高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第11节 导数的应用 第2课时 导数与函数的极值、最
高考数学大一轮复习配套课时训练：第二篇 函数、导数及其应用 第11节 导数的简单应用(含答案)
第11节导数的简单应用课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.函数f(x)=4x3-3x2-6x+2的极小值为( B )(A)3 (B)-3 (C)(D)-解析:f′(x)=12x2-6x-6=6(x-1)(2x+1),因此f(x)在（-∞,-）,(1,+∞)上为增函数,在(-,1)上为减函数,所以函数f(x)在x=1处取到极小值f(1)=-3.故选B.2.(2013广东省六校质检)已知y=x3+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,则b的取值范围是( D )(A)b<-1或b>2 (B)b≤-1或b≥2(C)-1<b<2 (D)-1≤b≤2解析:函数y=x3+bx2+(b+2)x+3是R上的增函数,即为其导函数y′=x2+2bx+b+2≥0,x∈R恒成立,所以Δ=4b2-4(b+2)≤0,解得-1≤b≤2,故选D.3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于( C )(A)11或18 (B)11(C)18 (D)17或18解析:∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,∴f(1)=10,且f′(1)=0,即解得或而当时,函数在x=1处无极值,故舍去.∴f(x)=x3+4x2-11x+16,∴f(2)=18.故选C.4.函数f(x)=x+2cos x在[0,]上取得最大值时x的值为( B )(A)0 (B)(C)(D)解析:由于f′(x)=1-2sin x,令f′(x)=0得,sin x=,又x∈[0,],所以x=.且f()=+,又f(0)=2,f()=,所以f()为最大值.故选B.5.(2013济宁模拟)若函数h(x)=2x-+在(1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是( A )(A)[-2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(-∞,-2] (D)(-∞,2]解析:因为h′(x)=2+,若h(x)在(1,+∞)上是增函数,则h′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,故2+≥0恒成立,即k≥-2x2恒成立.又x>1,∴-2x2<-2,因此,需k≥-2,故选A.6.(2013湛江毕业班调研)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c等于( A )(A)-2或2 (B)-9或3(C)-1或1 (D)-3或1解析:∵y′=3(x+1)(x-1),∴当x=-1或x=1时取得极值,由题意得f(1)=0或f(-1)=0,即c-2=0或c+2=0,解得c=2或c=-2.故选A.7.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为( D )(A)(B) (C)+1 (D)-1解析:f′(x)==,当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当-<x<时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x=时,令f(x)==,=<1,不合题意.∴f(x)max=f(1)==,a=-1,故选D.二、填空题8.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为.解析:∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),∴f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,因此,当x=0时,f(x)取得最大值,即f(0)=m=3,然而f(-2)=-37,f(2)=-5,因此f(x)min=f(-2)=-37.答案:-379.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m= . 解析:由已知得,m2-4=0,∴m=±2.若g(x)在(-∞,+∞)内单调递减,则g′(x)≤0恒成立,即-3x2+4x+m≤0恒成立,亦即3x2-4x-m≥0恒成立.∴Δ=16+12m≤0,解得m≤-,故m=-2.答案:-210.函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有极大值又有极小值,则a的取值范围是.解析:∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令f′(x)=0得,x2+2ax+a+2=0,若f(x)有极大值和极小值,则方程x2+2ax+a+2=0有两个不等实数根,∴Δ=4a2-4(a+2)>0.解得a>2或a<-1.答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)11.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为.解析:设圆柱底面半径为R,高为h,则V=πR2h,则总造价y=2πR2a+2πRhb=2πR2a+2πRb·=2πaR2+,故y′=4πaR-,令y′=0得=.故当=时y取最小值.答案:三、解答题12.(2013浙江五校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-1,2]),且函数f(x)在x=1和x=-处都取得极值.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间.解:(1)由于f′(x)=3x2+2ax+b,依题意知,f′(1)=0且f′(-)=0,所以解得(2)由(1)知,f(x)=x3-x2-2x+c,f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).f′(x)>0得,x>1或x<-.又x∈[-1,2],所以f(x)的单调增区间为[-1,- ),(1,2].13.(2013汕头市金山中学第一学期期中考试)某种商品的成本为5元/ 件,开始按8元/件销售,销售量为50件,为了获得最大利润,商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销.经试销发现:实际销售价x(元)每上涨1元每天销售量就减少10件;而降价后,日销售量Q(件)与实际销售价x(元)满足关系:Q=(1)求总利润(利润=销售额-成本)y(元)与实际销售价x(元)的函数关系式;(2)试问:当实际销售价为多少元时,总利润最大.解:(1)依题意得y==(2)由(1)得,当5<x<7时,y=39·(2x3-39x2+252x-535)y′=234(x2-13x+42)=234(x-6)(x-7),当5<x<6时,y′>0,y=f(x)为增函数,当6<x<7时,y′<0,y=f(x)为减函数,所以f(x)max=f(6)=195.当7≤x<8时,y=6(33-x)∈(150,156],当8≤x≤13时,y=-10(x-9)2+160,当x=9时,y max=160.综上知,当x=6时,总利润最大,最大值为195元.14.设函数f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.(注:e为自然对数的底数)解:(1)因为f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x>0,所以f′(x)=-2x+a=-.由于a>0,所以f(x)的单调增区间为(0,a),单调减区间为(a,+∞).(2)由题意得f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.由(1)知f(x)在[1,e]内单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.只要解得a=e.B组15.(2013潮州市质检)定义域为R的奇函数f(x),当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0恒成立,若a=3f(3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=-2f(-2),则( A )(A)a>c>b (B)c>b>a(C)c>a>b (D)a>b>c解析:设g(x)=xf(x),依题意得g(x)是偶函数.当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0恒成立,即g′(x)<0恒成立,故g(x)在(-∞,0)上单调递减,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,a=3f(3)=g(3),b=(logπ3)·f(logπ3)=g(logπ3),c=-2f(-2)=g(-2)=g(2).又logπ3<1<2<3,故a>c>b.故选A.16.(2013中山市期末统考)已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a), 若f(x)在x=a处取得极大值,则a的取值范围为.解析:若a>0时,则x∈(-1,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=a处取得极小值,不适合题意,舍去.若-1<a<0时,则x∈(-1,a)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=a 处取得极大值,适合题意.若a=-1时,函数没有极值点,不适合题意.若a<-1时,则x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;x∈(a,-1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=a处取得极小值,不适合题意.故适合题意的a的取值范围是-1<a<0.答案:(-1,0)。
高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数的应用——单调性课件 文
函数、导数及其应用
第十一节 导数的应用——单调性
考纲下载 1．了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间(其中多项式函数不超过三次)．
请注意 利用导数求单调性是高考的重要热点： 1．若 f(x)在区间(a，b)上为减函数，则不能得出在(a， b)上有 f′(x)<0； 2．划分单调区间一定要先求函数定义域； 3．单调区间一般不能并起来．
1.偶 奇
【调研 1】 (1)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，若 y＝f′(x) 的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
【解析】 根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的 变化情况．
从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0 时最大，所以函数 f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在 x ＝0 时变化率最大．A 项，在 x＝0 时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小 的，故错误，B 项正确．
当 x>0 时，g′(x)>0，故 g(x)为增函数． 综上知 g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4， －1)和(0，＋∞)内为增函数．
函数 f(x)中不含参求单调区间，主要考查求 导后的计算能力，一般求导后对代数式分解因式 f′(x)>0 的解 集为其单调增区间，f′(x)<0 为其单调减区间，同时考虑到函 数定义域的限制．
＝12x3＋52x2＋2xex ＝12x(x＋1)(x＋4)ex. 令 g′(x)＝0，解得 x＝0，x＝－1 或 x＝－4. 当 x<－4 时，g′(x)<0，故 g(x)为减函数； 当－4<x<－1 时，g′(x)>0，故 g(x)为增函数； 当－1<x<0 时，g′(x【调研 3】 (2014·山东卷)设函数 f(x)＝alnx＋xx－＋11，其 中 a 为常数．
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用课件
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解析 由条件知 f′(x)＝2x＋a－x12≥0 在12，＋∞上恒
成立，即 a≥x12－2x 在12，＋∞上恒成立．∵函数 y＝x12－
2x 在12，＋∞上为减函数，∴ymax＜112－2×12＝3，∴a≥3. 2
经检验，当 a＝3 时，满足题意．
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∴对应函数 f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、 增．
观察选项可知，排除 A，C. 如图所示，f′(x)有 3 个零点，从左到右依次设为 x1， x2，x3，且 x1，x3 是极小值点，x2 是极大值点，且 x2>0，故 选项 D 正确．故选 D.
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2．函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 x＝b 处的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附 近其他点的函数值 都大 ，且 f′(b)＝0，而且在 x＝b 附近 的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0 ，则点 b 叫做函数的 极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
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解析 由图可得函数 y＝(1－x)f′(x)的零点为－2,1,2， 则当 x<1 时，1－x>0，此时在(－∞，－2)上 f′(x)>0，在(－ 2,1)上 f′(x)<0；当 x>1 时，1－x<0，此时在(1,2)上 f′(x)<0， 在(2，＋∞)上 f′(x)>0.所以 f(x)在(－∞，－2)为增函数， 在(－2,2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此 f(x)有极大 值 f(－2)，极小值 f(2)．故选 D.
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2111导数的应用课件理新人教A版
解法一：因为 f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f(x)]2＝4sin2x(1 ＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设 cosx＝t，则 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)， 所以 y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－1<t<21时， y′>0；当21<t<1 时，y′<0。所以函数 y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)在－1，21 上单调递增，在12，1上单调递减，所以当 t＝12时，ymax＝247；当 t＝±1 时， ymin＝0。所以 0≤y≤247，即 0≤[f(x)]2≤247，所以－32 3≤f(x)≤32 3，所以 f(x)的最小值为－32 3。
(ⅱ)当 0<2a<1，即 0<a<2 时，由 f′(x)>0，得 0<x<a2或 x>1； 由 f′(x)<0，得a2<x<1。 则函数 f(x)的单调递增区间为0，a2，(1，＋∞)， 函数 f(x)的单调递减区间为a2，1。 (ⅲ)当2a＝1，即 a＝2 时，f′(x)≥0 恒成立，则函数 f(x)的单调递增区 间为(0，＋∞)。
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a 处的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数
值 都小
，且 f′(a)＝0，而且在点 x＝a 附近的左侧 f′(x)＜0 ，右
侧 f′(x)＞0 ，则 x＝a 叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值。
(2)函数的极大值
1．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成 立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。
高考数学总复习配套课件：第2章《函数、导数及其应用》2-11导数的概念及运算
1．(2011 年高考江西卷)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，
则 复 合 函 数 f[v(x)] 在 点 x 处 可 导 ， 且 f′(x)
＝
f′(u)·，v′(x即) y′x＝
y′u·u′x
.
[疑难关注]
曲P(x线0，y＝y0)f的(x)切“线在”点的P(区x0别，与y0联)处系的切线”与“过点 曲P(x线0，y＝y0)f的(x)切“线在”点的P(区x0别，：y0)曲处线的y切＝线f(x”)在与点“P(过x0点，
为 2．函数f(x)的导函数
y－y0＝f′(．x0)(x－x0)
称函数f′(x)＝ 数．
为f(x)的导函
二、基本初等函数的导数公式
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
． ．
四3．、[gf复xx]′合＝函f′数xg的[xg－导xf]2x数g′x(g(x)≠0)．
(3)先化简，y＝
1 x·
－
x
x＋ 1x－1＝－x12＋x－12，
∴y′＝－12x－12－12x－32＝－21 x1＋1x.
1．(2013 年深圳模拟)函数 f(x)＝sinx x的导数是( )
xsin x＋cos x
A.
x2
xcos x＋sin x
高考数学一轮复习课件第二章 函数、导数及其应用 第11讲
数学
文理(合订)
第二章
函数、导数及其应用
第十一讲 利用导数研究函数的单调性、极值、
1 考纲解 2 知识梳
第二章 函数、导数及其应用
文
理 （ 合
考纲解读
订
）
第二章 函数、导数及其应用
考点展示 考查频率
考纲要求
高
了解函数的单调性和导数的关
函数的单 ★★★★☆ 系：能利用导数研究函数单调 1.内容
第二章 函数、导数及其应用
1．下列结论正确的个数为 导学号 30070516 ( C )
(1)若函数 f(x)在(a，b)内恒有 f′(x)＞0，那么 f(x)在(a，b)上单
若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.
文 理 （
(2)函数 y＝12x2－lnx 的单调减区间为(－1,1)．
合
订 ）
(3)在函数 y＝f(x)中，若 f′(x0)＝0，则 x＝x0 一定是函数 y＝
(4)函数的极大值不一定比极小值大．
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是
A．0
B．1
C．2
[解析] (1)(2)(3)不正确，(4)(5)正确，故选C.
D．3
第二章 函数、导数及其应用
2 ． (2016·苏 中 八 校 学 情 调 查 ) 函 数 f(x) ＝ x － lnx 的 单
导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
订
）
(1)求f(x)在(a，b)内的__极__值；
(2)将f(x)的各__极__值与____f(_a_)_，__f(_b_)__比较，其中最大的一
小的一个是最小值．
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.12 导数的应用(二)课件.ppt
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2．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞2，则 f(x)＞2x
＋4 的解集为( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析：令函数 g(x)＝f(x)－2x－4，则 g′(x)＝f′(x)－2＞0，因此，g(x)在 R 上是 增函数，又 g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0。所以，原不等式可化为 g(x)＞g(－1)， 由 g(x)的单调性，可得 x＞－1。
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1 个构造——构造函数解决问题 把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时 常用的方法。
2 个转化——不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要 注意分类讨论和数形结合思想的应用。 (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理。
答案：(－∞，0)
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5．设函数 f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意 x∈[－1,1]，都有 f(x)≥0 成立， 则实数 a 的值为__________。
解析：若 x＝0，则不论 a 取何值，f(x)≥0 显然成立。 当 x＞0，即 x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≥x32－x13。 设 g(x)＝x32－x13，则 g′(x)＝31－x4 2x， 所以 g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减， 因此 g(x)max＝g12＝4，从而 a≥4。 当 x＜0，即 x∈[－1,0]时，同理，a≤x32－x13。 g(x)在区间[－1,0)上单调递增， 所以 g(x)min＝g(－1)＝4， 从而 a≤4，综上，可知 a＝4。 答案：4
高三数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11课时导数应用精品课件文北师大.ppt
解y′＝3x2－6x<0，得0<x<2. ∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)， 单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)可知函数在x＝0时取得极大值c，在x＝2时取得极小值c－4， ∴函数的极大值与极小值的差为c－(c－4)＝4.
• (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出 实际问题的数学模型，写出实际问题中变量 之间的函数关系y＝f(x)，根据实际意义确定 定义域；
• (2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝ 0得出定义域内的实根，确定极值点；
• (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数 值大小，获得所求的最大(小)值；
【变式训练】 3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝
1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为
10 10
，
若x＝23时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
解析： (1)由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得 f′(x)＝3x2＋2ax ＋b.
• 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可 导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步 骤
• (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
• (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数 值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值．
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设 f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点 (1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0，6)．
(1)确定 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
解：(1)因 f(x)＝a(x－5)2＋6lnx， 故 f′(x)＝2a(x－5)＋6x. 令 x＝1，得 f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线 y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点 (0，6)在切线上可得 6－16a＝8a－6，故 a＝12.
(2)①当－1≤x<1 时，由(1)知，函数 f(x)在[－1，0)和 23，1上单调递减，在0，23上单调递增．
因为 f(－1)＝2，f23＝247，f(0)＝0，所以 f(x)在[－1，1) 上的最大值为 2.
②当 1≤x≤e 时，f(x)＝alnx，当 a≤0 时，f(x)≤0；当 a>0 时，f(x)在[1，e]上单调递增．
解析：(1)由 y＝f′(x)的图象可知，
(－1，
x
0 (0，2) 2 (2，4) 4 (4，5)
0)
f′(x) ＋
0
－
0
＋
0
－
极大
极小
极大
f(x)
Hale Waihona Puke 值值值∴f(2)为 f(x)的极小值，f(2)＝0.
(2)y＝f(x)的图象如图所示：
若函数 y＝f(x)－a 有 4 个零点， 则 a 的取值范围为 1≤a<2. 答案：(1)0 (2)[1，2)
必考部分
第二章
函数、导数及其应用
第十一节 导数的应用
热点命题·突破 课时作业
热点命题·突破 02
课堂升华 强技提能
函数的图象与极值的关系
【例 1】 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成 立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6lnx(x>0)， f′(x)＝x－5＋6x＝（x－2）x（x－3）. 令 f′(x)＝0，解得 x1＝2，x2＝3. 当 0<x<2 或 x>3 时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，2)，(3，＋ ∞)上为增函数；当 2<x<3 时，f′(x)<0，故 f(x)在(2，3)上 为减函数．
【解】 (1)当 x<1 时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝23.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
0，23
2 3
23，1
f′(x) －
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
所以当 x＝0 时，函数 f(x)取得极小值 f(0)＝0，函数 f(x) 的极大值点为 x＝23.
【小结归纳】 知图判断函数极值的情况．先找导数为 0 的点，再判断
导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号.
已知函数 f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表： x －1 0 2 4 5 y 1 2021
f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象如图所示．
(1)f(x)的极小值为________； (2)若函数 y＝f(x)－a 有 4 个零点，则实数 a 的取值范围 为________．
【解析】 ①当 x<－2 时，1－x>0. ∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)>0， 即 f(x)在(－∞，－2)上是增函数． ②当－2<x<1 时，1－x>0. ∵(1－x)f′(x)<0，∴f′(x)<0， 即 f(x)在(－2，1)上是减函数．
③当 1<x<2 时，1－x<0. ∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)<0， 即 f(x)在(1，2)上是减函数． ④当 x>2 时，1－x<0. ∵(1－x)f′(x)<0，∴f′(x)>0， 即 f(x)在(2，＋∞)上是增函数． 综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值． 【答案】 D
求函数的极值
【例 2】 设函数 f(x)＝13x3－ax2－3a2x＋1(a>0)． (1)求 f′(x)的表达式； (2)求函数 f(x)的单调区间、极大值和极小值．
【解】 (1)f′(x)＝x2－2ax－3a2.
(2)令 f′(x)＝x2－2ax－3a2＝0，
得 x＝－a 或 x＝3a.
则当 x 变化时，f(x)与 f′(x)的变化情况如下表：
所以 f(x)在[1，e]上的最大值为 f(e)＝a. 所以当 a≥2 时，f(x)在[－1，e]上的最大值为 a；当 a<2 时，f(x)在[－1，e]上的最大值为 2.
由此可知 f(x)在 x＝2 处取得极大值 f(2)＝92＋6ln2，在 x ＝3 处取得极小值 f(3)＝2＋6ln3.
求函数的最值
【例 3】 已知函数 f(x)＝－ alnxx3（＋xx≥2（1x）<1. ）， (1)求 f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求 f(x)在区间[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大 值．
x (－∞，－ －a (－a，3a) 3a (3a，＋∞) a)
f′(x) ＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
53a3＋1
递减
－9a3 ＋1
递增
可知：当 x∈(－∞，－a)时，函数 f(x)为增函数； 当 x∈(3a，＋∞)时，函数 f(x)也为增函数； 当 x∈(－a，3a)时，函数 f(x)为减函数． 当 x＝－a 时，f(x)的极大值为53a3＋1； 当 x＝3a 时，f(x)的极小值为－9a3＋1.
【小结归纳】 求函数 f(x)的极值的一般步骤： (1)确定函数的定义域；(2)求导数 f′(x)；(3)解方程 f′(x)
＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验 f′(x)在 f′(x) ＝0 的根 x0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在 x0 处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0 处取极小值.