求数列通项公式an的常用方法
an的求法
数列a n 的求法【知识要点】1.利用递推关系式求数列通项的常用方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐项相减法） 倒数变换法、数学归纳法2.等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求 数列通项公式的最基本方法。
3.求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差 数列或等比数列。
4.数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
【方法分析】 一、累加法、累乘法1．累加法（适用于：1()n n a a f n +=+）--------累加法是最基本的二个方法之一。
若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑【例1】已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
【变式练习】1. 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式..○1○2216n ++=02nn n C +++=是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
常见的裂项途径有：n d 的等差数列，则111n n n n a a ++⎝⎭ 比如：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.2、累乘法（适用于： 1()n n a f n a += ）--------累乘法是最基本的二个方法之二。
若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a af f f n a a a +===，，，两边分别相乘得， 1111()nn k a a f k a +==⋅∏【例2】已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
(完整版)求数列通项公式常用的七种方法
求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列na 为等差或等比数列，根据通项公式d n a a n11或11n n qa a 进行求解.例1：已知n a 是一个等差数列，且5,152a a ，求n a 的通项公式.分析：设数列n a 的公差为d ，则54111da d a 解得231da 5211ndn a a n二、前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .例2：已知数列n a 的前n 项和12nns ，求通项n a .分析：当2n 时，1n nns s a =32321n n=12n 而111s a 不适合上式，22111n n a n n三、n s 与n a 的关系式法：已知数列n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .例3：已知数列n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311，其中11a ，求n a .分析：13n na s ①nna s 312n②①-②得n n n a a a 331134nn a a 即341nn a a 2n又1123131a s a 不适合上式数列n a 从第2项起是以34为公比的等比数列222343134n n n a a 2n23431112n na n n注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1na 与1ns 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列n a 中有n f a a nn1，即第n 项与第1n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例4：12,011n a a a nn，求通项na 分析：121n a a n n112a a 323a a 534a a ┅321n a a nn2n以上各式相加得211327531n n a a n 2n 又01a ，所以21n a n 2n，而01a 也适合上式，21n a n Nn 五、累乘法：它与累加法类似，当数列n a 中有1n na f n a ，即第n 项与第1n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1nnn a a a n 2,n n N求通项na 分析：Q 11nnna a n 11nn a na n 2,n n N故3241123123411231n nn a a a a na a n a a a a n g g g g L g g g g L g 2,n n N而11a 也适合上式，所以na n n N六、构造法：㈠、一次函数法：在数列n a 中有1nna kab （,k b 均为常数且0k ），从表面形式上来看n a 是关于1n a 的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设1nna mk a m则11nna ka k m而1nn a ka b1bk m 即1bmk 故111n nb ba k a k k数列11nba k 是以k 为公比的等比数列，借助它去求na 例6：已知111,21n n a a a 2,n n N求通项na 分析：Q 121nna a 1112221n nna a a 数列1n a 是以2为首项，2为公比的等比数列111122n nna a 故21nna ㈡、取倒数法：这种方法适用于11n nnka a ma p2,n n N （,,k m p 均为常数0m），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n na kab 的式子.例7：已知11122,2n nna a a a 2,nnN求通项na Q 1122n nna a a 111211122nnnna a a a 即11112nna a 2,n n N数列1n a 是以12为首项，以12为公差的等差数列1111222nn n a 2na n㈢、取对数法：一般情况下适用于1klnn a a （,k l 为非零常数）例8：已知2113,2nn a a a n 求通项na 分析：由2113,2nn a a an知0n a 在21n na a 的两边同取常用对数得211lg lg 2lg n n n a a a 即1lg 2lg n na a 数列lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3nn na 123nna 七、“mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项n a .例9：设数列n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N ns a a a nn n ，求通项n a .解：nn n s a 31113n nns a 2n两式相减得1132n n nn a a a 即11322n nna a 上式两边同除以13n 得92332311nn n n a a （这一步是关键）令nn na c 3得92321nn c c 3232321n nc c 2n（想想这步是怎么得来的）数列32nc 从第2项起，是以93322a c 为首项，以32为公比的等比数列故nn n n na a c c 32332933232322222323232nn nac 又nn na c 3，所以123223n n na a a a 1不适合上式23223112n a n a a n n n注：求mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1n c ，得到一个“1nna kab ”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出nn ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由nnns a 31得到n nn ns s s 31即nn ns s 321,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。
通项an和求和Sn的常用方法
数列解题方法总结一、 求通项a n 的常用方法：㈠叠乘法（前项与后项之比等于含n 的式子，型如)(1n f a a n n =+） 例1、 ㈠数列{a n }中，a 1=2，a n+1=nn 1+a n ，求{a n }的通项公式。
㈡数列{a n }中，a 1=3，a n+1=3n a n ，求{a n }的通项公式。
㈡叠加法（前项与后项之差等于含n 的式子，型如)(1n f a a n n =-+）例2、 ㈠数列{a n }中，a 1=2，a n+1-a n =3n ，求{a n }的通项公式。
㈡数列{a n }中，a 1=1，a 2=4，a n+2=2a n+1-a n +2，求{a n }的通项公式。
㈢利用S n 与a n 的关系（注意讨论n=1和n ≥2两种情况）例3、 ㈠S n =3n -2，求{a n }的通项公式。
㈡S n =1+n n ，求{a n }的通项公式。
㈣在一个关系式中同时纯在S n 与a n例4、 ㈠a 1=2，S n =n 2a n ，求{a n }的通项公式。
㈡数列{a n }中 各项均为整数，S 1＞1，且6S n =（a n +1）（a n +2），求{a n }的通项公式。
㈤a n+1=qa n +p ，a n+1=qa n +pb k 型（待定系数法）例5、 ㈠数列{a n }中，a 1=1，a n+1=21a n +1，求{a n }的通项公式。
㈡数列{a n }中，a 1=67，6a n+1=3a n +2，求{a n }的通项公式。
㈢数列{a n }中，a 1=3，a n+1=2a n +3n ，求{a n }的通项公式。
㈥取对数（型如a n+1=pa n k ）例6、数列{a n }中，a 1=3，a n+1=3a n 2，求{a n }的通项公式。
㈦取倒数化简（a n+1=qpa ma n n +型） 例7、㈠数列{a n }中，a 1=1， a n+1=3+n n a a ，求{a n }的通项公式。
求数列通项公式的8种方法
求数列通项公式的8种方法一、公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a +=若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1111()nn k a a f k a +==⋅∏例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
数列通项公式常见求法
数列通项公式常见求法1.等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
对于等差数列an，其通项公式可以通过以下方法求得：- 直接法：当等差数列已知首项a1和公差d时，通项公式可以通过观察数列的特点进行直接推导。
常用的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
-递推法：对于等差数列，可以通过递推方法得到通项公式。
具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。
- 代数法：利用等差数列的性质，可以通过代数方法求得通项公式。
例如，可以使用方程an = a1 + (n-1)d，联立已知条件求解未知数。
2.等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变的数列。
对于等比数列an，其通项公式可以通过以下方法求得：- 直接法：当等比数列已知首项a1和公比q时，通项公式可以通过观察数列的特点进行直接推导。
常用的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
-递推法：对于等比数列，可以通过递推方法得到通项公式。
具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。
- 代数法：利用等比数列的性质，可以通过代数方法求得通项公式。
例如，可以使用方程an = a1 * q^(n-1)，联立已知条件求解未知数。
3.斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。
斐波那契数列的通项公式可以通过以下方法求得：- 通项公式法：斐波那契数列有一个特殊的通项公式，即an = φ^n - (1-φ)^n / √5，其中φ为黄金分割比(约等于1.618)。
这个公式可以通过矩阵求解、特征方程、黄金分割法等方法推导得到。
4.幂方数列：幂方数列是指数列中每一项都是公比为一个固定值k的幂函数的数列。
幂方数列的通项公式可以通过以下方法求得：-递推法：对于幂方数列，可以通过递推方法得到通项公式。
具体步骤是观察数列的前几项，找到相邻两项之间的关系，然后递推得到通项公式。
求数列通项公式方法总结
求数列通项公式的方法总结：1)观察法。
例如1、3、5、7、9……2)公式法。
对于等差数列：a n=a1+(n-1)d;对于等比数列：a n=a1·q n-1。
3)形如a n+1=pa n+q,变形为（a n+1+k）=p(a n+k),其中k=q／(p-1)构造数列｛a n+k｝是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。
4)形如a n+2=pa n+1+qa n,,变形为a n+2+ma n+1=n(a n+1+ma n),自行解出m和n构造数列｛a n+1+ma n｝是以a2+ma1为首项，n为公比的等比试列。
5)形如a n+1=pa n+q n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+1,再利用3）的步骤即可求出通项公式。
6)形如a n+1=pa n+q n+t n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+（t/q）n+1,则先忽略（t/q）n这一项,利用3）的方法配出3）的形式，然后再同时除以（t/q）n，再利用3）的步骤即可求出通项公式。
7)a n+1=ta n/(p+qa n)变形为1/a n+1=p/t·1/a n+q/t, 再利用3）的步骤即可求出通项公式。
8)利用s n-s n-1=a n的关系求出通项公式。
利用以上方法求通项公式时，要用到数列求和的方法，下面予以归纳：1)公式法。
对于等差数列s n=na1+n·(n-1)d或s n=n(a1+a n)/2,对于等比数列s n=a1·q n-I。
2)常用的几个基本求和公式a)1+2+3+……+n=n·(n+1)/2b)12+22+32+……+n2=n·(n+1)·(2n+1)/6c)13+23+33+……+n3=n2·(n+1)2/4d)1+3+5+……+（2n-1）=n23)倒序相加法。
主要用于等差数列或组合数列。
求数列通项公式的十一种方法
递推数列的通项公式的十一种求法一、累加法：a n = a 1 +（a 2―a 1）+……+（a n ―a n ―1）。
型如a n+1=a n +f （n ）的递推数列例1 已知a n+1＝a n ＋2n+1 ，a 1＝1 ，求数列{ a n }的通项公式。
解：112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= ∴通项公式为2n a n =例2 已知a n +1 = a n +2×3n+1，a 1 = 3，求数列{ a n }的通项公式。
解： 已知得 a n +1 －a n = 2×3n+111232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- ∴ 3 1.nn a n =+-例3 已知a n +1 = 3a n +2×3n+1，a 1 = 3，求数列{ a n }的通项公式。
解：已知两边除以13n + ， 得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+ 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++，则 21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 关键是把13231n n n a a +=+⨯+转化为111213333n n n n n a a +++-=+，求得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式。
数列求通项公式的五种重要方法
求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=例1例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +===，，， n a例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
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专题：求数列通项公式a n 的常用方法
一、 观察法
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
例1 已知数列 64
61
32291613854121，，，，，-- 写出此数列的一个通项公式。
解 观察数列前若干项可得通项公式为n
n n
n a 232)
1(--=
二、 公式法
1、 运用等差（等比）数列的通项公式.
2、 已知数列}{n a 前n 项和n S ，则⎩⎨
⎧≥-==-2111
n S S n S a n n
n
（注意：不能忘记讨论1=n ）
例2、已知数列{a n }的前n 和n S 满足,1)1(log 2+=+n S n 求此数列的通项公式。
解得121-=+n n S ，当n n n n n n S S a n a n 2222,31111=-=-=≥==+-时当时 所以⎩⎨
⎧≥==)
2(2
)1(3
n n a n n
三、
1()
n n a a f n +=+（
()
f n 可以求和）
−−−−→解决方法累加法 例3、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。
解析：121(2)n n a a n n --=-≥
1
2...
5
312312-=-=-=--n a a a a a a n n 上述1n -个等式相加可得：
211n a a n -=- 2n a n ∴=
练习：1、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。
2、 已知数列{}n a 满足11,a =()1
132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a
3、若数列的递推公式为1*
113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式
4. 已知数列{}n a 满足 11,a =且
)
1(11n +=
-+n n a a n ，则求这个数列的通项公式
四、1()n n a f n a +=⋅（()f n 可以求积）
−−−−→解决方法
累积法
例4、在数列{}n a 中，已知11,a =有()11n n na n a -=+，(2n ≥)求数列{}n a 的通项
公式。
解析：原式可化为n
11
2
21
11......
23
n n n n n n n
a
a
a a
a a
---=+-=
=
1232
112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=
⋅⋅⋅⋅ 123211143n n n n n n --=⋅⋅⋅⋅+-2
1
n =
+ 又1a 也满足上式；21
n a n ∴=+ *
()n N ∈
练习：1、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=+，求n a 。
2、已知11a =,1()n n n a n a a +=-*
()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3、已知数列{}n a 满足11,a =12n
n n a a +=，求通项公式n a
五、1(n n a Aa B +=+≠其中A,B 为常数A 0,1）−−−−−
→解 决 方 法
待定常数法 可将其转化为1()n n a t A a t ++=+，其中1
B
t A =-，则数列{}n a t +为公比等于A 的等比数列，然后求n a 即可。
例5 在数列{}n a 中， 11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求数列{}n a 的通项公式。
解析：设()13n n a t a t -+=+，则132n n a a t -=+
1t ∴=，于是()1131n n a a -+=+
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，以3为公比的等比数列。
1231n n a -∴=⋅-
练习：1、 在数列{}n a 中， 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。
2、已知12a =，1
142n n n a a ++=+，求n a 。
3、已知数列}{n a 满足112,2(21)n n a a a n +==+-，求通项n a
4.已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
六、1n
n n c a a pa d
+⋅=+（0c p d ⋅⋅≠）−−−−→
解决方法倒数法
例6 已知14a =，1221n
n n a a a +⋅=+，求n a 。
解析：两边取倒数得：
11112n n a a +-=，设1,n n b a =则1112
n n b b +-=； 令11
()2
n n b t b t ++=+；展开后得，2t =-；1
2122n n b b +-∴=-； {}2n b ∴-是以1117224b a -=-=-为首项，1
2
为公比的等比数列。
171242n n b -⎛⎫⎛⎫
∴-=- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
；即1
171242n n a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，得12
227n n n a ++=-； 练习：1、设数列}{n a 满足,21=a 1,1n
n n a a a +=
+求.n a 2、在数列{}n a 中，112,3n
n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式.
3、在数列{}n a 中，1121,23
n
n n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式.
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文
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