四川省成都市状元廊学校2015届中考数学思维方法讲义 第4讲 反比例函数 应用问题

第4讲 反比例函数【今日目标】1、正确理解反比例函数ky x =中k 的几何意义，利用k 的几何意义解决有关面积问题．2、以正、、一次函数为框架，结合面积、全等与相似、四边形、勾股定理等知识，解决直线与双曲线的计算问题。

【精彩知识】专题一：直线与双曲线的交点问题【例1】（1）若反比例函数m y x =，当34x =-时，4y =-，求这个函数的解析式；（2）若一次函数2y kx =-的图象与（1）中的反比例函数my x=的图象有交点，求k 的取值范围。

●变式训练：1、如图，已知反比例函数ky x=与一次函数y x b =+的图象在第一象限相交于点(1,4)A k -+． （1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．2、（2013成都23，4分）若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a =-的图象与反比例函数32a y x+=的图象的公共点的个数为 。

★方法归纳：解决直线与双曲线的交点问题时，就是将 联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标；判断直线与双曲线有无公共点，可用 来确定。

专题二：用函数的图像解不等式【例2】已知一次函数m x y +=1的图象与反比例函数xy 62=的图象交于A 、B 两点，.已知当1>x 时，21y y >；当10<<x 时，21y y <.⑴求一次函数的解析式；⑵已知一次函数在第一象限上有一点C 到y 轴的距离为3，求△ABC 的面积.●变式训练： 1、已知反比例函数ky x=的图象过点(1,2)-，直线y x b =+经过第一、三、四象限。

（1）求反比例函数的解析式； （2）若直线y x b =+与反比例函数ky x=的图象只有一个公共点，求b 的值。

2、如图，一次函数2y kx =+的图象与反比例函数my x=的图象交于点P ，点P 在第一象 限．PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C 、D ，且S △PBD＝4，12OC OA=．（1）求点D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当0x >时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围.★方法归纳：专题三：反比例函数中最值问题 【例3】如图是反比例函数xky =的图象，且当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1。

（1）求该反比例函数的解析式；(2)若M 、N 分别在反比例函数图象的两支上，请指出什么情况下线段MN 最短（不需证明），并求出线段MN 长度的取值范围。

●变式训练：如图，正比例函数12y x =的图象与反比例函数ky x=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ∆的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.专题四：利用k 的几何意义解决有关面积问题 【例4】如图，已知动点A 在函数4(0)y x x=>的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD =AB ，延长BA 至点E ，使AE =AC 。

直线DE 分别交x 轴于点P ，Q 。

当49QE DP =：：时，图中阴影部分的面积等于_______●变式训练：(2012成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数xky =(k 为常数，且k >0)在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若mBF BE 1= (m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为S 1，△OEF 的面积为S 2，则21S S = ． (用含m 的代数式表示) O Mx A【思维拓展】【例5】一次函数b ax y +=的图像分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，与反比例函数xky =的图像相交于A 、B ，过点A 分别作AC ⊥x 轴，AE ⊥y 轴，垂足分别为C ,E ；过点B 分别作BF ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，垂足分别为F 、D ，AC 与BD 交与点K ，连接CD 。

（1）若点A 、B 在反比例函数xky =的图像的同一分支上，如图（1），试证明：①CFBK AEDK S S 四边形四边形=;② AN =BM ； （2）若点A 、B 分别在反比例函数xky =的图象的不同分支上，如图（2），则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论；（3）连结EF ,试判断EF 与MN 的位置关系，并说明理由。

【例6】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A 、B 和D 2(4,)3-.（1）求抛物线的解析式. （2）如果点P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 由点B 出发沿BC 边以1cm/s的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设S =PQ 2(cm 2)①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取54时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标.【课后测控】1、已知点A 在双曲线y=6x上，且OA=4，过A 作AC⊥x 轴于C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ．（1）则△AOC 的面积为 ，（2）△ABC 的周长为 。

第1小题图 第2小题图 第3小题图 2、如图，点A 在双曲线y ＝xk 的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为________． 3、如图所示，点1A 、2A 、3A 在x 轴上，且32211A A A A OA ==,分别过点1A 、2A 、3A 作y 轴的平行线，与分比例函数)0(8>=x xy 的图像分别交于点1B 、2B 、3B ，分别过点1B 、2B 、3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C 、2C 、3C ，连接1OB 、2OB 、3OB ,那么图中阴影部分的面积之和为 ．4、如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数ky x=(x ＞0)的图象经过点B ． (1)求k 的值；(2)将正方形OABC 分别沿直线AB 、BC 翻折，得到正方形MABC ′、MA ′BC ．设线段MC ′、NA ′ 分别与函数ky x=(x ＞0)的图象交于点E 、F ，求线段EF 所在直线的解析式．5、如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C （1，12）处．两直角边分别与x ，y 轴平行，纸板的另两个顶点A ﹑B 恰好是直线y =kx +92与双曲线y =mx（ m ﹥0）的交点．（1）求m 和k 的值;（2）设双曲线y =mx（ m ﹥0）在A ，B 之间的部分为L ，让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动， 两直角边始终与坐标轴平行且与线段AB 交于M ，N 两点，请探究是否存在点P 使得MN = 12AB ，写出你的探究过程和结论.6、已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等； （2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．部分答案：【例2】(1)根据题意，由图像可知点A 的坐标为（1，6），代人1y x m =+中，得，m =5,∴ 一次函数的解析式为：15y x =+（2）过点B 作直线BD 平行于x 轴，交AC 的延长线于D .∵点C 到y 轴的距离为3，∴C 点的横坐标为3. 又C在双曲线上，∴y =623=,即C （3，2） ∵直线y =x +5和双曲线6x交于点A , B .∴ 解方程组56y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得12126116x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，∴B （－6，－1） 设AC 的解析式为11y k x b =+，把点A （1，6），点C （3，2）代人得，1111623k b k b =+⎧⎨=+⎩解得，112,8k b =-=,∴y =2x +8. 当y =－1时－1=－2x +8,x =4.5,即点D （4.5，－1）∴．ABC ABD BCD S S S =-△△△=1211217-32222⨯⨯⨯⨯=21. 例4变式解析：过点A 、B 分别作AM ⊥x 轴于点M ，AN ⊥x 轴于点N.则⊿CBN ∽⊿CAM ，∴BN BC BC AM AC AB BC m1===+.设BN =h ，则AM =mh .由点A 、B 在反比例函数2y x =的图象上，∴ON h 2=，OM mh 2=.∴S ⊿OAB = S 四边形OABN － S ⊿OAM = S 四边形OABN － S ⊿OBN = S 梯形AMNB =2221-=(+)-=m AM +BN BN h mh h mh m1122（）（）. 【例6】解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D （4，—32）, 则解得∴抛物线的解析式为: 231612--=x x y --------------------4分(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ 2=PB 2+BQ 2=(2－2t)2 + t 2,即 S=5t 2－8t+4 (0≤t≤1) --------------------6分 ②假设存在点R, 可构成以P 、B 、R 、Q 为顶点的平行四边形.∵S=5t 2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当S=45时, 5t 2－8t+4=45,得 20t 2－32t+11=0, 解得 t =21 ，t =1011（不合题意，舍去）-------------------------------7分 此时点 P 的坐标为（1，-2），Q 点的坐标为（2，—23）若R 点存在，分情况讨论: 【A 】假设R 在BQ 的右边, 这时QRPB, 则，R 的横坐标为3, R 的纵坐标为—23 即R (3, －23)，代入231612--=x x y , 左右两边相等，∴这时存在R(3, －23)满足题意.【B 】假设R 在BQ 的左边, 这时PR QB, 则：R 的横坐标为1, 纵坐标为－23即(1, －23) 代入231612--=x x y , 左右两边不相等, R 不在抛物线上. 【C 】假设R 在PB 的下方, 这时PRQB, 则：R(1，—25)代入, 231612--=x x y 左右不相等, ∴R 不在抛物线上.综上所述, 存点一点R(3, －23)满足题意. ---------------------11分 （3）∵A 关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B 、D 的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M ，M 的坐标为（1，—38）课后测控6小题：（1）证明：设11()E x y ，，22()F x y ，，AOE △与FOB △的面积分别为1S ，2S ，由题意得11k y x =，22k y x =． 1111122S x y k ∴==，2221122S x y k ==．12S S ∴=，即AOE △与FOB △的面积相等．（2）由题意知：E F ，两点坐标分别为33kE ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，44k F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 1111432234ECF S EC CF k k ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△， 11121222EOF AOE BOF ECF ECF ECF AOBC S S S S S k k S k S ∴=---=---=--△△△△△△矩形11112212243234OEF ECF ECF S S S k S k k k ⎛⎫⎛⎫∴=-=--=--⨯-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△△2112S k k ∴=-+．当161212k =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，S 有最大值．131412S -==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最大值．（3）解：设存在这样的点F ，将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 边上的M 点，过点E 作EN OB ⊥，垂足为N ．由题意得：3EN AO ==，143EM EC k ==-，134MF CF k ==-， 90EMN FMB FMB MFB ∠+∠=∠+∠=，EMN MFB ∴∠=∠．又90ENM MBF ∠=∠=，ENM MBF ∴△∽△．EN EM MB MF ∴=，11414312311331412k k MB k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴==⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 94MB ∴=． 222MB BF MF +=，222913444k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得218k =．21432k BF ∴==． ∴存在符合条件的点F ，它的坐标为21432⎛⎫⎪⎝⎭，．。