等腰三角形 性质及判定
等腰三角形性质和判定
等腰三角形的性质和判定等腰三角形是一种特殊三角形，它除具有一般三角形所有的性质外，还有许多特殊性，正是由于它的这些特殊性，使得它比一般三角形的应用更广泛。
因此，我们有必要把这部分内容学得更扎实些。
【重点、难点】重点：等腰三角形的性质与判定。
难点：灵活利用等腰三角形的性质与判定。
关键：掌握好等腰三角形的性质及判定。
【知识要点】1、等腰三角形的一些重要性质：①等腰三角形的两底角相等。
这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。
②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(“三合一”)。
这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。
2、以上的两条重要性质在教科书中被当作两条重要定理。
除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。
①等腰三角形两腰上的中线相等已知：在ΔABC 中，AB＝AC，若BD，CE分别是AC，AB边上的中线，则有BD＝CE。
证明：∵BD，CE是AB，AC边上的中线(已知)∴AD＝AC，AE＝AB(中线定义)∵AB＝AC(已知)∴AD＝AE在ΔABD和ΔACE中，∴ΔABD≌ΔACE(SAS)∴BD＝CE(全等三角形对应边相等)。
②等腰三角形两腰上的高相等已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分别是AC，AB边上的高，那么BD＝CE。
同学可以试着证明一下，还用全等三角形去证。
③等腰三角形两底角的平分线相等已知：在ΔABC中，AB＝AC，如果BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，那么BD＝CE。
同学可利用全等三角形法证明。
3、等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)。
已知：如图，在ΔABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC。
分析：要想证出AB＝AC需构造全等三角形。
考虑学过等腰三角形性质中的“三合一”，我们不妨作顶角的平分线，或过A作AD⊥BC于D。
等腰三角形的性质与判定
第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
【基础知识】一．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．二．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．三．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．【考点剖析】一．等腰三角形的性质（共7小题）1．（2021秋•盱眙县期末）如果等腰三角形两边长是5cm和2cm，那么它的周长是（）A．7cm B．9cm C．9cm或12cm D．12cm2．（2021秋•抚远市期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（）A．15B．12C．12或15D．93．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝∠C，点D是△ABC外一点，E，F分别在AB，AC上，ED与AC交于点G，且∠D＝∠B，若∠1＝2∠2，则∠EGF的度数为（）A．180°﹣2αB．60°+13αC．90°−32αD．30°+23α4．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是．5．（2022春•金湖县校级月考）在△ABC中，∠C＝30°，且∠A＝∠B；求∠A的度数．6．（2022春•睢宁县月考）一个等腰三角形的两条边长为4，7，那么它的周长是多少？7．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．二．等腰三角形的判定（共7小题）8．（2021秋•仪征市期末）在△ABC中，∠A＝100°，当∠B＝°时，△ABC是等腰三角形．9．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定10．（2021秋•滨海县期末）用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．11．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，413．（2021秋•龙华区校级期末）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？三．等腰三角形的判定与性质（共6小题）15．（2020秋•绿园区期末）如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD 于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（）A．4B．3C．5D．1.516．（2021•建湖县二模）若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为cm．17．（2021秋•句容市期末）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于点E，若DE=52，则EB＝．18．（2021秋•射阳县校级期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN＝BM+CN．19．（2021秋•盱眙县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．20．（2021秋•苏州期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（）A．87°B．88°C．89°D．90°【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2021秋•溧阳市期末）若等腰三角形边长别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2．（2021秋•江阴市期末）等腰三角形的周长为21cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．5cm B．11cm C．8cm或5cm D．11cm或5cm3．（2022•陕西模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC 的周长为20cm，则△CDE的周长为（）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm4．（2022•黔东南州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高．若∠CBD＝20°，则∠BAC 的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列长度的三条线段能组成等腰三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．2，2，3D．2，2，46．（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定二．填空题（共3小题）7．（2021秋•溧水区期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，且MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N．若BM＝3cm，MN＝5cm，则CN＝cm．8．（2021秋•宁津县期末）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角的平分线，下列结论中：①CP⊥CD；②∠P=12∠A；③BC＝CD；④∠D＝90°−12∠A；⑤PD∥AC．其中正确的结论是（直接填写序号）．9．（2021秋•东城区校级期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝3，CD＝4，ED＝5，则FG的长为．三．解答题（共3小题）10．（2022春•无锡期中）如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，试求∠MPB+∠NPC 的度数（用含∠A的代数式表示）；（3）将（2）中的直线MN绕点P旋转，分别交线段AB于点M（不与A、B重合），交直线AC于N，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由．11．（2021秋•淮安区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，求∠DBC的度数．12．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．第05讲等腰三角形的性质与判定【学习目标】1.了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握性质及判定方法。
等腰三角形性质及判定
等腰三角形性质及判定
等腰三角形是指三边长度相等的三角形，也叫等腰三角形或等边三角形。
1、等腰三角形的性质：
（1）它的三条边的长度都相等；
（2）它的三个内角都相等，都是60°；
（3）它的两个锐角相等，都是锐角；
（4）它的外角和根据余弦定理可以得到的内角和的和是180°；
（5）它的任意一条腰的垂直平分线为它的直径；
（6）它的面积等于其底边的平方除以4 。
2、等腰三角形判定：
（1）通过量角度来判定：当用角度尺量得到三角形的三个内角值相等，则该三角形为等腰三角。
（2）求外围三角形的周长之和是否相等：三边之和相等的三角形就是等腰三角形。
（3）根据余弦定理：利用余弦定理，设已知任意三角形的两边长度和其夹角，可直接求出另一条边长度，如果当三边长度均相同时，则该三角形即是等腰三角形。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些特殊的性质。
本文将探讨等腰三角形的性质及其相关应用。
一、等腰三角形的定义及性质等腰三角形是指两条边相等的三角形，它的定义可以表示为AC=BC。
等腰三角形的性质包括以下几个方面：1. 角度性质：等腰三角形的底角（底边两边所夹的角）相等。
即∠ACB = ∠CAB。
2. 边长性质：等腰三角形的底边与顶角所对应的两条边相等。
即AC = BC。
3. 对称性质：等腰三角形的顶点关于底边中点对称。
4. 垂直性质：等腰三角形的高与底边重合，且垂直于底边。
二、等腰三角形的证明方法为了证明一个三角形是等腰三角形，有许多方法可以使用。
下面介绍两种常见的证明方法：1. 通过边长证明：假设AC = BC，然后利用几何定理或勾股定理证明三边相等。
2. 通过角度证明：假设∠ACB = ∠CAB，然后利用角度的性质证明三角形两边相等。
三、等腰三角形的应用由于等腰三角形具有特殊的性质，它在几何学中的应用非常广泛。
下面列举一些常见的应用：1. 三角形分类：等腰三角形是常见的三角形类型之一，通过判断三角形是否具有两边相等可以确定其类型。
2. 三角形的相似性：等腰三角形可以用来证明两个三角形相似，从而推导出它们的其他性质。
3. 三角形的面积计算：对于已知两边相等的等腰三角形，可以利用底边和高的关系计算三角形的面积。
4. 几何证明：等腰三角形的性质经常用于几何证明中，以推导出其他三角形的性质。
总结：等腰三角形是具有两条边相等的三角形，它具有一些特殊的性质，包括角度性质、边长性质、对称性质和垂直性质。
为了证明一个三角形是等腰三角形，可以使用边长证明或角度证明的方法。
等腰三角形在几何学中有许多应用，如三角形分类、相似性、面积计算和几何证明。
通过研究等腰三角形的性质，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。
以上就是关于等腰三角形性质的文章。
通过对等腰三角形的定义、性质、证明方法和应用的介绍，我们能够更深入地了解等腰三角形的特点和用途。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是在初中数学中经常讨论的一个概念，指的是具有两条边相等的三角形。
在本文中，我们将探讨等腰三角形的性质及其相关定理。
通过对等腰三角形的研究，我们可以更好地理解三角形的特性和性质。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指一个三角形的两条边相等。
通常情况下，等腰三角形的两条等边分别称为腰，而未与之相等的边称为底边。
根据等腰三角形的定义，我们可以推导出等腰三角形的一些重要性质。
二、1. 等腰三角形的底角相等等腰三角形的两条边相等，因此根据三角形内角和定理可得，等腰三角形的底角相等。
也就是说，如果一个三角形的两条边相等，那么它的底角也相等。
2. 等腰三角形的顶角相等根据等腰三角形的定义和性质1，我们可以得出结论，等腰三角形的顶角必定相等。
因为等腰三角形的两条边相等，所以顶角必然相等。
3. 等腰三角形的高线和中线等腰三角形的高线和中线有一些特殊的性质。
等腰三角形的高线是从顶角所在的顶点到底边所在的垂足的线段。
等腰三角形的中线是连接两条等边中点和底边中点的线段。
4. 等腰三角形的高线和中线相等等腰三角形的高线和中线相等。
这是因为等腰三角形的两条等边分别是高线和中线的斜边，而两条斜边的长度相等。
所以，等腰三角形的高线和中线相等。
5. 等腰三角形的对称性等腰三角形具有一种对称性质。
如果我们把等腰三角形的底边作为对称轴，那么等腰三角形就具有对称性。
也就是说，等腰三角形的两个腰关于对称轴是对称的。
三、等腰三角形的判定怎样判定一个三角形是等腰三角形呢？在数学中，我们有一些判定等腰三角形的条件。
1. 两边相等如果一个三角形的两边相等，那么它就是等腰三角形。
2. 两角相等如果一个三角形的两个角相等，那么它就是等腰三角形。
3. 等边判定法如果一个三角形的三边相等，那么它就是等边三角形，也是等腰三角形。
四、等腰三角形的应用等腰三角形在学习数学过程中有着广泛的应用。
除了上述的性质和定理，等腰三角形还与圆有着紧密的联系。
等腰三角形的性质与定理
等腰三角形的性质与定理等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有一些独特的性质和定理。
本文将对等腰三角形的性质与定理进行详细的介绍。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C。
等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的底角（底边上的角）两个相等。
证明：由等腰三角形的定义可知，AB=AC，再加上三角形内角和为180度的性质，可得∠A+∠B+∠C=180度。
由于∠A=∠B=∠C，所以∠B+∠B+∠B=180度，即3∠B=180度，所以∠B=∠C=60度。
2. 等腰三角形的高（从顶点到底边的垂直线段）和斜边的中线相等。
证明：作等腰三角形ABC的高AD和BC的中线DE。
首先证明AD=DE。
由于三角形ABC是等腰三角形，所以∠A=∠B=∠C=60度。
又因为∠DAB和∠DEC是等腰三角形的底角，所以∠DAB=∠DEC=60度。
因此，由三角形内角和为180度的性质可知，∠DAB+∠BAD+∠BDA=180度，即60度+∠BAD+90度=180度，解得∠BAD=30度。
同理，∠DCE=30度。
再考虑三角形ABD和DEC，由于∠BAD=∠DCE=30度，∠DAB=∠DEC=60度，所以根据AA相似性质可知，∠ABD=∠DEC，故两个三角形相似。
根据相似三角形的性质，可得AD/DE=BD/EC=AB/DC=1/2。
又已知BD=DC，所以AD=DE。
3. 等腰三角形的对顶角（顶点所对的两边的角）相等。
证明：在等腰三角形ABC中，已知∠B=∠C，∠BAC是三角形内角和，即∠BAC+∠CAB+∠ABC=180度，即2∠B+∠ABC=180度，解得∠ABC=180度-2∠B。
同理，∠ACB=180度-2∠C。
由于∠B=∠C，所以∠ABC=∠ACB。
因此，等腰三角形的对顶角相等。
二、等腰三角形的定理1. 等腰三角形底角的平分线是高和对称轴。
等腰三角形的性质
等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
它具有特殊的性质和应用，对几何学有重要的意义。
本文将介绍等腰三角形的定义、性质和相关定理，以及一些实际应用。
一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两边相等（即两边长度相等）的三角形。
根据这个定义，一个等腰三角形必须满足两边相等，而第三边则可以不相等。
等腰三角形可以是直角三角形、锐角三角形或钝角三角形。
二、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角（底边对应的角）和顶角（顶点对应的角）相等。
证明：设等腰三角形ABC中，AB=AC，我们需要证明∠B = ∠C。
由三角形内角和定理可知∠A + ∠B + ∠C = 180°，且由AB = AC可知∠A = ∠C。
因此，∠A + ∠B + ∠A = 180°，即2∠A + ∠B = 180°，推出∠B = ∠C。
2. 等腰三角形的高（从顶点到底边垂直的线段）是底边的中线和中线延长线的垂直平分线。
证明：设等腰三角形ABC中，AB=AC，M为底边BC的中点，D 为顶点A到底边BC的垂直线的交点。
由线段等分的定义可知BM = MC。
因为D为垂线的交点，所以ADM和ACM为直角三角形，且∠ADM = ∠ACM。
另一方面，AM为直线BC的中线，所以MB=MC。
因此，在三角形ADM和ACM中，AD = AC，∠ADM = ∠ACM，MB = MC，根据ASA（对应边相等）准则可知三角形ADM和ACM全等。
根据全等三角形的性质可知∠DAM = ∠CAM，即高AD是底边的中线和中线延长线的垂直平分线。
三、等腰三角形的定理1. 等腰三角形的高与底边的关系定理等腰三角形的高与底边的关系定理表明，等腰三角形的高是底边的平分线和垂直平分线。
即等腰三角形的高可以同时平分底边，使得两个等长的线段垂直于底边。
证明：设等腰三角形ABC中，AB=AC，M为底边BC的中点，D为顶点A到底边BC的垂直线的交点。
等腰三角形的性质与判断及应用
等腰三角形的性质与判定知识梳理:1．等腰三角形的概念：有相等的三角形，叫做等腰三角形，叫做腰，另一条边叫做．两腰所夹的角叫做，底边与腰所夹的角叫做．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个相等，也可以说成．这一性质是今后论证两角相等的常用依据之一。
(2) 三线合一: 即．这一性质是今后论证两条线段相等，两角相等及两直线垂直的重要依据。
(3)等腰三角形是图形．除此外，根据等腰三角形的对称性还应有如下重要的性质，虽在证明中不能直接引用，但对于填空、选择则可直接运用，并且这些性质对今后的推理证明都有非常重要的作用。
①等腰三角形两腰上的中线相等②等腰三角形两腰上的高相等③等腰三角形两底角的平分线相等3．等腰三角形的判定：(1)有相等的三角形是等腰三角形．(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角也相等．简写成．4、有关等腰三角形周长的计算给出三角形中两边的数据求周长时，一定要考虑对某一边有两种可能情况：一它可能是腰，二它可能是底。
最后确定具体是腰还是底，就要看得出的三边关系是否符合：任两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
如：已知等腰三角形的两边分别是3cm，5cm，则周长此时有两种情况：11cm或13cm。
当腰长为3cm时，周长为：3cm+3cm+5cm=11cm；当腰长为5cm时，周长为：3cm+5cm+5cm=13cm。
若两边分别是4cm，8cm，则周长只有一种结果，长为20cm（8cm做腰，4cm做底）。
另一种可能是以4cm做腰，8cm做底，此时，4cm+4cm=8cm，不符合任两边之和大于第三边的三角形三边关系，故不能考虑在内。
【例题讲解】例1：已知：如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证：CE＝CB。
例2：如图，已知点D，E在BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE。
例3：如图，点D ，E 在AC 上，∠ABD ＝∠CBE ，∠A ＝∠C ，求证：BD ＝BE 。
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24
2、等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于 ------ .等腰三角形 的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（ 或直角）. 3、三条边都相等的三角形叫做------- .也称为正三角形.等边三角形 是一类特殊的等腰三角形，有------条对称轴，每个角的 --------(底边上的------ 线或-------线)所在的直线就是它的对称轴.
学习目标
♥掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段
相等以及两条直线垂直．
♥掌握等腰三角形的判定定理．
♥熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
2015/12/24
1
小组清零
要点检测
1、有两条边相等的三角形，叫做-------- ，其中相等的两条边叫做 腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做-------，底边与腰的夹角 叫做-------.
要点检测
（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线 AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若∆ABC的边长是1，AE=2， 求CD的长（请你直接写出结果）
解析：过点E做EF∥BD交CA的延长线于点F ∠FEC=∠ECD=∠D ∠F=∠ACB=∠B=60° ED=CE ∴△EFC≌△EDB（AAS）
角的度数为_______.
顶角为钝角如图②，
则顶角度数为60°
②顶角为钝角如图②， 则顶角度数为120°
【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟记三 角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本 题易出现的错误是忽视了顶角为120°这种情况，把三角 形简单的认为是锐角三角形．
要点检测
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★★★ 例5、在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB 的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关 系，并说明理由.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论：当点E为AB中点时，如图1，确 定线段AE与DB的大小关系，请直接写结论：AE____BD（填 “>”“<”或“=”） （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE___DB（填“>”“<” 或“=”） 理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F. （请完成以下解答过程）
要点检测
（3）有一个角是-------°的 ------三角形是等边三角形．
要点检测
★ 例1、如图，Δ ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则 ∠EDF＝ （ ） 1 A．2∠A B．90°－2∠A C．90°－∠A D．90 A 2
1
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要点检测
例1【变式1】如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝ AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.
例2【变式1】已知等腰三角形的底边BC＝8cm，且|AC－
BC|＝2cm，那么腰AC的长为(
A．10cm或6cm B．10cm
)．
C．6cm D．8cm或6cm
【变式2】有一等腰三角形三边分别是3x-2,4x-3,6-2x，则等 腰三角形的周长为_____
要点检测
例3、如图，△ABC中，∠ABC=46°，D是BC边上一点,DC=AB， ∠DAB=21°，试确定∠CAD的度数.（提示：如图所示，作 ∆ABD关于AD的轴对称图形△AED，AE和DC相交于点F，连接 CE.）
证相交所成的角是90度； 证其中一条直线平行于另一条直线的垂线。
诊学练测
如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作 PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连 PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
5、如图所示，∠AOB是一个钢架，且∠AOB＝10°，为了使 钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF , FG，GH，…，添加 的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根．
各小组积分、纪律情况点评
比比谁的笑脸最多 哪一组的红旗数最多 红旗数最多的小组组长加
课堂总结
下周继续抓以下习惯 一、完成学案及作业 二、色笔区分 三、靠旁白 四、家长签字
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任务布置
返校时间：不见不散 作业：诊学练测“实数” 截屏发qq 完成学案：6-10页 看知识导学，自批学案； 网校高清课，旁白记录；
要点检测
（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线 AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若∆ABC的边长是1，AE=2， 求CD的长（请你直接写出结果）
F
微课检验
已知：如图，Δ ABC中，AB＝AC，F是AB上一点，延长CA至E， 使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．
△AEF为等边三角形
∴BD=EF=AE=2 ∴CD=BD-BC=1
（3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且 ED=EC，若∆ABC的边长是1，AE=2，求CD的长（请你直接写出 结果）
解析：过点E做EF∥BD交AC的延长线于点F ∠AFE=∠ABC=60° ∠F=∠ACB=60° ∴△AEF为等腰三角形 ∴EF=AE=2 ∠1=∠2=∠D ∠DBE=∠ABC=∠F=60° EC=ED ∴△EFC≌△DBE（AAS） ∴BD=EF=2 ∴CD=BD+BC=1+2=3
老师擂台
• • • • • • • • • 准备好了吗？ 规则：最先出来正确答案的个人（前三名加星） 最先都出来正确答案 讲解的时候，请注意 A. 正确答案 B. 规范步骤 C. 考点 D. 所属类型 E. 总结升华 预备，开始
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反思小结 体验收获
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
E
要点检测
★★★ 例4、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D 在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作 ∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时， ∠BAD=_______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_______ （填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时， △ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中， △ADE的形状也在改变，判当∠BDA等于多少度时，∆ADE是等 腰三角形？
直线是它的 -------- ，通常情况只有一条对称轴．
6、等腰三角形的判定： 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的-------（简称“等角对等边”）.
小组清零 7、等边三角形的判定定理 （1）三条-----都相等的三角形是等边三角形； （2）三个-------都相等的三角形是等边三角形；
小组清零 4、等腰三角形的性质 （1）性质1：等腰三角形的两个------相等（简称“等边对等角”） 推论：等边三角形的各个内角都等于-------° （2）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上 的中线互相--------（简称“三线合一”）．
要点检测
5、等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在
要点检测
例2【变式2】如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、 A3、A4、„、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使 A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，„，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An，若 ∠B=30°，则∠An=_______°．
要点检测
例2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶