非线性电阻电路分析

Q 8V
B 0.2A
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u(V)
u 2.4 Ik 2.4 0 2.4V 1.5V 0.2 Gdk 0.2 0.8
显然，这是一个虚假解，应该舍弃 对。AB段，可测得Ik=1.0A，Gdk =0.025S
u 2.4 Ik 2.4 1 6.22V 0.2 Gdk 0.2 0.025
第四章 非线性电阻电路
4.1 非线性电阻元件的特性 4.2 非线性电阻电路的方程 4.3 图解分析法 4.4 小信号分析法 4.5 分段线性分析法 4.6 数值分析法 4.7 应用实例：温度测量与控制电路
本章介绍非线性电阻电路方程的建立方法，分析 非线性电阻电路的一些常用方法，如图解分析法、 小信号分析法、分段线性化方法、数值分析法等。
线性电阻的伏安特性为u， 2i i3 现已知当uS(t)0时，
回路中的电流i为1A。如果uS(t)costV时，试用小
信号分析法求回路中的电流i。
2 i
解 由题意可知，此电路中的静 uS
态工作点在I0=1A处，工作点处
u
的动态电阻为
5V
Rd
du di
iI0
2 3i2
i 1
5
2 i1
作出小信号等效电路
图(c)所示，称为分段诺顿电路。
i
i
i
Rdk
u
Rdk u
u Gdk
Uk
Ik
(a)
(b)
(c)
图4.5.2 非线性电阻及其线性化等效电
例4.5.1 试用分段线性分析法求解图4.5.3(a)所示电 路，其中非线性电阻的伏安特性曲线如图(b)所示。
5 i
12V
u
i(A)
2 0.8A
1 A 1V
Q 8V
B 0.2A
1
Rd1=RD1>0
AB段是下降的直线段 Rd20 BC段是上升的直线段 Rd3>0
U3 O
RD2<0
RD3>0
A U2 u
Rd2 RD2
Rd3 RD3
u Uk Rdki
或 i Ik Gdku
由上式可知，第k段非线性电阻Rk的特性可以 用电压源串联线性电阻来等效，如图(b)所示，称
为分段戴维南电路。或电流源并联电导来等效如
i(A)
2 0.8A
1 A 1V
Q 8V
B 0.2A
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u(V)
此时正好在AB段的范围内，代入直线方程 得到
i Ik Gdku 1 0.025 6.22 1.16A
注意：对每个线性电路计算后，要根据电压和电流的 等效范围进行校验，仅当工作点在其有关段的等效范 围时，其解才是正确的。否则便是虚假工作点，应予 以舍弃。
图解分析方法的思路：因为每个方程代表一条特性曲
线，图解分析方法就是用作图的方法找到这些曲线的
交点，即静态工作点(quiescent operating point)。
i1
i2
N1 u1
u2 N2
图解分析法的原理
一、图解法的基本原理：将非线性电路拆分为两个一端 口电路N1和N2，如图所示。拆分的方式可以是任意的， 为了列写电路方程的方便，一般拆分成线性电路部分和 非线性电路部分，也可以拆分成两个非线性电路部分。 设N1和N2的电压电流关系为：
4.1 非线性电阻元件的特性
一、非线性电阻元件
定义：在ui平面或iu平面上的伏安特性曲线不是
通过原点的直线。
1.伏安关系
+u -
u=f(i)或 i=g(u)
i
非线性电阻不 满足欧姆定律
非线性电阻的电路符号
3.既非压控又非流控电阻
其电压电流关系不能表达为一个变量的单值函数
如：理想二极管
i
i
i 0 对所有u 0 f (u,i) u 0 对所有i 0
i i 106 (e40u 1)
u 0.34V，i 0.66A 0.8 i 1 u
Q
0.4
O
0.2 0.4 u
(C)
4.4 小信号分析法
上节图解法是在直流激励下，确定静态工作点， 如果在此基础上再加入幅度很小的随时间变化的信 号（小信号），如何处理呢？
小信号分析法的基本思路：是在静态工作点确定 的基础上，将非线性电阻电路的方程线性化，得到 相应的小信号等效电路或增量等效电路（线性电阻 电路）。利用分析线性电路的方法进行分析计算。
i1 N1 u1
i2 u2 N2
图解分析法的原
f1(u1,i1) 理0
f2
(u2
,
i2
)
0
根据KVL和KCL，有
ui11ui22
由上两式，可得
f1(u2 , i2 f2 (u2 , i2 )
)0 0
(4.3.3a)
或
f1(u1,i1) f2 (u1, i1)
0
0
源自文库
(4.3.3b)
用图解法在同一坐标系中画出式(4.3.3a)或式 (4.3.3b)中两个方程的特性曲线，其交点为电路方 程的解。
1.对电流控制型非线性电阻，采用网孔法或回路法 进行分析比较简单，因为用电流变量（网孔电流或 回路电流）容易表示电流控制型非线性电阻上的电 压。 2.对电压控制型非线性电阻，采用节点法或割集法 进行分析比较简单，因为用电压变量（节点电压或 割集电压）容易表示电压控制型非线性电阻上的电 流。
4.3图解分析法
uS
i1 R1 ① uS i1 R2
i3 i3 R3 u3
1
u3 50i35
消去i1、u3，可得
i3
uS R1
R1 R2 R1R2
1
50i35
例4.2.1 图示为一非线性电阻电路，其中R1、R2为线 性电阻，R3为非线性电阻，其电压电流关系为
1
u3 50i35 试列出其电路方程求出相应的变量
分析方法：
1.首先按照KVL列出电路方程
US uS (t) R0i u (4.4.1)
O 图4.4.1（b) u
2.当uS(t)0时
U S R0IQ UQ(4.4.2) IQ f (UQ ) (4.4.3)
Q(UQ，IQ)，即静态工作点
i U0 A R0
IQ
O
i f (u) Q
B
UQ
uS
Rd u1
可得：
i1
uS 2
5
1 7
cos tA
uS
故总电流为
i (1 1 cost)A
7
2 i1 Rd u1
4.5分段线性分析 分段线性分法析法(piecewise linearization analysis)
是一种实用的近似方法，即用一条折线来分段逼近特性 曲线，所以有时也称之为折线法(polygon method)。
由于Gd 1/Rd在工作点(UQ，IQ)处是一个常量，所以 从上式可以看出，小信号电压uS(t)产生的电压u1和电 流i1之间的关系是线性的。
所以 US uS (t) R0[IQ i1] UQ u1 (4.4.10)
uS (t) R0i1 Rdi1
(4.4.11)
uS (t) R0i1 Rdi1
2.不同的是元件本身的特性。由于非线性电阻元 件的电压电流关系不是线性的，所以得到的方程 将是非线性的。
例4.2.1 图示为一非线性电阻电路，其中R1、R2为线 性电阻，R3为非线性电阻，其电压电流关系为
1
u3 50i35 试列出其电路方程求出相应的变量
解：方法1：网孔法
(RR12i1
R2 )i1 R2i3 R2i3 u3
(a)
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 u(V)
解
图4.5.3
(b)
现在按电压分为两段，分别用OA0（ u 1.5V）、AB
（u 1.5）V两条直线分段逼近。取u为自变量，直线方
程是
i Ik Gdku
对OA段，可测得 Ik=0A，Gdk =0.8S，
i(A)
2 0.8A
1 A 1V
解：方法2：节点电压法
1 ( R1
1 R2
)u3
uS R1
i3
i3
u35 505
i1 R1 ① uS i1 R2
i3 i3 R3 u3
消去i3，可得
u3
R2 R1 R2
uS
R1R2 R1 R2
u35 505
由上面的分析可知，建立非线性电阻电路方程时， 非线性电阻的处理与受控电源的处理类似，只是非 线性电阻的控制量是电阻本身所在支路上的变量 （电压或电流）而已。
u
O
u
可看出方程既无法把u表达成i的单值函数，也无 法把i表达成u的单值函数。
注意：与线性电阻不同，非线性电阻一般不是双向电 阻。例如PN结二极管，就必须明确地用标记将其两 个端钮区别开来，在使用时必须按标记正确接到电路 中。
4.2非线性电阻电路的方程
从列写电路方程的两个基本依据来看：
1.基尔霍夫电流定律（KCL）、基尔霍夫电压定 律（KVL）只与电路的结构有关，而与元件的性 质无关。因此就列写KCL和KVL本身方程，非线 性电阻电路与线性电阻电路无区别。
4.6 数值分析法
数值分析法(numerical analysis)一般采用逼近 的方法，使用迭代的点序列逐步逼近非线性方程 的解。逼近的方法有牛顿法、共轭梯度法等。本 节主要介绍牛顿法。
含有一个非线性电阻电路的方程，最终可归结 为一个一元非线性方程，假设电路方程的形式为
f (x) 0 (4.6.1)
u Uk Rdki
u Uk Rdki
其中Uk是第k段直线与u轴交点的坐标。显然， 图 4 . 5 . 1 中 的 U1=0，U20，U30。Rdk 为 动 态 电 阻 ， 等于第k段直线的斜率，即
Rdk
du di
k
i 2
C3
图中三条线段上，有三个动态电阻 I2 B
OA段是通过原点的直线
I3
例4.3.1 如图4.3.2(a)所示，设非线性电阻R的电 压电流关系为i ，106 (e40u 1)其A 中u为非线性电阻两端的电 压(单位为V)。试求非线性电阻R的静态工作点。
0.5 2V
0.75 i
0.5 R u
R0 i
i
uOC
uu
(a)
(b)
解：将非线性电阻R左边的线性电路部分用戴维南 电路等效，如图(b)所示，其中
U0 u
3.当uS(t)加入时
u UQ u1
i
IQ
i1
(4.4.4)
u1、i1是由于小信号uS(t)的作用而引起的偏差在
U0 us (t) 的条件下，
在 任 何 时 刻 t，u1、i1 相 对 ( UQ，IQ) 都 是 很 小 的 量。 由if(u)可得：
IQ i1 f [UQ u1] (4.4.5）
式中x为待求的电路变量，一般为电压或电流。
牛顿法：是基于围绕某一近似解x(k ) 对函数f (x) 进行
泰勒展开给出的，即
f (x) f (x(k) ) df
(x x(k)) 1 d 2 f
(x x(k) )2
dx xx(k )
由此可以作出给定非线性电阻在工作点(UQ，IQ)处 的小信号等效电路，如图4.4.2所示。
由小信号电路可得
R0 i1(t)
i1
uS (t) R0 Rd
u1
Rd uS R0
(t) Rd
uS (t) Rd u1(t)
(4.4.12) 图4.4.2 小信号模型
例4.4.1 在如图4.4.3(a)所示非线性电阻电路中，非
4.4 小信号分析法
图示电路中，直流电压源为U0， 电阻R0为线性电阻，非线性电阻 uS (t)
R是电压控制型的，其伏安特性
i=f(u)，其伏安特性曲线如图
U0
4.4.1 (b)所示
R0 i
R i f (u)
u
小信号时变电压为uS(t)
图4.4.1（a)
i
任意时刻t 都有U0 us (t)
i f (u)
思路：就是用若干段斜率不同的折线近似代替非 线性电阻的实际特性曲线，从而将非线性电阻电路 转化为几个线性电路求解，每个线性电路对应一个 相应的区间。
4.5分段线性分析法
i 2
C3
I2 B
I3
1
A
U3 O
U2 u
图4.5.1 分段线性逼近
图4.5.1所示为流控型非线性电阻的特性曲线，可 以将非线性电阻的特性分作三段，分别用OA、AB、 和BC三段直线来逼近它。直线方程如果用电流为自 变量，其一般表达式为
uOC
0.5 2 0.5 0.5
1V
R0
0.5 0.5 0.5 0.5
0.75
1
则线性电路部分的电压电流关系为：
i 1u
非线性电路部分的电压电流关系为i 106 (e40u 1)A
在同一坐标系中作出两部分电路的伏安特性曲线，如
图(c)所示，其交点为Q，即为非线性电阻R的静态工作
点，对应的坐标为
又由于u1很小，可以将上式右边在UQ点附近用泰勒 级数展开，取级数前面两项而略去一次项以上的高次
项，上式可写为
df
IQ i1
由式(4.4.3)，可得
f (UQ )
df
du
UQ
u1
i1 du UQ u1
(4.4.6) (4.4.7)
因此有
i1 u1
df du
UQ
Gd
1 Rd
(4.4.8)
Gd为非线性电阻在工作点(UQ，IQ)处的动态电导 (dynamic conductance)，Rd为相应的动态电阻 (dynamic resistance)。