【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线课件 理
山东省2016年高考数学(理)二轮专题复习课件：专题五 解析几何 第2讲
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热点一
直线与圆锥曲线的相交弦问题 弦长问题
[微题型 1]
x2 y2 【例 1－1】 (2015·聊城模拟)设椭圆 C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的 右焦点为 F，过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 → ＝2FB →. l 的倾斜角为 60° ，AF (1)求椭圆 C 的离心率； 15 (2)如果|AB|＝ 4 ，求椭圆 C 的方程.
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解
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知 y1y2＜0，F(c，0)，其中
c＝ a2－b2. (1)依题意，知直线 l 的方程为 y＝ 3(x－c)， 3（x－c）， y＝ 联立 x2 y2 得(3a2＋b2)y2＋2 3b2cy－3b4＝0. ＋ ＝1， a2 b 2 － 3b2（c＋2a） － 3b2（c－2a） 解得 y1＝ ，y2＝ . 2 2 2 2 3a ＋b 3a ＋b → ＝2FB → ，所以－y ＝2y ， 因为AF 1 2 3b2（c＋2a） － 3b2（c－2a） c 2 即 ＝2· .得离心率 e＝a＝3. 3a2＋b2 3a2＋b2
真题感悟· 考点整合
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考点整合
1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一 元二次方程.若 Δ＞0，则直线与椭圆相交；若 Δ＝0，则直线 与椭圆相切；若 Δ＜0，则直线与椭圆相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去 y(或 x)，得到一个一元 方程 ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0).
【3份】2016年高考数学(理)二轮复习课件：专题五 解析几何 共156张PPT
名 师 微 课
第7页
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·理
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式 要求直线不能与 x 轴垂直． 而截距式方程不能表示过原点的直线，
重 点 透 析
也不能表示垂直于坐标轴的直线．
名 师 微 学·理
(1)已知过点 A(－2， m)和 B(m,4)的直线与直线 2x＋y －1＝0 平行，则实数 m 的值为( A．0
重 点 透 析
直线过定点有关．
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第13页
大二轮专题辅导与增分攻略·二轮数学·理
[举一反三] π 1．已知直线 l 的方程为 xsin α＋ycos α＝0，其中2<α<π，则 直线 l 的倾斜角为(
重 点 透 析
) π B．α－2 3π D. 2 －α
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A．α C．π－α
第14页
[解析]
重 点 透 析
取直线 2x－y＋2＝0 上一点 A(0,2)， 设点 A(0,2)关于
名 师 微 课
a ＋b＋2－5＝0， 2 2 直线 x＋y－5＝0 对称的点为 B(a，b)，则 b－2 ＝1， a
a＝3， 得 b＝5，
解
∴B(3,5)．
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名 师 微 课
第6页
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2．两个距离公式 (1)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0， |C1－C2| l2：Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝ 2 . A ＋B2
重 点 透 析
(2) 点 (x0 ， y0) 到直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离公式 d ＝ |Ax0＋By0＋C| . 2 2 A ＋B
【优化方案】(山东专用)2016年高考数学二轮复习 第一部分高考热点追踪(五)课件 理
1 综上，直线 l 若与圆 x ＋ y ＝ 内有交点， 2
2 2
则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点， 1 即圆 x ＋ y ＝ 内的点都不是“ C1－ C2 型点”． 2
2 2
[名师点评 ] 将新定义的信息迁移题与圆锥曲线知识有机结 合，是具有时代气息的好题．求解新定义的信息迁移题的关 键是理解新定义的含义，并紧扣新定义的意义，学会语言的 翻译、新旧知识的转化，便可使问题顺利获解．
(1)在正确证明 C1 的左焦点是“ C1－ C2 型点”时， 要使用一条 过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程 (不要求验 证 )； (2)设直线 y＝ kx 与 C2 有公共点，求证：|k|>1，进而证明原点 不是“ C1－ C2 型点”； 1 (3)求证：圆 x ＋ y ＝ 内的点都不是“ C1－ C2 型点”． 2
解析几何中降低运算量常用的四种方法 中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观 点来研究曲线， 体现了用代数的方法解决几何问题的优越性， 但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的 速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．
一、巧用定义、揭示本质 定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥 曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结 合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的 水平上．
2 2
化简得 (1＋ t－ kt) ≥ 2k － 1，② 1 2 2 由①②得 2k － 1≤(1＋ t－ tk) < (k ＋ 1)⇒ k <1. 2
2 2
2
1 2 但此时，因为 t≥ 0， [1＋ t(1－ k)] ≥ 1， (k ＋ 1)<1， 2
2016届高考数学(江苏专用)二轮复习 专题五 解析几何 第2讲 圆锥曲线 (文科)
第2讲圆锥曲线【自主学习】第2讲圆锥曲线(本讲对应学生用书第47～50页)自主学习回归教材1. (选修2-1 P32练习3改编）已知椭圆的焦点分别为F1(—2，0），F2（2，0)，且经过点P53-22⎛⎫⎪⎝⎭，,则椭圆的标准方程为.【答案】210x+26y=1【解析】设椭圆方程为22xa+22yb=1,由题意得2222259144-4⎧+=⎪⎨⎪=⎩a ba b，，解得a2=10,b2=6，所以所求方程为210x+26y=1。
2。
（选修2-1 P47练习2改编)若双曲线的虚轴长为12,离心率为54，则双曲线的标准方程为.【答案】264x—236y=1或264y-236x=1【解析】由b=6，ca=54,结合a2+b2=c2，解得a=8,c=10，由于对称轴不确定，所以双曲线标准方程为264x-236y=1或264y-236x=1.3。
(选修2—1 P51例2改编）经过点P（—2，-4)的抛物线标准方程为.【答案】y2=-8x或x2=—y【解析】因为点P(-2，-4）在第三象限，所以满足条件的抛物线方程有两种情形。
y2=-2p1x或x2=—2p2y,分别代入点P的坐标,解得p1=4,p2=12,所以抛物线的标准方程为y2=-8x或x2=—y。
4. （选修2—1 P57练习5改编)已知抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M到y轴的距离为.【答案】2【解析】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,点M到焦点的距离为3，说明到准线的距离为3，所以点M到y轴的距离为2.5。
（选修2—1 P58练习8改编)设P（x，y)是椭圆22xa+22yb=1（a>b〉0）上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则PF1·PF2的最大值为。
【答案】a2【解析】因为PF1·PF2=PF1·（2a—PF1）=-P21F+2a PF1=-(PF1-a）2+a2，由于a-c≤PF1≤a+c，所以当PF1=a时，PF1·PF2有最大值a2。
优化方案高考理数二轮总复习讲义课件第一部分专题五 解析几何 第1讲
第二十三页，编辑于星期日：六点 二十九分。
专题五 解析几何
1．(2015·贵阳质检)已知圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心为
抛物线 y2＝4x 的焦点，直线 3x＋4y＋2＝0 与圆 C 相切，则
该圆的方程为( C )
A．(x－1)2＋y2＝6245
B．x2＋(y－1)2＝6245
8＝0}＝∅，则直线(m＋3)x＋y＝3m＋4 与坐标轴围成的三角
形面积是( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
栏目 导引
第十八页，编辑于星期日：六点 二十九分。
专题五 解析几何
解析：由于{(x，y)|(m＋3)x＋y＝3m－4}∩{(x，y)|7x＋(5－m)y －8＝0}＝∅，故直线(m＋3)x＋y＝3m－4 与直线 7x＋(5－m)y －8＝0 平行，则有 7×1＝(5－m)·(m＋3)且 7×(3m－ 4)≠8×(m＋3)．由 7×1＝(5－m)·(m＋3)整理得 m2－2m－8 ＝0，解得 m＝－2 或 m＝4.由 7×(3m－4)≠8×(m＋3)，得 m≠4，所以 m＝－2，故直线(m＋3)x＋y＝3m＋4 的方程为 x ＋y＝－2，交 x 轴于点(－2，0)，交 y 轴于点(0，－2)，故直 线(m＋3)x＋y＝3m＋4 与坐标轴围成的三角形面积是1×2×
直线 x＋y＋1＝0 垂直，所以直线 l 的斜率 k＝1.由点斜式得
直线 l：y－3＝x－0，化简得 x－y＋3＝0.
栏目 导引
第十五页，编若动点 A，B 分别在直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5 ＝0 上运动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( C )
栏目 导引
第二十二页，编辑于星期日：六点 二十九分。
高考数学(理)二轮复习提优导学案第一部分专题五解析几何开篇高考回眸
开篇高考回眸【考情分析】开篇高考回眸(本讲对应学生用书第40~41页)考情分析年份题号知识点分值2014年第9，17题直线与圆的位置关系、椭圆19分2015年第10，12，18题直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线、椭圆26分2016年第3，10，18题双曲线、椭圆、直线与圆26分江苏高考对解析几何的考查一般是两个填空题，一个解答题，总分值在26分左右，考查重点是直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、椭圆等.若填空题考查双曲线或抛物线，一般是容易题，若考查直线与圆或椭圆，一般是中档题.高考试题的解答题一般以直线和圆的位置关系或椭圆为背景命题，突出考查基础知识、基本技能，对运算能力要求较高，重点关注定点、定值、最值、范围和探索性问题.【真题再现】真题再现1.(2016·江苏第3题)在平面直角坐标系xOy中，双曲线27x-23y=1的焦距是.【答案】【解析】由题意知2c=2.(2014·江苏第9题)在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y-3=0被圆(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.【答案】5【解析】由题意知圆心为(2，-1)，半径r=2，圆心到直线的距离=5，则弦长==5.3.(2015·江苏第10题)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.【答案】(x-1)2+y2=2【解析】方法一：圆半径r=，由r2=22211m mm+++=1+221mm+≤2，知r≤，所以半径最大的圆为(x-1)2+y2=2.方法二：直线mx-y-2m-1=0过定点(2，-1)，该点必须不在以(1，0)为圆心的圆(x-1)2+y2=r2内，所以(2-1)2+(-1)2≥r2，从而r2≤2，即所求半径最大的圆为(x-1)2+y2=2.4.(2016·江苏第10题)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2 2 x a+22yb=1(a>b>0)的右焦点，直线y=2b与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是.(第4题)【答案】63【解析】由题意知焦点F的坐标为(c，0)，联立222212x ya bby⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解得x=±32a，故点B 的坐标为32a b⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，点C 的坐标为32a b⎫⎪⎪⎝⎭，.因为∠BFC=90°，所以B F·C F=0.又B F=3-22a bc⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，，C F=3-22a bc⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，所以c2-34a2+14b2=0.因为b2=a2-c2，所以34c2=12a2，即22ca=23，所以e=ca2363.5.(2015·江苏第12题)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为.(第5题)【答案】22【解析】方法一：如图，数形结合，双曲线右支上点P 到直线x-y+1=0的距离大于渐近线y=x 到x-y+1=0的距离22，即c 的最大值为22.方法二：设右支上点P 1tan cos αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，，-π2<α<π2，则点P 到直线x-y+1=0的距离d=1-tan 1cos 2αα+=2·1-sin 1cos αα+=2·222cos -sin 221cos -sin 22αααα⎛⎫ ⎪⎝⎭+=2·cos -sin 221cos sin 22αααα++=2·2cos2cos sin 22ααα+=2·cos2cossin22ααα+=2·11tan2α+>22，即c 的最大值为22.6.(2014·江苏第17题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆22x a +22y b=1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C.(1)若点C 的坐标为4133⎛⎫⎪⎝⎭，，且BF 22(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.(第6题)【解答】(1)因为点C 4133⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，所以2169a +219b =1，即216a +21b =9.因为B 22F =b 2+c 2=a 2，所以a 2=22=2，所以b 2=1，所以椭圆的方程为22x +y 2=1.(2)设焦点F 1的坐标为(-c ，0)，F 2的坐标为(c ，0)，因为点B 的坐标为(0，b )，所以直线BF 2的方程为y=-bc x+b.联立22221-x y a b b y x b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，整理得2211a c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 2-2c x=0，解得x=0或x=2222a c a c +.因为点A 的坐标为22222222-a c a bb ac a c ⎛⎫⎪++⎝⎭，，且A ，C 关于x 轴对称，所以点C 的坐标为22222222-a c a bb ac a c ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，， 所以1F C k =2222222-2a b b a ca cc a c +++=2223-3a b bc a c c +.因为AB ⊥CF 1，所以2223-3a b bc a c c +×-b c ⎛⎫⎪⎝⎭=-1，由b2=a2-c2，得2 2 c a=15，即e=55.7.(2016·江苏第18题)如图(1)，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得TA+TP=TQ，求实数t的取值范围.(第7题(1))【解答】圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25，所以圆心M(6，7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上，可设N(6，y0).因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，于是圆N的半径为y0，从而7-y0=5+y0，解得y0=1.所以圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(第7题(2))(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为4-02-0=2.设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离=如图(2)，因为2MC2=d2+22BC⎛⎫⎪⎝⎭，所以25=2(5)5m++5，解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2).因为A(2，4)，T(t，0)，TA+TP=TQ，所以21212-4.x x ty y=+⎧⎨=+⎩，①因为点Q在圆M上，所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②，得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.所以点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上，从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点，所以5-≤5+5，解得2-t≤2+所以实数t的取值范围是[2-2+.8.(2015·江苏第18题)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为2，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.(第8题)【解答】(1)由题意，得e=ca =22且c+2a c =3，解得2c=1，则b=1，所以椭圆的标准方程为22x +y 2=1.(2)当AB ⊥x 轴时，2CP=3，不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=k (x-1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(2k 2+1)x 2-4k 2x+2(k 2-1)=0，则x 1，2=2222(1)k k ±+，点C 的坐标为2222-1212k k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，， 且222121(-)(-)x x y y +2221(1)(-)k x x +=2222(1)12k k ++.若k=0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意；从而k ≠0，故直线PC 的方程为y+212kk +=-2212-12k x k k ⎛⎫⎪+⎝⎭，则点P 的坐标为2252-2(12)k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，，从而PC=222(31)1k k++.因为PC=2AB ，所以222(31)1k k ++=2242(1)12k k ++，解得k=±1.此时直线AB 的方程为y=x-1或y=-x+1.。
(全国通用)高考数学二轮复习 专题提分教程 第二编 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线练
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线「考情研析」 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).核心知识回顾1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M (l 为抛物线的准线方程)． 2．圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 ①在椭圆中：□01a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝c a＝1－b 2a 2； ②在双曲线中：□02c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a＝1＋b 2a2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为□03y ＝±b ax ；焦点坐标F 1□04(－c,0)，F 2□05(c,0)；②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为□06y ＝±a b x ，焦点坐标F 1□07(0，－c )，F 2□08(0，c )．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝±2px (p >0)的焦点坐标为□09⎝ ⎛⎭⎪⎫±p 2，0，准线方程为□10x ＝∓p 2； ②抛物线x 2＝±2py (p >0)的焦点坐标为□11⎝⎛⎭⎪⎫0，±p 2，准线方程为□12y ＝∓p 2. 3．弦长问题 (1)弦长公式设直线斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2|y 1－y 2|＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.(2)过抛物线焦点的弦长过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝□01x 1＋x 2＋p .热点考向探究考向1 圆锥曲线的定义和标准方程例1 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A ．2 B.7 C ．3 D.10 答案 B解析 设双曲线的右焦点为F ′，取MN 的中点P ，连接F ′P ，F ′M ，F ′N ，如图所示，由FN →＝3FM →，可知|MF |＝|MP |＝|NP |.又O 为FF ′的中点，可知OM ∥PF ′.∵OM ⊥FN ，∴PF ′⊥FN .∴PF ′为线段MN 的垂直平分线．∴|NF ′|＝|MF ′|.设|MF |＝t ，由双曲线定义可知|NF ′|＝3t －2a ，|MF ′|＝2a ＋t ，则3t －2a ＝2a ＋t ，解得t ＝2a .在Rt △MF ′P 中，|PF ′|＝|MF ′|2－|MP |2＝16a 2－4a 2＝23a ，∴|OM |＝12|PF ′|＝3a .在Rt △MFO 中，|MF |2＋|OM |2＝|OF |2， ∴4a 2＋3a 2＝c 2⇒e ＝7.故选B.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝92xD ．y 2＝9x 答案 B解析 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线与x 轴的交点为G ，|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°.在直角三角形ACE 中，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a,2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1. ∵BD ∥FG ，∴1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x .(3)已知F 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若|PF |＝2|QF |，且∠PFQ ＝120°，则椭圆E 的离心率为( )A.13B.12C.33D.22 答案 C解析 解法一：设F 1是椭圆E 的右焦点，如图，连接PF 1，QF 1.根据对称性，线段FF 1与线段PQ 在点O 处互相平分，所以四边形PFQF 1是平行四边形，|FQ |＝|PF 1|，∠FPF 1＝180°－∠PFQ ＝60°，根据椭圆的定义，|PF |＋|PF 1|＝2a ，又|PF |＝2|QF |，所以|PF 1|＝23a ，|PF |＝43a ，而|F 1F |＝2c ，在△F 1PF 中，由余弦定理，得(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2－2×23a ×43a ×cos60°，得c 2a 2＝13，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝33.故选C.解法二：设F 1是椭圆E 的右焦点，连接PF 1，QF 1.根据对称性，线段FF 1与线段PQ 在点O 处互相平分，所以四边形PFQF 1是平行四边形，|FQ |＝|PF 1|，∠FPF 1＝180°－∠PFQ ＝60°，又|FP |＝2|PF 1|，所以△FPF 1是直角三角形，∠FF 1P ＝90°，不妨设|PF 1|＝1，则|FP |＝2，|FF 1|＝2c ＝|PF |2－|PF 1|2＝22－12＝3，根据椭圆的定义，2a ＝|PF |＋|PF 1|＝1＋2＝3，所以椭圆E 的离心率e ＝ca ＝33.故选C.圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．(3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题．(4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去．1．(2019·某某省八所重点中学高三联考)已知曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆，曲线C 2是以O 为顶点、F 2为焦点的抛物线，A 是曲线C 1与C 2的交点，且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52，则△AF 1F 2的面积是( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．4答案 C解析 画出图形如图所示，AD ⊥F 1D ，根据抛物线的定义可知|AF 2|＝|AD |＝52，故cos ∠F 1AD ＝57，也即cos ∠AF 1F 2＝57，在△AF 1F 2中，由余弦定理得57＝494＋|F 1F 2|2－2542×72×|F 1F 2|，解得|F 1F 2|＝2或|F 1F 2|＝3，由于∠AF 2F 1为钝角，故|AD |>|F 1F 2|，所以|F 1F 2|＝3舍去，故|F 1F 2|＝2.而sin ∠AF 1F 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫572＝267，所以S △AF 1F 2＝12×72×2×267＝ 6.故选C.2．(2019·某某市高三第二次调研)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长PF 1交椭圆于点Q ，若PF 2⊥PQ ，且|PF 2|＝|PQ |，则椭圆的离心率为( )A.6－ 3B.2－1C.3－ 2 D ．2－ 2答案 A解析 PF 2⊥PQ 且|PF 2|＝|PQ |，可得△PQF 2为等腰直角三角形，设|PF 2|＝t ，则|QF 2|＝2t ，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －t,2t ＋2t ＝4a ，则t ＝2()2－2a ，在直角三角形PF 1F 2中，可得t 2＋(2a －t )2＝4c 2,4(6－42)a 2＋(12－82)a 2＝4c 2，化为c 2＝(9－62)a 2，可得e ＝c a＝6－ 3.故选A.3．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1答案 D解析 如图所示，设双曲线右焦点为F 2，则|PF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋|PQ |，即当|PQ |＋|PF 2|最小时，|PF 1|＋|PQ |取最小值，由图知当F 2，P ，Q 三点共线时|PQ |＋|PF 2|取得最小值，即F 2到直线l 的距离d ＝1，故所求最值为2a ＋1＝22＋1.故选D.考向2 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2019·某某市高三第二次调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x答案 A解析 由题意得，|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由于P ，M 关于原点对称，F 1，F 2关于原点对称，∴线段PM ，F 1F 2互相平分，四边形PF 1MF 2为平行四边形，PF 1∥MF 2，∵∠MF 2N ＝60°，∴∠F 1PF 2＝60°，由余弦定理可得4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos60°，∴c ＝3a ，∴b ＝c 2－a 2＝2a .∴b a＝2，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.(2)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．2C. 3D.52答案 A解析 设|QF 1|＝x ，则|PF 1|＝3x ，|PQ |＝2x ，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝3x －2a ，|QF 2|＝x ＋2a ，在Rt △QPF 2中，|QP |2＋|PF 2|2＝|QF 2|2，即(2x )2＋(3x －2a )2＝(2a ＋x )2，可得x ＝43a .在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3x )2＋(3x －2a )2＝(2c )2，整理可得c 2＝5a 2，所以e ＝c a＝ 5.故选A.1．椭圆、双曲线离心率(离心率X 围)的求解方法解决此类问题的关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的X 围等．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．③利用渐近线的斜率k 求离心率e ，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的斜率k 与离心率e 之间满足关系式e 2＝1＋k 2.1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，l 在y 轴上的截距为1，若|AF 1|＝2|F 1B |，且AF 2⊥x 轴，则此椭圆的短轴的长为( )A ．5B ．2 5C ．10 D. 5 答案 B解析 ∵AF 2⊥x 轴，l 在y 轴上的截距为1，∴A (c,2)，又|AF 1|＝2|F 1B |，∴B (－2c ，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋4b 2＝1，4c 2a 2＋1b 2＝1，∴16b2－1b2＝3，即b 2＝5，∴b ＝5，故选B.2．(2019·毛坦厂中学高三联考)已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM |＝2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A.1＋172 B.1＋174 C.2＋52 D.2＋54答案 A解析 由题意得，F (－c,0)，该双曲线的一条渐近线为y ＝－ba x ，将x ＝－c 代入y ＝－b ax 得y ＝bc a ，∴bc a ＝2a ，即bc ＝2a 2，∴4a 4＝b 2c 2＝c 2(c 2－a 2)，∴e 4－e 2－4＝0，解得e 2＝1＋172，故选A.考向3 直线与圆锥曲线 角度1 弦中点、弦分点问题例3 (1)已知椭圆E ：x 29＋y 24＝1，直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，则l 的方程为( )A ．2x ＋9y －10＝0B ．2x －9y －10＝0C ．2x ＋9y ＋10＝0D ．2x －9y ＋10＝0答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式作差并化简整理得y 2－y 1x 2－x 1＝－49×x 1＋x 2y 1＋y 2，而x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝－49×x 1＋x 2y 1＋y 2＝29，直线l 的方程为y －1＝29⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x －9y ＋10＝0.经验证可知符合题意．故选D.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线C 的离心率的最小值为________．答案 2解析 因为过右焦点F 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，故点A 在双曲线的左支上，B 在双曲线的右支上，如图所示．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c,0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，即3x 2－x 1＝2c ，由图可知，x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a,3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，故e ≥2，所以双曲线C 的离心率的最小值为2.(1)弦中点问题：在涉及圆锥曲线弦中点的问题中，基本的处理方法有两个：一是设出弦的端点坐标，使用“点差法”；二是设出弦所在的直线方程，利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，根据根与系数的关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决问题．(2)弦分点问题：解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为弦端点及弦分点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.32 C.355 D.52答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12,15)，则x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b2， 则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，所以4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝32，所以双曲线C 的离心率为32.故选B. 2．(2019·某某市重点中学高三联考)已知抛物线C ：y 2＝6x ，直线l 过点P (2,2)，且与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点恰好为点P ，则直线l 的斜率为( )A.13B.54C.32D.14 答案 C解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)代入C ：y 2＝6x ，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝6x 1， ①y 22＝6x 2， ②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．因为线段MN 的中点恰好为点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4，从而4(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)，即l 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝32.故选C. 角度2 弦长问题例4 (2019·某某市高三第二次诊断)已知点M 到定点F (4,0)的距离和它到直线l ：x ＝254的距离的比是常数45.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝9相切，切点N 在第四象限，直线与曲线C 交于A ，B 两点，求证：△FAB 的周长为定值．解 (1)设M (x ，y )，由题意得(x －4)2＋y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －254＝45，∴x 225＋y 29＝1为点M 的轨迹C 的方程．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知k >0，m <0，∵直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝9相切， ∴|m |k 2＋1＝3，即m 2＝9(k 2＋1)，把y ＝kx ＋m 代入x 225＋y 29＝1，得(25k 2＋9)x 2＋50kmx ＋25m 2－225＝0，显然Δ>0，x 1＋x 2＝－50km 25k 2＋9，x 1x 2＝25m 2－22525k 2＋9， ∴|AB |＝ k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－50km 25k 2＋92－4×25m 2－22525k 2＋9＝120k k 2＋125k 2＋9， |FA |＋|FB |＝5－45x 1＋5－45x 2＝10－45(x 1＋x 2)＝10＋40km 25k 2＋9＝10－120k k 2＋125k 2＋9， ∴|FA |＋|FB |＋|AB |＝10， ∴△FAB 的周长为定值10.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．(2019·某某省高三第一次统一检测)已知椭圆E 的中心在原点，左焦点F 1、右焦点F 2都在x 轴上，点M 是椭圆E 上的动点，△F 1MF 2的面积的最大值为3，在x 轴上方使MF 1→·MF 2→＝2成立的点M 只有一个．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(－1,0)的两直线l 1，l 2分别与椭圆E 交于点A ，B 和点C ，D ，且l 1⊥l 2，比较12(|AB |＋|CD |)与7|AB ||CD |的大小．解 (1)根据已知设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，c ＝a 2－b 2.在x 轴上方使MF 1→·MF 2→＝2成立的点M 只有一个，∴在x 轴上方使MF 1→·MF 2→＝2成立的点M 是椭圆E 的短轴的端点． 当点M 是短轴的端点时，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝3，MF 1→·MF 2→＝b 2－c 2＝2，c ＝a 2－b 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |.若直线AB 的斜率为0或不存在时，|AB |＝2a ＝4且|CD |＝2b2a＝3或|CD |＝2a ＝4且|AB |＝2b2a＝3.由12(|AB |＋|CD |)＝12×(3＋4)＝84，7|AB ||CD |＝7×3×4＝84，得12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |. 若AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB ：y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，于是|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝12(k 2＋1)4k 2＋3. 同理可得|CD |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋3＝12(k 2＋1)3k 2＋4.∴1|AB |＋1|CD |＝3k 2＋4＋4k 2＋312(k 2＋1)＝712. ∴12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |. 综上，12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |.真题押题『真题模拟』1．(2019·某某高考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 D解析 由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±b ax ，不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－b a，所以|AB |＝2b a＝4|OF |＝4，所以ba＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝c a＝ 5.故选D.2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝|BF 1|＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，∴点A 是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 D解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的焦点坐标为()±2p ，0.由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.4．(2019·某某市第一中学高三下学期模拟)已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F 为过AF 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( )A.13B.33C.12D.32 答案 B解析 延长AF 交椭圆于点B ，设椭圆左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′.根据题意|AF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝2|FB |，所以|FB |＝a 2.根据椭圆定义|BF ′|＋|BF |＝2a ， 所以|BF ′|＝3a2.在△AFF ′中，由余弦定理得cos ∠F ′AF ＝|F ′A |2＋|FA |2－|F ′F |22|F ′A |·|FA |＝2a 2－4c22a 2. 在△AF ′B 中，由余弦定理得cos ∠F ′AB ＝|F ′A |2＋|AB |2－|BF ′|22|F ′A |·|AB |＝13，所以2a 2－4c 22a 2＝13，解得a ＝3c ，所以椭圆离心率为e ＝c a ＝33.故选B. 5．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324 B.322C ．2 2D ．3 2答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A. 『金版押题』6．已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则|PQ |＋|PF |取最大值时，点P 的坐标为________．答案 (0，－1)解析 设椭圆的右焦点为E ，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋2a －|PE |＝|PQ |－|PE |＋2 2.当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，|PQ |＋|PF |取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1，QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P 的坐标为(0，－1)．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF →＝FN →，则双曲线的离心率为________．答案233解析 设右焦点F (c,0)，渐近线OM ，ON 的方程分别为y ＝b a x ，y ＝－b ax .不失一般性，设过F 的垂线为x ＝－b ay ＋c .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x ＝－ba y ＋c得y N ＝－bca1－b 2a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x ＝－b ay ＋c得y M ＝bca1＋b 2a 2.因为2M F →＝FN →，所以－2y M ＝y N ，即－2bc a 1＋b 2a 2＝－bca 1－b 2a2，易解得b 2a 2＝13，所以e ＝ 1＋b 2a2＝ 1＋13＝233.配套作业一、选择题1．(2019·某某市高三第一次模拟)已知双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，若|OA |<2，则双曲线C 的离心率的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫1，52C.⎝⎛⎭⎪⎫52，2 D ．(1，2)答案 C 解析 双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)中，右顶点为A (a 2＋1，0)，∴|OA |＝a 2＋1<2，∴1<a 2＋1<4，∴1>1a 2＋1>14，∵c 2＝a 2＋1＋1＝a 2＋2，∴c ＝a 2＋2，∴e ＝a 2＋2a 2＋1＝a 2＋2a 2＋1＝1＋1a 2＋1， ∴1＋14<e <1＋1，即52<e < 2.故选C. 2．若圆锥曲线C ：x 2＋my 2＝1的离心率为2，则m ＝( ) A ．－33 B.33 C ．－13 D.13答案 C解析 因为圆锥曲线C 的离心率为2，故为双曲线，所以m <0，方程为x 2－y 2－1m＝1，所以a 2＝1，b 2＝－1m ，c 2＝1－1m ，e ＝2，∴1－1m ＝4，∴m ＝－13.故选C.3．(2019·德阳市高三第二次诊断)已知抛物线x 2＝2py (p ≠0)的准线与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则抛物线的方程为( )A ．x 2＝－4yB ．x 2＝－8yC ．x 2＝2yD ．x 2＝－4y 或x 2＝4y答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，抛物线x 2＝2py (p ≠0)的准线为y ＝－p2，∵抛物线x2＝2py (p ≠0)的准线与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，∴－p2＝2，解得p ＝－4.抛物线方程为x 2＝－8y .故选B.4．(2019·某某维吾尔族自治区普通高考第二次适应性检测)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，若在椭圆上存在一点P ，使得△PF 1F 2的内心I 与重心G 满足IG ∥F 1F 2，则椭圆的离心率为( )A.22 B.23 C.13 D.12答案 D解析 设P (x 0，y 0)，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则△PF 1F 2的重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03，y 03.因为IG ∥F 1F 2，所以△PF 1F 2的内心I 的纵坐标为y 03.即△PF 1F 2的内切圆半径为|y 0|3.由△PF 1F 2的面积S ＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)r ，S ＝12|F 1F 2||y 0|及椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得12(2a ＋2c )|y 0|3＝12×2c |y 0|，解得e ＝12.故选D.5．过双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的左焦点的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且|AB |＝6，这样的直线可以作2条，则b 的取值X 围是( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(0，6]D ．(0，6)答案 D解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦，且过一个焦点只能作一条，所以过左焦点的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，|AB |＝6，且可作两条，则要求2b2a<6，a＝2，即b 2<6，又b >0，故b 的取值X 围为(0，6)，故选D.6．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为26，则|AB |＝( )A ．24B ．8C ．12D ．16答案 A解析 由题意可知斜率k 存在，设直线斜率为k ，即y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立，得k 2x2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.∵O 到AB 的距离d ＝|k |1＋k 2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4k 2＋4k 2，∴26＝12·|k |1＋k2·4k 2＋4k 2，∴k 2＝15，∴|AB |＝45＋415＝24.故选A. 7．已知双曲线x 23－y 2＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两个不同的点，点M (2,2)是AB 的中点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积是( )A ．4 3B ．313 C.14 D ．2 3答案 D解析 ∵双曲线右焦点为(2,0)， ∴抛物线焦点为(2,0)，∴y 2＝8x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2. ∴直线AB 斜率为2，又过点M (2,2)，∴直线AB 方程为y ＝2x －2.将直线AB 方程与y 2＝8x 联立得x 2－4x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，∴|AB |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5×16－4＝215.又∵O 到AB 的距离d ＝25＝255.∴S △AOB ＝12×215×255＝2 3.故选D. 8．(2019·南开中学高三第三次教学质量检测)如图，抛物线C 1：y 2＝4x ，圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1，过C 1的焦点F 的直线从上至下依次交C 1，C 2于点A ，B ，C ，D .若|FD |＝|AB |，O 为坐标原点，则OF →·DA →＝( )A ．－2B ．1C ．4D ．2 3答案 B解析 由题可设A (a 2,2a )，D (d 2,2d )，其中a >0，d ＜0.又焦点F (1,0)，所以|FD |＝1＋d 2，|FA |＝1＋a 2，所以|AB |＝|FA |－|FB |＝a 2，由题得1＋d 2＝a 2，所以a 2－d 2＝1.所以OF →·DA →＝(1,0)·(a 2－d 2,2a －2d )＝a 2－d 2＝1，所以OF →·DA →＝1.故选B.二、填空题9．(2019·某某市长郡中学高三上学期第一次适应性考试)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与y 轴交于点D ，过点F 作直线交抛物线E 于A ，B 两点，若AB ⊥AD 且|BF |＝|AF |＋4，则p 的值为________．答案 2解析 当k 不存在时，直线与抛物线不会交于两点．当k 存在时(如图)，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.则有x 21＝2py 1，x 22＝2py 2， 联立直线与抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，整理得x 2－2pkx －p 2＝0，所以x 1x 2＝－p 2，x 1＋x 2＝2pk ，所以y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫kx 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋p 2＝p 24，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 1，p2－y 1，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 1，－p 2－y 1又AB ⊥AD ，所以－x 1(－x 1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2－y 1＝0，整理得x 21＋y 21＝p 24，即2py 1＋y 21＝p 24，解得y 1＝5－22p . 因为y 1y 2＝p 24，所以y 2＝5＋22p ， 又|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，代入|BF |＝|AF |＋4得，y 2＋p 2＝y 1＋p2＋4.解得p ＝2.10．已知椭圆x 216＋y 24＝1上的两点A ，B 关于直线2x －2y －3＝0对称，则弦AB 的中点坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，12解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M (x 0，y 0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y224＝1，两式相减得2x 0(x 1－x 2)16＋2y 0(y 1－y 2)4＝0，因为点A ，B 关于直线2x －2y －3＝0对称，所以k AB＝y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 08－y 02＝0，即x 0＝4y 0.又点M (x 0，y 0)在直线2x －2y －3＝0上，所以x 0＝2，y 0＝12，即弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，12.三、解答题11．(2019·某某省高三第一次高考诊断)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆C 的方程；(2)与x 轴不垂直的直线l 经过N (0，2)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，求直线l 斜率的取值X 围．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1整理可得(1＋4k 2)x 2＋82kx＋4＝0，Δ＝(82k )2－16(1＋4k 2)>0，解得k >12或k <－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又x 1＋x 2＝－82k 1＋4k 2，x 1·x 2＝41＋4k2，∴y 1y 2＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2，∵坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，∴OA →·OB →<0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝(1＋k 2)·41＋4k 2＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－82k 1＋4k 2＋2<0，解得k <－62或k >62. 故直线l 斜率的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－62∪⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞. 12．(2019·某某三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)如图，已知抛物线L ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点M (5,0)的动直线l 与抛物线L 交于A ，B 两点，直线AF 交抛物线L 于另一点C ，|AC |的最小值为4.(1)求抛物线L 的方程；(2)记△ABC ，△AFM 的面积分别为S 1，S 2，求S 1·S 2的最小值． 解 (1)由已知及抛物线的几何性质可得|AC |min ＝2p ＝4， ∴p ＝2，∴抛物线L 的方程为y 2＝4x .(2)如图，设直线AB ：x ＝ty ＋5， 直线AC ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋5，y 2＝4x ，整理得y 2－4ty －20＝0，∴y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－20，同理可得y 1y 3＝－4，从而C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－4y 1，点C 到AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋4t y 1－51＋t2＝11＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪16y 21＋4， |AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝1＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋20y 1，∴S 1＝12·11＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪16y 21＋4·1＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋20y 1 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋20y 1＝2|y 1|·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21＋1(y 21＋20)．又S 2＝12×4×|y 1|＝2|y 1|，∴S 1·S 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21＋1(y 21＋20)＝4⎝⎛⎭⎪⎫y 21＋80y 21＋24≥4×(85＋24)＝96＋32 5.当且仅当y 21＝45，即A (5，±245)时，S 1·S 2有最小值96＋32 5.13．(2019·某某省顶级名校高三联合质量测评)已知椭圆O ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆O 上运动，若△PAB 面积的最大值为23，椭圆O 的离心率为12.(1)求椭圆O 的标准方程；(2)过B 点作圆E ：x 2＋(y －2)2＝r 2(0<r <2)的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C ，D (异于点B )，当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解 (1)由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时，S △PAB 最大，此时S △PAB ＝12×2ab ＝ab ＝23，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝23，c a ＝12，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆O 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设过点B (2,0)与圆E 相切的直线方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0， 因为直线与圆E ：x 2＋(y －2)2＝r 2相切， 所以d ＝|－2－2k |k 2＋1＝r ，即得(4－r 2)k 2＋8k ＋4－r 2＝0.设两切线的斜率分别为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1k 2＝1， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 24＋y23＝1，整理得(3＋4k 21)x 2－16k 21x ＋16k 21－12＝0，∴2x 1＝16k 21－123＋4k 21，即x 1＝8k 21－63＋4k 21，∴y 1＝－12k 13＋4k 21，同理x 2＝8k 22－63＋4k 22＝8－6k 214＋3k 21，y 2＝－12k 23＋4k 22＝－12k 14＋3k 21.∴k CD ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12k 14＋3k 21－－12k 13＋4k 218－6k 214＋3k 21－8k 21－63＋4k 21＝k 14(k 21＋1)， 所以直线CD 的方程为y ＋12k 13＋4k 21＝k 14(k 21＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8k 21－63＋4k 21.整理得y ＝k 14(k 21＋1)x －7k 12(k 21＋1)＝k 14(k 21＋1)(x －14)，所以直线CD 恒过定点(14,0)．14．(2019·日照市高三联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上在第一象限内的点H (1，t )到焦点F 的距离为2.(1)若M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，过点M ，H 的直线与该抛物线相交于另一点N ，求|NF |的值； (2)设A ，B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA →·OB →＝94(其中O 为坐标原点)．①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点Q 的坐标；②过点Q 作AB 的垂线与该抛物线交于G ，D 两点，求四边形AGBD 面积的最小值． 解 (1)∵点H (1，t )在抛物线E 上，∴1＋p2＝2，解得p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x ，所以当x ＝1时，t ＝2或t ＝－2(舍去)，∴直线MH 的方程为y ＝85x ＋25，联立y 2＝4x 可得，x N ＝116，|NF |＝x N ＋p 2＝1＋116＝1716.(2)①证明：设直线AB ：x ＝my ＋t ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，联立抛物线方程可得y 2－4my－4t ＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，由OA →·OB →＝94得，(y 1y 2)216＋y 1y 2＝94，解得y 1y 2＝－18或y 1y 2＝2(舍去)，即－4t ＝－18，可得t ＝92，所以直线AB 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0. ②由①得|AB |＝1＋m 2|y 2－y 1|＝1＋m 2·16m 2＋72 同理得，|GD |＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫－1m 2|y 4－y 3|＝1＋1m2·72＋16m2.则四边形AGBD 的面积S ＝12|AB |·|GD |＝121＋m 2·16m 2＋72·1＋1m 2·72＋16m2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤85＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2. 令m 2＋1m2＝μ(μ≥2)，则S ＝418μ2＋121μ＋170是关于μ在μ∈[2，＋∞)上的增函数，故当μ＝2时，S min ＝88.当且仅当m ＝±1时取到最小值88.。
2016届高考数学(理)二轮复习：第一部分 专题五 解析几何1-5-2
的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则|AB|＝( 4 3 A. 3 C．6 B．2 3 D．4 3
)
x2 y 2 (2)(2015· 广州二模)设 F1， F2 分别是椭圆 C： a2＋b2＝1(a>b>0) 的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF1 的中点在 y 轴上，若 ∠PF1F2＝30° ，则椭圆的离心率为( 1 A.6 3 C. 6 [思路引导] 1 B.3 3 D. 3 (1)写出双曲线的渐近线方程，确定 A，B 坐标； )
3|PF2| 由椭圆定义得 2a ＝ |PF1| ＋ |PF2| ＝ 3|PF2| ⇒ a ＝ 2 ， 2c ＝ 3|PF2| c |F1F2| ＝ 3 |PF2| ⇒ c ＝ 2 ， 所 以 椭 圆 的 离 心 率 为 e ＝ a ＝ 3|PF2| 2 3 2 · 3|PF2|＝ 3 .故选 D.
x2 y2 (1)(2015· 福建卷)若双曲线 E： 9 －16＝1 的左、右焦点分别 为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( A．11 B．9 C．5 D．3 )
(2)(2015· 兰州诊断)椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，若 1 椭圆 C 的离心率等于2，且它的一个顶点恰好是抛物线 x2＝8 3y 的焦点，则椭圆 C 的标准方程为________． [思路引导] (1)应用双曲线的定义求解；(2)根据条件列出关
2 2 2
b 1－a2； b 1＋a2.
c (2)在双曲线中：c ＝a ＋b ，离心率为 e＝a＝
2 2 2
x2 y2 b 2．双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝± ax .
2 y (1)(2015· 四川卷)过双曲线 x2－ 3 ＝1 的右焦点且与 x 轴垂直
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虚轴长2b
几何 性质
c e＝ ＝ a 离心率 (0<e<1)
b 1－ 2 e＝c ＝ a a
2
b2 1＋ 2 a
e＝ 1
(e>1)
b y＝ ± x a
渐近线
(2)抛物线的过焦点的弦长 p 抛物线 y ＝ 2px(p>0)的过焦点 F ， 0 的弦 AB， 若 A(x1， y1 )， 2
[审题路线图 ] 审条件 (1) 条件 ― → b， c的值 ― → 椭圆 C1的方程 设直线方程 椭圆、 转化为关于 x的 相切 (2) ― ― → ― ― → 抛物线方程 Δ ＝ 0 为 y＝ kx＋m 一元二次方程 k、m的等式 ― → k、m的值 ― → 结果
2 2 2 2 2
x2 y2 由①②解得 a＝ 2， b＝ 3，所以双曲线的方程为 － ＝ 1. 4 3
→ → → 1→ 2．把本例(2)条件“FP＝ 4FQ”改为“PF＝ PQ” ，其他条件 2
8 不变，则 |QF|＝ ________ ．
解析：如图，过 Q 作 QQ′⊥ l，垂足为 Q′， A 为 l 与 x 轴的交点． → 1→ 因为PF＝ PQ， 2 → 1→ 所以 |PF|＝ |PQ|. 2
点的坐标的范围等．
[注] 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代 入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．
x y 1． (2014· 高考广东卷 )若实数 k 满足 0<k<5，则曲线 － 16 5－ k x2 y2 ＝ 1 与曲线 － ＝1 的 ( D ) 16－ k 5 A．实半轴长相等 C．离心率相等 B．虚半轴长相等 D．焦距相等
a ＋b ＝c ，
2 2 2
2 y 故所求双曲线的方程为 x2－ ＝ 1. 3
→ → (2)因为FP＝ 4FQ， → → 所以 |FP|＝ 4|FQ|， |PQ| 3 所以 ＝ . 如图，过 Q 作 QQ′⊥ l，垂 |PF| 4 足为 Q′， 设 l 与 x 轴的交点为 A， 则 |AF| ＝ 4， |PQ| |QQ′ | 3 所以 ＝ ＝ ， |PF| |AF| 4 所以 |QQ′|＝ 3，根据抛物线定义可知 |QQ′|＝ |QF|＝ 3.
2
p2 B(x2 ， y2)，则 x1 x2＝ ， y1 y2＝－ p2，弦长 |AB|＝ x1＋ x2 ＋ p. 4
2．辨明易错易混点 (1)忽略定义：题目中出现与焦点有关的问题时，易忽略定义 的使用． (2)易忽略焦点位置：焦点位置没有明确给出时，应对焦点位 置进行分情况讨论，椭圆、双曲线有两种情况，抛物线有四 种情况． (3)混淆椭圆、双曲线中 a、 b、c 的关系，椭圆： a ＝ b ＋ c ， 双曲线： c ＝ a ＋ b .
2
2
解析： 如图所示， 由∠ F1PF2＝ 60°， |PF1 | ＝ 2|PF2 |，可得∠PF2 F1 ＝ 90°，所以 e c 2c |F1 F2 | 3|PF2 | ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ a 2a |PF1 |＋ |PF2 | 2|PF2 |＋ |PF2 | 3 ，故选 C. 3
x y 3． (2015· 南昌调研 )已知 F1， F2 是双曲线 C： 2 － 2 ＝ 1(a>0， a b b>0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若 |PF1 |＋ |PF2 |＝ 6a，且 △ PF1 F2 最小的内角为 30°，则双曲线 C 的渐近线方程是 ( A ) A. 2x± y＝ 0 C． x± 2y＝ 0 B． x± 2y＝ 0 D． 2x± y＝ 0
[思路点拨 ] (1)根据题意建立 a， c 间的联系，再利用离心率 公式计算． (2)根据椭圆的对称性可求得 a 的值，再根据短轴的端点到直 线的距离求得 b 的取值范围，代入离心率公式即可．
[解析]
(1)不妨设 F(－ c，0)，PF 的中点为 (0，b)．由中点坐
标公式可知 P (c， 2b)．又点 P 在双曲线上， 2 2 2 c 4b c c 则 2 － 2 ＝ 1，故 2＝ 5，即 e＝ ＝ 5. a a b a (2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆左、 右焦点的距离为 4a＝ 2(|AF|＋ |BF|)＝ 8，所以 a＝ 2.又 d＝ |3³ 0－ 4³ b| c 4 ≥ ，所以 1≤ b<2，所以 e＝ ＝ 2 2 a 3 ＋（－ 4） 5 b2 3 1－ . 因为 1≤ b<2，所以 0<e≤ . 4 2 b 1－ 2＝ a
2
2
x2 y2 解析： 因为 0<k<5， 所以两曲线都表示双曲线， 在 － ＝ 16 5－ k
2 2 x y 1 中 a2＝ 16， b2＝ 5－ k；在 － ＝1 中 a2＝ 16－ k， b2＝ 16－ k 5
5.由 c2＝ a2＋ b2 知两双曲线的焦距相等，故选 D.
x y 2．已知点 F1、 F2 是椭圆 2 ＋ 2 ＝ 1(a>b>0)的左、右焦点，在 a b 此椭圆上存在点 P，使∠ F1PF2＝ 60°，且 |PF1 |＝ 2|PF2 |，则 此椭圆的离心率为 ( C ) 1 A. 3 3 C. 3 2 B． 2 6 D． 6
[思路点拨 ] (1)利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方 程组求解． → → (2)利用FP＝ 4FQ转化长度关系，再利用抛物线定义求解．
b 2 2 [解析] (1)由双曲线的渐近线 y＝ ± x 与圆 (x－ 2) ＋ y ＝3 相 a b |± ³ 2| a ＝ 3， 2 b a＝ 1， 1＋ 切可知 解得 a b＝ 3. c＝ 2，
2 2 2 2
考点二
圆锥曲线的几何性质
[命题角度] 1．求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围． 2．由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程． 3．求双曲线的渐近线方程．
x y (1)(2015· 高考湖南卷)设 F 是双曲线 C： 2－ 2 ＝ 1 的一 a b 个焦点．若 C 上存在点 P，使线段 PF 的中点恰为其虚轴的
y x x 解析： 由题意得， 双曲线的方程为 － ＝ 1， 椭圆的方程为 4 5 7
2
2
2
|PF1 |＋ |PF2 |＝ 8， y2 ＋ ＝ 1，不妨设 |PF1 |>|PF2 |，从而可知 ⇒ 16 |PF1 |－ |PF2 |＝ 4 |PF1 |＝ 6， ⇒ |PF1 |² |PF2 |＝n＝ 12. |PF2 |＝ 2
2 y D． x2－ ＝ 1 3 2 2
2
2
(2)(2014· 高考课标全国卷Ⅰ )已知抛物线 C： y2＝ 8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点， → → 若FP＝ 4FQ，则 |QF|＝ ( C ) A. 7 2 5 B． 2 D． 2
C． 3
2
方法归纳 圆锥曲线性质的应用 (1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题 的关键． (2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确 立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b， c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程 (组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、
2
2
5 一个端点，则 C 的离心率为 ________ ．
x2 y2 (2)(2015· 高考福建卷)已知椭圆 E： 2＋ 2 ＝ 1(a＞ b＞ 0)的右焦 a b 点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l： 3x－ 4y＝0 交椭圆 E 于 A， B 两点．若 |AF|＋ |BF|＝ 4，点 M 到直线 l 的距离不小 4 于 ，则椭圆 E 的离心率的取值范围是 ( A ) 5 3 3 A． (0， ] B． (0， ] 2 4 3 3 C． [ ， 1) D． [ ， 1) 2 4
2
2
解析：由题意，不妨设 |PF1 |>|PF2 |，则根据双曲线的定义得， |PF1 |－ |PF2 |＝ 2a， 又 |PF1 |＋ |PF2 |＝ 6a， 解得 |PF1 |＝ 4a， |PF2 |＝ 2a. 在△ PF1 F2 中， |F1 F2 |＝ 2c，而 c>a， 所以有 |PF2 |<|F1 F2 |， 所以∠ PF1 F2＝ 30°，所以 (2a) ＝ (2c) ＋ (4a) － 2· 2c· 4acos 30°，得 c＝ 3a，所以 b＝ c － a ＝ 2a， b 所以双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝ ± 2x， a 即 2x± y＝ 0.
2 2 2 2 2
考点三
直线与圆锥曲线的位置关系
[命题角度] 1．由直线与圆锥曲线的位置关系求直线方程有关问题． 2．由直线与圆锥曲线的位置关系求圆锥曲线的方程及其 性质．
x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1： 2 ＋ 2 ＝ a b 1(a>b>0)的左焦点为 F1 (－ 1， 0)，且点 P(0， 1)在 C1 上． (1)求椭圆 C1 的方程； (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2：y2＝ 4x 相切，求直线 l 的方程．
2 2 2 2 2 2
考点一
圆锥曲线的定义及标准方程
[命题角度]
1．求圆锥曲线的方程．
2．圆锥曲线的定义及其应用．
x y (1)(2015· 高考天津卷)已知双曲线 2 － 2 ＝ 1(a＞ 0， b＞ a b 0)的一个焦点为 F(2， 0)，且双曲线的渐近线与圆 (x－ 2) ＋ y ＝ 3 相切，则双曲线的方程为 ( D ) x2 y2 A. － ＝ 1 9 13 x2 C. － y2＝ 1 3 x2 y2 B． － ＝ 1 13 9
专题五
解析几何
第2讲
椭圆、双曲线、抛物线
专题五
解析几何
2016考向导航 圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容， 所占分数约在12～18分．主要考查圆锥曲线的标准方程、几 何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．对圆锥曲线方