机器人概论 第二章机器技术数学基础

0 Trans ( a , b , c ) = 0 0 1 0 0 0 1 0 b c 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。 用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新 3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新 求矢量2i+3j+2k被矢量4i 矢量. 0 0 0 矢量. 1 1 0 − 4 3 2 6 3 0
az az = 2 2 a ax + a y + az2
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2.1 位置和姿态的表示
重合时： 重合时：
z P
1 0 0 R = 0 1 0 0 0 1
γ α x β y
若坐标系B可由坐标系A,通过绕 的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转 若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转 通过绕A 矩阵分别为
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2.1 位置和姿态的表示
3.位姿描述 3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态), ),用刚体的方位矩阵 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵 和方位参考坐标的原点位置矢量表示，即 和方位参考坐标的原点位置矢量表示，
{B } = {
A B
R
A
p B0
}
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2.2 坐标变换
0 1 0 cθ 0 sθ cθ − sθ 0 R( x,θ ) = 0 cθ − sθ R( y,θ ) = 0 1 0 R( z,θ ) = sθ cθ 0 0 sθ cθ − sθ 0 cθ 0 0 1
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2.3 齐次坐标变换
如用四个数组成的(4 1)列阵 如用四个数组成的(4×1)列阵 (4× 式中： 式中：a =w px; b=w py; c=w pz
w为比例系数 为比例系数
表示三维空间直角坐标系{A}中点 则列阵 x Py Pz 1]T称为 中点p,则列阵 表示三维空间直角坐标系 中点 则列阵[P 三维空间点P的齐次坐标。 三维空间点 的齐次坐标。 的齐次坐标
显然，齐次坐标表达并不是唯一的， 值的不同而不同。 显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在机器人的运动 值的不同而不同 分析中，总是取w=1 。 分析中，总是取 P = [ 3 4 5 1 ]T = [ 6 8 10 2 ]T = [ -3 -4 -5 -1]T 齐次点（ 齐次点（a,b,c,w）被投射回复到三维时简单地就是（a/w,b/w,c/w）, ）被投射回复到三维时简单地就是（ ） 将比例因子w去除 去除。 将比例因子 去除。
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2.1 位置和姿态的表示
cos α x A R = cos β x B cos γ x cos α y cos β y cos γ y cos α z r11 cos β z = r21 cos γ z r31 r12 r22 r32 r13 r23 r33
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2.3 齐次坐标变换
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2.3 齐次坐标变换
几个特定意义的齐次坐标：
• [0, 0, 0, n]T—坐标原点矢量的齐次坐标， 坐标原点矢量的齐次坐标， 坐标原点矢量的齐次坐标 n为任意非零比例系数 为任意非零比例系数 • [1 0 0 0]T—指向无穷远处的 指向无穷远处的OX轴 指向无穷远处的 轴 指向无穷远处的OY轴 • [0 1 0 0]T—指向无穷远处的 指向无穷远处的 轴 • [0 0 1 0]T—指向无穷远处的 指向无穷远处的OZ轴 指向无穷远处的 轴
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2.1 2.2 2.3 2.4 位置和姿态的表示 坐标变换 齐次坐标变换 物体的变换
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机器人位置和姿态的描述
• 机器人可以用一个开环关节链来建模 • 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 • 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体 • 人们感兴趣的是操作机末端执行 器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 几何描述， 学问题 • 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关 节变量空间之间的关系
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2.3 齐次坐标变换
引入齐次变换后， 连续的变换可以变成 矩阵的连乘形式。计 算简化。
0 − 1 1 0 R(z ,90) = 0 0 0 0 0 0 0 1 R( y,90) = −1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 7 − 3 3 7 = 2 2 1 1 −3 2 7 7 = 2 3 1 1
n o
θi
a
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2.1 位置和姿态的表示
1.位置描述 1.位置描述 在直角坐标系A 空间任意一点p 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用 x1列向量 位置矢量)表示: 可用3 列向量( (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
A
P = [ px
将上式增广为齐次式： 将上式增广为齐次式：
1 0 R(x,θ) = 0 0 0 0 cθ 0 cθ −sθ 0 R(y,θ) = −sθ sθ cθ 0 0 0 1 0 0 0 sθ 0 cθ −sθ sθ cθ 1 0 0 R(z,θ) = 0 0 0 cθ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
0.866 −0.5 0 3 −0.902 12 11.908 = 0.5 0.866 0 7 = 7.562 + 6 = 13.562 0 0 1 0 0 0 0
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2.3 齐次坐标变换
1.齐次变换 1.齐次变换
A
P= R⋅ P+ PB 0 可以写为: 可以写为:
A B B A
A AP BR = 1 0 A
PB0 B P 1 1
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为: 点在{A} {B}中的位置矢量分别增广为 {A}和 中的位置矢量分别增广为:
A
P= x
A
A B B
[
A
y
A
z 1 , P= x
B
A
]
T B
[Hale Waihona Puke ByBz 1
]
T
而齐次变换公式和变换矩阵变为: 而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A
P = T P,
A BR A BT = 0
PB 0 1
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2.3 齐次坐标变换
2.平移齐次坐标变换 2.平移齐次坐标变换 {A}分别沿{B}的 {A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距 分别沿{B} 坐标轴平移a 离的平移齐次变换矩阵写为： 离的平移齐次变换矩阵写为： 1 0 0 a
cθ A R = R ( z , 30 0 ) = sθ B 0
A A p = B R B p + A pB0
− sθ cθ 0
0 0.866 0 = 0.5 1 0
− 0.5 0.866 0
0 12 0 ; Ap B0 = 6 0 1
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2.1 位置和姿态的表示
这些旋转变换可以通过右图推导 A x p = B x p cos θ − B y p sin θ
A A
y p = B x p sin θ + B y p cos θ z p = Bz p
A xp cosθ −sinθ 0 B xp A B y yp = sinθ cosθ 0 p A zp 0 0 1 B zp 这是绕Z轴的旋转. 这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可 得上页结果. 得上页结果.
z P
γ α β y
上述矩阵称为旋转矩阵, 上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交 的.即
A B A R −1 = B R T A B
x
R =1
cos α = cos β = cos γ =
ax ax = 2 2 a ax + a y + az2 ay a = ay
2 2 ax + a y + az2
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
1. 平移坐标变换 坐标系{A}和{B} 具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :
A
P = P + PB 0
B A
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2.2 坐标变换
2.旋转变换 2.旋转变换 坐标系{A}和{B}有 相同的原点但方位不同, 则点P的在两个坐标系 中的位置矢量有如下关 系:
py
pz ]
T
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2.1 位置和姿态的表示
2.方位描述 2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation) 空间物体B的方位(Orientation) 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于 的三个单位主矢量[x 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 矩阵描述. 矩阵描述.
A
P= R⋅ P
A B B
A B