1.1简单几何体
简单几何体
一、教学目标
了解简单旋转体和简单多面体的有关概念．
二、设计思路
1．本节通过具体实物图形的展示引出简单旋转体和简单多面体的有关概念.
2．本节是立体几何的基础课，是为学习立体几何的初步知识作的铺垫.
三、教学建议：
本节有两个知识点：简单旋转体和简单多面体的有关概念．
本节的重点是简单几何体的有关概念.
本节的难点是球面距离的理解.
本节的有关几何体，学生在小学、初中都有初步的认识，只是没给它们严格定义，教学时应结合学生
已有的知识进行．
１．本节主要介绍简单旋转体和简单多面体的有关概念，对它们的有关性质不作要求．
２．对于简单旋转体，重点介绍了球、圆柱、圆锥、圆台．球是一种常见的几何体，它是一种旋转体，教材是由它引入旋转体的定义的．圆柱、圆锥、圆台都是特殊的旋转体．
３．在球的有关概念教学时，应注意球体和球面的联系和区别，对地球有关的概念，如经线、纬线等，最好结合地球仪讲解，其中球面距离不易理解，要注意．
４．关于球、圆柱、圆锥、圆台的有关概念，最好结合多媒体加以形象演示，主要让学生体会旋转体
的动态形成过程．
５．教材中没对简单多面体下严格的定义，教学时不宜展开，只要求学生知道棱柱、棱锥、棱台属于
简单多面体就可以了．
６．本节概念较多，教师教学时应尽量结合教具和多媒体，使学生对有关概念有形象生动的认识．
小学数学 几何图形的认识.教师版
本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力． 几何图形的定义： 1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素． （1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置． （2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点． （3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有 尽头． （4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸 （5）两条直线相交： 两条直线相交，只有一个交点． （6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交． （7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边． （8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角． 教室里天花板上的角都是直角． 锐角比直角小，钝角比直角大． （9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点． 边 边 顶点 直角锐角钝角 顶角顶角 边边 角 角 角顶角 边 知识点拨
（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫 斜边． （11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外 的一条边叫”底”． （12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形． （13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)． （14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角． （15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角． （16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角． （17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等． （18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下 底，相等的两边叫腰． 直角边 斜边 直角边 腰 腰 底 直角边 直角边 斜边 腰腰 底边边 边 角 角 角 腰 腰 下底 上底
简单几何体、组合体专题训练
简单几何体、组合体专题训练 1.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽为8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为 （ ） A.288 π cm 3 B. 192 π cm 3 C. 288 π cm 3或 192 π cm 3 D.192π cm 3 2.把直径分别为6cm ，8cm ，10cm 的三个铜球先熔成一个大球，再将其削成一个最大的正方体，则这一正方体的体积为 . 3.轴截面是正方形的圆柱有一内接正四棱柱，已知圆柱的轴截面对角线长为 22cm ，则四棱柱的体积为（ ） A.4cm 3 B.8 cm 3 C.2πcm 3 D.4πcm 3 4.棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） A.33a B.34a C.36a D.3 12 a
5.已知一个直棱柱底面是菱形，面积为S ，两对角面的面积分别为m ，n ，求直棱柱的体积. 6.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱18AA =.若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过AC 、BC 、11AC 、11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高为多少？ 7.（全国1理16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 __________。 8.一个容器形如倒置的等边圆锥，如图所示，当所盛水深是容器高的一半时，将容器倒转，那么水深是容器高的（ ） A.31172+ B.3172 C.31172- D.31 173 -
9.在全面积为2a π的圆锥中，当底面半径为何值时圆锥体积最大，最大体积是多少？ 10.半径为r 的球放置于倒置的等边圆锥容器内，再将水注入容器内到水与球面相切为止，取出球后水面的高度是 . 11.直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，已知点P ，Q 分别为1AA ，1CC 上的点，而且满足1AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积是（ ） A.12 V B.13 V C.14 V D.23 V 12.一个正三棱锥的底面边长为a ，且三条侧棱两两垂直，求棱锥的体积. 13.四面体ABCD 中，5AB CD ==，41BC AD ==，34BD AC ==，求这个四面体的体积.
空间几何体的表面积和体积公式汇总表
空间几何体的表面积和体积公式汇总表 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.（1）圆柱的侧面展开图是一个 ，设底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （3）圆锥的侧面展开图是一个 ，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （4）圆台的侧面展开图是一个 ，设上、下底面圆半径分别为r '、r ，母线长为l ，那么上底面面积=上底S ，下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全2a ； (2)体积：V=312a ； (3)对棱中点连线段的长：d= 2 a ； (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径：R= a ； (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则1V ：2V 是（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为0120，已知 底面圆的半径为1，求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。 5.圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和π4的矩形，求圆柱的体积。 6.若圆台的上下底面半径分别为1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 10 7.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为（ ）
1.1简单几何体 教案 (高中数学必修二北师大版)
§1简单几何体 1．1简单旋转体 1．2简单多面体 (教师用书独具) ●三维目标 1．知识与技能 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)掌握简单几何体的分类． 2．过程与方法 通过对简单几何体结构的描述和判断，培养学生的观察能力和空间想象能力． 3．情感、态度与价值观 通过对简单几何体的学习，体会数学的应用价值，增加学生学习数学的兴趣． ●重点难点 重点：简单几何体的结构特征． 难点：简单几何体的分类． 教学时要从生活空间里各式各样的几何体的特点入手，引导学生观察、归纳出几何体的结构特征，进而认识旋转体与多面体，找准彼此的分类特征． (教师用书独具)
●教学建议 本节内容是学习立体几何的第一节，是对简单几何体的初步认识，为以后学习立体几何内容作好图形基础．本节课宜采用观察总结式教学模式，即在教学过程中，让学生观察现实生活的几何体，在老师的引导下，去认识简单的旋转体和简单的多面体，让学生观察、讨论、总结出各几何体的特征，让学生学会把具体生活空间几何体抽象到数学中的立体几何体． ●教学流程 创设问题情景，引出问题，旋转体与多面体的特征是什么？?引导学生结合现实空间几何体来认识圆柱、圆锥、圆台、球与棱柱、棱锥、棱台?通过例1及其互动探究，使学生掌握平面图形的旋转问题?通过例2及其变式训练，使学生掌握简单多面体的特征?通过例3及变式训练，使学生认识简单组合体的构成?归纳整理，进行课堂小结整体认识本节课所学知识?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正 观察下列图形 思考它们有什么共同特点？是怎样形成的？ 【提示】共同特点：组成它们的面不全是平面图形．可以由平面图形旋转而成． 1．旋转体的定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
知识点梳理-简单几何体
简单几何体 1.概念： 2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)侧面是平行四边形；(3)侧棱互相平行. 3.分类一：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 分类二：斜棱柱、直棱柱、正棱柱. 斜棱柱 正四棱柱 正六棱柱 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体. 1.概念： 2.结构特征：(1)有一个面是多边形(包括三角形)；(2)其余各面是有一个公共顶点的三角形. 3.分类：一般棱锥、正棱锥. 棱锥 正四棱锥 正四面体 正棱锥：底面为正多边形，公共顶点在底面的投影是底面中心的棱锥叫做正棱锥. 正四面体：各面都是等边三角形的三棱锥叫做正四面体 . 1.概念： 2.结构特征：(1)侧棱的延长线相交于一点；(2)侧面是梯形；(3)两底面互相平 行，两底面相似. 1.概念： 2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)任意两条母线都平行；(3)母线与底面垂直；(4)轴截面为矩形；(5)侧面展开图是矩形. 1.概念： 正四棱台 四棱台
2.结构特征：(1)所有母线相交于一点；(2)旋转轴与底面垂直；(3)轴截面为等腰三角形；(4)侧面展开图是扇形. 1.概念： 2.结构特征：(1)两底面互相平行；(2)母线的延长线相交于一点；(3)轴截面为等腰梯形；(4)侧面展开图是扇环. 1.概念： 2.结构特征：(1)球面是曲面，不能展开成平面图形；(2)球面上任一点与球心的连线都是半径. 大圆：经过球心的截面去截球面所得的圆称为大圆. 小圆：不经过球心的截面去截球面所得的圆称为小圆. 3.球的截面的性质： (1)球的截面是圆面； (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r 的关系是r= 4.两点间的球面距离：在球面上，两点之间的最短路线，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面的距离.
高考理科数学一轮复习分层练习第八章简单几何体的再认识(表面积与体积)
[基础题组练] 1．圆柱的底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D ．233 πS 解析：选A.由πr 2＝S 得圆柱的底面半径是S π，故侧面展开图的边长为2π·S π ＝2πS ，所以圆柱的侧面积是4πS ，故选A. 2．已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为( ) A ．5 B ． 5 C ．9 D ．3 解析：选B.因为圆锥的底面半径R ＝4，高h ＝3，所以圆锥的母线l ＝5，所以圆锥的侧面积S ＝πRl ＝20π.设球的半径为r ，则4πr 2＝20π，所以r ＝5，故选B. 3．(2020·安徽黄山一模)如图所示为某几何体的三视图，则几何体的体积为( ) A.1 2 B ．1 C.32 D ．3 解析：选B. 由主视图可得如图的四棱锥P -ABCD ，其中平面ABCD ⊥平面PCD . 由主视图和俯视图可知AD ＝1，CD ＝2，P 到平面ABCD 的距离为3 2. 所以四棱锥P -ABCD 的体积为V ＝13×S 长方形ABCD ×h ＝13×1×2×3 2＝1.故选B. 4．(2020·河南郑州三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.5π3 B ．4π3 C.π3 D ．2π3 解析：选D. 几何体是半个圆柱挖去半个圆锥所形成的，如图， 由题意可知几何体的体积为：12×12·π×2－13×12×12·π×2＝2π 3 .故选D. 5．(2020·广东茂名一模)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，D 1B 与DC 所成的角是60°，则长方体的外接球的表面积是( ) A ．16π B ．8π C ．4π D ．42π 解析：选A.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为DC ∥AB ，所以相交直线D 1B 与AB 所成的角是异面直线D 1B 与DC 所成的角． 连接AD 1，由AB ⊥平面ADD 1A 1，得AB ⊥AD 1，所以在Rt △ABD 1中，∠ABD 1就是D 1B 与DC 所成的角，即∠ABD 1＝60°，又AB ＝2，AB ＝BD 1cos 60°， 所以BD 1＝AB cos 60°＝4，设长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1外接球的半径为R ，则由长方体的 体对角线就是长方体外接球的直径得4R 2＝D 1B 2＝16，则R ＝2， 所以长方体外接球的表面积是4πR 2＝16π.故选A. 6．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是________．
简单几何体的体积
专题8.3 简单几何的表面积与体积思维导图
运用一 体积 【例1】（1）（2019·北京高二学业考试）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 （2）（2019·云南省玉溪第一中学高二月考）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） 3 B.336 D.36 （3）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） 知识讲解
A.1123 B.1363 C.48 D.56 【答案】（1）B （2）A （3）C 【解析】（1）因为AB AC ⊥，所以322ABC AB AC S ?= =V ； 所以11113232 ABC A B C ABC V S AA -=?=?=V ，故选：B. （2）由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为 ()1233322 +? =，高为2，因此，这个四棱锥的体积为1332332??=，故选：A. （3）根据三视图知，该几何体是平放的四棱柱，如图所示，且该四棱柱的底面为等腰梯形， 棱柱的高为4，它的体积为()12444482 V Sh ==?+??=．故选：C ． 【举一反三】 1．（2019·北京高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A ．22π B ．2π C ．22π D ．23π 【答案】A 【解析】底面圆周长22l r ππ==，1r = ，2S r ππ==所以222V Sh πππ==?=
空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3 、 台体 ① 棱台：h c c S )(2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2 、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥
3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球： r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 4 23 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得： PF PE AB CD =
空间几何体的表面积和体积公式汇总表
空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 1、圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πR2h (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 2、圆锥体: 表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]
体积:πR2h/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 3、正方体 a－边长,S＝6a2 ,V＝a3 4、长方体 a－长,b－宽,c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 5、棱柱 S－底面积h－高V＝Sh 6、棱锥 S－底面积h－高V＝Sh/3 7、棱台 S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3 8、拟柱体 S1－上底面积,S2－下底面积,S0－中截面积 h－高,V＝h(S1+S2+4S0)/6 9、圆柱 r－底半径,h－高,C—底面周长 S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C＝2πr S底＝πr2,S侧＝Ch ,S表＝Ch+2S底,V＝S底h＝πr2h 10、空心圆柱 R－外圆半径,r－圆半径h－高V＝πh(R^2-r^2) 11、直圆锥 r－底半径h－高V＝πr^2h/3
12、圆台 r－上底半径,R－下底半径,h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 13、球 r－半径d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/6 14、球缺 h－球缺高,r－球半径,a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝ πh2(3r-h)/3 15、球台 r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6 16、圆环体 R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4 17、桶状体 D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高 V＝πh(2D2＋d2)/12 ,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物线形) 1.直线在平面的判定 (1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面，则这条直线在平面. (2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα. (3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα. (4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.
8.2 - 简单几何体的表面积与体积
§8.2简单几何体的表面积与体积 2014高考会这样考 1.与三视图相结合，考查几何体的表面积、体积；2.作为解答题中的某一问，与空间线面关系相结合考查几何体体积的计算． 复习备考要这样做 1.熟记公式，理解公式的意义；2.结合几何体的结构特征，运用公式解决一些计算问题． 2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧 面积与底面面积之和． [难点正本疑点清源] 1．几何体的侧面积和全面积 几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小． 2．等积法 等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
1．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________． 2．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3. 3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 4．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a ，则球的表面积为________． 5.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点， 且PB 1＝1 4 A 1 B 1，则多面体P —BB 1 C 1C 的体积为________． 题型一 简单几何体的表面积 例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A ．48 B ．32＋817 C ．48＋817 D ．80 一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是 ________cm 2.
学高中数学立体几何初步简单几何体的再认识柱锥台的侧面展开与面积教师用书教案北师大版必修
§7简单几何体的再认识7．１柱、锥、台的侧面展开与面积 学习目标核心素养 １．通过对简单几何体侧面展开图的探究，了解侧面积公式 的由来． ２．准确掌握简单几何体的侧面积公式及推导方法．（重点） ３．掌握简单组合体侧面积和表面积的计算．（难点） １．通过对简单几何体侧面展开图的探究， 提升直观想象素养． ２．通过对简单几何体侧面积的计算，培养 数学运算素养. １．圆柱、圆锥、圆台的侧面积 几何体侧面展开图侧面积公式 圆柱 S圆柱侧＝２πrl r为底面半径 l为侧面母线长圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径 l为侧面母线长圆台 S圆台侧＝π（r１＋r２）l r１为上底面半径 r２为下底面半径 l为侧面母线长几何体侧面展开图侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长 h为高
正棱锥 S正棱锥侧＝错误!ch′ c为底面周长 h′为斜高，即侧面 等腰三角形的高正棱台 S正棱台侧＝错误!（c＋c′）h′ c′为上底面周长 c为下底面周长 h′为斜高，即侧面 等腰梯形的高 提示：柱、锥、台的表面积S表等于该几何体的侧面积S侧与底面积S底的和，即S表＝S侧＋S底．思考２：求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？ 提示：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径． １．矩形的边长分别为１和２，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为（）Ａ．１∶２Ｂ．１∶１Ｃ．１∶４Ｄ．４∶１ B[S１＝２π·１·２＝４π，S２＝２π·２·１＝４π，∴S１＝S２.] ２．若圆台的上下底面半径分别是１和３，它的侧面积是两底面面积和的２倍，则圆台的母线长是（） Ａ．２Ｂ．２．５C．５Ｄ．１0 C[S侧＝π（r１＋r２）l＝２（πr错误!＋πr错误!），∴l＝错误!＝５．] ３．已知正三棱锥底面边长为6，侧棱长为５，则此棱锥的体积为________． ３错误![∵正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为５， ∴底面的正三角形的面积为： S＝错误!×6×错误!＝9错误!，
空间几何体的表面积和体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3 、 台体 ① 棱台：h c c S )( 21 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1 、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2 、 锥体 ① 棱锥
② 圆锥 3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 ① 球：r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h '计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 423 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1
直线、平面、简单几何体2(人教A版必修2)
直线、平面、简单几何体2 一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分） 1．正方体ABCD—A 1B 1 C 1 D 1 中，P、Q、R分别是AB、AD、B 1 C 1 的中点。那么，正方 体的过P、Q、R的截面图形是（） A．三角形B．四边形C．五边形 D．六边形 2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正四面体的全面积为，则正方体的棱长为（） A． B．2 C．4 D． 3．表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A． B． C． D． 4．正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1底面边长是1，侧棱长是，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是（） A．90? B．60? C．45? D．30? 5．设三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 的体积为V，P、Q分别是侧棱AA 1 、CC 1 上的点，且PA=QC 1 ， 则四棱锥B-APQC的体积为
（A）（B）（C） （D） 6．设四个点P、A、B、C在同一球面上，且PA、PB、PC两两垂直，PA＝3，PB ＝4，PC＝5，那么这个球的表面积是（） A． B． C．25 D．50 7．已知△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120?，平面ABC外一点P满足PA＝PB ＝PC＝2，则三棱锥P－ABC的体积是（） A． B． C． D． 8．已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 （A）（B）（C）（D） 9已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A． B． C． D． 9.C
10．已知球O的表面积为4，A、B、C三点都在球面上，且每两点的球面距离均为，则从球中切截出的四面体OABC的体积是（） A． B． C． D． 11．棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C的距离是（）A． B． C． D． 12．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有 （A）18对（B）24对（C）30对（D）36对 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，P A＝A B＝2，则三棱锥B－PCD的体积为。 14．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④； ⑤.（i）当满足条件时，有；（ii）当 满足条件时，有.（填所选条件的序号）15．一个正方体的全面积为，它的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为。 16如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是 .
中小学几何图形周长、面积、体积计算公式汇总表
中小学几何图形 周长、面积、体积计算公式汇总 重要说明：周长——外周围的长度（单位：如m）；体积（容积）——空间（单位：如m3）面积——平面（单位：如m2）；侧面积——除底面外的表面积（单位：如m2） 一、平面图形： 1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 面积=长×宽S=ab 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 面积=边长×边长S== a2 3、三角形的周长=三边长之和C=a+b+d 面积=底×高÷2 S=ah÷2 4、平行四边形的周长=相邻两边之和的2倍C=(a+b)×2 ；面积=一边×这边上的高S=ah 5、梯形的周长=四边长之和C=a+b+d+e 面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 6、菱形周长=边长×4 C=4a 面积=对角线乘积的一半s=ab÷2 7、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr ；面积=圆周率×半径的平方S=π r2 环形的面积=π×（大半径的平方－小半径的平方） 半圆的周长= 2πr/2 + 直径= πr + 2r 8、扇形周长＝半径×2＋弧长C=2r+（n÷360）πR=2r+（n÷180）πr 面积S＝πR2n÷360=I/2lR （其中l为弧长） 二、立体图形： 1、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 体积=长×宽×高V =abh 2、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a 体积=棱长×棱长×棱长V= .a=a 3 3、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch ；体积=底面积×高V=Sh V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h 表面积=上下底面面积+侧面积S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 4、圆锥的体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3 附： 1、长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高V=Sh=π r2 h 2、弧度为弧长与半径之比。
高考理科数学一轮总复习第八章简单几何体的再认识(表面积与体积)
第5讲 简单几何体的再认识(表面积与体积) 一、知识梳理 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底h 锥 体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝1 3 S 底h 台 体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝1 3 (S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球 S ＝4πR 2 V ＝43 πR 3 常用结论 1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r ＝ 3 2a (a 为正方体的棱长)． (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝a 2(a 为正方体的棱长)． (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径r ＝2 2 a (a 为正方体的棱长).2.正四面体的外接球、内切球的球心和半径 (1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)．
(2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝6 4 a (a 为正四面体的棱长)． (3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝6 12 a (a 为正四面体的棱长)． 二、教材衍化 1．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________． 解析：S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， 所以r 2＝4，所以r ＝2. 答案：2 cm 2． 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________． 解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b × 12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝47 48 abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47. 答案：1∶47 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积； (2)考虑不周忽视分类讨论； (3)几何体的截面性质理解有误；
第六讲简单几何体的表面积与体积的计算
第六讲简单几何体的表面积与体积的计算第六讲简单几何体的表面积与体积的计算 一、四种常见几何体的平面展开图 1.正方体 沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。 图6─ｌ只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。 2.长方体 沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。 3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面
的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由 一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底 面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面 展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。 4.（直）圆锥体 沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥 体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为 圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一 个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见 图6—4。二、四种常见几何体表面积与体积公式 1.长方体 长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a） 长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。 2.正方体 正方体的表面积=6×a2 正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。
3.圆柱体 圆柱体的侧面积=2πRh 圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R） 圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。 4.圆锥体 圆锥体的侧面积=πRl 圆锥体的全面积=πRl+πR2 母线长与高）。 三、例题选讲 例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案 没画出来，请你给补上。 分析与解：从图6—5和图6—6中可知：与；与；与互相
简单几何体
简单几何体 知识网络 简单几何体结构简图 画龙点晴 概念棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体称为棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面, 其余各面叫做棱柱的侧面, 两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱, 侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线, 两个底面的距离叫做棱柱的高. 棱柱的分类: 按侧棱与底面的关系, 棱柱可分为: 斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱. 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 按底面的多边形的边数可分为: 底面是三角形、四边形、五边形??我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱?? 棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各顶点的字母表示, 或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示, 如五棱柱可表示为:棱柱ABCDE-A/ B/ C/ D/ E/ , 或棱柱AC/. 棱柱的性质： (1) 侧棱都相等, 侧面都是平行四边形； (2) 两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形； (3) 过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是平行四边形； 直棱柱的性质: 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 平行六面体: 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体. 长方体: 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体, 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和. 正方体: 棱长都相等的长方体叫做正方体.
公式 棱柱的侧面积和全面积 : 直棱柱的侧面积等于它的底面周长 C 与高 h 的乘积, 即S 直棱柱 Ch , 斜棱柱的侧 面积等于它的直截面 (垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面 )的周长 C 1 与侧棱长 l 的乘积 , 即 S 斜棱柱侧 C 1 l , 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和 . [活用实例 ] [例1] 如图，在平行六面体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知 AB=5，AD=4，AA 1=3， AB AD ， (1) 求证 : 顶点 A1在底面 ABCD 的射影 O 在∠ BAD 的平分线上 ; (2) 求这个平行六面体的表面积 . [ 题解 ](1) 如图 , 连结 A 1O, 则 A 1O ⊥底面 ABCD. 作OM ⊥AB 交AB 于M,作ON ⊥AD 交 AD 于N,连结 A 1M,A 1N. 由三垂线定理得 A 1M ⊥ AB,A 1N ⊥AD. ∵ ∠A 1AM=∠A 1AN,∴ Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA.∴ A 1M=A 1N. ∴ OM=ON. ∴ 点 O 在∠ BAD 的平分线上 . 13 (2) AM AA 1 cos 3 , 3 2 2 AN 3 , 2 3 3 侧面AB 1和侧面 DC 1的面积都等于 4 =6,侧面AD 1和侧面BC 1的面积都等于 5 =7.5, 22 又AB AD ， 两底面面积都等于 4 5=20， 平行六面体的表面积 为 2(6+7.5 )+20=47. [例2] 如图,A 1B 1C 1-ABC 是直三棱柱 ,过点A 1、B 、C 1的平面和平面 ABC 的交线记作 l . (1) 判定直线 A 1C 1和l 的位置关系 ,并加以证明 ; (2) 若 A 1A=1,AB=4,BC=3, ∠ ABC=90° , 求顶点到直线 [ 题解 ](1) 根据棱柱的定义知平面 A 1B 1C 1和平面 ABC 平行 . 由题设知直线 A 1C 1=平面A 1B 1C 1∩平面 A 1BC 1 ,直线 l =平面A 1BC 1∩平面 ABC. 根据两平面平行的性质定理有 l ∥A 1C 1. (2) 解法一 :过点A 1作A 1E ⊥ l 于E,则A 1E 的长为点 A 1到l 的距离 . 连结AE.由直棱柱的定义知 A 1A ⊥平面 ABC. ∴ 直线 AE 是直线 A 1E 在平面 ABC 上的射影 . 又 l 在平面 ABC 上,根据三垂线定理的逆定理有 AE ⊥l . A 1AB= A 1AD= ， 3 l 的距离 .
图形认识的理解与教学
图形认识的理解与教学 小学关于几何图形的教学主要分平面图形和立体图形两部分，正确理解与把握《标准》对图形认识的要求，分析学生学习这部分内容时的特点，对于课程的实施和目标的达成是十分重要的。 问题1 小学阶段图形认识教学的内容要求、特点和作用是什么 内容：在第一学段，《标准》要求“能根据具体事物、照片或直观图辩认从不同角度观察到的简单物体”，“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何休”，“能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”等，其中既涉及了对简单几何体的认识，也涉及了经过抽象后的三维图形和二维图形。 在第二学段，认识的图形增加了线段、射线和直线等一维图形；对角的认识扩大到了平角、周角，增加了梯形、扇形，对三角形的认识从一般三角形到等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等；三维图形的认识对象增加了圆锥。与其他二维、三维图形相比，点、直线、平面这些基本图形抽象的程度更高，因此必须结合对现实生活中的物体的抽象才能更好地理解它们。 《标准》关于“图形的认识”内容的安排，体现了从生活到数学，从直观到抽象，从整体到局部的特点，且三维、二维、一维图形交替出现，目标要求逐渐提高。 要求：图形认识的要求主要包括两个方面，一是对图形自身特征的认识，二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。 对图形自身特征认识，是进一步研究图形的基础。在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”。这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程，也符合学生的认知特点，逐渐深入，循序渐进。 对图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。 特点：《标准》要求的共同特点是通过观察与操作认识图形，直观地、整体地认识立体图形和平面图形。从对实物观察与操作过程来认识图形的特征和性质，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展能力，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感与态度。 作用：人类生活在三维的空间，了解探索和把握空间，能够使学生更好的生存活动和成长，儿童生下来，最选感知的应该是三维世界，人们认识周围事物的时候，常常都需要描述事物的形状、大小。几何图形性质，是我们准确描述现实世界、空间关系，解决学习生活和工作中各种问题的一个必备工具。比如说学习三角形的稳定特性，还有平行四边形的不稳定特性，都会帮助我们在生活中解决一些问题，所以图形与几何的教育价值，首先应该表现在学生更好的认识理解和把握生存空间。 图形认识的教学不仅能够有效的发展学生观察、操作、想象、分析推理的能力，而且能够让学生在这个过程当中，不断地云积累，能够从不同的角度认识图形，刻画现实世界，体验数学学习的乐趣，领悟数学的思想方法，感受数学推理的力量。同时图形的认识对于学生系统学习知识起了很大的作用，比如通过认识三角形来为学生进一步学习三角形的面积，还有第三学段学习三角形的特征及定理打下坚实的基础。 问题2 小学阶段图形认识教学有哪些方式和途径 1、注重儿童几何学习的经验 儿童在玩各种积木或玩具的过程中，在选择和使用各种生活用具的过程中，在接触到的各种自然现象中，甚至于他们在玩类似“过家家”的游戏中，逐渐感觉到了各种用具在几何方面的特点。