2015届高三数学(文)湘教版一轮复习5年高考真题备考题库：第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式]

2009~2013年高考真题备选题库 第三章 三角函数、解三角形
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考 点 两角和与差的三角函数
1．（2013浙江，5分）已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10
2
，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34
D ．－43
解析：本题考查对任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义、同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦、余弦、正切公式的理解，考查考生灵活运用公式以及运算的能力．
法一：(直接法)两边平方，再同时除以cos 2α，得3tan 2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan 2α
，得到tan 2α＝－34. 法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝310，cos α＝1
10
，这时sin α＋2cos α＝
10
2
符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C. 答案：C
2．(2013新课标全国Ⅱ，5分)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1
2，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．
法一：由θ在第二象限，且tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，因而sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－5
5，因而sin θ＋cos θ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－10
5
. 法二：如果将tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，则tan θ＋11－tan θ＝1
2，求得tan θ＝－13.又因为θ在第二象限，则sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210
＝－10
5. 答案：－
10
5
3．(2013四川，5分)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫
π2，π，则tan 2α的值是________．
解析：本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号取舍的判断能力．因为sin 2α＝－sin α，所以2sin αcos α＝－sin α，cos α＝－12.又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以α＝2π3，tan 2α＝tan 4π
3
＝ 3.
答案： 3 .
4．（2012辽宁，5分）已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22
C.22
D ．1
解析：法一：由sin α－cos α＝2可得
(sin α－cos α)2＝2，即sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝2，则2sin αcos α＝－1，所以sin 2α＝－1.
法二：因为sin α－cos α＝2sin(α－π4)＝2，不妨取α＝3π4，则sin 2α＝sin 3π
2＝－1.
答案：A
5．（2010新课标全国，5分）若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π
4)＝( )
A ．－72
10
B.7210 C ．－
210
D.210
解析：由题知，cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－3
5，由两角和的正弦公式
可得sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝(－35)×22＋(－45)×22＝－72
10
.
答案：A
6．（2010福建，5分）计算1－2sin 2
22.5°的结果等于( ) A.1
2 B.22 C.33
D.32
解析：1－2sin 222.5°＝cos45°＝22
. 答案：B。