双曲线的性质
双曲线的性质及应用
ab ab
O
x
例： (1)双曲线的共轭双曲线是 指以原来的实轴为虚轴 ， 虚轴为实轴的双曲线， 它和原双曲线有相同的 ？ x2 y2 y2 x2 双曲线: 2 2 1, 共轭双曲线: 2 2 1 a b b a
有相同的焦距和渐近线
(2)设连接共轭双曲线四个 顶点组成的四边形面积 为S1 , 连接四个焦点所组成的 四边形的面积为 S2，则 y S1 : S 2的 最大值是？
焦半径公式
x2 y2 双曲线：2 2 1(a 0, b 0)的焦点F1，F2 ， a b 且P(x0 , y0 )在椭圆上，
（ 1 ） | PF 1 || ex0 a |
| PF2 || ex0 a |
y 2 x2 双曲线：2 2 1(a 0, b 0)的焦点F1，F2 ， a b 且P(x0 , y0 )在椭圆上，
焦点三角形面积公式
x2 y2 y 双曲线：2 2 1( a 0, b 0), F1P F 2 ， a b
2 则PF F 的面积 b cot 1 2
设 | PF 1 | m, | PF 2 | n 1 S PF1F2 mn sin 2 又4c 2 m2 n2 2mncos
设内切圆切边 F1F2于G，切PF 1于H，切PF 2于K 若P在右支，则| GF1 | | GF2 |
1 | OC | | AF1 | 2 1 1 (2a | AF |) a | AF | 2 2
F1
O
A
C
F x
以AF为直径的圆与以实轴为 直径的圆外切
例：设双曲线左右焦点 是F1 , F2 , 左右顶点分别是 M，N， 若PF PF 1F2的顶点P在双曲线上，求证： 1F2的内切圆 与边F1F2的切点或者是 M，或者是N
双曲线性质
双曲线性质双曲线性质双曲线，数学术语，简称双曲线。
指具有两个渐近线的函数图形，即渐近线垂直相交的两条曲线，常用I表示。
其中渐近线是一组平行于x轴的直线，其距离为常数。
1。
任何双曲线都可以用“割线法”求出其渐近线。
2。
一般地，双曲线可以分为一般双曲线和极限双曲线。
3。
双曲线和圆有着密切的联系。
4。
双曲线的渐近线是由双曲线和一点构成的向量组成的一个平面区域。
5。
双曲线有无数条渐近线，由这些渐近线所围成的平面区域就是所谓的“双曲面”。
6。
双曲线有无数条渐近线，由这些渐近线所围成的平面区域就是所谓的“双曲面”。
7。
两个双曲线相交，它们的公共点就是交点;不在同一个单位球上的双曲线，它们的公共点也不是交点。
8。
任意两个双曲线都可以通过坐标轴化简为一个平面区域。
9。
已知任意两个双曲线的一个面积和另一个面积之比，那么它们的公共面积也可以求出来。
10。
两个双曲线相交，只要它们的面积之比不超过两个公共点之间的距离的平方，就可以说这两个双曲线相互平行。
11。
一条双曲线与两条直线相交，若一条双曲线在此直线的左方，则这两条直线在这条双曲线右方;若一条双曲线在此直线的右方，则这两条直线在这条双曲线的左方。
12。
如果双曲线的一支过(0， 1)，且方程是x=ax+b，另一支过(-1， 0)，且方程是x=bx+c，则两者在y轴的截距分别为|a-b|与|c-a|。
13。
若两双曲线相交，两双曲线的交点在(0， 1)，且方程是x=ax+b，则(-b， a)在双曲线y轴的截距为|-b|与|a-b|之和。
14。
设双曲线的一支过(a， b)，另一支过(0， -b)，且方程是x=ax+b，则y轴的截距为|a-b|与|-b|之差。
15。
若两条相交双曲线的交点在(0， b)，且方程是x=ax+b，则y轴的截距为|-b|与|-b|之和。
16。
若两双曲线相交，两双曲线的交点在(-b， a)，且方程是x=ax+b，则y轴的截距为|-b|与|a-b|之差。
双曲线的性质大总结
双曲线的性质大总结双曲线是数学中重要的曲线之一，具有许多独特的性质。
在本篇文档中，我们将对双曲线的性质进行详细总结并进行讨论。
什么是双曲线？双曲线是平面上的一类曲线，它由一对称轴和两个分支组成。
双曲线的定义基于其与两个焦点和到两个焦点的距离之差的关系。
具体地说，对于给定的两个焦点F1和F2以及一个常数c，双曲线是满足以下条件的点P的集合：|PF1 - PF2| = c其中，PF1表示点P到焦点F1的距离，PF2表示点P到焦点F2的距离。
双曲线的一般方程双曲线的一般方程可以表示为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，a和b是与双曲线有关的常数。
这个方程描述了双曲线的形状和大小。
双曲线的性质双曲线具有许多有趣的性质，其中一些将在以下部分进行讨论。
对称轴双曲线有两个对称轴，分别与双曲线的两个分支相切。
对称轴是双曲线的中轴线，过双曲线的焦点。
对称轴是双曲线的一条特殊直线，它将双曲线分成两个对称的部分。
焦点和直线双曲线有两个焦点，每个焦点都位于对称轴上。
焦点是到焦点距离之差与常数c之比的点。
对于给定的双曲线，焦点的位置和数量是固定的。
双曲线的两个焦点和对称轴之间的距离是双曲线的主要特征之一。
另外，双曲线还具有一个特殊的直线，称为渐近线。
渐近线是通过双曲线的两个分支趋向于无限远的点所形成的。
对于双曲线来说，渐近线的斜率接近于对称轴的斜率。
离心率离心率是描述双曲线形状的一个重要参数。
离心率定义为焦点到对称轴距离与焦点到双曲线上点P的距离之比，可以表示为：e = c / a其中，e是离心率，c是到焦点的距离之差，a是双曲线的半长轴长度。
离心率描述了双曲线的形状，它可以是小于1的实数。
离心率越小，双曲线的形状越扁平；离心率越大，双曲线的形状越窄长。
直角双曲线直角双曲线是离心率为根号2的双曲线。
它是一种特殊类型的双曲线，具有与坐标轴相交于直角的性质。
直角双曲线在自然和物理科学中经常出现，具有许多重要的应用。
双曲线的性质与方程解析
双曲线的性质与方程解析双曲线在数学中是一种常见的曲线类型，具有许多独特的性质与方程解析。
本文将探讨双曲线的基本定义、方程形式、性质特点以及解析方法等相关内容。
一、基本定义双曲线可以定义为平面上的一类曲线，其形状类似于打开的弓形或者两个分离的超越曲线。
具体来说，双曲线由两个分离的支线组成，每个支线都是非闭合的曲线。
二、方程形式双曲线的方程形式一般有两种常见情况：1. 标准方程：双曲线的标准方程可以表示为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或者(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
2. 参数方程：双曲线的参数方程形式可以表示为：x = a * secθ，y = b * tanθ 或者x = a * coshθ，y = b * sinhθ，其中θ是参数，a和b分别表示参数方程中的系数。
三、性质特点双曲线具有多个独特的性质和特点，包括：1. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别对应于横轴和纵轴方向无限延伸的情况。
这两条渐近线与曲线的分支永远不相交。
2. 焦点与准线：双曲线的焦点是曲线的特殊点，其定义决定了曲线的形状。
双曲线的准线是与焦点对称且与渐近线相切的直线。
3. 集中性质：双曲线的两个支线向外无限延伸，因此曲线逐渐集中于焦点附近。
这种集中性质在许多实际应用中都有重要的意义。
四、解析方法在解析几何中，双曲线的研究常常涉及到方程的化简、参数的确定以及曲线的绘制等问题。
以下是一些解析方法的示例：1. 方程化简：根据给定的曲线方程，可以通过代数运算将其整理为标准方程或者参数方程的形式，以便更好地研究曲线的性质。
2. 参数确定：在参数方程中，选择合适的参数取值范围，可以确定曲线的部分或者全部形状。
通过调整参数，可以观察曲线的变化情况。
3. 绘制曲线：利用计算机软件绘制双曲线图形是一种常见的方法。
通过选择适当的参数和绘图工具，可以清晰地展示双曲线的形态特征。
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的几何性质
双曲线的几何性质
双曲线是几何学中非常有趣的一类曲线，它形状十分壮观，常被广泛应用到许多不同的领域，例如机械设计、工业设计和计算机图形学等。
双曲线之所以能受到人们的独特关注，是因为它具有着独特的几何性质，这些性质具体如下：
1、双曲线无论在何处取一点，边缘上总是相同的准则来决定它的方向，因此称之为曲线的确定性性质。
这种性质决定了双曲线的方向跟某一点的距离是固定的，任何时候对曲线做相同的位移等价于对某一点做相同的位移，因而看起来双曲线的每一段都是一模一样的。
2、双曲线的另一种性质是它的宽度性质。
在双曲线上确定一点，然后在此点向两方平行平移某一个距离，不可能让它离原点越来越远，如果再加上长度性质，可以发现双曲线不会变宽。
3、另外，双曲线是没有重复部分的，也就是说双曲线是一种不局限的曲线，具有无限性质，永远不会重复。
4、双曲线具有反射性，这就是说可以以一个定点作为基准点，以这个点左右对称地折叠，双曲线的两端点可以映射到另一条线上。
5、最后，双曲线的斜率具有渐变性质，斜率逐渐增加，直到极限是无穷大。
双曲线拥有非常独特的几何性质，而这些性质也使得双曲线在很多不同的领域有着重要的应用价值。
根据上述描述可以知道，双曲线不仅独特，而且还有多种优越的特性，有很大的实用价值。
双曲线的定义和性质
双曲线的定义和性质
双曲线（Hyperbolic Curve）是数学中一种特殊的曲线，它具有两条反曲线（Hyperbolic curve），沿着直线封闭，它被认为是一种极限曲线，可以收敛到两个不同
的焦点。
虽然双曲线也称为平行双曲线，但它们可以按照任意方向曲折，但不会超过可以
认为是一个自治空间内的某个最大距离。
双曲线常用来描述流动的几何形状，可以用来解
释力的重力学传播效应。
（1）双曲线的最重要的性质就是它收敛到两个焦点，且这两个焦点之间的距离可以
通过一个称为双曲线的焦距的值来衡量。
（2）另外，双曲线完全由两个反曲线（Hyperbolic curves）组成，沿着直线封闭，
且双曲线具有节点，这些节点与直线联系在一起，称为切点，切点与双曲线的凹角相关联。
（3）此外，双曲线还具有两个定点，它们位于曲线上，且称为双曲线的交点，即双
曲线截止点。
双曲线的曲率（Curvature）取决于双曲线的焦距，曲率越大，双曲线的弯
曲越明显。
（4）双曲线的面积是负的，这意味着它的形状并不完全似圆，而是更加具有弯曲性，因此它在空间中形状更复杂。
（5）双曲线具有相反性，也就是说，当它在一个方向运行时，它会在相反的方向运行。
（6）另外，双曲线的拉伸性也很高，可以曲折的的角度和弯曲程度要比普通圆弧更大，这也使它具有很多实用价值。
（7）双曲线可以用于许多不同的几何计算，如极限几何的计算，倒立曲线的计算以
及复杂的曲面的几何计算。
双曲线的定义与性质
双曲线的定义与性质双曲线是二次曲线中的一种，它是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的定义和性质对于数学研究和应用都非常重要，下面将对双曲线的定义、性质和一些实际应用进行简要介绍。
一、双曲线的定义双曲线的定义可以通过两个焦点和常数的关系来描述。
假设平面上有两个给定的焦点F1和F2，并且设距离两个焦点的距离之差等于常数2a，那么满足这个条件的点的轨迹就是一条双曲线。
二、双曲线的方程双曲线的方程可以通过焦点的坐标和常数来表示。
设焦点F1的坐标为（c, 0），焦点F2的坐标为（-c, 0），则满足条件的双曲线的方程可以表示为：(x-c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1或者(x+c)^2/a^2 - (y-0)^2/b^2 = 1其中，a和b分别为双曲线的两个主轴，c为焦点到坐标原点的距离。
三、双曲线的性质1. 焦点与双曲线的关系：双曲线上的每个点到两个焦点的距离之差都等于常数2a，这个性质决定了双曲线的形状。
2. 双曲线的对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。
即当(x, y)是双曲线上的一个点时，(-x, y)、(x, -y)和(-x, -y)也是双曲线上的点。
3. 双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的两个分支无限靠近。
这两条渐近线的方程分别为y=(b/a)x和y=-(b/a)x。
4. 双曲线的焦点和定点：双曲线的焦点是双曲线的一部分，而焦点之间连线上的点叫做定点。
双曲线的定点到焦点的距离等于a。
四、双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。
1. 物理学中，双曲线可以用来描述相对论效应下的时间与空间的关系。
2. 工程学中，双曲线可以用来描述电磁波在天线中的传播特性。
3. 经济学中，双曲线可以用来描述供需均衡时的市场行为。
总结：双曲线是平面上到两个给定焦点的距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的方程可以用焦点的坐标和常数来表示。
双曲线具有一些特点，如焦点与双曲线的关系、双曲线的对称性、渐近线以及焦点和定点等。
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2
2
变题:将点P(1,1)改为
O
X
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1. 两条;y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点 ， 0 1， (异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是 _________
2 y 2.已知双曲线x 2 1左、右焦点分别为F1 , F2， 3 双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且
d,PF1 , PF2成等比数列，试求点P( L与双曲线的渐近线平行 或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交（两个交点） 直的位置关系:
①相交两点: △＞0 同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0 一点: 直线与渐进线平行 △=0
x2 y2 1 交于两点的直线斜率的 3.过原点与双曲线 4 3 3 3 取值范围是 ， ， 定理与点差法）
例2.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹； (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；
小结：
1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称
5.设y2 1.已知P为双曲线 1右支上的一点,F1 , F2 16 9 分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点 P( x0 , y相 离:
特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
且k 1 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ；
2 2
2
2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ；
5 (5)与左支个 1.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______ 条. （ 1， 1）
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0 牛牛文档分 享相交相切
相离
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b 牛牛文档分 享问题四：切点三角形
x y 1 上的一点P与左、右 例4、由双曲线 9 4 两焦点 F1、F2构成 PF 1F 2 ，求 PF 1F 2 的内切圆与
边F 1 F2 的切点坐标。
说明：双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形，其中 | PF | PF2 |和 | F1F2 | 1 |、 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关2 2 y 1(a 0) 与直线 l : x y 1 例5、设双曲线C： 2 a 相交于两个不同的点A、B。
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围。
5 （2）设直线l与y轴的交点为P，且PA 系种 类 Y
O X
种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点， 一个交点或两个交点) 牛牛文档分 享位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O X
相离:0个交点
Y相交:一个交点 牛牛文档分 享OX判断直线与双曲线位置关系的操作程序