高三理科数学二轮复习配套练习：第一篇 专题三 第1讲 三角函数的图象与性质、三角恒等变换限时训

专题三三角函数与解三角形
第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换
(限时:45分钟)
【选题明细表】
知识点、方法题号
三角函数图象4,5,9
三角函数性质1,6,7,8,10,11
三角恒等变换2,3,12
一、选择题
1.(2018·广西桂林市一模)下列函数中,最小正周期为π,且图象关于原点对称的函数是( A )
(A)y=cos(2x+) (B)y=sin(2x+)
(C)y=sin 2x+cos 2x (D)y=sin x+cos x
解析:对于选项A,y=-sin 2x,T==π,且图象关于原点对称.故选A.
2.(2018·甘肃模拟)已知cos(-)=,则sin θ等于( C )
(A)(B)(C)- (D)-
解析:因为cos(-)=,
所以cos(-θ)=2cos2(-)-1=-=sin θ,
即sin θ=-,故选C.
3.(2018·佛山一模)已知tan θ+=4,则cos2(θ+)等于( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:由tan θ+=4,
得+=4,
即=4,
所以sin θcos θ=,
所以cos2(θ+)==
===.故选C.
4.(2018·江西省六校联考)设ω>0,函数y=sin(ωx+)-1的图象向左平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( D )
(A)(B)(C)(D)3
解析:因为图象向左平移个单位后与原图象重合,
所以是一个周期的整数倍,
即=·k,ω=3k,k∈Z.
ω的最小值是3.选D.
5.(2018·辽宁葫芦岛二模)已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,0<ϕ<π)的图象如图所示,则下列说法正确的是( B )
(A)函数f(x)的周期为π
(B)函数y=f(x-π)为奇函数
(C)函数f(x)在[-π,]上单调递增
(D)函数f(x)的图象关于点(,0)对称
解析:观察图象可得,函数的最小值为-2,所以A=2,
又由图象可知函数图象过(0,),(,-2),
即
结合ω>0,0<ϕ<π可得ω=,ϕ=,或ω=,ϕ=,又T=>,
即ω<,所以f(x)=2sin(x+),显然A选项错误;
对于B,f(x-π)=2sin[(x-π)+]=2sin x,是奇函数;
对于C,x∈[-π,],
则x+∈[0,π],
f(x)不单调;对于D,当x=时,f(x)=2sin(×+)=2cos≠0,不正确.故选B.
6.(2018·陕西西工大附中七模)已知f(x)=sin(2 017x+)+cos(2 017x-)的最大值为A,若存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为( B )
(A)(B)
(C)(D)
解析:f(x)=sin(2 017x+)+cos(2 017x-)
=sin 2 017x+cos 2 017x+cos 2 017x+sin 2 017x
=2sin(2 017x+),
所以A=2,|x1-x2|≥=,
所以A|x1-x2|≥.选B.
7.(2018·河南洛阳联考)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(sin x),x ∈R,则下列说法正确的是( C )
(A)函数f(x)是周期函数且最小正周期为π
(B)函数f(x)是奇函数
(C)函数f(x)在区间[0,]上的值域为[1,]
(D)函数f(x)在[,]上是增函数
解析:A中,f(x+π)=sin[sin(x+π)]+cos[sin(x+π)]=sin(-sin x)+cos(-sin x)=-sin(sin x)+cos(sin x)≠f(x),A不对;
B中,f(-x)=sin[sin(-x)]+cos[sin(-x)]=-sin(sin x)+cos(sin x)≠-f(x),B不对;
C中,令t=sin x,因为x∈[0,],所以t∈[0,1],
则y=sin t+cos t=sin(t+),t∈[0,1],
所以t+∈[,1+],
所以sin(t+)∈[,1],
所以y∈[1,],C正确;
D中,f(x)=sin(sin x+),
令t=sin x+,则y=sin t,
内层函数t=sin x+在[,]上单调,
而x∈[,]时,t∈[+,1+],此时外层函数y=sin t不单调,D不对.故选C.
二、填空题
8.(2018·东北三校二模)函数f(x)=cos xsin(x+)-cos2x+在闭
区间[-,]上的最小值是.
解析:f(x)=cos x(sin x+cos x)-cos2x+
=sin 2x-cos2x+
=sin 2x-(cos 2x+1)+
=(sin 2x-cos 2x)
=sin(2x-),
由x∈[-,],
所以2x-∈[-π,],
所以当2x-=-时f(x)min=-.
答案:-
9.(2018·云南玉溪模拟)函数y=Asin(ωx+ϕ)+k{A>0,ω>0,|ϕ|<,x ∈R}的部分图象如图所示,则该函数表达式为.
解析:根据函数y=Asin(ωx+ϕ)+k{A>0,ω>0,|ϕ|<,x∈R}的部分
图象,
可得k==1,A==2,×=-2,
所以ω=.
再根据五点法作图可得×2+ϕ=,
所以ϕ=-,
故该函数的解析式为y=2sin(x-)+1.
答案:y=2sin(x-)+1
10.(2018·吉林大学附中四模)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x∈(0,)时,f(x)=sin πx,则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是.
解析:因为函数f(x)的定义域为R,周期为3,
所以f(0)=f()=f()=0,
如图所示,画出函数的图象,由图象可知
在[0,6]上的零点为0,1,,2,3,4,,5,6,
所以共有9个零点.
答案:9
三、解答题
11.(2018·合肥三模)已知函数f(x)=sin xcos x-cos(2x-).
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(2)将函数f(x)图象向右平移个单位,所得图象对应的函数为g(x).当x∈[0,]时,求函数g(x)的值域.
解:(1)f(x)=sin xcos x-cos(2x-)=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).
令2x-=+kπ,k∈Z,解得x=+,
所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.
(2)把f(x)=sin(2x-)的图象向右平移个单位,
可得g(x)=sin(2x-),
因为x∈[0,],所以2x-∈[-,],
所以sin(2x-)∈[-1,],
所以g(x)=sin(2x-)∈[-,],
即当x∈[0,]时,函数g(x)的值域为[-,].
12.(2018·湖南省永州市一模)已知函数f(x)=Asin (ωx+ ){A>0,
ω>0,|ϕ|<}的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)方程f(x)=在[0,]上的两解分别为x1,x2,求sin (x1+x2),cos (x1-x2)的值.
解:(1)由图象可知A=2,T=-=π,
因为T=,所以ω=2,
因为f(x)的图象过点(,2),
即2sin(2×+ϕ)=2,+ϕ=2kπ+(k∈Z),
即ϕ=2kπ+(k∈Z),
又因为|ϕ|<,所以ϕ=,
所以f(x)=2sin(2x+).
(2)因为f(x)的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为,
图象f(x)=在[0,]上的两解x1,x2关于直线x=对称,
所以x1+x2=,
所以sin (x1+x2)=,
因为cos (x1-x2)=cos(2x1-)=sin(2x1+), f(x1)=2sin(2x1+)=,
所以cos (x1-x2)=.。