(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：1-3-1《“且”与“或”》

[例4] 已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等 的负实数根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范
围．
[解析] 若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m－2)2－16<0，即1<m<3，
2．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都
为真命题的是 ( A．p：4＋4＝9，q：7>4 B．p：a∈{a，b，c}，q：{a} D．p：2是偶数，q：2不是质数 [答案] B [解析] “p或q”“p且q”都为真，则p真q真，故选B. {a，b，c} )
C．p：15是质数，q：8是12的约数
然语言中的“或者”有两种用法：一是“不可兼”的
“或”；二是“可兼”的“或”，而我们仅研究可兼“或” 在数学中的含义．
1．关于逻辑联结词“且”
(1)“且”的含义与日常语言中的“并且”、“及”、 “和”相当，是连词“既„„又„„”的意思，二者须同 时兼得． (2) 从如图所示串联开关电路上看，当两个开关 S1 、 S2
已知a>0且a≠1，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减， q：不等式：x＋|x－2a|>1的解集为R，若p且q为假，p或q为 真，求a的取值范围．
[解析] p：0<a<1.
由函数 y＝ax 在 R 上单调递减知 0<a<1， 所以
不等式：x＋|x－2a|>1 的解集为 R，即 y＝x＋|x－2a| 在 R 上恒大于 1，又因为
[点评] 用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，
关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词， 选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也 可进行适当的省略和变形．
分别写出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p且q”形 式的复合命题： (1)p：6是自然数；q：6是偶数； (2)p：∅⊆{0}；q：∅＝{0}；
[点评] 为了正确判断复合命题的真假，首先要确定
复合命题的构成形式，然后指出其中简单命题的真假，再 根据真值表判断这个复合命题的真假．
指出下列各命题的构成形式并判断命题的真假． (1)等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边． (2)方程x2－3x－4＝0的根是－4或1.
[解析] (1)这一命题是“p∧q”的形式．
形周长相等，q：相似三角形对应角相等． (2) 这个命题是 p∧q 的形式，其中 p ：垂直于弦的直径 平分这条弦，q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧.
[ 例 2]
分别写出由下列各组命题构成的“ p∧q”，
“p∨q”形式的命题
(2)p：N⊆Z q：{0}⊆N
(3)p：35是15的倍数 q：35是7的倍数
3．下列为假命题的是
( A．3是7或9的约数 B．两向量平行，其所在直线平行或重合 C．菱形的对角线相等且互相垂直 )
D．若x2＋y2＝0，则x＝0且y＝0
[答案] C
二、填空题
4 ．命题 p ： 0 不是自然数，命题 q ： p∧q为________；p∨q为________． 是无理数，则
[答案]
1．3 简单的逻辑联结词
1．知识与技能
理解逻辑联结词“且”“或”的意义会判断命题“p且 q”、“p或q”的真假． 2．过程与方法 能把文字语言，符号语言相互转化．
本节重点：了解“且”与“或”的含义，能判定由
“且”、“或”组成的新命题的真假． 本节难点：对“或”的含义的理解 逻辑联结词“且”与自然语言中的“并且”“和”相 当．“或”与自然语言中的“或者”“可能”相当，但自
[点评] 正确理解逻辑联结词“或”、“且”的含义
是解题的关键，应根据组成上述各复合命题的语句中所出 现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．
分别指出下列命题的形式及构成它的命题． (1)相似三角形周长相等或对应角相等； (2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两 段弧．
[解析]
(1)这个命题是p∨q的形式，其中p：相似三角
都闭合时，灯才能亮；当两个开关 S1 、 S2 中一个不闭合或
两个都不闭合时，灯都不会亮．
(3)从集合角度理解“且”即集合运算“交”．
设命题p：x∈A，命题q：x∈B， 则p∧q⇔x∈A，且x∈B⇔x∈(A∩B)． (4)“p∧q”是这样的一个复合命题：当 p，q都是真命 题时，p∧q是真命题；当p，q 两个命题中有一个命题是假
个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是 假 命题．
4．当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p∨q是 真 命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是 假 命 题．
[例1] 分别指出下列命题的形式． (1)小李是老师，小赵也是老师． (2)1是合数或质数．
(3)他是运动员兼教练员．
(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错 误． [ 分析 ] 本题考查命题的构成形式，是本节课的重点， 也是以后学习的基础．
[解析]
(1)这个命题是p且q的形式，其中，p：小李是
老师；q：小赵是老师． (2)这个命题是p或q的形式，其中，p：1是合数；q：1 是质数． (3)这个命题是p且q的形式，其中，p：他是运动员；q：
他是教练员．
(4) 这个命题是 p 且 q 的形式，其中， p ：这些文学作品 艺术上有缺点；q：这些文学作品政治上有错误．
[例5] 命题“x＝±3是方程|x|＝3的解”中
( A．没有使用任何一种逻辑联结词 B．使用了逻辑联结词“或” C．使用了逻辑联结词“且” )
[误解] A或C
[辨析] 如果认为命题的表面没有逻辑联结词，选A， 或认为使用了逻辑联结词 “ 且 ” ，选 C ，都是错误的．事 实上“x＝±3”的含义为x＝3或x＝－3，是“或”的形式． [正解] B
命题时，p∧q是假命题．
2．关于逻辑联结词“或”
(1)“或”的含义和日常语言中的“或者”相当．是 “要么„„要么„„”的意义，二者中有其一即可． (2) 从并联开关电路上看，当两个开关 S1 ， S2 至少有一 个闭合时，灯就亮，只有当两个开关 S1 和 S2 都断开时，灯
才不会亮．
(3)从集合角度理解“或”即集合运算“并”．
[ 解析 ]
(1)“p 或 q” 形式的新命题： 2006 是正数或
2006是负整数． “ p 且 q” 形式的新命题： 2006 是正数且 2006 是负整 数． (2)“p或q”形式的新命题：1是质数或是方程x2＋2x－
3＝0的根．
“ p 且 q” 形式的新命题： 1 是质数且是方程 x2 ＋ 2x － 3 ＝0的根．
[解析]
(1)此命题是“p 或 q”的形式，其中，p：
－1 是偶数；q：－1 是奇数．因为命题 p 为假命题，命 题 q 为真命题， 所以命题“p 或 q”为真命题． 故原命题 为真命题． (2)此命题为“p 且 q”的形式，其中，p： 2∈Q； q： 2∈R， 因命题 p 为假命题， 命题 q 为真命题， 所以， 命题“p 且 q”为假命题，故原命题为假命题．
一、选择题
1．下列判断正确的是 ( A．命题p为真命题，命题“p或q”不一定是真命题 B．命题“p且q”是真命题时，命题p一定是真命题 )
C．命题“p且q”是假命题，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题，命题“p且q”不一定是假命题 [答案] B [ 解析 ] 题． 因为 p 、 q 都为真命题时，“ p 且 q” 为真命
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①给定两个命题p、q； ②写出它的含有逻辑联结词的命题． 解答这类题目的关键是要正确地使用联结词，并注意 语法上的要求．
(2)p∧q：N⊆Z且{0}⊆N， p∨q：N⊆Z或{0}⊆N.
(3)p∧q：35是15的倍数且是7的倍数，
p∨q：35是15的倍数或是7的倍数．
0 不是自然数且 2是无理数
0 不是自然
数或 2是无理数
5．“3≥3”是________形式的新命题． [答案] p∨q
三、解答题
6．写出由下列各组命题组成的“p或q”“p且q”形式 的新命题． (1)p：2006是正数，q：2006是负整数； (2)p：1是质数，q：1是方程x2＋2x－3＝0的根．
2x－2a(x≥2a)， x＋|x－2a|＝ 2a(x<2a).
所以函数 y＝x＋|x－2a|在 R 上的最小值为 2a， 1 故要使解集为 R，只需 2a>1，所以 a>2， 1 所以 q：a> . 2
由已知 p 和 q 有且只有一个为真．若 p 真 q 假，则 0<a<1 1 1 ⇒0<a≤2，若 p 假 q 真，则 a≤ 2 a≤0或a≥1 1 a> 2 1 ⇒a≥1，所以 0<a≤2或 a≥1.
(3)p：x2＋1>x－4，q：x2＋1<x－4.
[解析] (1)p且q：6是自然数且是偶数．
p或q：6是自然数或是偶数． (2)p且q：∅⊆{0}且∅＝{0}． p或q：∅⊆{0}或∅＝{0}． (3)p或q：x2＋1≠x－4；
p且q：x2＋1>x－4，且x2＋1<x－4.
[例3] 指出下列命题的真假： (1)命题：“－1是偶数或奇数”； (2)命题：“ 属于集合Q，也属于集合R”．
设命题p：x∈A，命题q：x∈B“p∨q”是这样一个复合命题：当 p、q两个命题有 一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p、q两个命题都
是假命题时，p∨q是假命题．
1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就
得到一个新命题，记作 p∧q ，读作 p且q . 2．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就 得到一个新命题，记作 p∨q ，读作 p或q. 3．当p，q都是真命题时，p∧q是 真 命题；当p，q两