非线性电阻电路分析
非线性电阻电路分析
(
)
清华大学电路原理教学组
已知i 例2 已知 1 = u1 , i2 =u25, i3 =u33 ，求 u 。 u i1 R1 + 2V _ + u _1 i2 R2 + 1V _ + u _2 i3 R3 + 4V _ + u _3 非线性电阻是压控电阻， 非线性电阻是压控电阻， 则列KCL方程： 方程： 则列 方程 i1+i2+i3=0 u1+u25+u33=0 u-2+(u-1)5+(u-4) 3=0 u
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例2 充气二极管 i + u _
i
伏安特性 给定一个电流，有一个对应的电压；而给定一个电压， 给定一个电流，有一个对应的电压；而给定一个电压，最多 可有3个对应的电流值 个对应的电流值。 可有 个对应的电流值。即 u = f (i)。称为“流控型”或 “ S型”。 。称为“流控型” 型 例3 整流二极管 i = I s ( e u U TH − 1 ) i i + 对于硅二极管来说， 对于硅二极管来说，典型值为 u _ u -IS I = 10−12 A = 1pA
其特性为一直线。 其特性为一直线。 两曲线交点坐标 (u0 , i0 ) 即为所求解答。 即为所求解答。
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i0
0
u0
US
u
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4.4
分段线性法
一、分段线性法 将非线性电阻近似地用折线来表示。 将非线性电阻近似地用折线来表示。 将求解过程分为几个线性段，每段中分析线性电路。 将求解过程分为几个线性段，每段中分析线性电路。 例1 u u Ua U0 i 等效电路 OA段 段 +º u _ º
非线性电阻电路的分析方法
非线性电阻元件的图形符号与伏安函数关系:
i
+ u
u=f(i) i=g(u)
非线性电阻元件分类
流控电阻 压控电阻 单调型电阻
1 流控电阻：电阻两端电压是其电流的单值函数。
i
对每一电流值有唯一的电压与 之对应，
对任一电压值则可能有多个电流与之对应
(不唯一)。
某些充气二极管具有类似伏安特性。
0
u
流控电阻的伏安特性呈“S”型。
例：一非线性电阻
uf(i)10 i0 i3
(1) 分别求 i1 = 2A， i2 = 2Sin314t A， i3 = 10A时 对应电压 u1，u2，u3；
u110 i1 0i1 320 V8
u210i2 0i23
20s0i3n1t48s i3n 31t 4( s i3θ n3sθ in4s iθ 3n)
i1 G 1 ( U n1 U s )
i2 G 2( U n1 U n3 )
i3 5( U n1 U n2 )3
i4 10 ( U n 2 U n 3 )1 3
i5
15 U
15 n2
则节点方程为
i2
i3 U n1 + u 3 G 1 i1
+
Us
G2
Un2 i4
+
+
u5
i5
u4 Un3 Is
例：一非线性电阻
uf(i)10 i0 i3
(1) 分别求 i1 = 2A， i2 = 2Sin314t A， i3 = 10A时 对应电压 u1，u2，u3；
(2) 设 u12 = f (i1 + i2 )，问是否有u12= u1 + u2？
非线性电阻电路的分析.
教学活动和过程
非线性电阻电路的分析
如果电阻两端的电压与通过的电流成正比，这说明电阻时一个常数，不随电压或电流而变动，这种电阻称为线性电阻。
线性电阻两端的电压与其中电流的关系遵循欧姆定律。
如果电阻不是一个常数，而是随着电压或者电流变动，那么，这种电阻就称为非线性电阻。
非线性电阻两端的电压与其中电流的关系不遵循欧姆定律，一般不能用数学式表示，而是用电压与电流的关系曲线U＝f（I）或者式I＝f（U）来表示。
这种曲线就是伏安特性曲线，一般是通过实验作出的。
非线性电阻元件的电阻有两种表示方式。
一种称为静态电阻（或称为直流电阻），它等于工作点Q的电压U与I之比即
Q点的静态电阻正比于tanα。
另一种称为动态电阻（或称为交流电阻），它等于工作点Q附近的电压微变量ΔU与电流微变量ΔI之比的极限，即
动态电阻用小写字母表示，Q点的动态电阻正比于tanα，β是Q点的切线与纵轴的夹角。
简单非线性电阻电路分析
第六章简单非线性电阻电路分析由电压源、电流源和电阻元件构成的电路，称为电阻电路。
由独立电源和线性电阻构成的电阻电路，称为线性电阻电路，否则称为非线性电阻电路。
分析非线性电阻电路的基本依据仍然是KCL、KVL和元件的VCR。
非线性电阻电路的一般分析方法已超出本课程的范围。
本书只讨论简单非线性电阻电路的分析，为学习电子电路打下基础。
§6 - 1非线性电阻元件电压电流特性曲线通过u-i平面坐标原点直线的二端电阻，称为线性电阻；否则称为非线性电阻。
按照非线性电阻特性曲线的特点可以将它们进行分类。
其电压是电流的单值函数的电阻，称为流控电阻，用u=f(i)表示；其电流是电压的单值函数的电阻，称为压控电阻，用i=g(u)表示。
图6-1图(a)所示隧道二极管是压控电阻。
图(b)所示氖灯是流控电阻。
图(c)所示普通二极管既是压控电阻，又是流控电阻。
图(d)所示理想二极管既不是流控电阻，又不是压控电阻。
其特性曲线对称于原点的电阻，称为双向电阻；否则称为单向电阻。
图(b)所示氖灯是双向电阻，图(a)、(c)、(d)所示隧道二极管、普通二极管和理想二极管都是单向电阻。
单向性的电阻器件在使用时必须注意它的正负极性，不能任意交换使用。
理想二极管是开关电路中常用的非线性电阻元件。
其参考方向如图-1(d)所示时，其电压电流关系为：当u「0当「0 -图6-2§6- 2非线性电阻的串联与并联由线性电阻串联和并联组成的单口网络，就端口特性而言，等效于一个线性电阻，其电阻值可用串联和并联等效电阻的公式(2 - I)、(2 - 2)求得。
u HR R k (2 -1)i k 土nG」'G k (2 -2)u k 土由非线性电阻(也可包含线性电阻)串联和并联组成的单口网络，就端口特性而言，等效于一个非线性电阻，其VCR特性曲线可用图解法求得。
一、非线性电阻的串联图6 —3(a)表示两个流控非线性电阻的串联，它们的VCR特性曲线u1=f1(i1)和u2=f2(i2)如(b)中曲线①、②所示。
§6-3简单非线性电阻电路的分析
解：已知非线性电阻特性的解析表达式，可以用解析法求 已知非线性电阻特性的解析表达式， 求得l 解。由KCL求得 电阻和非线性电阻并联单口的 求得 电阻和非线性电阻并联单口的VCR 方程
i = i1 + i 2 = u − 2u + 1
2Leabharlann i = i1 + i 2 = u − 2u + 1
2
写出l 电阻和 电压源串联单口的 电压源串联单口的VCR方程 写出 电阻和3V电压源串联单口的 方程
图6－9 －
1． 将线性含源电阻单口网络用戴维宁等效电路代替 。 ． 将线性含源电阻单口网络用戴维宁等效电路代替。 2．写出戴维宁等效电路和非线性电阻的VCR方程。 ．写出戴维宁等效电路和非线性电阻的 方程。 方程
u = u oc − R o i i = g (u )
求得
( 6 − 1)
u = u − Ro g (u )
(6 − 2)
这是一个非线性代数方程；若已知 的解析式， 这是一个非线性代数方程；若已知i=g(u)的解析式， 的解析式 则可用解析法求解：若已知 的特性曲线， 则可用解析法求解：若已知i=g(u)的特性曲线，则可用以 的特性曲线 下图解法求非线性电阻上的电压和电流。 下图解法求非线性电阻上的电压和电流。
i = 3−u
由以上两式求得
u −u −2 = 0
2
求解此二次方程，得到两组解答： 求解此二次方程，得到两组解答：
u = 2 V , i = 1A u = −1V , i = 4 A
图6－11 －
例6-5 电路如图6－11(a)所示。已知非线性电阻特性曲线 电路如图 － 所示。 所示 如图6－ 中折线所示。 和电流i。 如图 －11(b)中折线所示。用图解法求电压 和电流 。 中折线所示 用图解法求电压u和电流
线性电阻和非线性电阻实验报告
线性电阻和非线性电阻实验报告线性电阻和非线性电阻实验报告引言：电阻是电路中常见的元件之一，它的作用是限制电流的流动。
在实际应用中，电阻可以分为线性电阻和非线性电阻两种类型。
本实验旨在通过实际测量和分析，探讨线性电阻和非线性电阻的特性和应用。
实验一：线性电阻特性测量1. 实验目的本实验旨在测量线性电阻的电流-电压特性曲线，并分析其特性。
2. 实验步骤（1）搭建线性电阻电路，将电流表和电压表连接到电路中。
（2）通过改变电源电压，记录不同电压下的电流值。
（3）根据测得的电流和电压值，绘制电流-电压特性曲线。
3. 实验结果与分析根据实验测量结果，我们绘制了线性电阻的电流-电压特性曲线。
从曲线可以看出，电流和电压之间呈现线性关系，符合欧姆定律。
线性电阻的电阻值可以通过曲线的斜率计算得出。
实验二：非线性电阻特性测量1. 实验目的本实验旨在测量非线性电阻的电流-电压特性曲线，并分析其特性。
2. 实验步骤（1）搭建非线性电阻电路，将电流表和电压表连接到电路中。
（2）通过改变电源电压，记录不同电压下的电流值。
（3）根据测得的电流和电压值，绘制电流-电压特性曲线。
3. 实验结果与分析根据实验测量结果，我们绘制了非线性电阻的电流-电压特性曲线。
与线性电阻不同，非线性电阻的电流-电压关系不是简单的线性关系。
在低电压范围内，电流随电压的增加而迅速增加，但随后增长速度逐渐减慢，形成曲线的饱和区域。
这是由于非线性电阻的电阻值随电压的改变而变化，导致电流-电压关系不再是线性的。
结论：通过本实验的测量和分析，我们深入了解了线性电阻和非线性电阻的特性和应用。
线性电阻的电流-电压关系呈现线性，符合欧姆定律；而非线性电阻的电流-电压关系则不是简单的线性关系，其电阻值随电压的改变而变化。
这些特性使得非线性电阻在电路设计和电子器件中具有广泛的应用，如温度传感器、光敏电阻等。
总结：通过本实验，我们不仅学习了线性电阻和非线性电阻的特性，还掌握了测量和分析电流-电压特性曲线的方法。
§15-2 非线性电阻电路的图解法
u = u1 + u 2
西南交通大学
（1）若知解析式 u1 = f 1 (i1 )， u2 = f 2 (i 2 ) 则串联后的伏安特性
u = u1 + u2 = f 1 (i) + f 2 (i)
（2）若其中一个为压控型，或只知R1和R2的伏安特 性曲线 f1(u1, i1)=0、 f2(u2, i2)=0， 可用图解法求等效 的伏安 特性 f (u,i)=0。
电路的解为
i = 0.281A i1 = 0.269 A
及
i = 0.222 A i1 = 0.233 A
西南交通大学
二、曲线相交法 US为直流电压源，R0为线性电阻，R为非线性电阻 求u和i
R0 + Us R i + u 0 u i
曲线相交法： 端口左侧电路 非线性电阻R
u = U s − R0 i
（1） （2）
西南交通大学
i = g ( u)
通常把方程（1）所画直线称为负载线。 两曲线的交点即为电路的解。
i
i + D u i2 Us i2 i1 + u1 + u2 i i1
0
u1
0
Us
u2
0
Us
u
西南交通大学
例2：求图示电路端口的伏安特性。其中D为理 想二极管，R为线性电阻。
i + i1 i2 Us + u1 R + u2 i3 + u3 -
u
解：
i1 i3 u u3 i
0
Us
0
0
Us
u
西南交通大学
Us R0
i Q1 Q2 u UQ
非线性电阻电路的分析
1.非线性电阻的描述 非线性电阻的描述
非线性电阻： 电阻值随电压/电流的变化而变化 电流的变化而变化。 非线性电阻： 电阻值随电压 电流的变化而变化。
U I
非 线 性 特 性
I2 I1
I Q2 Q1 U1 U2 U
R
工作点不同 电阻不一样
Q1 : Q2 :
R1 = R2 =
U1 U2
i
E/R u IQ
非线性部分
+ _ E
R
i
Q u UQ E
线性部分
u = E − iR
i = f (u )
3.动态分析 3.动态分析 -- 微变等效电路法
用动态电阻来代替非线性电阻进行分析。 用动态电阻来代替非线性电阻进行分析。
I1 I2
静态电阻U R = = tgα NhomakorabeaIQ
动态电阻
∆u r= = tgβ ∆i
Q ∆i ∆u
I
i
α
u
U
β
适用于分析微变 电压引起微变电 流的情况
适用于外加固定电压的情况
静态分析-2. 静态分析--图解法
静态分析内容：电路加上恒定直流电压时， 静态分析内容：电路加上恒定直流电压时，求各处 的电压和电流。 的电压和电流。
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例4.2.1 图示为一非线性电阻电路，其中R1、R2为线 性电阻，R3为非线性电阻，其电压电流关系为
1
u3 50i35 试列出其电路方程求出相应的变量
解：方法1：网孔法
(RR12i1
R2 )i1 R2i3 R2i3 u3
线性电阻的伏安特性为u， 2i i3 现已知当uS(t)0时，
回路中的电流i为1A。如果uS(t)costV时，试用小
信号分析法求回路中的电流i。
2 i
解 由题意可知，此电路中的静 uS
态工作点在I0=1A处，工作点处
u
的动态电阻为
5V
Rd
du di
iI0
2 3i2
i 1
5
2 i1
作出小信号等效电路
4.4 小信号分析法
图示电路中，直流电压源为U0， 电阻R0为线性电阻，非线性电阻 uS (t)
R是电压控制型的，其伏安特性
i=f(u)，其伏安特性曲线如图
U0
4.4.1 (b)所示
R0 i
R i f (u)
u
小信号时变电压为uS(t)
图4.4.1（a)
i
任意时刻t 都有U0 us (t)
i f (u)
由此可以作出给定非线性电阻在工作点(UQ，IQ)处 的小信号等效电路，如图4.4.2所示。
由小信号电路可得
R0 i1(t)
i1
uS (t) R0 Rd
u1
Rd uS R0
(t) Rd
uS (t) Rd u1(t)
(4.4.12) 图4.4.2 小信号模型
例4.4.1 在如图4.4.3(a)所示非线性电阻电路中，非
图解分析方法的思路：因为每个方程代表一条特性曲
线，图解分析方法就是用作图的方法找到这些曲线的
交点，即静态工作点(quiescent operating point)。
i1
i2
N1 u1
u2 N2
图解分析法的原理
一、图解法的基本原理：将非线性电路拆分为两个一端 口电路N1和N2，如图所示。拆分的方式可以是任意的， 为了列写电路方程的方便，一般拆分成线性电路部分和 非线性电路部分，也可以拆分成两个非线性电路部分。 设N1和N2的电压电流关系为：
uS
Rd u1
可得：
i1
uS 2
5
1 7
cos tA
uS
故总电流为
i (1 1 cost)A
7
2 i1 Rd u1
4.5分段线性分析 分段线性分法析法(piecewise linearization analysis)
是一种实用的近似方法，即用一条折线来分段逼近特性 曲线，所以有时也称之为折线法(polygon method)。
i1 N1 u1
i2 u2 N2
图解分析法的原
f1(u1,i1) 理0
f2
(u2
,
i2
)
0
根据KVL和KCL，有
ui11ui22
由上两式，可得
f1(u2 , i2 f2 (u2 , i2 )
)0 0
(4.3.3a)
或
f1(u1,i1) f2 (u1, i1)
0
0
(4.3.3b)
用图解法在同一坐标系中画出式(4.3.3a)或式 (4.3.3b)中两个方程的特性曲线，其交点为电路方 程的解。
思路：就是用若干段斜率不同的折线近似代替非 线性电阻的实际特性曲线，从而将非线性电阻电路 转化为几个线性电路求解，每个线性电路对应一个 相应的区间。
4.5分段线性分析法
i 2
C3
I2 B
I3
1
A
U3 O
U2 u
图4.5.1 分段线性逼近
图4.5.1所示为流控型非线性电阻的特性曲线，可 以将非线性电阻的特性分作三段，分别用OA、AB、 和BC三段直线来逼近它。直线方程如果用电流为自 变量，其一般表达式为
Q 8V
B 0.2A
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u(V)
u 2.4 Ik 2.4 0 2.4V 1.5V 0.2 Gdk 0.2 0.8
显然，这是一个虚假解，应该舍弃 对。AB段，可测得Ik=1.0A，Gdk =0.025S
u 2.4 Ik 2.4 1 6.22V 0.2 Gdk 0.2 0.025
u Uk Rdki
u Uk Rdki
其中Uk是第k段直线与u轴交点的坐标。显然， 图 4 . 5 . 1 中 的 U1=0，U20，U30。Rdk 为 动 态 电 阻 ， 等于第k段直线的斜率，即
Rdk
du di
k
i 2
C3
图中三条线段上，有三个动态电阻 I2 B
OA段是通过原点的直线
I3
(a)
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u(V)
解
图4.5.3
(b)
现在按电压分为两段，分别用OA0（ u 1.5V）、AB
（u 1.5）V两条直线分段逼近。取u为自变量，直线方
程是
i Ik Gdku
对OA段，可测得 Ik=0A，Gdk =0.8S，
i(A)
2 0.8A
1 A 1V
1.对电流控制型非线性电阻，采用网孔法或回路法 进行分析比较简单，因为用电流变量（网孔电流或 回路电流）容易表示电流控制型非线性电阻上的电 压。 2.对电压控制型非线性电阻，采用节点法或割集法 进行分析比较简单，因为用电压变量（节点电压或 割集电压）容易表示电压控制型非线性电阻上的电 流。
4.3图解分析法
uS
i1 R1 ① uS i1 R2
i3 i3 R3 u3
1
u3 50i35
消去i1、u3，可得
i3
uS R1
R1 R2 R1R2
1
50i35
例4.2.1 图示为一非线性电阻电路，其中R1、R2为线 性电阻，R3为非线性电阻，其电压电流关系为
1
u3 50i35 试列出其电路方程求出相应的变量
第四章 非线性电阻电路
4.1 非线性电阻元件的特性 4.2 非线性电阻电路的方程 4.3 图解分析法 4.4 小信号分析法 4.5 分段线性分析法 4.6 数值分析法 4.7 应用实例：温度测量与控制电路
本章介绍非线性电阻电路方程的建立方法，分析 非线性电阻电路的一些常用方法，如图解分析法、 小信号分析法、分段线性化方法、数值分析法等。
u
O
u
可看出方程既无法把u表达成i的单值函数，也无 法把i表达成u的单值函数。
注意：与线性电阻不同，非线性电阻一般不是双向电 阻。例如PN结二极管，就必须明确地用标记将其两 个端钮区别开来，在使用时必须按标记正确接到电路 中。
4.2非线性电阻电路的方程
从列写电路方程的两个基本依据来看：
1.基尔霍夫电流定律（KCL）、基尔霍夫电压定 律（KVL）只与电路的结构有关，而与元件的性 质无关。因此就列写KCL和KVL本身方程，非线 性电阻电路与线性电阻电路无区别。
U0 u
3.当uS(t)加入时
u UQ u1
i
IQ
i1
(4.4.4)
u1、i1是由于小信号uS(t)的作用而引起的偏差在
U0 us (t) 的条件下，
在 任 何 时 刻 t，u1、i1 相 对 ( UQ，IQ) 都 是 很 小 的 量。 由if(u)可得：
IQ i1 f [UQ u1] (4.4.5）
i i 106 (e40u 1)
u 0.34V，i 0.66A 0.8 i 1 u
Q
0.4
O
0.2 0.4 u
(C)
4.4 小信号分析法
上节图解法是在直流激励下，确定静态工作点， 如果在此基础上再加入幅度很小的随时间变化的信 号（小信号），如何处理呢？
小信号分析法的基本思路：是在静态工作点确定 的基础上，将非线性电阻电路的方程线性化，得到 相应的小信号等效电路或增量等效电路（线性电阻 电路）。利用分析线性电路的方法进行分析计算。
uOC
0.5 2 0.5 0.5
1V
R0
0.5 0.5 0.5 0.5
0.75
1
则线性电路部分的电压电流关系为：
i 1u
非线性电路部分的电压电流关系为i 106 (e40u 1)A
在同一坐标系中作出两部分电路的伏安特性曲线，如
图(c)所示，其交点为Q，即为非线性电阻R的静态工作
点，对应的坐标为
i(A)
2 0.8A
1 A 1V
Q 8V
B 0.2A
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u(V)
此时正好在AB段的范围内，代入直线方程 得到
i Ik Gdku 1 0.025 6.22 1.16A
注意：对每个线性电路计算后，要根据电压和电流的 等效范围进行校验，仅当工作点在其有关段的等效范 围时，其解才是正确的。否则便是虚假工作点，应予 以舍弃。
式中x为待求的电路变量，一般为电压或电流。
牛顿法：是基于围绕某一近似解x(k ) 对函数f (x) 进行
泰勒展开给出的，即
f (x) f (x(k) ) df
(x x(k)) 1 d 2 f
(x x(k) )2
dx xx(k )
4.6 数值分析法
数值分析法(numerical analysis)一般采用逼近 的方法，使用迭代的点序列逐步逼近非线性方程 的解。逼近的方法有牛顿法、共轭梯度法等。本 节主要介绍牛顿法。
含有一个非线性电阻电路的方程，最终可归结 为一个一元非线性方程，假设电路方程的形式为
f (x) 0 (4.6.1)