应力一般依赖于变形和它的历史， 所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立 变量是材料坐标X 和时间t。
加速度
vX, t 2 uX, t aX, t v t t 2
2 变形和运动
运动描述：
独立变量是空间坐标 x 和时间 t，称为空间或Eulerian描述
v v( x, t ) vΦX, t , t
通过链规则得到材料时间导数 （全导数）
空间时间导数
左梯度矩阵
2 变形和运动
小结： u = displacement u=x−X x is the current position = (x, y) in 2D X is the reference position = (X, Y ) in 2D x also denotes spatial (Eulerian) coordinates X also denotes material (Lagrangian) coordinate
运动条件
除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射
ΦX, t
满足以下连续性条件： 连续可微，一对一（F可逆），J > 0
这些条件保证函数足够平滑以至于满足协调性，即在变形物体中 不存在缝隙和重叠。然而，运动及其导数可以是非连续（如裂纹或界 面），或者在零尺度集合上具有非连续的导数，所以它是分段连续可 微的。附加上不包括零尺度集合的条件以考虑裂纹形成的可能性。 在形成裂纹的表面上，上述条件不满足。零尺度集合在一维情况 中是点，在二维中是线，三维中是平面，因为一个点具有零长度，一 条线具有零面积，一个表面具有零体积。
一个 L 网格的刚体转 动，显示在参考(未变形) 构形和当前(变形)构形中 观察到的材料坐标。
2 变形和运动
二维问题 运动
f x, t d f ΦX, t , t Jd
0
0
或
fd fJd0
0
二维域
f x, y dxdy f X , Y JdXdY
0
Jacobian行列式的材料时间导数给出为
数学
+
力学
+
第3章 连续介质力学 1. 引言 2. 变形和运动 3. 应变度量 4. 应力度量 5. 应变率及框架不变性 6. 守恒方程 7. Lagrangian守恒方程
1. 引 言
1 引言
连续介质力学的目的就是提供有关流体、固体和组织结 构的宏观行为的模型。 它们的属性和响应可以用空间变量的平滑函数来表征，至 多具有有限个不连续点。 它忽略了非均匀性，诸如分子、颗粒或者晶体结构。
2. 变形和运动
2 变形和运动
本课程只考虑正交 直角坐标系，不区 分协变、逆变基矢
x ( X , t)
在初始域和当前域 之间的映射
初始构形 当前构形
Hale Waihona Puke X X i ei X i ei
i 1
nSD
材料点的位置矢量
x xi ei xi ei
i 1
nSD
ei -直角坐标系的单位基矢量，xi -位置矢量的分量。
位移
uX, t ΦX, t ΦX,0 ΦX, t X x X
ui xi X i
速度
v X , t
ui i X j , t X i
Φ X , t u X , t u t t
速度是材料点的位置矢量的变化率－材料时间导数
矢量场的左梯度
f f f gradf f i x j y k z
2 变形和运动
运动描述
空间变量 x 和时间 t 的任何函数的材料时间导数可以 通过链规则得到 对于标量函数 和张量函数
f x, t
ij x, t
2 变形和运动
运动条件
连续可微，一对一（F可逆），J > 0 第一个条件，变形梯度通常在材料的界面上是非连续的。在 某些现象中，例如扩展裂纹，运动本身也是非连续的。要求在运 动及其导数中非连续的数量是有限的。实际发现，有些非线性解 答可能拥有无限数量的非连续。然而，这些解答非常罕见，不能 被有限元有效地处理，所以不关注这些解答。 第二个条件，即运动为一对一的，要求在参考构形上的每一 点，在当前构形上有唯一的点与之对应，反之亦然。这是 F 规则 的必要充分条件，即F是可逆的。当变形梯度F是正常的， 则 J 0 ，因为当且仅当 J 0 时F的逆才存在。因此，第二个和 第三个条件是有联系的，后者更强。 第三个条件，更强的条件， J 必须为正而不仅非零，在第 3.5.4节看到这遵循了质量守恒。这个条件在零尺度集合上也可能 违背，例如在一个裂纹的表面上，每一个点都成为了两个点。
材料坐标左 梯度的转置
直角坐标系下二维的变形梯度给出为
x1 x X 2 X x2 y X 2 X
x Y y Y
F 的行列式用J 表示，称作Jacobian行列式或变形梯度行列式
J det F
2 变形和运动
sin r x cos r y
t X x X, t R T t x
或
t X x i X, t R Ti t x ij j
空间坐标
RT x x x R T Ω x xT x T vx T
vi DJ J Jdivv J Dt xi
左散度
divv v i x j y k z v1i v2 j v3k v v v 1 2 3 x y z
2 变形和运动
其材料时间导数给出为
Df f f f f vi v f v grad f Dt t xi t t
D ij Dt
ij t
vk
ij xk
σ σ v σ v grad σ t t
v x , x v grad v vx , y vy,x vy, y
2 变形和运动
运动描述
空间坐标
x Φ X , t 或 xi i X , t
当参考构形与初始构形一致时，在 t ＝ 0 时刻任意点处 的位置矢量 x 与其材料坐标一致
X xX,0 ΦX,0
一致映射
ΦX, t
材料坐标 X i 为 常 数 值 的 线 被 蚀 刻 在 材 料 中 ， 恰 似 Lagrangian网格；它们随着物体变形，当在变形构形中观察时， 这些线就不再是 Cartesian 型。这种观察方式下的材料坐标被 称为流动坐标。但是，当我们在参考构形中观察材料坐标时， 它们不随时间改变。建立的方程是在参考构形上观察材料坐标， 因此以固定的Cartesian坐标系推导方程。
运动条件
一个刚体的运动包括平动和绕原点的转动，刚体转动与坐标转 换的关系为
xX, t Rt X xT t xi X, t Rij t X j xTi t
1 T Rij Rij Rij
RT R I
R1 RT ,
转动是正交变换的一个例子，R是正交矩阵。图示一个矩形单 元的Lagrangian网格的刚体转动，可以看出单元的边发生转动，但 是边与边之间的夹角保持不变。单元的边是X 或Y 坐标为常数的直 线，所以在变形构形中观察时，当物体转动时材料坐标也转动。
Good for material laws
x x X ,t
EULERIAN
Relation between observer and ‘spatial unit’ fixed in time Good for laboratory measurements
Material volume material point
非线性有限元
第3章 连续介质力学
庄 茁 柳占立
2016年10月13日
绪论 连续介质力学 （Ch.3) 完全的Lagrangian有限元格式（Ch.4) 更新的Lagrangian有限元格式（Ch.4)
应力率及应力更新（Ch.3、5)
本构关系 （Ch.5) 显式求解方法和稳定性 （Ch.6) 隐式求解方法和稳定性 （Ch.6) 数值 方法
Dvi x, t vi x, t vi x, t j X, t vi vi vj Dt t x j t t x j
Dvx, t vx, t v v v v grad v Dt t t
对流项、迁移项
角速度
RT Ω R
二维问题
0 Ω 12
角速度张量或角速度矩阵 偏对称张量也称作反对称张量
12 0 0 3 3 0
动力学教材中的刚体运动方程
ω x xT vT vx
例3.1
3节点三角形有限元，设节点的运动为
x 1 t y1 t 0 x 2 t 21 at cos
t
2 t x3 t 1 btsin , 2
,
2 t y 3 t 1 bt cos 2
y 2 t 21 atsin
t
(1)
求解变形梯度F和Jacobian行列式为时间的函数， J det F 当Jacobian行列式保持常数时求出a和b的值。
Control volume Spatial point
2 变形和运动
运动描述：（几个基本量，两种导数）
在流体力学中，根据参考构形来描述运动通常是不可能的， 并且没有必要。在固体力学中，应力一般依赖于变形和它的历史， 所以必须指定一个未变形构形，普遍采用Lagrangian描述，独立 变量是材料坐标X 和时间t。
加速度
vX, t 2 uX, t aX, t v t t 2
2 变形和运动
运动描述：
独立变量是空间坐标 x 和时间 t，称为空间或Eulerian描述
v v( x, t ) vΦX, t , t
通过链规则得到材料时间导数 （全导数）
空间时间导数
左梯度矩阵
2 变形和运动
小结： u = displacement u=x−X x is the current position = (x, y) in 2D X is the reference position = (X, Y ) in 2D x also denotes spatial (Eulerian) coordinates X also denotes material (Lagrangian) coordinate
运动条件
除了在有限数量的零度量集合上，假设描述运动和物体变形的映射
ΦX, t
满足以下连续性条件： 连续可微，一对一（F可逆），J > 0
这些条件保证函数足够平滑以至于满足协调性，即在变形物体中 不存在缝隙和重叠。然而，运动及其导数可以是非连续（如裂纹或界 面），或者在零尺度集合上具有非连续的导数，所以它是分段连续可 微的。附加上不包括零尺度集合的条件以考虑裂纹形成的可能性。 在形成裂纹的表面上，上述条件不满足。零尺度集合在一维情况 中是点，在二维中是线，三维中是平面，因为一个点具有零长度，一 条线具有零面积，一个表面具有零体积。
一个 L 网格的刚体转 动，显示在参考(未变形) 构形和当前(变形)构形中 观察到的材料坐标。
2 变形和运动
二维问题 运动