3-6、8 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律

无外力和非保守内力； 1. 系统机械能 ① 无外力和非保守内力； 外力和非保守内力都不作功； ② 外力和非保守内力都不作功； 守恒的条件： 守恒的条件：
③ 外力和非保守内力的功的代数 和为0。 和为 。
2. 保守内力作功不改变系统的机械能，但使系 保守内力作功不改变系统的机械能， 统的动能与势能相互转换。 统的动能与势能相互转换。 3. 只在惯性参考系下成立，其动能、势能和机 只在惯性参考系下成立，其动能、 械能都与参考系的选择有关。 械能都与参考系的选择有关。 4. 第一类永动机违反了能量守恒定律，因此是 第一类永动机违反了能量守恒定律， 制造不出来的。 制造不出来的。
若
即当外力对质点系内质点作功之和为负时， 即当外力对质点系内质点作功之和为负时，其 内部机械能将减少。 内部机械能将减少。
i =1
∑ Wi外 < 0
n
则 E − E0 < 0
四、应用功能原理解题方法 1.确定研究对象，必须是质点系。 确定研究对象，必须是质点系。 确定研究对象 2.受力分析，不考虑保守力和不作功的力。 受力分析，不考虑保守力和不作功的力。 受力分析 3.确定势能零点，以及始末两态的机械能 确定势能零点， 确定势能零点 E0、E。 。 4. 列方程求解。 ∑ Wi外 + ∑ Wi内非 = ∆E 列方程求解。
i =1 i =1
n
n
n
由保守力作功等于势能增量的负值的结论 保守力作功等于势能增量的负值的结论: 的结论 n ∑ Wi内保 = − ∆E p
i =1 i =1 n
∑ Wi外 + ∑ Wi内保 + ∑ Wi内非 = ∆Ek
i =1 i =1 n i =1
n
n
n
i =1
∑ Wi外 + ∑ Wi内非 = ∆Ek + ∆E p = ∆( Ek + E p )
1. 在应用功能原理时，不必考虑保守力的功， 在应用功能原理时，不必考虑保守力的功， 因为这部分功已以势能增量的负值替换。 因为这部分功已以势能增量的负值替换。 2. ∑Wi外和∑Wi内非 是指各质点所受的外力和非 外 内非 保守内力的功之代数和，而非合力的功。 保守内力的功之代数和，而非合力的功。
h’
36.9º
1 2 Ec = k( BC ) 2 E D = mgh'
W阻 = E D − EC
h' 1 2 − f CD = − f = mgh'− k( BC ) sin 36.9° 2
k( BC ) h' = 2(mg + f / sin 36.9°) = 0.84m
h’
2
36.9º
五、机械能守恒定律 由质点系的功能原理 ∑ Wi外 + ∑ Wi内非 = ∆E
B
解2：动能定理 ： 由质点动能定理： 由质点动能定理： ∴W = Ek − Ek 0 = ∆Ek 受力分析：只有重力和摩擦力作功， 受力分析：只有重力和摩擦力作功，
W重 + W阻 = Ek − Ek 0 A A点物体动能 Ek 0 = 0 点物体动能 ∫ mg cos θdr + W阻 = Ek 1 90° 2 W阻 = mv − ∫0 mg cos θRdθ 2 1 2 = mv − mgR 2
永动机
第八节 能量守恒定律
能量守恒与转换定律 孤立系统内各种形式的能量是可以相 互转换的，但是不论如何转换， 互转换的，但是不论如何转换，能量既不 能产生，也不能消灭， 能产生，也不能消灭，只能从一种形式转 换成另一种形式， 换成另一种形式，这一结论叫做能量守恒 定律。 定律。
现在建设的长江三峡水电站， 现在建设的长江三峡水电站，就是利用能 量守恒与转换原理， 量守恒与转换原理，将高位水的势能转换成为 电能，三峡水电站建成后， 电能，三峡水电站建成后，年发电量可达 840 亿度。位于世界水电站第一位。 亿度。位于世界水电站第一位。
i =1 i =1 n n
下面举例应用功的定义、 下面举例应用功的定义、动能定理和功能原 理三种方法进行比较，看看哪一种方法好？ 理三种方法进行比较，看看哪一种方法好？
例：质量为 m 的物体从一个半径为 R 的 1/4 圆弧型表面滑下，到达底部时的速度 圆弧型表面滑下， 过程中摩擦力所做的功？ 为 v,求 A 到 B 过程中摩擦力所做的功？ 求 解1：功的定义 ： m o 以m为研究对象， A 为研究对象， R 为研究对象 θ 受力分析如图示。 受力分析如图示。 n f 在轨道切向： 在轨道切向： N
例2：一物体质量为 2kg，以初速 3.0m/s ： ， 从斜面的点 A 处下滑，它与斜面之间的 处下滑， 摩擦力为 8N，到达点 B 时，压缩弹簧 ， 20cm 达到 点停止，然后又被弹送回去。 达到C点停止，然后又被弹送回去。 求弹簧的劲度系数k和物体最后能到达的 求弹簧的劲度系数 和物体最后能到达的 高度h’。设弹簧系统的质量略去不计。 高度 。设弹簧系统的质量略去不计。 vA 解：功能原理 (1)以物体 弹簧 以物体+弹簧 以物体 弹簧+ 地球为研究对象， 地球为研究对象， 受力分析， 受力分析，
作业
《大学物理习题精选I》P. 10 大学物理习题精选 》 3、计算题: 9。 、计算题 。
i =1
R
o
f
θ
n
∑ Wi外 = 0
n
τ
B
i =1
∑ Wi内非 = W阻
n
势点， 、 选择 B 点为重力 0 势点，A、B 两点的机 械能： 械能： E A = mgR o R A 1 2 θ E B = mv 2 n f W阻 = E B − E A
τ 1 2 = mv − mgR 2 B 可以看出，用功能原理计算最简单。 可以看出，用功能原理计算最简单。
F τ = ma
τ
dv mg cos θ − f = maτ = m dt
dv = m dt
C
τ
mg
B
dv f = mg cos θ − m dt 摩擦力的功 W阻 = − ∫ fdr
A
R
f N
n
θ
dθ

dr τ dv = −∫ mg cosθdr + ∫ m dr mg dt dr 由 dr = Rdθ ,v = dt 90° v W阻 = − ∫0 mg cos θRdθ + ∫0 mvdv 1 2 = −mgR + mv 2
二、功能原理 利用质点系的动能定理： 利用质点系的动能定理：
i =1
∑ Wi外 + ∑ Wi内 = Ek − Ek 0 = ∆Ek
i =1 n i =1
n
n
其中内力作功的代数和项 ∑ Wi内 可分为 系统保守内力的功和非保守内力的功， 系统保守内力的功和非保守内力的功， 保守内力的功
i =1
∑ Wi内 = ∑ Wi内保 + ∑ Wi内非
则
vA
h
36.9º
1 1 2 2 − f ( AC ) = k( BC ) − ( mvA + mgh ) 2 2
1 2 mvA + mg ( AC ) sin 36.9° − f ( AC ) k=2 1 2 ( BC ) 2
= 1.39 × 10 N ⋅ m
3
-1
f
vA
h
36.9º
(2) 物体从C点 物体从 点 反弹到最高点 D的过程中， 的过程中， 的过程中 反弹高度为h’ 反弹高度为h’ 初态机械能 末态机械能 由功能原理
第 六节 功能原理 机械能守恒定律
一、质点系的动能定理 两个或两个以上的质点组成的系统。 两个或两个以上的质点组成的系统。 上一节研究了一个质点的动能定理， 上一节研究了一个质点的动能定理， 如果研究的对象为质点系， 如果研究的对象为质点系，动能定理又如 何表示？ 何表示？以最简单的两个质点组成的质点 系为研究对象。 系为研究对象。 受外力F 两个质点质量为 m1、 m2 ，受外力 1、 F2，内力为f12、f21，初速度为v10、v20, 内力为 初速度为 ∆r 末速度为v 末速度为 1、v2,位移为1 , ∆r2 位移为
36.9º
重力、 重力、弹力 是保守力不考虑， 是保守力不考虑， 斜面的支持力 N 不作功不考虑， 不作功不考虑， 只有摩擦力 f— —非保守内力作 非保守内力作 功，
f
vA
h
36.9º
重力 0 势点选在最低点 C，弹力 0 ， 势点选在弹簧原长处 B 点，
初态机械能： 初态机械能： 1 2 E A = mvA + mgh 2 h = AC sin 36.9°
对 m1 、m2 应用质点 动能定理， 动能定理， W1外 + W1内 = Ek1 − Ek10 W2外 + W2内 = Ek 2 − Ek 20 由于 m1 、m2 为一个 系统， 系统，将上两式相 加：
v10 → v1
m1 f12 f21
F1
θ1 θ1 '
∆r1
m2 v20 → v2
θ 2 ' ∆r 2 θ2
36.9º
f
vA
h
末态机械能： 末态机械能：
n
1 2 EC = k( BC ) 2
n i =1 i =1
由功能原理： 由功能原理： ∑ Wi外 + ∑ Wi内非 = ∆E
i =1
∑ Wi外 = 0,
n
i =1
∑ Wi内非 = W阻 = ∆E
f
n
W阻 = EC − E A 1 2 E A = mvA + mgh 2 1 2 EC = k( BC ) 2
F2
i =1
∑ Wi外 + ∑ Wi内 = ∑ Eki − ∑ Eki 0