第5章 平面机构力分析及机械效率习题解答

第5章 平面机构力分析及机械效率
参考答案
5-1. 如图5-1所示机构中移动副的摩擦系数1.0=f ,转动副的当量摩擦系数0.15v f =,绳的两直线部分与斜面平行，且绳与滑轮间无滑动，滑轮半径mm R 100=,轴颈半径
mm r 30=,滑块重N Q 1000=,斜面倾角︒=30α，楔形半角︒=60θ。

求使滑块2匀速上
滑所需的拉力P 及机构的效率η。

解：
各支承反力如图所示。

因为斜面的当量摩擦系数sin 0.1sin 0.11560v f f θ===
∴ 当量摩擦角为0.115 6.587v v arctgf arctg ϕ===
转动副的摩擦圆半径为0.1530 4.5e f r mm ρ==⨯=
Q
R
以滑块2为受力体，列出平衡方程式：++=3212Q R R 0 做力封闭三角形
(
)
()
32
sin sin 90v v
R Q
αϕϕ=
+-
即
()
32sin cos v v
Q R αϕϕ+=
(a)
以滑轮3为受力体，列出力平衡方程式： 1323R P R =+ 2313P R R R
R ρ=+
解得 ()()
23R P R R ρρ+=- (b) 因2332R R =，将式(a)代入式(b)，得
()()()()()()100 4.5sin 30 6.587sin 1000
656.548cos 100 4.5cos 6.587v v
R P Q N R ραϕρϕ++++===--
理想状态下，0,0e f f ==，故0,0,v ϕρ== 得 ()0sin 1000sin 50030P Q N α===
该机构的效率为 ()()()
c o s s i n 76.16%s i n v v R P P R ρϕαηραϕ-=
=-=++ 5-2. 如图5-2所示的机构中，如已知转动副B A ,的轴颈半径为r 及当量摩擦系数v f ,且各构件的惯性力和重力均略去不计，试作出各运动副中总反力的作用线。

解：
4
5-3. 如图5-3所示的平底从动件偏心圆凸轮机构，已知Q 为生产阻力，转动副的摩擦圆及滑动摩擦角ϕ已示于图中，试求：
（1） 图中画出各运动副反力的作用线及方向； （2） 写出应加于凸轮上驱动力矩M 的表达式。

解：
（1）运动副反力的作用线及方向见图
（2）取构件2为分离体，力的平衡方程：3212++=Q R R 0
作力三角形得
12cos cos 2R Q
ϕϕ
= 取构件1为分离体： 312112
c o s c o s 2
Q R R R ϕ
ϕ===
31d l M R h μ=⋅ ，方向同13ω相同
32
R 12
90ϕ
+
5-4．（选作）如图5-4所示的四构件斜面机构，已知摩擦角为φ，求力P 为驱动力时的正行程不自锁而Q 为驱动力时反行程自锁的条件，并求反行程的效率关系式。

Q
P
解
（1）当P 为驱动力时（设为正行程），各支承反力的作用图如图所示。

滑块3的三力平衡方程式为：2343++=P R R 0 作力三角形得 ()
23sin 2cos R P βϕϕ
+=
(a)
由式(a)可知：23R 不可能为负值，即滑块3不会自锁。

滑块2的三力平衡方程式为：124232++=R R R 0， 作力三角形可得 ()3212cos 2cos(2)
R R βϕαϕ+=
- (b) 由式(b)可以看出，当290βϕ+>，即当290βϕ>-时，阻力12R 将为负值，此时滑块2将处于自锁状态。

滑块1的三力平衡方程式为：4121++=Q R R 0 作力三角形可得 ()
21sin 2cos R Q αϕϕ
-=
(c)
由式（c ）可见，当ϕα2<时，Q 为负值，此时滑块1处于自锁状态。

由以上分析可知，不论是290βϕ>-，还是ϕα2<，二者只要有一个条件成立，整个机构就自锁。

为了使正行程不自锁，则必须使290βϕ≤-和2αϕ≥同时得到满足。

（2）当Q 为驱动力时，为反行程。

只要将式(a),(b),(c)中的摩擦角ϕ变号，即可导出相应力的关系式。

对于滑块3，由式(a)可得
()
23sin 2cos R P βϕϕ
-=
（a ’）
当ϕβ2<时，阻力P 变为负值，滑块3自锁。

对于滑块2，由式
()b 可得
()
1232cos(2)
cos 2R R αϕβϕ+=
- (b ’)
当290αϕ+>时，即当902αϕ>-时，阻力32R 将为负值，滑块2将自锁。

对于滑块1，由式(c) 可得
()
21cos sin 2Q R ϕ
αϕ=
+ (c ’)
此式不可能取得负值，因此当Q 为驱动力时 ，滑块1不会自锁。

综合反行程的讨论可知，只要ϕβ2<或902αϕ>-成立，反行程将自锁。

把正反两行程的条件加以归纳：
（1） 正行程不自锁，则必须同时满足2αϕ≥和290βϕ≤- （2） 反行程不自锁，必须同时满足2βϕ≥和902αϕ≤- 上述分析结果，也可以通过效率分析得到：
（1）P 为驱动力时的正行程，由(a)、(b)和(c)三式得
实际驱动力()()
tan 2tan 2P Q βϕαϕ+=
-， 理想驱动力0tan tan P Q β
α=
则 ()()
0tan tan 2tan tan 2P P βαϕηαβϕ-=
=
+ 令0η≥，则有20αϕ-≥和290βϕ+≤，即2αϕ≥和902βϕ≤- 由此可见，机构不自锁的条件是：2αϕ≥和902βϕ≤- （2）Q 为驱动力时的反行程，由(a ’)、(b ’)和(c ’) 三式得
实际工作阻力()()
tan 2tan 2P Q βϕαϕ-=
+，理想工作阻力0tan tan P Q β
α=
则 ()()
0tan tan 2tan tan 2P P αβϕηβαϕ-'=
=
+ 令0η'≥，则有20βϕ-≥和290αϕ+≤，即2βϕ≥和902αϕ≤-。

由此可见，机构不自锁的条件是：2βϕ≥和902αϕ≤-。